par R. de la Bretèche & T.D. Browning

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1 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 ar R. de la Bretèche & T.D. Browning À la mémoire affectueuse de George Greaves Résumé. Nous étudions l ordre moyen du nombre de diviseurs des valeurs de certaines formes binaires quartiques qui ne sont as irréductibles sur Q. Abstract. We study the average order of the divisor function, as it ranges over the values of binary quartic forms that are reducible over Q. Table des matières 1. Introduction Méthode et autres résultats Proriétés des fonctions ϱ et ϱ Interrétation de la constante Démonstration du Théorème Démonstration du Théorème Démonstration du Théorème Démonstration des corollaires Références Introduction Soient L 1, L 2 Z[x] deux formes linéaires non roortionnelles où x = x 1, x 2, Q Z[x] une forme quadratique irréductible sur Q et R une région bornée convexe de R 2. Nous nous roosons d estimer asymtotiquement lorsque X tend vers + la somme T X = τl 1 xl 2 xqx, x Z 2 XR où XR := {Xx : x R}. Ici, τ désigne la fonction nombre de diviseurs. Cette estimation résultera de l étude de la somme SX := SX; L 1, L 2, Q, R = τl 1 xτl 2 xτqx. x Z 2 XR Classification mathématique ar sujets N37.

2 2 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING Ce travail a certains oints communs [2] où nous généralisions le travail de Heath-Brown [5] concernant les sommes rl 1 xrl 2 xrl 3 xrl 4 x, 1.1 x Z 2 XR lorsque les L i sont des formes linéaires non roortionnelles deux à deux. Ici la quantité rn désigne le nombre de rerésentations de n comme une somme de deux carrés. Dans toute la suite, nous ferons sur les formes L 1, L 2, Q et R les hyothèses minimales suivantes : H1 R est un ouvert borné, convexe une frontière définie ar une fonction continuement différentiable ar morceaux, H2 L 1 et L 2 ne sont as roortionnelles et Q est irréductible sur Q, H3 L i x > 0 et Qx > 0 our tout x R, et nous noterons L 1 x := a 1 x 1 + b 1 x 2, L 2 x := a 2 x 1 + b 2 x 2, 1.2 Qx := a 3 x b 3 x c 3 x 1 x 2, = discq = c 2 3 4a 3 b Nous introduisons les notations, lorsque d = d 1, d 2, d 3 N 3, et Λd := {x Z 2 : d i L i x, d 3 Qx} 1.4 ϱd = ϱd; L 1, L 2, Q := # Λd [0, d 1 d 2 d Le résultat rincial de notre article est le suivant. Théorème 1. Soit ε > 0. Lorsque L 1, L 2, Q, R satisfont H1 H3 et lorsque X 2, on a T X = 2C volrx 2 log X 3 + O X 2 log X 2+ε, où la constante imlicite dans le O déend de ε, des formes linéaires L 1, L 2, Q et de la borne suérieure de R et où C := ϱ1, ν, 1 + ϱ ν, 1, 1 + ϱ1, 1, ν 2ν. ν N Ce roblème s inscrit dans le cadre lus général de l estimation de la somme T F X = τf x x Z 2 XR lorsque F est une forme binaire de degré 4 de Z[x]. Lorsque F est irréductible sur R, Daniel [4] a montré T F X = 4C F volrx 2 log X + OX 2 log log X lorsque R = {x R 2 : fx 1} et C F = 1 1 ϱ F ν 2ν, ν Z 0 ϱ F d := #{x [0, d 2 : d F x}.

3 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 3 Nous sommes convaincus que les méthodes déveloées dans cet article seront utiles our établir une estimation asymtotique de T F X lorsque F est une forme binaire de degré 4 de Z[x] qui n est as traitée ar notre résultat ou celui de Daniel. Remerciements. Une artie de ce travail a été réalisée lors de la venue du deuxième auteur à l Université Paris 7 Denis Diderot et à l Université Paris 6 Pierre et Marie Curie. Que ces institutions soient ici chaleureusement remerciées our leur accueil et leur soutien financier. Le deuxième auteur bénéficie du soutien de la bourse EPSRC numérotée EP/E053262/1. 2. Méthode et autres résultats Pour établir le Théorème 1, nous estimons des sommes généralisant SX en rétant une attention articulière à l uniformité ar raort aux différents aramètres. Pour cela, nous introduisons les quantités suivantes L = L L 1, L 2, Q := max{ L 1, L 2, Q } 2.1 où désigne le maximum de la valeur absolue des coefficients de la forme considérée, et r = r R := su max{ x 1, x 2 }, 2.2 x R r = r L 1, L 2, Q, R := su max{ L 1 x, L 2 x, Qx }. 2.3 x R Dans toute la suite, nous considérerons, our des ensembles V de R 3 définis comme une intersection finie d hyerlans à coefficients bornés, les sommes définies ar SX; V := SX; L 1, L 2, Q, R, V = τl 1 x, L 2 x, Qx; V, x Z 2 XR, lorsque V [0, 1] 3, d i L i x, d 3 Qx τl 1 x, L 2 x, Qx; V := # d N3 : log d1 log r X, log d 2 log r X, log d 3 2 log r X V La déendance de τl 1 x, L 2 x, Qx; V à X et R sera toujours omise. Lorsque V = [0, 1] 3, nous avons SX, V = SX. Théorème 2. Soit ε > 0. Lorsque L 1, L 2, Q, R satisfont H1 H3, V est un sous-ensemble de [0, 1] 3 défini comme une intersection finie d hyerlans à coefficients bornés et r X 1 ε 1, on a. SX; V =2 volr volv X 2 log r X 3 σ + O L ε r r + r X 2 2 log X 2 log log X, 2.4 où σ := ϱ ν 1 2ν 1+2ν 2 +2ν

4 4 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING L ensemble 1.4 n est as un réseau. L étae essentielle de la reuve de cette estimation est de se ramener à un comtage sur des réseaux de Z 2 en s insirant de l imortant article [4]. Le Théorème 2 nous ermet d estimer des sommes lus générales de la forme SX, d, D; V = SX, d, D; L 1, L 2, Q, R, V L1 x := τ, L 2x, Qx ; V, d 1 d 2 d 3 x ΛD XR lorsque d, D N 3 tels que d i D i. Considérons σ d, D := ϱ N 1, N 2, N 3 2N 1+2N 2 +2N 3, 2.6 λ i = v d i, µ i = v D i, N i = max{µ i, ν i + λ i }. 2.7 Soit δd le lus grand entier δ tel que ΛD {x Z 2 : δ x 1, x 2 }, 2.8 où x 1, x 2 désigne, ici et dans toute la suite, le gcd des entiers x 1 et x 2. Lorsque L 1, L 2, Q des formes satisfont H2, nous écrirons l 1, l 2, q des entiers et L 1, L 2, Q des formes rimitives tels que et utilisons la notation L 1 = l 1 L 1, L 2 = l 2 L 2, Q = qq, 2.9 D := Nous emloierons systématiquement la notation D1 D 1, l 1, D 2 D 2, l 2, D D 3, q D := D 1 D 2 D 3 et 12 := ResL 1, L 2 = a 1 b 2 a 2 b 1, i3 := ResL i, Q = a 3 b 2 i + b 3 a 2 i c 3 a i b i = Q b i, a i Comme Q est irréductible, nous avons i3 0. De lus, comme L 1 et L 2 ne sont as roortionnelles, on a Nous notons aussi ad, := D 1, 12 D 2, 12 D 3, 13, 23, 2.12 :=, 12, 13, 23 et introduit en 1.3. Enfin, nous osons a D, := D 1, 12D 2, 12D 3, 13, 23, 2.13 où :=, 12, 13, 23 = /q2, 12 /l 1 l 2, 13 /l 2 1 q, 23/l 2 2 q. Autrement dit a rend la valeur a arès avoir rendu les formes L 1, L 2, Q rimitives. À artir du Théorème 2, nous démontrerons le résultat suivant.

