DE L AIRE À L ALGÈBRE

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1 Nom : Groupe : Enseignant(e) : 10 DE L AIRE À L ALGÈBRE Combien de litres de peinture seront nécessaires pour repeindre ta chambre? Combien de carreaux de céramique devras-tu acheter pour recouvrir le plancher? Dans chaque cas il faut calculer l aire d une surface. Comment s y prend-on? Quelles unités de mesure servent à exprimer une aire? Dans ce panorama tu découvriras des formules et des stratégies pour calculer l aire d un triangle et d un quadrilatère quelconque. Tu exploreras les liens entre le périmètre d une figure et son aire, et tu utiliseras des expressions algébriques pour les calculer.

2 Périmètre et aire des figures planes Périmètre Longueur de la ligne fermée qui correspond à la frontière d une figure plane. C est le contour de la figure. On exprime le périmètre d une figure en unités de longueur. Unités de longueurs : système international d unités (SI) x10 x 10 x 10 x 10 x10 x 10 km hm dam m dm cm mm Aire Mesure de la superficie d une surface délimitée par une ligne fermée. On exprime l aire d une figure en unités carrées. Unités d aire : système international d unités (SI) x100 x 100 x 100 x 100 x100 x 100 Km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm Exemples de conversions d unités de mesure : a) 25 cm = mm b) 135 mm 2 = dm 2 c) 0,18 cm 2 = m 2 d) 12 km = m e) 2,5 hm 2 = dam 2 f) 3 dam = cm 1

3 Rectangle Les formules d aire La hauteur est toujours perpendiculaire à la base choisie. b : base h : hauteur Formule pour l aire du rectangle : Carré c : côté Formule pour l aire du carré : Parallélogramme La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie ou à son prolongement. b : base h : hauteur Formule pour l aire du parallélogramme : Prolongement de la base 2

4 Triangle Chacun des côtés d un triangle peut être désigné comme base. La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie ou à son prolongement. b : base h : hauteur Formule pour l aire du triangle : Losange Les diagonales des losanges se croisent toujours perpendiculairement. d : petite diagonale D : grande diagonale Formule pour l aire du losange : Trapèze Les côtés parallèles sont appelés les bases. La hauteur est toujours perpendiculaire aux bases. h: hauteur b: petite base B : grande base Formule pour l aire du trapèze : 3

5 Aire des figures complexes Pour déterminer l aire d un polygone dont la forme est complexe, on peut le décomposer en polygones plus simples. Cette décomposition doit être faite de manière à ce que les mesures nécessaires au calcul de l aire des polygones plus simples soient connues. Aire du polygone complexe : Réponse : 4

6 Racine carrée L opération inverse d élever un nombre au carré est appelée l extraction de la racine carrée. Le symbole de cette opération est. 64 = 8 On lit : «La racine carré de 64 est 8» Pour résoudre donne a. a, on doit trouver un nombre qui multiplié par lui-même Ex : a) 16 = car = 16 b) 81 = car = 81 c) 17,64 = car = 17,64 d) 30 car 30 En géométrie, si l on veut retrouver la mesure du côté d un carré dont l aire est de 36 cm 2, on fait : A = 36cm 2 36 = car = 36 L opposé de la racine carrée de a est noté a. Chaque côté du carré mesure donc. Ex : La racine carrée négative de 36 est notée : = tandis que 36 =. 5

7 Vocabulaire en algèbre Expression algébrique Expression mathématique exprimée à l aide de variables et de nombres. Une expression algébrique est composée de termes séparés par des «+» et des. 8x 3 + 5xy 2x er terme 2 e terme 3 e terme 4 e terme Terme constant car il n a pas de variable Rappel 6x 3 Termes semblables Deux termes sont semblables s ils ou Ex : Les termes suivants sont-ils semblables ou non? a) 4b et -5b d) -9x 2 y et 13 xy 2 b) 6xy 2 et 7y 2 x e) -12 et 5c c) 8a et 8b f) 12 et 17,5 Polynôme De façon générale, une expression algébrique porte le nom de polynôme. Cependant, il existe des noms précis pour certains: 1 terme monôme 2 termes binôme 3 termes trinôme Degré d un monôme Le degré d un monôme correspond à la somme des exposants des variables qui le composent. Ex. : 1) -17n 2 est de degré 2) -2a est de degré 3) 9xy est de degré 4) 5 est de degré 6 Le degré sert à classer les termes lorsqu on donne notre réponse!

