M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER

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1 M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER 1. Euclide, relation de Bézout, gcd Exercice 1. [DKM94,.14] Montrer que 6 n 3 n our tout entier n ositif. Exercice 2. [DKM94,.15] Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en donnant soit une démonstration, soit un contre-exemle. (1) Si gcd(a, b) = gcd(a, c) alors cm(a, b) = cm(a, c). (2) Si gcd(a, b) = gcd(a, c) alors gcd(a 2, b 2 ) = gcd(a 2, c 2 ). (3) Si a n b n où n 1 alors a b. (4) Si a m b n où 1 m < n alors a b. Exercice 3. [DKM94,.14] Montrer que le cube d un entier ositif eut toujours s écrire comme la différence de deux carrés. Exercice 4. (Version lus générale dans [Dem97, 34]). Soient m, n Z. Montrer que gcd(x m 1, X n 1) = X gcd(m,n) 1. Exercice 5. Etude de 1 [n] (lire [Dem97, 9-14]). Soit b 2, on définit l entier naturel 1 [n] := (11 } {{ 1} ) b, i.e. n fois 1 [n] = bn 1 b 1. 1) Montrer que si m divise n alors 1 [m] divise 1 [n]. 2) En utilisant l exercice 4 montrer que m et n sont remiers entre eux si et seulement s il en est de même de 1 [m] et 1 [n]. Exercice 6. Théorème de Lucas [Dem97, 37]. La suite de Fibonacci est définie ar la relation de récurrence F n+2 = F n+1 + F n et les conditions initiales F 1 = 1, F 0 = 0. on veut montrer le théorème de Lucas : gcd(f n, F m ) = F gcd(n,m). 1) Le résultat qui suit est un résultat annexe. Montrer que our tout n 0, F n = 1 5 (φ n + ( 1) n+1 φ n ), où φ est la racine ositive de l équation X 2 = X + 1. φ est aelé le nombre d or et vérifie φ = 1 + φ 1. 2) Maintenant on s intéresse aux résultats réliminaires au théorème de Lucas. Montrer que our tout n 1 on a F n+1 F n 1 F 2 n = ( 1) n. En déduire que F n et F n+1 sont remiers entre eux. 3) Montrer our m 1 et n 0 la relation F n+m = F m F n+1 + F m 1 F n. [Faire une récurrence sur m et une sur n]. 1

2 4) Soit d N, montrer la roriété suivante : d divise F m et F n d divise F n et F n+m. ( ) 5) On va montrer que toute suite d entiers (F n ) satisfaisant ( ) avec F 0 = 0 vérifie le théorème de Lucas. a) Montrer que our tout k 1 on a d divise F m et F n d divise F n et F n+km. b) On suose m > n. Soit r le reste de la division euclidienne de m ar n. Montrer que gcd(f m, F n ) = gcd(f n, F r ). c) Conclure en utilisant l algorithme d Euclide. 2. Congruence Exercice 7. [DKM94,.54] Donner un exemle d un système de résidus comlet modulo 17 qui est comosé entièrement de multiles de 3. Exercice 8. [DKM94,.54] Écrire une seule congruence qui est équivalente à la aire de congruence x 1 (mod 4), x 2 (mod 3). Exercice 9. [DKM94,.54] Montrer que la différence de deux cubes consécutifs n est jamais divisible ar 5. Exercice 10. [DKM94,.55] Résoudre les congruences suivantes (1) 2x 1 (mod 7) (2) 12x 9 (mod 6) (3) 5x 1 (mod 8) Exercice 11. Soit G un groue et g G. Montrer que g n = 1 ssi n est un multile de l ordre de g. Montrer que si g n = 1 et que our tout remier divisant n, g n/ 1 alors n est l ordre de g. Exercice 12. Montrer que si n est le roduit de h 1 nombre remiers imairs distincts alors le nombre de solutions de x 2 1 (mod n) est 2 h. Exercice 13. Si a n a m (mod ) our remier et a un élément rimitif, que eut-on dire des entiers n et m? Exercice 14. Petit théorème de Fermat [DKM94, 55]. Soient, q deux nombres remiers distincts. Montrer que q 1 + q 1 1 (mod q). 3. Nombres remiers Exercice 15. [DKM94,.33] Soit un nombre remier. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en donnant soit une démonstration, soit un contre-exemle. (1) Si a et a 2 + b 2 alors b. (2) Si a 9 alors a. (3) Si (a 2 + b 2 ) et (b 2 + c 2 ) alors (a 2 c 2 ). (4) Si (a 2 + b 2 ) et (b 2 + c 2 ) alors (a 2 + c 2 ). 2