5 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 5 Théorème 3. Soit ε > 0. Lorsque L 1, L 2, Q, R satisfont H1 H3, V est un sous-ensemble de [0, 1] 3 défini comme une intersection finie d hyerlans à coefficients bornés, d et D tels que d i D i et r X 1 ε 1, on a SX, d, D; V =2 volr volv X 2 log r X 3 σ d, D DL ε + O a D, r r + r 2 δd X 2 log X 2 log log X. De lus, on a σ d, D L ε D ε a D,. La somme SX, d, D; V est directement reliée au cardinal des oints à coordonnées entières sur la variété affine d équation L i x = d i s i t i, Qx = d 3 s 3 t La constante attendue dans le terme rincial de SX, d, D; V eut être interrétée comme un roduit convenable de densités locales ω R, V la densité archimédienne associée à la variété définie ar Cette quantité sera exlicitement définie en 4.1. De la même manière que dans [2] our les sommes introduites en 1.1, nous montrons que le terme rincial est bien celui qui est attendu. Lorsque λ = λ 1, λ 2, λ 3 Z 3 0, µ = µ 1, µ 2, µ 3 Z 3 0 et un nombre remier, nous considérons N λ,µ n := # x, s, t Z/n Z 8 : L i x λ i s i t i mod n Qx λ 3 s 3 t 3 mod n µ i L i x, µ 3 Qx et ω λ,µ := lim n 5n λ 1 λ 2 λ 3 N λ,µ n. Cette quantité corresond à la densité -adique associée à la variété définie ar Théorème 4. Soient L 1, L 2, Q, R satisfont H1 H3 et d, D tels que d i D i. On a ω R, V = 2 volr volv et ω λ,µ = σ d, D, our tout. Le Théorème 3 ermet facilement de démontrer d autres résultats dont nous aurons besoin dans un travail ultérieur concernant la conjecture de Manin et qui ont été à l origine de ce travail. Le remier concerne l estimation des sommes S X, d, D; V = S X, d, D; L 1, L 2, Q, R, V L1 x := τ, L 2x d 1 d 2 x ΛD XR x 1,x 2 =1, Qx ; V d 3 lorsque d, D N 3 tels que d i D i. Pour exrimer notre résultat, nous introduisons ϱ d = ϱ d; L 1, L 2, Q := # { x Λd [0, d 1 d 2 d 3 2 : x 1, x 2, d 1 d 2 d 3 = 1 }. Lorsque v D 1, nous définissons σd, D := 1 1 3,, 2.15 ϱ N 1, N 2, N 3 2N 1+2N 2 +2N 3, 2.16

6 6 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING où les N i sont définis ar 2.7 alors que lorsque v D = 0 σd, D := { ϱ ν 1 } 2ν 1+2ν 2 +2ν ν 1 +ν 2 +ν 3 1 Corollaire 1. Soit ε > 0. Lorsque L 1, L 2, Q, R satisfont H1 H3, V est un sous-ensemble de [0, 1] 3 défini comme une intersection finie d hyerlans à coefficients bornés, d et D tels que d i D i et r X 1 ε 1, on a S X, d, D; V =2 volr volv X 2 log r X 3 σd, D + O DL ε a D, r r + r X 2 2 log X 2+ε. Enfin, but ultime et motivation rinciale de cet article, nous estimations la somme Tg X; V = gl 1 x, L 2 x, Qx; V. x Z 2 XR x 1,x 2 =1 où g = τ h est une fonction arithmétique multilicative roche de τ au sens de la convolution, V [0, 1] 3 et gl 1 x, L 2 x, Qx; V := 1 hd, d L 1 xl 2 xqx d i =d,l i x, d 3 =d,qx log d1 log r X, log d 2 log r X, log d 3 2 log r V X de sorte que gl 1 x, L 2 x, Qx; [0, 1] 3 = gl 1 xl 2 xqx. Nous introduisons le cardinal ϱ ν 1, ν 2, ν 3 défini lorsque ν = ν 1 + ν 2 + ν 3 0 ar ν i L i x, ϱ ν 1, ν 2, ν 3 := # x Z2 [0, ν+1 2 : ν 3 Qx,., x 1, x 2 = 1 Ici, our ν et n la relation ν n signifie que v n = ν. Nous introduisons aussi la densité ϱ ν 1, ν 2, ν 3 définie ar ϱ ν 1, ν 2, ν 3 := 1 2ν+1 ϱ ν 1, ν 2, ν 3. Cette quantité s exrime en fonction de la fonction ϱ grâce à la formule ϱ ν 1, ν 2, ν 3 = 1 σ1+σ2+σ3 ϱ ν1+σ1, ν2+σ2, ν3+σ3 2ν 1+ν 2 +ν 3 +σ 1 +σ 2 +σ 3 σ {0,1} 3, 2.18 la convention ϱ 1, 1, 1 = 1 1/ 2. Nous considérons les fonctions g telles que la fonction h = g µ µ satisfasse our une constante η 0 > 0. d N hd d 1/2 η

7 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 7 Corollaire 2. Soient ε > 0, L 1, L 2, Q, R satisfaisant H1 H3, V est un sousensemble de [0, 1] 3 défini comme une intersection finie d hyerlans à coefficients bornés et g une fonction multilicative satisfaisant 2.19 our un η 0 > 0 fixé. Lorsque X 2, on a T g X; V = 2C volr volv X 2 log X 3 + O X 2 log X 2+ε, où la constante imlicite dans le O déend des formes linéaires L 1, L 2, Q, de la borne suérieure de R et des constantes η 0 et ε et où C := { } g ν 1+ν 2 +ν 3 ϱ ν 1, ν 2, ν Le Corollaire 2 ermet d avoir une version du Théorème 1 une somme restreinte aux coules à coordonnées remières entre elles en renant g = τ et V = [0, 1] 3. Le résultat suivant ermet d exliciter comment on eut faire aaraître des conditions ortant sur log max{ x 1, x 2 } dans le volume V. Soit la somme où V [0, 1] 4 et T gx; V = x Z 2 XR x 1,x 2 =1 g L 1 x, L 2 x, Qx; V := g L 1 x, L 2 x, Qx; V max{ x 1, x 2 } 2. d L 1 xl 2 xqx d i =d,l i x, d 3 =d,qx log d1 log Y, log d 2 log Y, log d 3 2 log Y, log max{ x 1, x 2 } log Y V 1 hd. La définition de cette fonction déend de Y qui déendra de X. Nous notons aussi V 0u := {t [0, 1] 4 : t i t 4 u 1 i 3}. Nous déduisons du Corollaire 2 l estimation de T gx; V suivante. Corollaire 3. Soient ε > 0, L 1, L 2, Q, R satisfaisant H1 H3 tel que r 1, V est un sous-ensemble de [0, 1] 4 défini comme une intersection finie d hyerlans à coefficients bornés et g une fonction multilicative satisfaisant 2.19 our un η 0 > 0 fixé. Lorsque 2 X Y X 1/ε, on a T gx; V = 4C volr volv V 0log X/ log Y log Y 4 + O log X 3+ε, où la constante imlicite dans le O déend des formes linéaires L 1, L 2, Q, de la borne suérieure de R et des constantes η 0 et ε et où C est définie en Ce corollaire est un des oints clés de [3] dans lequel les auteurs établissent une formule asymtotique our le nombre de oints rationnels de hauteur contrôlée sur une surface del Pezzo de degré 4 non-singulière. Pour cette alication, il est imortant d avoir le choix de l ensemble V.

8 8 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING Détaillons maintenant le contenu de l article. Dans la section 3, nous énonçons et démontrons les roriétés utiles de ϱ et ϱ. Cela ermet alors de montrer la convergence du roduit eulérien intervenant dans l exression du terme rincial du Théorème 2. Dans la section 4, une interrétation géométrique de la constante du Théorème 3 est donnée our démontrer le Théorème 4. La section 5 est le cœur de l article qui contient la démonstration du Théorème 2. La démonstration du Théorème 3, qui est détaillée dans la section 6, reose sur une maniulation délicate qui ermet de se ramener à des sommations sur des réseaux uis à des sommes traitées ar le Théorème 2 arès changement de variables. La fin de la section est consacrée au calcul exlicite de la constante intervenant dans le terme rincial. On trouvera la démonstration du Théorème 1 à la section 7. Celle-ci consiste à exrimer la somme T X en fonction des sommes estimées au Théorème 3. La section 8 contient la démonstration des trois corollaires. 3. Proriétés des fonctions ϱ et ϱ Nous raelons les définitions 1.5 et Nous rassemblons ici les informations dont nous aurons besoin concernant la fonction ϱ qui a été notamment étudiée dans [4], [6] et [7]. Dans la luart des cas traités dans la littérature, il est suosé que les formes sont rimitives c est-à-dire que les coefficients de chaque forme linéaire sont remiers entre eux. Nous attacherons une imortance toute articulière à l uniformité des relations ar raort aux coefficients des formes L 1, L 2, Q. Le lemme suivant ermet de se ramener à des formes rimitives. Lemme 1. Soient L 1, L 2, Q des formes satisfaisant H2 et la notation 2.9. Alors, lorsque d N 3 et d i = d i/d i, l i, d 3 = d 3/d 3, q, on a ϱd; L 1, L 2, Q d 1 d 2 d 3 2 = ϱd ; L 1, L 2, Q d 1 d 2 d 3 2. La démonstration est immédiate, nous n indiquons as les détails. Les fonctions ϱ et ϱ sont multilicatives. Nous ouvons donc nous contenter de les étudier sur des trilets de uissance de nombre remier. Nous raelons les notations Lemme 2. Soient L 1, L 2, Q des formes rimitives satisfaisant H2. 1 Alors our tout remier et ν Z 0, on a ϱ ν, 1, 1 = ϱ 1, ν, 1 = ϕ ν. 2 Lorsque 2discQ et ν Z 0, alors on a { discq } ϱ 1, 1, ν = ϕ ν 1 +. De lus si est un facteur imair de discq, on a Nous avons aussi 3 Pour tout, on a ϱ ν 1 = ϱ 1, 1, ν 2ϕ ν min{[vdiscq/2],[ν/2]}. 0 k max{ν 1,ν 2, ν 3 /2 } ϱ 1, 1, 2 ν 2 ν+2. ϱ max{ν 1 k,0}, max{ν 2 k,0}, max{ν 3 2k,0} m k m k := 2min{ν 1, k} + min{ν 2, k} + min{ν 3, 2k} k.

