Les vecteurs. Année 2014/2015. Lycée du golfe de Saint Tropez
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- Maurice Brosseau
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1 Les vecteurs Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2014/2015 Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
2 1 Notion de vecteur s Égalité de deux vecteurs 2 s Propriétés 3 Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme 4 Complément Coordonnées 5 et première propriété Parallélisme et alignement et coordonnées Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
3 I) Notion de vecteur a) s et vocabulaire s Égalité de deux vecteurs Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B est le déplacement qui a tout point M du plan associe le point M tel que [AM ] et [BM] ont le même milieu. B A M M ABM M est un parallélogramme éventuellement aplati. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
4 I) Notion de vecteur a) s et vocabulaire s Égalité de deux vecteurs Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B est le déplacement qui a tout point M du plan associe le point M tel que [AM ] et [BM] ont le même milieu. B A M M ABM M est un parallélogramme éventuellement aplati. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
5 I) Notion de vecteur a) s et vocabulaire s Égalité de deux vecteurs B M A M ABM M est un parallélogramme éventuellement aplati. On dit alors que les points A et B (pris dans cet ordre) et que les points M et M (pris dans cet ordre) représentent le même vecteur u. On note alors : u = AB = MM On dit que le point A est l origine du vecteur AB et que B est son extrémité. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
6 b) Égalité de deux vecteurs s Égalité de deux vecteurs Il y a différentes façons d exprimer l égalité AB = CD Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
7 b) Égalité de deux vecteurs s Égalité de deux vecteurs Translation : Si D est l image de C par la translation qui transforme A en B alors AB = CD Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
8 b) Égalité de deux vecteurs s Égalité de deux vecteurs Translation : Si D est l image de C par la translation qui transforme A en B alors AB = CD Parallélogramme : Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme. Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
9 b) Égalité de deux vecteurs s Égalité de deux vecteurs Translation : Si D est l image de C par la translation qui transforme A en B alors AB = CD Parallélogramme : Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme. Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC. Milieu : Si [AD] et [BC] se coupent en leur milieu alors AB = CD. Si AB = CD alors [AD] et [BC] se coupent en leur milieu. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
10 b) Égalité de deux vecteurs s Égalité de deux vecteurs Les trois caractéristiques des vecteurs : Dire que AB = CD signifie que : AB et CD ont la même direction c est à dire (AB) et (CD) sont parallèles. AB et CD ont le même sens. AB et CD ont la même longueur ou norme c est à dire AB=CD. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
11 c) Vecteurs particuliers s Égalité de deux vecteurs Le vecteur AA = BB = s appelle le vecteur nul, on le note 0 Il n a pas de direction (donc pas de sens) et sa longueur est nulle. Les vecteur AB et BA ont la même direction, la même longueur mais sont de sens contraire, on dit qu ils sont opposés et on note: BA = AB Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
12 Exercices Notion de vecteur s Égalité de deux vecteurs Les droites de même couleur sont parallèles. A B F G C E D 1 Donner tous les vecteurs égaux au vecteur GB. 2 Donner tous les vecteurs qui ont la même direction que le vecteur GA. 3 Donner tous les vecteurs qui ont la même direction et le même sens que le vecteur GC. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
13 II) a) s Propriétés Dans un repère (O ; I ; J), les coordonnées d un vecteur u sont celles du point M tel que OM = u u J M O I Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
14 II) a) s Propriétés u J M O I Notation On notera les coordonnées des vecteurs sous la forme suivante : u ( ) x y Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
15 b) Propriétés Notion de vecteur s Propriétés Propriété 1 Dans un repère (O ; I ; J), on considère les vecteurs u ( ) x et v y ( x ) u = v si et seulement si x=x et y= y y Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
16 b) Propriétés Notion de vecteur s Propriétés Propriété 1 Dans un repère (O ; I ; J), on considère les vecteurs u ( ) x et v y ( x ) u = v si et seulement si x=x et y= y y Propriété 2 Dans un repère (O ; I ; J), Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) alors AB ( ) xb x A y B y A Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
17 s Propriétés Exemple: Dans un repère (O ; I ; J), on considère les points B( 1 ; 2, 5) C(5 ; 0, 5) E(1 ; 1) U(3 ; 3) 1 Calculer les coordonnées des vecteurs CE et UB. 2 Que peut-on en déduire? Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
18 III) a) Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur s résultant de l enchaînement de la translation de vecteur u suivi de la translation de vecteur v. On note : s = u v Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
19 u b) Construction Notion de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Si l image de A par la translation de vecteur u est B, et si l image de B par la translation de vecteur v est C, alors C est l image de A dans la translation de vecteur s = u v. v A Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