3 Exercice 16 (Critère de rimalité de Lehmer). Soit n 3 imair. Alors n est remier si et seulement si il existe a [1,..., n 2] tel que a n 1 1 (mod n) et a (n 1)/q 1 (mod n) our tout diviseur remier de n 1. Exercice 17. Nombres de Fermat Pour n 0 on définit Fer n := 2 2n + 1 le n ème nombre de Fermat. ( n 1 ) 1) Montrer que Fer n = Fer i + 2, en déduire le théorème de Goldbach : " Deux nombres de Fermat distincts sont remiers entre eux". 2) Soient a 2, n 1. Montrer que si a n + 1 est remier alors a est air et n est une uissance de 2. Exercice 18. Critère de Péin (Test de rimalité des nombres de Fermat) [Dem97, 80,122. Attention, erreur dans l énoncé du livre]. Soit n 1. Montrer que Fer n est remier 3 22n 1 1 (mod Fer n ). [Rael de la loi de récirocité quadratique : Soient q remiers imairs, ( ) ( 1) ( 1)(q 1) q 4 ]. Tester la rimalité de Fer n our n = 1,..., 10. ( ) q = 3

4 CORRECTION 4. Divisibilité Correction exercice 1 Comme 6 = 2 3 et que 2 et 3 sont remiers entre eux, il suffit de montrer que 2 et 3 divise n 3 n = (n 1)n(n + 1). Comme c est le roduit de 3 entiers consécutifs, l un d eux est toujours air et l un deux est toujours un multile de 3 d où le résultat. Correction exercice 2 (1) C est faux uisque gcd(2, 3) = gcd(4, 5) = 1 mais cm(2, 3) = 6 cm(4, 5) = 20. (2) C est vrai : il suffit de montrer que gcd(a, b) 2 = gcd(a 2, b 2 ). En divisant a et b ar leur gcd, il suffit de montrer que si a et b sont remiers entre eux alors a 2 et b 2 sont remiers entre eux. Raisonnons ar l absurde et soit un remier divisant gcd(a 2, b 2 ). On a donc que a 2 et b 2. Comme est remier, cela imlique que a et que b donc a et b ne sont as remiers entre eux. (3) C est vrai. Soit d = gcd(a, b). On a a = da et b = db où gcd(a, B) = 1. Ainsi on a (comme récédemment) gcd(a n, B n ) = 1 et uisque a n b n on obtient A n d n B n d n soit A n B n. Puisqu ils sont remiers entre eux, ceci n est ossible que si A = 1 et donc d = a. Ceci imlique que b = db = ab et donc a b. (4) C est faux en renant ar exemle a = 4, b = 2 et m = 1 et n = 2. Correction exercice 3 On souhaite montrer que our tout n entier, il existe des entiers x, y tels que n 3 = x 2 y 2. Pour cela il suffit de trouver x, y tels que x + y = n 2 et x y = n c est-à-dire x = (n + n 2 )/2 et y = (n 2 n)/2 ce qui est ossible car n + n 2 et n 2 n sont tous les deux airs. Correction exercice 4. Suosons m n, écrivons m = qn + r la division euclidienne de m ar n. commence ar montrer que gcd(x m 1, X n 1) = gcd(x n 1, X r 1). On a X m 1 = X qn+r = X r (X qn 1) + X r 1, = X r (X n 1) ( q 1 ) X ni + X r 1. Notons d := gcd(x m 1, X n 1), d := gcd(x n 1, X r 1). d divise X m 1 et X n 1 donc, d arès l équation ci-dessus, d divise X r 1. A fortiori d divise d. Le même raisonnement montre que d divise d. Ainsi, d = d. Finalement, soit r 0 := gcd(m, n), en itérant ce raisonnement et en aliquant l algorithme d Euclide, on a gcd(x m 1, X n 1) = gcd(x n 1, X r 1), On Correction exercice 5.. = gcd(x d 1, X 0 1), = X d 1, = X gcd(m,n) 1. 4

5 1) Soient n = km our k 1. On a k 1 b n 1 = (b m 1) b mi. D où, en divisant ar b 1, 1 [m] divise 1 [n]. 2) On a gcd ( 1 [m], 1 [n]) ( ) b m 1 = gcd b 1, bn 1, b 1 = 1 b 1 gcd(bm 1, b n 1), = bgcd(m,n) 1 d arès l exercice 4, b 1 = 1 [gcd(m,n)]. D où l équivalence m, n remiers entre eux ssi 1 [m] et 1 [n] le sont. Correction exercice 6. 1) Preuve ar récurrence : Pour n = 0, φ 0 φ 0 1 = 1 1 = 0 = F 0, et our n = 1, 5 (φ φ 1 ) = 1 = F 1. Soit n N, suosons la formule vérifiée our F n+1 et F n, alors F n+2 = F n+1 + F n, = 1 5 (φ n+1 + ( 1) n+2 φ (n+1) + φ n + ( 1) n+1 φ n), = 1 (φ n+1 + φ n + ( 1) n+3 ( ( φ (n+1) + φ n)), 5 = 1 5 φn+1 ( ) φ } {{ } =φ = 1 5 (φ n+2 + ( 1) n+3 φ (n+2)). 2) Preuve ar récurrence : Pour n = 1, on a F 2 F 0 F 2 1 = = 1. Suosons F n F n 2 F 2 n 1 = ( 1) n 1. Alors +( 1) n+3 φ (n+1) ( F n+1 F n 1 F 2 n = (F n + F n 1 )F n 1 F 2 n, = F n F n 1 + F 2 n 1 F 2 n, = F n (F n 1 F n ) + F 2 n 1, = F n F n 2 + F 2 n 1, = ( 1) n. φ 1 } {{ } =φ 1 ), Posons u n := ( 1) n F n 1, v n := ( 1) n F n, on a F n+1 u n + F n v n = 1. Donc ar Bézout F n et F n+1 sont remiers entre eux. 5