9 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ Pour tout remier, nous avons ϱ ν 1 = 0 lorsqu il existe 1 i < j 3 tels que v ij < min{ν i, ν j }. En articulier, cette égalité est satisfaite lorsque et #{i : ν i 1} 2. 5 Pour tout remier et ν 3 max{ν 1, ν 2 }, nous avons ϱ ν 1 ϕ ν 1+ν 2 +ν 3 ν 3+min{ν 1,ν 2,v 12 }. Pour tout remier et max{ν 1, ν 2 } < ν 3, nous avons ϱ ν 1 8ϕ ν 1+ν 2 +ν 3 ν 1+ν 2 min{[vdiscq/2],[ν 3/2]}. Démonstration. Ces résultats sont essentiellement démontrés dans [7], mais la nécessité de formules uniformes en fonction des formes L 1, L 2 et Q demande de rerendre toutes les démonstrations. Le oint 1 et la remière artie du oint 2 sont clairs uisque les formes sont suosées rimitives. Le oint 3 est établi dans [7]. Nous indiquons les détails de la reuve de la majoration de ϱ 1, 1, ν énoncée au oint 2 lorsque est un facteur imair de discq. On eut suoser que armi a 3 et b 3 au moins un des deux est remier à. Suosons ainsi que a 3, = 1. Le changement de variables y 1 = x 1 + c 3 x 2 /2a 3 et y 2 = x 2 /2a 3 ermet de montrer que ϱ 1, 1, ν = #{y 1, y 2 Z/ ν Z 2 : y 2 1 k δy mod ν, y 1, y 2 }, où discq = k δ et δ, = 1. Si ν k, ces conditions se tranforment en, y 2 = 1 et ν/2 y 1 ce qui fournit ϱ 1, 1, ν = ϕ ν [ν/2]. Si ν > k, alors ϱ 1, 1, ν = 0 si k est imair et si k est air alors y 1 = k/2 y 1 de sorte que ϱ 1, 1, ν = 3k/2 #{y 1, y 2 Z/ ν k Z 2 : y 2 1 δy mod ν k } 2ϕ ν k/2 = 2ϕ ν [k/2], ce qui fournit bien l inégalité annoncée. Considérons maintenant le cas de ϱ 1, 1, 2 ν. Lorsque 2 ν Qx et 2 x 1, x 2, au moins une des deux coordonnées x i est imaire. Aelons x j l autre coordonnée. Alors x j /x i est solution d un olynôme de degré 2 modulo 2 n qui a donc au lus 4 solutions modulo 2 n. L inégalité recherchée en découle. Pour démontrer le oint 4, remarquons que lorsqu il y a une solution comtée ar ϱ ν 1 nous avons lorsque 1 i < j 3 min{ν i,ν j } ij x 1, x 2 = ij, ce qui fournit le résultat annoncé. Le oint 4 ermet de restreindre au cas où min{ν 1, ν 2 } v 12, min{ν 1, ν 3 } v 13, min{ν 2, ν 3 } v 23 our démontrer le oint 5. Suosons ar exemle que ν 1 max{ν 2, ν 3 }. Nous avons ϱ ν 1 2ν 2+2ν 3 ϱ ν 1, 1, 1 d où le résultat. Le cas ν 2 max{ν 1, ν 3 } est identique. Lorsque ν 3 > max{ν 1, ν 2 }, nous avons ϱ ν 1 2ν 1+2ν 2 ϱ 1, 1

10 10 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING ce qui fournit le résultat grâce au oint 2. De ces informations sur ϱ, nous déduisons les roriétés suivantes. Lemme 3. Soient L 1, L 2, Q des formes rimitives satisfaisant H2. 1 Alors our tout remier et ν Z 0 on a ϱ ν, 1, 1 = ϱ1, ν, 1 = ν. 2 Lorsque 2discQ et ν Z 0, alors on a { discq } ϱ1, 1, ν = ϕ ν 1 + ν/2 + 2ν ν/2 ν + 1 ν, et our tout facteur imair de discq, on a Enfin, nous avons ϱ1, 1, ν ν + 1 ν+min{[vdiscq/2],[ν/2]}. ϱ1, 1, 2 ν ν + 12 ν. 3 Lorsque max{ν 1, ν 2 } 1 2 ν 3 et imair, on a ϱ ν 1 ν ν 1+ν 2 +ν 3 min{[vdiscq/2],[ν 3/2]}. De lus lorsque max{ν 1, ν 2 } = 1 = ν 3 et , on a Enfin lorsque max{ν 1, ν 2 } 1 2 ν 3 ϱ ν 1 2ν 1+ν 2. ϱ2 ν 1, 2 ν 2, 2 ν 3 2 2ν 1+2ν 2 +ν 3. 4 Lorsque 1 2 ν 3 min{ν 1, ν 2 } et tout remier, on a ϱ ν 1 ν 1+ν 2 +2ν 3 +min{ν 1,ν 2,v 12 }. 5 Lorsque ν j 1 2 ν 3 ν 3 ν i {i, j} = {1, 2} et tout remier, on a ϱ ν 1 2ν j+ν i +ν 3 +[ν 3 /2]+min{ ν 3 /2, v i3 /2 }. Lorsque ν j 1 2 ν 3 ν i < ν 3 {i, j} = {1, 2} et tout remier, on a ϱ ν 1 ν 3 2ν j+ν i +ν 3 +[ν 3 /2] min{ ν 3/2, v i3 /2 } + r, r := min{ν i [ν 3 /2], v i3 /2 } + min{[ν 3 /2], [v discq/2]}. Les constantes imlicites dans les majorations du lemme sont indéendantes des coefficients des formes binaires L 1, L 2 et Q. Démonstration. Le remier oint est trivial uisque les L i sont rimitives. Pour la deuxième assertion, nous avons ϱ1, 1, ν = ϱ 1, 1, max{ν 2k,0} 2 min{ν,2k} 2k. 0 k ν/2 Le cas 2discQ est une conséquence directe du oint 2 du Lemme 2. Suosons un facteur remier imair de discq. D arès le oint 2 du Lemme 2, nous avons ϱ 1, 1, max{ν 2k,0} 2 min{ν,2k} 2k 2 ν 1 1/ min{[ν/2 k],[vdiscq/2]} 2 ν 1 1/ min{[ν/2],[vdiscq/2]},

11 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 11 ce qui fournit ϱ1, 1, ν ν + 2 ν min{[ν/2],[vdiscq/2]}. La dernière inégalité du oint 2 se déduit directement de celle qui lui corresond au Lemme 2. Démontrons le oint 3. En ignorant les conditions ν i L i x dans la définition de ϱ ν 1, nous obtenons ϱ ν 1 2ν 1+ν 2 ϱ1, 1 ce qui grâce au 2 ermet d obtenir le résultat recherché our max{ν 1, ν 2 } 1 2 ν 3 et imair. Lorsque max{ν 1, ν 2 } = 1 = ν 3 et , le oint 3 et la remière inégalité du oint 5 du Lemme 2 fournissent ϱ ν 1 = ϱ ν 1 + ϱ 1, 1, 1 2ν 1+ν 2 = ϱ 1, 1, 1 2ν 1+ν 2 2ν 1+ν 2. Le cas = 2 se traite de la même manière. Démontrons le oint 4. Lorsque 1 2 ν 3 min{ν 1, ν 2 }, uisque ϱ ν 1 2ν 3 ϱ ν 1, 1 il suffit de suoser ν 3 = 0. Nous nous laçons de lus dans le cas ν 2 ν 1. Nous artons de la relation issue du Lemme 2 ϱ ν 1, 1 = ϱ ν1 k, max{ν2 k,0}, 1 2 min{ν 2,k}. 0 k ν 1 La contribution des termes associés à k ν 2 est clairement ν 1+2ν 2 k 1 1/ = ν1+ν2. k ν 2 Lorsque 12, les autres termes sont nuls. Lorsque 12 la contribution des termes associés à k < ν 2 est ϱ ν1 k, ν2 k, 1 2k ν 1+ν 2 +min{ν 2,v 12 }, max{0,ν 2 v 12 } k<ν 2 ce qui rouve le oint 4. Pour établir le oint 5, nous nous laçons dans le cas ν ν 3 ν 1 et remarquons ϱ ν 1 2ν 2 ϱ ν 1, 1. Dans la somme ϱ ν 1, 1 = 0 k ν 1 ϱ ν1 k, 1, max{ν3 2k,0} 2 min{ν3,2k}, la contribution des k 1 2 ν 3 est ν 1+2ν 3 k 1 1/ = ν 1+ν 3 +[ν 3 /2]. k ν 3 /2 Les autres termes de la somme sont nuls si 13 ou si 13 et min{ν 1 k, ν 3 2k} > v 13. Nous nous laçons donc dans le cas 13 et sommons sur les k tels que min{ν 1 k, ν 3 2k} v 13