8 Exercices sur le vocabulaire : Lorsqu il n y a pas de chiffre devant la variable, le coefficient est 1 Complète le tableau suivant. Expression algébrique pq 2 12p + 30 xy 6x + 12y + 3z -2b 2 + 3a 7 4m 2 5m Nombre de termes Nom précis du polynôme Les variables Le terme constant (S il y a Le coefficient des termes lieu) 1er 2e 3e 4e Convention lorsqu on donne une réponse On n écrit pas le coefficient 1 devant une variable. Ex : 1b = b, 1a = a, 1x = x. Généralement, on place les termes ayant un degré plus élevé au début jusqu au terme ayant le degré le moins élevé à la fin. Donc les termes constants à la fin! Ex : 3x 2 y + 5x 4 7

9 Objectif #1 : Réduire des expressions algébriques C est écrire l expression algébrique sous sa forme la plus simple. Il existe une seule réponse réduite!!! 1) Addition et soustraction On doit additionner ou soustraire les termes semblables seulement. 5x + 3x 7 3y y 2 7 2a 3 + 3b + a 2b + 5 = 8x 7 = -2y = 3a + b + 2 #1. Réduis les expressions suivantes : Astuce : faire des codes pour reconnaître les termes semblables. a) 12x 15x = b) -4x -6x + 4y + 2x + 6y 2 = c) (2n + 1) + (4n + 7) = d) (8n + 7) + (5n 3) = e) 3t 2 + 4t + 2 = f) -3r 2 4r 2r 2 5r 2 3r 1 = g) 5x 3a + 2x 4a = h) 2a 2 5a + 3 8a 2 = i) -3w -6wx 3w + 4wy = j) 5a + 6b 5a 6b = k) 2x x + 3x + 3 = l) 5x 3x x 3x 3 = #2. Trouve l expression réduite qui représente le périmètre du rectangle suivant : 3c 2a 8

10 2) Soustraction devant la parenthèse S il y a une soustraction devant la parenthèse, ceci signifie qu on veut soustraire chacun des termes dans la parenthèse. (On peut aussi dire qu on multiplie la parenthèse par -1.) Étape1 : Enlever les parenthèses - S il y a un + devant la ( ), elle est inutile, simplement l enlever. - S il y a un devant la ( ), changer le signe de chacun des termes à l intérieur de celle-ci. Étape2 : Additionner et soustraire les termes semblables. Soustraire une parenthèse revient à changer le signe de chacun des termes à l intérieur de la parenthèse. 5x (3x + 2) x (-3x + 2 4x) 7x (-2x 8) = 5x 3x 2 = x + 3x 2 + 4x = 7x + 2x + 8 = 2x 2 = 8x 2 = 9x + 8 Exercices (Soustraction devant une parenthèse) #1. Réduis les expressions algébriques suivantes en faisant les étapes1-2. a) (-2x 4) (-3x + 2) b) -(2x + 4) + (3x + 3) c) 5a (3a + 2) + 4a d) 5y (3y + 2) + (-2y 4) e) 9x + (6x 7) (-3x + 2) f) -3r 2 + 4r + 2r 2 (5r 2 3r) #2. Soustrais le trinôme 4x 7y + 3 du binôme 5x

11 3) Multiplication ou division par une constante On doit multiplier ou diviser le coefficient. Ex1 : 5 2x = 10x Ex2 : 7 (3x) = 21x 14 y Ex3 : 4y 8 = 32y Ex4 : = 2y 7 Lorsqu un nombre est collé sur une parenthèse, il s agit d une multiplication et on doit distribuer le nombre sur l addition. -2(-2x + 4) + 4(3x 2) = 4x x 8 = 16x 16 Dans une division, on doit diviser tous les termes du numérateur. 6x 8 = 3x 4 2 Exercices (Multiplication ou division par une constante) a) 2(2n+3) b) 15x 3 Ne pas oublier que la multiplication ou la division de deux nombres négatifs donne une réponse positive! c) 10a 15b + 5a 20 d) -5 ( 8 n 12) 4 e) -3(-2ax + 3xa 5) f) 4(2a 3) + 6a 2 g) (8x 2 6x + 12) 2 h) (8n + 7) 4(5n 3) 10

12 4) Multiplication par un monôme On doit multiplier les coefficients et les variables. Monôme monôme 6x 7x signifie 6 x 7 x = 42x 2 Monôme binôme -2a(4a + 5) 3x(4x + 7) + 5x 2x 2 = -8a 2 10a = 12x x + 5x 2x 2 = 10x x Exercices (Multiplication par un monôme) a) 2x x b) 3x -3x c) 4y(2y + -6) d) 9x 5y 3xy e) 0,5r 0,25r f) (-2x + 4x) x(7x + 4) g) 4a(6a + 5) 3a 2 h) -x(6x 7) + 4x