20 u u b) Construction Notion de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Si l image de A par la translation de vecteur u est B, et si l image de B par la translation de vecteur v est C, alors C est l image de A dans la translation de vecteur s = u v. B v A Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
21 u u b) Construction Notion de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Si l image de A par la translation de vecteur u est B, et si l image de B par la translation de vecteur v est C, alors C est l image de A dans la translation de vecteur s = u v. B v v C A Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
22 u u b) Construction Notion de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Si l image de A par la translation de vecteur u est B, et si l image de B par la translation de vecteur v est C, alors C est l image de A dans la translation de vecteur s = u v. B v v u v C A Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
23 c) Relation de Chasles Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Propriété Pour tous points A, B et C on a AB BC = AC Cette égalité est appelée relation de CHASLES. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
24 u Notion de vecteur d) Différence de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Pour tous vecteurs u et v ( u v = u ) v v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé que v v Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21 A
25 u Notion de vecteur d) Différence de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Pour tous vecteurs u et v ( u v = u ) v v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé que v v B A u Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
26 u Notion de vecteur d) Différence de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Pour tous vecteurs u et v ( u v = u ) v v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé que v C v v B A u Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
27 d) Différence de vecteur Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Pour tous vecteurs u et v ( u v = u ) v v est le vecteur qui a la même direction, la même longueur mais le sens opposé que v C v v u u v B A u Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
28 e) Coordonnées de la somme Construction Relation de Chasles Différence de vecteur Coordonnées de la somme Propriété Dans un repère (O ; I ; J), Si ( ) x u et v y ( x ) y alors ( x x ) u v y y Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
29 Complément Coordonnées IV) a) A et B désignent deux points distincts et k un nombre réel strictement positif. Si AC = kab, alors C est le point de la demi-droite [AB) tel que AC= k AB Si AD = k AB, alors D est le point de la droite (AB) qui n est pas sur la demi-droite [AB) tel que AD=k AB AD = 3 AB 2 D A B C AC = 3 AB Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
30 b) Complément Notion de vecteur Complément Coordonnées Par convention : Pour tout vecteur u, 0 u = 0 Pour tout réel k, k 0 = 0 Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
31 b) Complément Notion de vecteur Complément Coordonnées Par convention : Pour tout vecteur u, 0 u = 0 Pour tout réel k, k 0 = 0 Propriété k u = 0 si et seulement si k= 0 ou u = 0. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
32 c) Coordonnées Notion de vecteur Complément Coordonnées Propriété Dans un repère (O ; I ; J), Si ( ) x u et k un réel alors k u y ( ) k x k y Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
33 V) a) et première propriété et première propriété Parallélisme et alignement et coordonnées Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si l un d eux est le produit de l autre par un réel, c est-à-dire s il existe un réel k tel que u = k v (ou v = k u ) Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
34 V) a) et première propriété et première propriété Parallélisme et alignement et coordonnées Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si l un d eux est le produit de l autre par un réel, c est-à-dire s il existe un réel k tel que u = k v (ou v = k u ) Propriété Le vecteur nul est colinéaire avec tous les autres vecteurs Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
35 b) Parallélisme et alignement et première propriété Parallélisme et alignement et coordonnées Propriété A, B, C et D étant quatre points distincts, Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
36 b) Parallélisme et alignement et première propriété Parallélisme et alignement et coordonnées Propriété A, B, C et D étant quatre points distincts, Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Propriété A, B et C étant trois points distincts, Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
37 c) et coordonnées et première propriété Parallélisme et alignement et coordonnées Propriété Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement leurs cordonnées sont proportionnelles. Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
38 c) et coordonnées et première propriété Parallélisme et alignement et coordonnées Propriété Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement leurs cordonnées sont proportionnelles. Exemple 1 Montrer que les vecteurs u (3 ; 1) et v ( 6 ; 2) sont colinéaires 2 On considère les points A( 1 ; 1), B(2 ; 2) et C(8 ; 4) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC. Les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires? Que peut-on en déduire? Seconde ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2014/ / 21
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