12 12 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING Lorsque 13 et ν 1 ν 3 ie ν 3 2k ν 1 k our tout k 0, la contribution des k < 1 2 ν 3 est ϱ ν1 k, 1 2k 4k ν 1+2ν 3 k 0 k< ν 3 /2 max{0,ν 3 v 13 /2} k< ν 3 /2 ν 1+ν 3 +[ν 3 /2]+min{ ν 3 /2, v 13 /2 }. Lorsque 13 et ν 1 < ν 3 ie ν 3 2k ν 1 k seulement our tout 0 k ν 3 ν 1, la contribution des k < 1 2 ν 3 est ϱ ν1 k, 1 2k 4k 0 k< ν 3 /2 max{ν 3 ν 1,ν 3 v 13 /2} k< ν 3 /2 + ν 1+2ν 3 k max{0,ν 1 v 13 } k<ν 3 ν 1 2ν1+ν3+min{[vdiscQ/2],[ν3/2]} ν 1+ν 3 +[ν 3 /2]+min{ ν 3 /2, v 13 /2 } + ν 3 ν 1+ν 3 +[ν 3 /2]+min{ν 1 [ν 3 /2], v 13 /2 }+min{[ν 3 /2],[v discq/2]}, uisque ν 1 [ν 3 /2]+ v 13 /2 est une condition nécessaire our que la deuxième somme ne soit as nulle. Cela clôt la démonstration. Ce qu il faut retenir de ce lemme est que la fonction fd := ϱd d 1 d 2 d 3 ressemble à la fonction r : d rd = r discq d 3, où r discq d := k d χ discq k et χ discq n := discq n est le symbole de Kronecker. Nous notons h la fonction satisfaisant les relations fd = h rd = d1 h, d 2, d 3 rk. k 1 k 2 k 3 k N 3 k j d j Le résultat dont nous aurons besoin est le suivant. Lemme 4. Soit ε > 0. Lorsque L 1, L 2, Q sont des formes satisfaisant H2, nous avons hk logk 1 k 2 k 3 L ε k 1 k 2 k. 3 k N 3 En articulier lorsque σ est défini ar 2.5, on a σ = L1, χ discq hk L ε k 1 k 2 k. 3 k N 3

13 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 13 Démonstration. La fonction h est multilicative uisque ϱ et r le sont. Notant P = P L 1, L 2, Q la somme à majorer, nous avons donc P P / log 2 P = P L 1, L 2, Q := 1 + h ν 1 log ν 1+ν 2 +ν 3 ν 1+ν 2 +ν Nous commençons ar montrer que nous ouvons nous restreindre au cas de formes rimitives. Soit P = P L 1, L 2, Q le facteur relatif à un nombre remier du roduit 3.1. Lorsque l 1 l 2 q, le Lemme 1 ermet d écrire et ainsi ϱ n 1, n 2, n 3 ; L 1, L 2, Q = ϱ n 1, n 2, n 3 ; L 1, L 2, Q P L 1, L 2, Q = l 1 l 2 q P L 1, L 2, Q = P L 1, L 2, Q l 1 l 2 q l 1 l 2 q P L 1, L 2, Q P L 1, L 2, Q 3.2 P L 1, L 2, Q. L inverse r 1 de la fonction r au sens de la convolution est donnée ar r 1 d 1, d 2, d 3 = µd 1 µd 2 ϑd 3. ϑ la fonction multilicative définie ar { ϑ n µ := n 1 + χ discq n, si n = 1 ou n 2, χ discq, si n = 2. L inégalité r 1 d 1, d 2, d 3 rd 1, d 2, d 3 fournit h ν 1 = f r 1 ν 1 f r ν De 3.3, nous obtenons l inégalité P c 1 + c 2 = 1/ log 2 et c = 1 si > 2 et Il est clair que P = P L 1, L 2, Q := 1 + l 1 l 2 q 1 + D arès le Lemme 1, on a Il vient r ν 1 log ν 1+ν 2 +ν 3 ν 1+ν 2 +ν 3 P 3.4 ϱ ν 1+v l 1 +v l 2 +v q 2ν 1+ν 2 +ν 3 +v l 1 +v l 2 +v q ϱ ν 1 ; L 1, L 2, Q 2ν 1+ν 2 +ν 3 ϱ ν 1 log ν 1+ν 2 +ν 3 2ν. 1+ν 2 +ν 3 r ν 1 log ν 1+ν 2 +ν 3 ν 1+ν 2 +ν 3 L ε. = ϱν 1 ; L 1, L 2, Q 2ν. 1+ν 2 +ν 3 ϱν 1, ν 2, ν 3 ; L 1, L 2, Q 2ν 1 +ν 2 +ν 3. ν i := max{ν i v l i, 0}, ν 3 := max{ν 3 v q, 0},

14 14 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING our i = 1, 2. Lorsque les ν j sont fixés, les nombres de trilets ν satisfaisant cela est au lus v l 1 + 1v l 2 + 1v q + 1, et our ces trilets comtés nous avons lorsque ν 1 + ν 2 + ν 3 1 Nous obtenons ν 1 + ν 2 + ν 3 ν 1 + ν 2 + ν 3v l 1 + 1v l 2 + 1v q + 1. P c v l 1 + 1v l 2 + 1v q log 1 + ϱ ν 1, ν 2, ν 3 ; L 1, L 2, Q log ν 1 +ν 2 +ν 3 2ν 1 +ν 2 +ν 3 ν Z 3 0 c 2 v l 1 + 1v l 2 + 1v q log P L 1, L 2, Q 1 + r ν 1 log ν 1+ν 2 +ν 3 ν 1+ν 2 +ν 3, ce qui ermet d obtenir via 3.2 et 3.4 P L 1, L 2, Q L ε P L 1, L 2, Q. Nous suosons maintenant que les formes L 1, L 2, Q sont rimitives et majorons P. Nous avons lorsque ν N les relations h ν, 1, 1 = h1, ν, 1 = 0 issues du Lemme 31, et lorsque de lus 2discQ h1, 1, = 1 χ discq, h1, 1, ν ν + 1, issu du Lemme 32 et du calcul de r 1 1, 1, k. Ainsi la contribution dans la somme P des exosants ν tels que #{i : ν i 1} 1 est lorsque 2discQ égale à O log / 2. Du Lemme 3 et de 3.3, nous déduisons la majoration h ν 1 2 f n 1, n 2, n 3 2 n Z 3 0 n j ν j 3 ν i + 1 max i=1 n Z 3 0 n j ν j n f 1, n 2, n 3 3 ν i ν 1+ν 2 +ν 3 +k max{ν 1 +ν 2,ν 1 + ν 3 /2,ν 2 + ν 3 /2,ν 3 }, i=1 où k = [v discq/2] + v Nous avons utilisé our la remière majoration l inégalité r 1 k 1, k 2, k 3 2. Lorsque max{ν 1, ν 2 } = 1 = ν 3 et 2discQ , on utilisera h ν 1 ν 1+ν 2 +ν 3 2. Cela ermet de majorer la contribution des ν tels que #{i : ν i 1} 2. Nous avons ainsi 2discQ P 1. Il est clair que 2discQ r ν 1 log ν 1+ν 2 +ν 3 ν 1+ν 2 +ν 3 L ε.

15 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 15 Comte tenu de 3.4, il reste à montrer La contribution à la somme P d arès le oint 3 du Lemme 3 2discQ P L ε. 3.5 aux indices satisfaisant max{ν 1, ν 2 } 1 2 ν 3 est log ν min{[vdiscq/2],[ν 3/2]} ν 3 log. ν 3 1 La contribution à la somme P aux indices satisfaisant max{ 1 2 ν 3, 1} ν 2 ν 1 est d arès le oint 4 du Lemme 3 log 1 ν 2 ν 1 ν min{ν2,v 12} ν1 ν2 log ν min{ν 2,v 12 } 2ν 2 log. ν 2 1 De même lorsqu on intervertit les indices 1 et 2. Enfin les cas max{ν j, 1} 1 2 ν 3 ν i se majore de la même manière à artir du oint 5 du Lemme 3. Enfin le cas où deux des ν j sont nuls s auie sur les oints 1 et 2 du Lemme 3. Ainsi, nous obtenons P = 1 + Olog /. Cela ermet de montrer Interrétation de la constante 4.1. Densité -adique. Lorsque A Z où α = v A, λ Z 0 et n N, nous considérons S λ A; n := #{x, y Z/ n Z 2 : λ xy A mod n }. Si α n, il est facile de montrer { S λ A; n = 2n, si α, λ n, n+λ 1 1/1 + α λ, si λ < n. Posant M ν n := #{x Z/ n Z 2 : v L i x = ν i, v Qx = ν 3 }, M ν n := #{x Z/ n Z 2 : v L i x ν i, v Qx ν 3 }, on a lorsque n ν 1 + ν 2 + ν 3 Posant m j = max{λ j, µ j }, nous obtenons M ν n = 2n 2ν 1 2ν 2 2ν 3 ϱ ν 1 M ν n = 1 e1+e2+e3 M ν+e n. e {0,1} 3 N λ,µ n = 3n+λ 1+λ 2 +λ 3 1 1/ 3 + On 3 4n. m j ν j <n M ν n 1 j ν j λ j