6 3) Etae 1. Fixons m 1. Pour n = 0 on a F m = F m F 1 F m+1 = F m F 2 +F m 1 F 1. +F m 1 F 0 =0, et our n = 1 on a Soit N 1, suosons que our n = N 1, N on a F n+m = F m F n+1 + F m 1 F n, avec m fixé. Alors F N+1+m = F (N+m)+1 = F N+m + F } N+m 1, {{ } =F (N 1)+m = F m F N+1 + F m 1 F } {{ N + F } m F N + F m 1 F N 1, } {{ } H.R. H.R. = F m (F N+1 + F N ) + F m 1 (F N + F N 1 ), = F m F N+2 + F m 1 F N+1. Etae 2. Fixons n 0. Pour m = 1 on a F n+1 = F 1 F n+2 = F 2 F n+1 + F 1 F n. F m + F 0 =0 F n, et our m = 2 on a Soit M 2, suosons que our m = M 1, M on a F n+m = F m F n+1 + F m 1 F n our m fixé. Alors 4). On a montré F n+m+1 = F n+m + F n+(m 1), = F M F n+1 + F M 1 F n + F M 1 F n+1 + F M 2 F n (H.R.), = (F M + F M 1 )F n+1 + (F M 1 + F M 2 )F n, = F M+1 F n+1 + F M F n. F n+m = F m F n+1 + F m 1 F n. divisible ar d divisible ar d Donc d divise F n+m.. On a F m F n+1 = F n+m F m 1 F n donc F m F n+1 est divisible ar d. Or on a montré en 2) que F n et F n+1 sont remiers entre eux, donc d F n+1, ainsi d F m. 5a) On montre l équivalence ar récurrence sur k. Le cas k = 1 est démontré au 4). On suose l équivalence vraie our k et montrons-la our k + 1 :. On suose d F m et d F n, alors ar hyothèse de récurrence d divise aussi F m+kn. Donc ar ( ) d divise F m+kn+n = F m+(k+1)n, d où l imlication cherchée.. On suose d divise F n et F m+(k+1)n = F m+kn+n, alors ar ( ) d divise F n et F m+kn. Donc d divise F m et F n ar hyothèse de récurrence. 5b) On écrit m = qn + r la division euclidienne de m ar n. On a q 1 car m > n. Notons d := gcd(f m, F n ) et d := gcd(f n, F r ). On a d F m, d F n d F qn+r, d F n d F n, d F r ar ( ) d F n, d F r d d. ar ( ) d F qn+r, d F n d F m, d F n d d. 6

7 D où d = d. 5c) Notons d := gcd(f m, F n ). Aliquant l algorithme d Euclide au 5b), on a gcd(f m, F n ) = gcd(f gcd(m,n), F 0 ) = gcd(f gcd(m,n), 0) = F gcd(m,n). 5. Congruences Correction exercice 7 C est ossible uisque 3 est remier à 17. En renant les multiles successifs on obtient : 3, 6, 9, 12, 15, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 2, 5, 8, 11, 14, 0. Correction exercice 8 L inverse de 3 modulo 4 est 3 et l inverse de 4 mod 3 est 1. On obtient donc x (12/4) (12/3) 1 2 = 5 (mod 12). Correction exercice 9 On a (x + 1) 3 x 3 = 3x 2 + 3x + 1 = a(x). En calculant a(x) (mod 5) our x = 0,..., 4, on constate qu on n obtient jamais 0. D où le résultat. Correction exercice 10 (1) L inverse de 2 modulo 7 est 4 donc x 4 (mod 7). (2) 12 0 (mod 6) mais 9 as donc il n y a as de solution. (3) L inverse de 5 modulo 8 est 5 donc x 3 (mod 8). Correction exercice 11 Suosons que n ne soit as un multile de d et soit alors n = dq + r avec 0 < r < d le reste de la division euclidienne de n ar d. On a g n = 1 = g dq+r = g dq g r = g r donc il existerait un 0 < r < d tel que g r = 1: absurde ar définition de l ordre d un élément. Puisque g n = 1 on a n = ds. Suosons que n n est as l ordre de g alors on a s > 1, en articulier il existe un remier divisant s (et donc aussi n). Calculons d où le résultat. g n/ = g ds/ = g ds/ = 1 Correction exercice 12 Écrivons n = h i i où les i sont des remiers imairs distincts. L équation x 2 1 (mod n) est donc équivalente au système x 2 1 (mod 1 ). x 2 1 (mod h ) Chacune de ces équations a au lus deux solutions car Z/ i Z est un cors. De lus comme les i sont imairs, chaque équation a exactement deux solutions distinctes 1 et 1. La résolution des systèmes x i = ±1 (mod i ) donne donc 2 h solutions distinctes modulo n. 7

