Thème 6 : Racines carrées-le point sur les nombres

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1 Thème 6 : Racines carrées-le point sur les nombres I - DEFINITION DE LA RACINE CARREE d un nombre positif a est un nombre positif La racine carrée de a notée a est le nombre positif tel que a a = ( a ) = a Exemples : La racine carrée de 49 est 7, car 7 = 49 et 7 est positif. On note 49 = 7. La racine carrée de 1 est 1, car 1 = 1 et 1 est positif. On note 1 = 1. La racine carrée de 17,64 est4,, car 4, = 17,64 et 4, est positif. On note 17,64 = 4,. Remarques : 1- la racine carrée d un nombre négatif n existe pas, car le carré d un nombre est toujours positif! - La racine carrée d un nombre est un nombre positif :c est une distance! Utiliser la définition de la racine carrée pour calculer : = = 10 3 = = 1 = 60 7 = 7 7 = 7 = 14 ( ) = = 17 7 = 7 7 = 7 7 = 4 7 = 8 a a = a Pour s entraîner : Exercices conseillés : sans calculatrice N 6 p 44 N N 3 p 0 pour la calculatrice N 7 p 44

2 II Connaître les racines carrées correspondant aux premiers nombres entiers : 1 = 1 ; 4 = ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; = ; 36 = 6 ; 49 = 7 ; 64 = 8 ; 81 = = 10 ; 11 = 11 ; 144 = 1 ; 169 = 13 III PROPRIETES SUR LES RACINES CARREES 1 Attention : = ; = ;Conclusion: = ; = ; Conclusion: ; 11+ =... ; Conclusion: ATTENTION : a + b a + b a b a b a et b entiers positifs et a plus grand que b Produit de deux racines carrées (Démonstration faite en classe) Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a : a b = a b Exemples : 7 3 = 7 3 = 1 18 = 18 = 36 = 6 a + b a + b et a b a b 3- Quotient de deux racines carrées Si a et b sont deux nombres positifs, b différent de 0, alors on a : a = b a b Exemples : = = 6 = = 16 = Application : Comment écrire autrement une somme avec des radicaux? a), = = = 3 3 = 4 3 7

3 b) Mettre sous la forme a b b entier positif le plus petit possible : 48 on divise 48 par,on obtient 4 ;on divise 48 par 3 on obtient 16 et = 16 3 = = 9 6 = = 36 = 6 = 4 Se rappeler II ;les racines carrées correspondant à un entier = = = + 4 = 6 4 = 9 = 9 = 3 = 6 c) Racines carrées et développements : ( 3 ) A = + A = 3² On n'oublie pas ab le double produit!! A = On réduit A= On reconnaît (a+ b)² et on applique la formule avec a= 3 et b= ( 3 1 ) C ( 3 1) B = + = Démontrer que B + C = 6 ( ) C ( ) B = = 3 1 On applique (a+b)² et (a-b)² B = C = B = C = B + C = = 6 Pour réviser le contrôle : Exercices conseillés : Calculs : N p 1 Aires-Périmètres N 60 p3 N 101p6 Brevet : N p 6 Un auto-test avant le petit contrôle

4 III Fiche bilan pour réviser 1. Connaître la définition et l appliquer : Définition : Exemples : Calcule : ; 7 7 = ; 64 = ; 9 = ( ) = ( ) =. Connaître les premiers carrés parfaits a a Calculer la valeur numérique d une expression littérale Calculer E = x 3x + 1 lorsque x = 3 puis x = 7 4. Calculer et écrire le résultat sous la forme a b ou c + a b a, c sont des entiers et b est un entier positif Développer et réduire des écritures = 6 (3 6) = ( + ) = ( 3 ) =

5 Si a > 0, alors l équation x ² = a admet deux solutions : a et a. L équation x ² = 0, admet une seule solution : 0 Si a < 0, alors l équation x ² = a n admet pas de solution Propriété : Exemples : 1 ) Soit à résoudre l équation x ² = 9. x ² = 9 signifie que le carré de x est 9 Or, les deux nombres dont le carré est 9 sont 9 = 3 et 9 = - 3. Conclusion : Les solutions de l équation x ² = 9 sont 3 et - 3. ) L équation x ² = - 7 n a pas de solution ( en effet, x ² est positif ) QCM : Il peut y avoir plusieurs réponses possibles! Demande les réponses en classe! R1 R R3 R4

6 1 Le nombre 11 est égal à 11² est égal à est égal à , est égal à est égal à 13 x² 4x + pour x = 3 est égal à L équation x ² = 81 a pour solutions 0 18 est égal à et 0 8 et -8 9 et -9 9 et est égal à ,18 10 ( + 3) est égal à , L équation x ² + 1 = 11 a pour solutions 4 et -4 et - Aucun nombre 11 et 11 1 ( 7 + )( 7 ) est égal à V- Le point sur les nombres : Rationnels - Irrationnels Décimal Entier Comment reconnaître?

7 Les nombres Entiers naturels Entiers relatifs Description Tous les nombres entiers positifs Tous les nombres entiers positifs et négatifs Exemples 0 ; 18 ; = 6 ; = 3 - ; - 3 ; 0 ; 8 ; - 00 ; 010 Décimaux Rationnels Irrationnels Tous les nombres qui ont une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule Tous les nombres qui peuvent s écrire sous la forme d une fraction. L écriture décimale peut être finie ou infinie mais nécessairement périodique Tous les nombres qui ne sont pas rationnels ;dans un irrationnel, le nombre de décimales est infini et il n y a pas de période 17,9 ; 41 0, = ; - 0,03 ; 3 = 0,6 0, = = 3, ,31 1 = Ces deux nombres ont une période Ce nombre a 3 chiffres après la virgule 6 6 = ; 6 est donc rationnel!! 1 π ; ; 3 Place dans le diagramme ci-dessous les nombres suivants : ; ;0,0087; ; ; π ;

8 Suis l exemple : = = = = décimale illimitée périodique 0, C est un rationnel! et ce nombre a une écriture Nombres décimaux Nombres , 36 rationnels Nombres entiers Nombres réels