16 16 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING Faisant le changement de variables n j = ν j +e j λ j et notant que ν j +e j m j +e j m j, nous en déduisons σ λ,µ = n Z 3 0 Or nous avons 0 e min{1,λ+n m} ce qui fournit donc σ λ,µ = = n j m j λ j 0 e j min{1,λ j +n j m j } 1 e 1 + n e = ϱ λ 1+n 1, λ 2+n 2, λ 3+n 3 2λ 1+n 1 +λ 2 +n 2 +λ 3 +n 3 1 e 1+e 2 +e 3 1 j n j e j. { 1, si λ + n m 1, 1 + m λ, si λ + n m = 0, ϱ max{m 1,λ 1 +n 1 },..., max{m 3,λ 3 +n 3 } 2max{m 1,λ 1 +n 1 }+...+max{m 3,λ 3 +n 3 } n Z n Z 3 0 ϱ max{µ 1,λ 1 +n 1 },..., max{µ 3,λ 3 +n 3 } 2max{µ, 1,λ 1 +n 1 }+...+max{µ 3,λ 3 +n 3 } et qui ermet ainsi d obtenir la densité -adique introduite en Densité archimédienne. La variété définie en 2.14 est le lieu des zéros des olynômes f i x, s, t définis ar f i x, s, t = L i x/d i s i t i, f 3 x, s, t = Qx/d 3 s 3 t 3. On calcule le déterminant suivant f 1 f 2 f 3 s 1 s 1 s 1 t f det 1 f 2 f 3 s 2 s 2 s 2 = det 0 t 2 0 = t 1t 2 t t 3 f 1 f 2 f 3 s 3 s 3 s 3 Les variables t i et s i aartiennent à [1, +. Maintenant, nous ouvons définir 1 dt 1 dt 2 dt 3 ω R, V := lim X + X 2 log r X 3 dx 1 dx 2, 4.1 t 1 t 2 t 3 où T := { t : 1 t i L i x, 1 t 3 Qx, x XR t T log t1 log r X, log t 2 log r X, log t } 3 2 log r V. X Lorsque X tend vers l infini, on a dt 1 dt 2 dt 3 V X := dx 1 dx 2 x XR t T t 1 t 2 t 3 = 2log r X 3 du 1 du 2 du 3 dx 1 dx 2 x XR X u V

17 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 17 où R X := {x R : L i x 1/X, Qx 1/X 2 } et V := {u V : u i log L i x/log r X, u 3 log Qx/2 log r X}. Un changement de variable homothétique fournit alors V X = X 2 logxl 1 x logxl 2 x logx 2 Qxdx 1 dx 2 IX = x R X = 2X 2 log X 3 volr X volv + O X 2 log X 2 IX x R X 1 + log L 1 x + log L 2 x + log Qx dx 1 dx 2. Il est clair que volr X = volr + o1 et l intégrale IX est bornée. fournit bien ω R, V = 2 volr volv. Cela 5. Démonstration du Théorème 2 Avant de commencer la démonstration, nous notons que le Corollaire 1 de [1] fournit la majoration SX L ε r 2 X 2 log X Nous serons amenés à utiliser les majorations r /2L r 2r L, volr 4r La majoration r 2r L est évidente; la majoration de r rovient des relations x 1 = b 2L 1 x b 1 L 2 x, x 2 = a 2L 1 x a 1 L 2 x, b 2 a 1 b 1 a 2 b 1 a 2 b 2 a 1 où nous avons utilisé la notation 1.2. Notre démonstration rerend les idées déveloées dans [5] et [2]. La remière étae est un cas articulier d un résultat dû à Marasingha [7] concernant le niveau de réartition que nous énonçons de la manière suivante. Lemme 5. Soit ε > 0. Lorsque L 1, L 2, Q, R satisfont H1 H3, X 1, V 1, V 2, V 3 2 et V = V 1 V 2 V 3, il existe une constante absolue A > 0 telle que # Λd XR d volrd X 2 ϱd d 1 d 2 d 3 2 Lε r X V + V log V A, d N 3 d i V i où R d R désigne une région convexe déendante de d. Démonstration. Dans [7], la déendance ar raort aux formes L 1, L 2 et Q n est as indiquée, mais il est aisé de l obtenir. De même, nous avons ajouté la ossibilité d avoir une région de comtage ouvant déendre de d ce qui ne modifie as la reuve. Nous ne donnons as lus de détails. Nous nous contentons d indiquer comment on eut étendre ce résultat à des formes non rimitives. Fixant d et l, le nombre de d tel que d = d/d, l est inférieur à τl. Nous avons Λd; L 1, L 2, Q = Λd ; L 1, L 2, Q. Ainsi, d arès le Lemme 1, le terme à majorer est borné ar τl 1 τl 2 τq # Λd ; L 1, L 2, Q XR d volrd X 2 ϱd ; L 1, L 2, Q d 1 d 2 d 3 2 d N 3 d i V i La majoration du Lemme 5 dans le cas de formes rimitives ermet de conclure.

18 18 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING Posons X = r X et Y = r X 1/2 /log X C où C est une constante que nous réciserons à la fin. Avec les notations 1.2, un des deux coefficients a 1 ou a 2 est non nul uisque les L i ne sont as roortionnelles. Suosons a 1 0, le cas a 1 = 0 et a 2 0 se traitant de la même manière. Nous majorons les sommes S 0 X et S 0 X définies ar S 0 X := τl 2 xτqx 1, S 0X := x Z 2 XR x Z 2 XR L 1 x Y 2 d 1 L 1 x Y <d 1 <2L X /Y τl 2 xτqxτl 1 x. Lemme 6. Avec les hyothèses du Théorème 2, on a S 0 X L ε r r X 2 log X 2 log log X, S 0X L ε r r X 2 log X 3 2C. Démonstration. Soit τ la fonction multilicative définie ar { τ ν 2, si ν = 1, = ν + 1 2, si ν 2. Ainsi nous avons our tout n 1, n 2 N 2 les inégalités τn 1 τn 2 τ n 1 n 2 et τ n 1 τn 1 2. Avec cette notation, nous écrivons S 0 X τ L 2 xqx. d 1 [Y,2L X /Y x Z 2 XR d 1 L 1 x Raelant l hyothèse a 1 0, nous faisons le changement de variables d 1 u 1 = L 1 x et u 2 = x 2. Nous avons a 3 1 L 2Qx = L 2 Qd 1 u 1 b 1 u 2, u 2 = F d1 u 1, u 2, où F d1 u 1, u 2 = a 2 d 1 u u 2 a 3 d 2 1u d 1 a 1 c 3 2a 3 b 1 u 1 u u 2 2, 12 et 13 définis en Ainsi, S 0 X d 1 [Y,2L X /Y u 1,u 2 Z 2 u 1 r X/d 1 u 2 r X τ F d1 u 1, u 2. La forme F d1 u 1, u 2 a des coefficients dont le gcd divise Le Lemme 1 de [1] ermet d affirmer que le discriminant de F d1 u 1, u 2 est égal à d 6 1c où c est un entier qui s écrit comme un olynôme des coefficients des formes L 1, L 2 et Q. Le Théorème 1 de [1] fournit alors S 0 X L ε φ d 1 r r X 2 log r X 2 d 1 d 1 [Y,2L X /Y où φ m = m 1+1/. Cela ermet d obtenir la majoration de S 0X annoncée uisque log r X log X sous la condition r X 1 ε 1. Il est clair que la majoration S 0X τ F d1 u 1, u 2. d 1 X u 1,u 2 Z 2 u 1 Y 2 /d 1 u 2 r X

19 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 19 ermet de la même manière d obtenir la majoration de S 0 X annoncée. Nous imosons 2C 1. Dans la suite, nous noterons imlicitement log d1 δ := log X, log d 2 log X, log d 3 2 log X. Le Lemme 6 ermet de se restreindre au cas L i x > Y 2, uis d 1 Y et d 2 X 1/2. En effet, si d 1 L 1 x, alors L 1 x/d 1 est un diviseur de L 1 x inférieur à L 1 x. Ensuite, la majoration de la somme S 0 X ermet de majorer la contribution des d tels que Y < d 1 L 1 x 2L X /Y. De lus uisque log L i x log X log2l +logx /Y 2 changer d 1 en L 1 x/d 1 revient à changer δ 1 = log d 1 / log X en 1 δ 1. Nous faisons le même raisonnement our imoser d 2 X 1/2. Cela justifie ainsi la restriction V [0, 1 2 ]2 [0, 1]. Nous obtenons SX; V = S 1 X + S 2 X + OL ε r r X 2 log X 2 log log X, S 1 X := S 2 X := d 1 Y d 2 X 1/2 d 3 X δ V x Z 2 XR d 1 L 1 x d 1 Y # Λd XR, d 2 L 2 x d 2 X 1/2 Nous estimons S 1 X grâce au Lemme 5. Il vient S 1 X = volrx 2 d 1 Y d 2 X 1/2 d 3 Qx d 3 < Qx /X δ 1,δ 2,Qx/2 log X δ 3 V d 3 X δ V ϱd d 1 d 2 d O L ε X 2 r r log X C/2 A + r 2 log X C A La conjonction 5.1 et 5.2 ermet de montrer que le terme d erreur de 2.4 est OL ε r 2 X 2 log X 3. En renant C 2, nous ouvons donc suoser que r r log X C/2. En choisissant C 2A, nous obtenons S 1 X = volrx 2 MX; V + OL ε r r X 2 log X 2 log log X, MX; V := d 1 Y d 2 X 1/2 d 3 X δ V Nous estimons S 2 X grâce au Lemme 5 aliqué à la région Rr d 3 /X := {x R : 1. ϱd d 1 d 2 d Qx > r d 3 /X}. Nous ourrons nous restreindre aussi à l ensemble x XRr 2 /log X 2 de sorte que nous uissions remlacer la condition δ 1, δ 2, Qx/2 log X δ 3 V ar δ 1, δ 2, 1 δ 3 V. Montrons la majoration volr Rα r α, 5.4