8 Correction exercice 13 Si a est un élément rimitif, il est en articulier non nul donc inversible modulo et donc on a a n m 1 (mod ). On en conclut que n m est divisible ar l ordre de a qui est φ() = 1 donc m n (mod 1). Correction exercice 14. et q étant remiers entre eux on a, d arès le etit théorème de Fermat, que q 1 +q 1 est solution du système { x 1 (mod ), x 1 (mod q). Or x 0 = 1 en est une autre, et ar le théorème des restes chinois (version ratique) on a que deux solutions sont congrues modulo q. Ainsi q 1 + q 1 1 (mod q). Correction exercice 15 (1) On a que b 2 donc b. (2) C est vrai, en écrivant ar exemle la factorisation de a. (3) On eut raisonner modulo, et donc 0 (a 2 + b 2 ) (b 2 + c 2 ) a 2 c 2 mod. (4) Non : et mais 5 ne divise as Correction exercice 16 Si n est remier, soit a un élément rimitif. Son ordre est n 1 donc on a la roriété souhaitée. Inversement a est un élément d ordre n 1 donc #(Z/nZ) n 1 et donc tous les élements non nuls sont inversibles : n est remier. Correction exercice 17. 1) On montre la formule ar récurrence : Pour n = 0 on a bien Fer 0 = 2. n 1 Suosons que our n 0 on a Fer n = Fer i +2. Alors n n 1 Fer i +2 = Fer n Fer i +2, = Fer n (Fer n 2) + 2, = Fer 2 n 2 Fer n +2, = ( 2 2n + 1 ) 2 ( n + 1 ) + 2, = 2 2n n n 2 + 2, = Fer n+1. Ainsi, tout diviseur commun à deux nombres de Fermat distincts divise 2. Or ceux-ci sont imairs, d où la conclusion. Remarquons qu on a redémontré l existence d une infinité de nombres remiers. 2) Comme a n est remier alors il est imair. Donc 2 a n et ar le lemme de Gauss 2 a. De lus, notons n = 2 m k avec k imair. On a a n + 1 = ( ) k ( a 2m + 1 = a 2 m + 1 ) k 1 ( 1) ( ) i i a 2m. Or a n + 1 est remier donc nécessairement l = 2 m et ainsi k = 1. 8

9 Correction exercice 18. Raels sur le symbole de Legendre. Etant donnés un nombre remier imair et a non divisible ar, on dit que a est un carré (ou résidu quadratique) modulo s il existe b tel que a b 2 (mod ). On définit le symbole de Legendre On a que ( a ( ). est multilicative et ) { 1 si a est un carré modulo, = 1 sinon. ( ) a a 1 2 (mod ). La loi de récirocité quadratique, démontrée ar Gauss, exrime Retour à la correction. ( ) en fonction de q ( ) q. Fern 1. Remarquons que = 2 2n 1 et que 2 est le seul facteur remier de Fer 2 n 1. Donc ar le critère de rimalité de Lehmer, on a que Fer n est remier.. Comme n 1, on a Fer n = 4 2n 1 + 1, donc Fer n 1 (mod 4), ( ) ( ) 3 Fern et ar la loi de récirocité quadratique on a =. De lus, Fer n 3 Fer n (mod 3) donc Fer n n est as un( carré) modulo 3 (on vérifie directement que seuls 0 et 1 sont des Fern carrés modulo 3), i.e. = 1. Ainsi 3 ( ) 3 22n 1 Fern 1 3 = 3 2 (mod Fer n ) 1 (mod Fer n ). Fer n References [Dem97] Michel Demazure. Cours d algèbre. Nouvelle Bibliothèque Mathématique [New Mathematics Library], 1. Cassini, Paris, Primalité. Divisibilité. Codes. [Primality. Divisibility. Codes]. [DKM94] Jean Marie De Koninck and Armel Mercier. Introduction à la théorie des nombres. Collection universitaire de mathématiques. MODULO, Mont-Royal,