20 20 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING α := r d 3 /X. Nous avons a 3 b 3 0 la notation 1.2. Nous ouvons suoser sans erte de généralité a 3 > 0 et donc a 3 1. Nous faisons le changement de variable x 1 = x 1 + c 3 x 2 /2a 3, x 2 = x 2. Lorsque x R Rα, les nouvelles variables vérifient α a 3 x 12 b 3 x 22 α b 3 := 4b 3a 3 c 2 3 /4a 3. Lorsque b 3 x 22 α, on a x 1 2α et x 2 r ce qui fournit une contribution à 5.4 inférieure à 2r 2α. Lorsque b 3 x 22 > α, on a a 3 x 1 [v, v + ] v := b 3 x 22 α, v + := b 3 x 22 + α On a v + v = v+2 v 2 v + + v 2α, ce qui fournit une contribution à 5.4 encore inférieure à 2r 2α. Cela clôt la reuve de 5.4. En se restreignant encore à r r log X C/2, nous obtenons S 2 X =X 2 d 1 Y d 2 X 1/2 d 3 X δ 1,δ 2,1 δ 3 V ϱd volrr d 3 /X d 1 d 2 d O L ε X 2 r r log X C/2 A + r 2 log X C A + r r log X 2 = volrx 2 MX; V + O r r X 2 RX + L ε log X 2 log log X, RX = d 1 X 1/2 d 2 X 1/2 ϱd d3 /X d 1 d 2 d 3 2 d 3 X et V l image de V ar la transformation δ 3 1 δ 3. Nous montrons RX L ε log X 2. En effet, nous écrivons ϱd/d 1 d 2 d 3 = h rd et nous intervertissons les sommes. Il vient RX k N 3 k i X 1/2 k 3 X hk k 1 k 2 k 3 m N 3 m i X 1/2 /k i m 3 X /k 3 rm m 3 k 3 /X m 1 m 2 m 3, i = 1, 2. La somme intérieure en m est majorée ar OL ε log X 2 ce qui fournit la majoration souhaitée our RX grâce au Lemme 4. En rassemblant ces résultats, nous obtenons SX; V = volrx 2 MX; V + MX; V + OL ε r r X 2 log X 2 log log X. Pour estimer MX; V défini en 5.3, nous utilisons un lemme classique concernant la moyenne de convolée de fonctions arithmétiques. Lemme 7. Soient g et h deux fonctions arithmétiques et C, C, C trois constantes telles que d=1 hd log2d d C, d x gd d = C log x + OC.

21 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 21 Alors on a uniformément l estimation n x g hn n = C log x d=1 hd d + OC C + C. Soit v une fonction de [0, 1] dans R continument dérivable ar morceaux de dérivée bornée. Alors on a uniformément l estimation g hn log n hd 1 v = C log x vtdt + OC C + C. n log x d n x d=1 Nous ne rédigeons as tous les détails de la reuve de l estimation de MX; V. Nous renvoyons le lecteur à la section 3 et rerenons certaines des notations de cette artie. Lorsque ε > 0, on a r discq n = L1, χ n discq log x + OL ε n x χ discq = discq n. Nous aliquons trois fois le Lemme 7 our estimer la sommation en d 1, d 2 et d 3 en choisissant our g la fonction constante égale à 1 our les deux remières et la fonction r discq our la troisième fois. Nous notons 1 V la fonction caractéristique des δ V. Nous avons MX; V = d 1 Y d 2 X 1/2 = h rd d 1 d 2 d 3 d 3 X d 2 X 1/2 d 3 X e 2 d 2 e 3 d 3 d 1 Y r discq e 3 d 2 d 3 hd 1 /e 1, d 2 /e 2, d 3 /e 3 d 1 e 1 d 1 0 log d1 1 V log X, log d 2 log X, log d 3 2 log X log d1 1 V log X, log d 2 log X, log d 3 2 log X. Or la somme en d 1 et e 1 vaut, d arès le Lemme 4 et le Lemme 7, log Y v log X, log d 2 log X, log d 3 2 log X log X hk 1, d 2 /e 2, d 3 /e 3 k 1 k 1 N hk 1, d 2 /e 2, d 3 /e 3 log2k 1 + O, k 1 k 1 N où vx, t 2, t 3 := t 1 x 1 V t 1, t 2, t 3 dt 1, donc MX; V = log X 1 2, log d 2 log X, log d 3 2 log X k 1 N e 2 d 2 e 3 d 3 où nous avons utilisé l estimation v d 2 X 1/2 d 3 X r discq e 3 hk 1, d 2 /e 2, d 3 /e 3 + OL ε d 2 d 3 k log X 2 log log X, 1 0 v 1 2, t 2, t 3 vx, t 2, t x.

22 22 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING En réitérant deux fois cette maniulation, nous obtenons et MX; V = 2log X 3 volv [0, 1 2 ]3 MX; V = 2log X 3 volv [0, 1 2 ]3 σ + OL ε log X 2 log log X σ + OL ε log X 2 log log X. En utilisant la majoration 5.2 our volr, et en observant que volv [0, 1 2 ]3 + volv [0, 1 2 ]3 = volv [0, 1 2 ]2 [0, 1] = volv, nous obtenons l estimation recherchée au Théorème Démonstration du Théorème 3 Notre démarche est, bien entendu, d aliquer le Théorème 2. La remière étae ermet de se ramener au cas où D i, l i = 1 et D 3, q = 1. Avec la notation 2.10, nous avons ΛD; L 1, L 2, Q = ΛD ; L 1, L 2, Q. Posant nous avons et où et Il en découle Λ D := {x ΛD ; L 1, L 2, Q : x 1, x 2, D 1D 2D 3 = 1}, 6.1 ψd = SX, d, D; V = ΛD = D = D 1 D 2 D 3 L i = b ψd bλ D ; L 1, L 2, Q max{vd 1,vD 2, vd 3 /2 } D 1 D 2 D 3 D 1, b, D 2, b, D 3, b2 bl i d i, b, Q = b2 Q d 3, b 2. b ψd x Λ D X/bR L τ 1 x d 1, L 2 x d 2, Q x d ; V 3 où d d1 = d 1, b, d 2 d 2, b, d 3 d 3, b 2. Soient D = D 1 D 2 D 3 et D = D 1 D 2 D 3. Nous artitionnons en classes d équivalence disjointes. Lorsque x et y Z 2 satisfont x, D = y, D = 1, nous définissons la relation ar x y si et seulement s il existe λ Z tel que x λy mod D. C est une relation d équivalence et les λ doivent vérifier λ, D = 1. Nous notons UD cet ensemble de classes d équivalence et our tout y A fixé A UD, il est facile de vérifier Posant A = {x Z 2 : x ay mod D a Z où a, D = 1}. VD := {A UD : A Λ D },

23 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 23 nous définissons our A VD et y 0 A GA := {x Z 2 : a Z tel que x ay 0 mod D }. L ensemble GA est un réseau de dimension 2 de déterminant D et A = {x GA : x, D = 1}. Nous ouvons donc écrire SX, d, D; V = µet X, A, e; V 6.2 b ψd A VD e D où T X, A, e; V := x G ea X/bR G e A = GA {x Z 2 : e x} L τ 1 x d 1, L 2 x d 2, Q x d ; V 3 = {x Z 2 : a ez tel que x ay 0 mod D }. Nous sommes ainsi ramenés à un comtage sur un réseau de déterminant D e. Préarons maintenant l utilisation du Théorème 2 our estimer T X, A, e; V. Pour cela, nous définissons E un changement de variables de sorte que x G e A x = Ev v Z 2, où E = e 1, e 2 est la matrice de changement dans une base minimale de vecteurs. Ainsi e 1 et e 2 sont les minima successifs des normes des éléments du réseau G e A. Puisque G e A δdz 2, nous avons δd e 1 e 2, e 1. e 2 det G e A = D e. 6.3 Posant R E := {v R2 : Ev R/b}, nous avons Nous ouvons écrire T X, A, e; V = volr E = volr b 2 det E = volr b 2 D e. v Z 2 R E τm 1 v, M 2 v, M 3 v; V M i v = L i Ev/d i, M 3v = Q Ev/d 3. Les quantités intervenant dans le terme d erreur du Théorème 2 satisfont les inégalités suivantes. D une art où D autre art r M, R E = su max{ M 1 v, M 2 v, M 3 v } v R E r d = su max{ L 1x /d 1, L 2x /d 2, x R/b Q x /d 3 } = su max{ L 1 x /d 1, L 2 x /d 1, Qx /d 3 } x R = r d L 1, L 2, Q, R = r d, := su max{ L 1 x /d 1, L 2 x /d 2, Qx /d 3 }. 6.4 x R L M = max{ M i } max{ L 1, L 2, Q } E L L 1, L 2, QD e L D 2.

24 24 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING Enfin Posant r R E = su max{ v 1, v 2 } r R = r v R b b. E σ E := le Théorème 2 fournit lorsque r d X1 2ε ϱ ν 1, M 2ν 1+2ν 2 +2ν 3, T X, A, e; V =2 volr volv W EX 2 logr d X3 L ε + O D ε r r d b + r2 X 2 log X 2 log log X, W E := 1 b 2 D e σ E. Notre tâche maintenant est de montrer que le nombre de termes sommés dans le membre de droite de 6.2 est etit. Lemme 8. On a la notation Démonstration. La relation #VD = #VD 8 ωd 1D 2 D 3 ad,, ϱ D ϕd 1 D 2 D 3 = ϱ ν1, ν2, ν3 ϕ ν 1+ν 2 +ν 3 ν i D i ermet de se restreindre à des uissances d un nombre remier. De lus, d arès le Lemme 2, nous avons v 12 min{ν 1, ν 2 }, v i3 min{ν i, ν 3 } à moins que ϱ ν 1 = 0. Examinons deux cas, les autres s obtenant de manière analogue. Lorsque ν 1 ν 2 ν 3, le Lemme 2 fournit ϱ ν 1 ϕ ν 1+ν 2 +ν 3 ν 3+min{ν 1,ν 2,v 12 } = ν 3+ν 2, ce qui convient. Lorsque ν 3 > max{ν 1, ν 2 }, le Lemme 2 fournit ce qui convient encore. ϱ ν 1 ϕ ν 1+ν 2 +ν 3 8 ν 1+ν 2 min{[vdiscq/2],[ν 3/2]}, En reortant dans 6.2, nous obtenons sous la condition r d X1 2ε 1 SX, d, D; V =2 volr volv W X 2 logr d X3 + O L ε D 2ε a D, r r d + r2 X 2 log X 2 log log X 6.5 W := µew E. b ψd A VD e D Nous introduisons la fonction multilicative ψ 0 définie ar ψ 0 β 1, β 2, β 3 := max β max{β 1,β 2, β 3 /2 } min{β,β 1}+min{β,β 2 }+min{2β,β 3 } 2β. 6.6

25 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 25 On observe que lorsque D 3 est sans facteur carré, on a De lus, nous avons l inégalité ψ 0 D 1, D 2, D 3 = D 1, D 2, D ψ 0 D 1, D 2, D 3 D 1 D 2 D 3 1/ conséquence de min{β, β 1 } + min{β, β 2 } + min{2β, β 3 } 2β + β 1 + β 2 + β 3 /2. Nous utiliserons D b 2 = Observons maintenant que la majoration b 2 D D 1, bd 2, bd 3, b2 D ψ 0 D 1, D 2, 6.9 D 3. W L ε D ε ψ 0D 1, D 2, D 3 D a D, L ε D ε a D, 6.10 découle de la deuxième majoration du Lemme 4 et de la relation 6.9. La quantité définie en 6.4 vérifie r d 1 d 2 d 3 r d r. Puisque W L ε D ε a D, d arès 6.10, on en déduit qu on eut remlacer dans 6.5 la quantité r d ar r. Sous la condition sulémentaire r d X1 2ε 1 nous obtenons SX, d, D; V =2 volr volv X 2 log r X 3 W + O DL ε a D, r r + r X 2 2 log X 2 log log X Nous constatons que, lorsque d 1 d 2 d 3 X ε, la condition r d X1 2ε 1 est une conséquence de r X 1 ε 1. Il reste à remarquer que si d 1 d 2 d 3 > X ε d arès 5.1 nous avons SX, d, D; V SX L ε r 2 X 2 log X 3 L ε D ε r 2 X 2 log X 2 log log X. ce qui fournit 6.11 dans ce cas-là uisque W L ε D ε a D, d arès Pour obtenir le facteur 1/δD dans le terme d erreur, il suffit de constater que SX, d, D; L 1, L 2, Q, R, V = SX, d, D; δl 1, δl 2, δ 2 Q, R/δ, V, δ = δd. La valeur de r est alors inchangée et la quantité r est alors divisée ar δd. Enfin, il est clair que les constantes obtenues dans le terme rincial en facteur de X 2 log r X 3 sont les mêmes uisqu elles ne déendent as de X. Il est utile d avoir une majoration uniforme de SX, d, D := SX, d, D; [0, 1] 3. Notre démonstration fournit facilement la majoration suivante. Lemme 9. Soit ε > 0. Lorsque L 1, L 2, Q, R satisfont H1 H3, d et D tels que d i D i, on a SX, d, D DL ε a ψ0 D 1 D,, D 2, D 3 r X 2 log X 3 + r X 1+ε, δd D 1 D 2 D 3 où D a été défini en 2.10 et ψ 0 a été défini en 6.6 et satisfait 6.8.

26 26 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING Démonstration. Dans toute la démonstration, nous omettons de signaler la déendance en V = [0, 1] 3. Au vu de 6.2, il suffit de majorer T X, A, e; V. Posant nous avons τ ν := T X, A, e; V { 2, si ν = 1, ν + 1 3, si ν 2, v Z 2 v 1 r X/ e 1 b v 2 r X/ e 2 b τ M 1 vm 2 vm 3 v Comte tenu de 6.3, le Théorème 1 de [1] fournit alors T X, A, e; V DL ε Ici, nous avons utilisé les relations D b 2 r X 2 log X 3 + DL ε r X 1+ε δd δd, L 1, L 2, Q = δd, L 1, L 2, Q bδd, L 1, L 2, Q. Puisque le nombre de termes sommés dans 6.2 est OD ε a D, et comte tenu de 6.9, nous obtenons bien la majoration annoncée. La fin de la démonstration du Théorème 3 est consacrée au calcul de W. Étudions les termes sommés dans σ E. Nous raelons les notations 2.7 et introduisons les notations suivantes µ i = v D i, µ i = v D i, λ i = v d i, µ = v D, µ = v D, µ = v D, ε = v e, β = v b, ν = ν 1 + ν 2 + ν 3 où, ar souci de clarté, nous avons omis d indiquer la déendance en de ces valuations. On a où et ϱ ν 1, M = #Λ ν 1 B ν 1+ν 2 +ν 3 Λ ν 1 = {x Z 2 : ν i+λ i β L i x+λ 3 2β Qx} B ν = {Ev : 0 v i < ν }. Le théorème de la base adatée ermet d affirmer qu il existe une base e 1, e 2 de Z 2 telle qu il existe δ 1 m 1, δ 2 m 2 N 2 our lequel la famille δ 1 m 1 e 1, δ 2 m 2 e 2 est une base de EZ 2 et δ 1 δ 2, = 1. De lus, on a δ 1 δ 2 m 1+m 2 = det E = D e et donc m 1 + m 2 = µ + ε. Nous ouvons remlacer B ν 1+ν 2 +ν 3 ar uis ar {w = w 1 δ 1 m 1 e 1 + w 2 δ 2 m 2 e 2 : 0 w j < ν } {w = w 1 m 1 e 1 + w 2 m 2 e 2 : 0 w i < ν } = B m 1+ν, m 2+ν. où B k 1, k 2 := {w = w 1e 1 + w 2e 2 EZ 2 : 0 w j < k j }.

27 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 27 Nous en déduisons les relations ϱ ν 1, M = # Λ ν 1 B ν+m 1, ν+m 2 = # Λ ν 1 B ν+m 1+m 2, ν+m 1+m 2 m 1+m 2 = # Λ ν 1 B ν+µ +ε, ν+µ +ε. µ +ε Nous réécrivons cette relation ϱ ν 1, M 2ν 1+2ν 2 +2ν 3 +v D e = # Λ ν 1 B ν+µ +ε, ν+µ +ε 2ν+µ +ε = # Λ ν 1 B ν+µ +1, ν+µ +1. 2ν+µ +1 La dernière égalité est un assage subtil de la démonstration. Pour ε = 1, elle est claire mais, our ε = 0, il faut observer que les conditions incluses dans l ensemble Λ ν 1 ne déendent que de la valeur des coordonnées modulo ν+µ. Nous sommes maintenant en mesure de sommer ar raort à A VD et e. Comme les termes sont multilicatifs, il suffit de sommer 1 ε σ E vd e+2β ar raort à β, V µ 1, µ 2, µ 3 et ε β max{µ 1, µ 2, µ 3 /2 } =: B et ε max{1, µ }. Cette somme vaut W = w où w := β B ϱ ν 1 ; ν+µ +1 2ν+µ +1+β ϱ ν 1 ; k = #{w [0, k : N i β L i w, N 3 2β Qw, w } la notation 2.7. La fonction ϱ ν 1 ; k / 2k ne déend as de k ourvu que k ν + 1. Puisque µ µ + B β, nous ouvons écrire w := ϱ ν1, ν2, ν3 ; ν+µ +1+B β. 2ν+µ +1+B 0 β B En faisant un changement de variables β w = w, la valeur de β corresond à la valuation -adique de β w 1, β w 2, ψµ 1, µ 2, µ 3. La somme intérieure en β vaut donc 1 2ν+µ +1+B #{w [0, +1+B ν+µ : N i L i w, N 3 Qw} 1 = 2N 1+N 2 +N 3 #{w [0, N 1+N 2 +N 3 : N i L i w, N 3 Qw} uisque les conditions de divisibilité définissant cet ensemble ne déendent que des valeurs des coordonnées de w modulo N 1+N 2 +N 3. Étant donné la notation 2.7, nous obtenons bien w = σ d, D la relation recherchée. 7. Démonstration du Théorème 1 Dans toute cette artie, l ensemble V est toujours [0, 1] 3 et nous n indiquons lus ce choix. Pour relier T X au résultat établi au Théorème 3, on commence ar

28 28 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING montrer une formule d éclatement qui allie la non-comlète multilicativité de la fonction τ. Lemme 10. Lorsque n = n 1, n 2, n 3 N 3, on a τn 1 n 2 n 3 = µd 1 d 2 µd 3 2 ωd 1,n 1 +ωd 2,n 2 τ n1 n2 n3 τ τ, d 2 d 3 d 1 d 3 d 1 d 2 d N 3 où {i, j, k} = {1, 2, 3}. d i d j n k Démonstration. Nous artons de la formule τnm = µdτ d n,m n d τ m d. 7.1 Celle-ci se montre en remarquant que les deux membres de l égalité sont des fonctions multilicatives qui sont identiques sur les coules de uissances de nombre remier. Ainsi τn 1 n 2 n 3 = d n 1 n 2,n 3 µdτ n1 n 2 τ d n3. d Le nombre de manière d écrire d = d 2 d 1 d 2 n 1 et d 1 n 2 lorsque d est sans facteur carré est égal à 2 ωd,n 1,n 2 = 2 ωd 1,n 1 +ωd 2,n 2. Il vient µd 1 d 2 τn 1 n 2 n 3 = 2 ωd 1,n 1 +ωd 2,n 2 τ n1 n 2 n3 τ, d 2 d 1 d 1 d 2 d 1 d 2 n 3,d 1 n 1,d 2 n 2 ce qui fournit la formule du lemme arès alication de 7.1 n = n 1 /d 2 et m = n 2 /d 1 our calculer τn 1 /d 2 n 2 /d 1. Le lemme suivant ermet de minorer δd la quantité définie en 2.8. Lemme 11. Lorsque D 1, D 3 et D 2, D 3 sont sans facteur carré, le cm [ D 1, D 3 D 1, D 3, 13, D 2, D 3 D 2, D 3, 23, D 1, D 2 ] D 1, D 2, 12 est un diviseur de δd. Démonstration. Nous raelons la notation Nous avons les imlications d L 1 x, d L 2 x d 12 x 1, x 2 d/d, 12 x 1, x 2, d L i x, d Qx d i3 x 1, x 2 d/d, i3 x 1, x 2 si µd = 1. Le résultat découle aisément de ces imlications. Aliquons maintenant le Lemme 10 aux termes sommés dans T X. Nous avons T X = 1 µe 1 e 2 µe 3 2 ωk 1+ωk 2 τ L1 x L2 x Qx τ τ e 2 e 3 e 1 e 3 e 1 e 2 e N 3 x XR x Λe 2 e 3,e 1 e 3,e 1 e 2 où k 1 = e 1, L 1 x et k 2 = e 2, L 2 x. Il vient alors T X = µk 1 µe 1 e 2 µe 3 µk 2 2 ωk 1+ωk 2 T e,kx, e N 3 k=k 1,k 2,k 1,k 2 N4 k i k i e i

29 LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 29 T e,k X = x Λe,k XR L1 x L2 x Qx τ τ τ, e 2 e 3 e 1 e 3 e 1 e 2 où Λe, k := Λ[e 2 e 3, k 1 k 1 ], [e 1e 3, k 2 k 2 ], e 1e 2. Nous avons sous les conditions k i k i e i et µe 1 e 2 = µe 3 = 1, la relation Λe, k = Λ[e 2 e 3, k], [e 1 e 3, k], e 1 e 2, k = k 1 k 1 k 2k 2. Ainsi la somme T e,kx ne déend que de k et, à k e 1 e 2 fixé, nous avons k=k 1,k 2,k 1,k 2 N4 k i k i =k,e i uisque le roduit e 1 e 2 est sans facteur carré. Nous avons donc T X = e N 3 µe 1 e 2 µe 3 T e,k X = SX, d, D et µk 1 µk 2 2 ωk 1+ωk 2 = µk, e 1µk, e 2 2 ωk,e = µk 1+ωk,e 2 2 ωk, k e 1 e 2 µk 2 ωk T e,kx, 7.2 d = e 2 e 3, e 1 e 3, e 1 e 2, D = [e 2 e 3, k], [e 1 e 3, k], e 1 e Afin d aliquer le Théorème 3, nous étudions chacune des quantités qui interviennent dans l énoncé. Puisque e 2 D 1, D 3, e 1 D 2, D 3, [e 3, k] D 1, D 2, le Lemme 11 montre que [ e 1 e 1, 23, e 2 e 2, 13, [e 3, k] ] δd. [e 3, k], 12 Puisque e 1 et e 2 sont remiers entre eux, nous obtenons [e 1 e 2, e 3, k] [ [e 1 e 2, e 3, k], e 1 e 2 e 1, 23 e 2, 13, [e 3, k] ] δd. [e 3, k], 12 Enfin la relation k e 1 e 2 fournit [e 1 e 2, e 3 ] δd. 7.4 [e 1 e 2, e 3 ], Dorénavant, les formes L 1, L 2 et Q sont fixées et les constantes imlicites dans les O déendent des coefficients de ces formes et de suremum de la norme des éléments de R. Nous ouvons donc suoser que r r 1 d arès 5.2 et a D, 1. Pour montrer une majoration de T e,k X, on utilise la valeur de δd = δ et on somme les x en fonction de la valeur de x 1, x 2 = δf f 1. Il vient T e,k X τδfl 1 yτδfl 2 yτδ 2 f 2 Qy f N y Z 2 X/δfR y 1,y 2 =1 τδf 4 f N τδ 4 τf 4 f N y Z 2 X/δfR y 1,y 2 =1 y Z 2 X/δfR y 1,y 2 =1 τl 1 yτl 2 yτqy τ L 1 yl 2 yqy,

30 30 R. DE LA BRETÈCHE & T.D. BROWNING où la fonction τ a été introduite en D arès le Corollaire 1 de [1], la somme intérieure en y est X/δf 2 log X 3 ce qui fournit d arès 7.4 T e,k X X 2 log X 3 τδ4 δ 2 X 2 log X 3 τ[e 1e 2, e 3 ] 4 [e 1 e 2, e 3 ] 2. La contribution des e dans la somme 7.2 définissant T X tels que e = e 1 e 2 e 3 log X 2 est donc majoré our tout ε > 0 fixé ar X 2 log X 3 τe8 e 2 m 2 e log X 2 m 2 e X 2 log X 3 τm 2 8 m 2 m N X 2 log X 3+ε/2 m N f max{1,log x 2 /m 2 } τf 8 f 2 τm 2 8 m 2 + log x 2 X2 log X 2+ε, où m = e/[e 1 e 2, e 3 ] = e 1 e 2, e 3. Lorsque e < log X 2, le Théorème 3 fournit T e,k X =2 volrx 2 log r X 3 e ε X 2 log X 2 log log X σ d, D + O [e 1 e 2, e 3 ] où, dans la somme σ d, D, le coule d, D est défini ar 7.3. Comme D 3 est sans facteur carré, nous ouvons utiliser 6.10 coulé 6.7. Nous avons σ d, D D ε ψ 0D 1, D 2, D 3 D eε e 1 e 2, e 3 k [e 2 e 3, k][e 1 e 3, k]e 1 e 2 eε e 1 e 2, e 3 e 3, k e 1 e 2 e 3 2. Nous en déduisons l estimation T X = 2 volrcx 2 log X 3 + O X 2 log X 2+ε,, C = µe 1 e 2 µe 3 µk 2 ωk σ d, D. e N 3 k e 1 e 2 Nous nous consacrons maintenant au calcul de C. Pour des raisons de multilicativité, nous avons C = 3C 1 1 C := ε {0,1} 3 min{ε 1,ε 2 }=0 1 ε 1+ε 2 +ε 3 1/2 κ 0 κ i ε i κ 1 +κ 2 ϱn 1, N 2, N 3, N 1 := max{κ 1, ε 2 + ε 3 + ν 1 }, N 2 := max{κ 2, ε 1 + ε 3 + ν 2 }, N 3 := ε 1 + ε 2 + ν 3 et ϱn 1, n 2, n 3 = ϱ n 1, n 2, n 3 := ϱn 1, n 2, n 3 2n 1+2n 2 +2n 3.