13 Réduire des expressions plus complexes Multiplication au numérateur : Réduire le numérateur avant a) 2 ( 2 x + 8 ) 4 b) 5 ( 2 x + 4 ) 20x 10 Soustraction devant une fraction : Ajouter des parenthèses autour de la fraction a) 2 ( 3 x 6 ) 5x + 3 b) 3 4x 6 12x 2 12

14 Objectif #2 : Résolution d équations C est trouver la valeur de l inconnue qui fait que l équation est vraie. Pour les équations proposées cette année, il existe une seule réponse qui valide l équation. Une équation est un énoncé mathématique composé d une relation d égalité comportant au moins une donnée inconnue, c est-à dire une variable. Ex : 1) 3x + 4 = 8 2) 34 = 2y y 3) 2a + 5 = 3a 1 4) 5(2x + 4) = 4(3x 9) Variable d un seul côté de l égalité Variable des deux côtés de l égalité Une équation fonctionne comme une balance à deux plateaux. 2x + 3 = x + 5 Membre de gauche Membre de droite Principe de base À chaque fois qu une opération est effectuée sur un des membres de l équation, la même opération doit être effectuée sur l autre membre afin de conserver l égalité. Toutes les équations ainsi obtenues sont des équations équivalentes. À la fin de la résolution des équations, tu dois vérifier si ta solution est la bonne en remplaçant la valeur de la variable que tu as trouvée dans l équation de départ. 13

15 Résoudre des équations avec des variables d un seul côté L objectif est d ISOLER LA VARIABLE, c est-à-dire de la mettre seule de son côté de l égalité. Pour y arriver, on doit faire les opérations inverses. 1) x + 43 = 76 2) 92 = y ) 2a = 8 4) 14 = -7b 5) a b = 8 6) 5 = 3 4 7) 4y 5 = 11 8) 2 + 3x = 8 9) 8 = 3x 7 Résoudre lorsqu il y a des fractions 4x ) = ) 3y + 6 3x 2 = 15) 8 = y 4x 16) 16 = ) 18 = 10 18) 4 3 2x 13 =

16 Souvent on doit réduire chaque membre de l équation avant d isoler la variable. Ex1 : 20 3(2x 4) = 8 Ex2 : 2(x + 5) 4x = 4 5( y + 45) Ex3 : = Ex4 : 9 = 6(x 5) + 3x + 3 Résoudre lorsqu il y a des exposants 2 Ex1 : x = 68,25 Ex2 : 82 = 3a ( 4 m + 6 ) Ex3 : = 134, Ex4 : 243,76 = 2(3b 2 1) 15

17 Résoudre des équations en géométrie La méthode de résolution d équations est très utile en géométrie lorsque l on cherche une mesure manquante. Démarche exigée T-FRRU (titre, formule, remplace, réponse, unités): Écrire un titre (nom de la figure) Écrire la formule appropriée Remplacer les valeurs connues dans la formule Résoudre l équation Écrire la réponse avec les unités Exemples : a) Aire = 19,2 mm 2? b) Aire = 441 cm 2 6 mm? c) Périmètre = 47 m d) Aire = 49 cm 2 3x m 7 m 9 cm 7 cm? 8 cm 16

18 e) Aire = 25,6 m 2 f) Aire = 161,5 dm 2?? 8 m 17 dm g) Aire = 26,25 cm 2 h) Périmètre = 266 cm 5 cm 13x cm 7 cm? 5,5 cm 7x cm 7x cm 7,5 cm 11x cm 17

19 Résoudre des équations avec des variables des deux côtés 1. Réduire chacun des membres de l équation. 2. Regrouper les variables du même côté de l égalité. (Opération inverse d addition ou de soustraction) Truc : Choisir le côté où la variable est en plus grand nombre 3. Regrouper les termes constants de l autre côté de l égalité. (Opération inverse d addition ou de soustraction) 4. Diviser chaque membre de l équation par le coefficient de la variable. 5. Valider sa solution. Ex1 : 2x + 3 = x + 5 Ex2 : 12y + 13 = 2y 7 Ex3 : 3x + 12 = 6x 3 Ex4 : 3m + 6 = 2m + 11 Ex5 : 4m 2 = 7m 11 18

20 Pour les équations encore plus complexes 1. Réduire chacun des membres de l équation. 3(x + 8) 6 = 3(8x 4) 4-3x Truc : Choisir le côté où la variable est en plus grand nombre 2. Regrouper les variables du même côté de l égalité. 3. Regrouper les termes constants de l autre côté de l égalité. 4. Diviser chaque membre de l équation par le coefficient de la variable. 6x6x - 3x 3 21 = 3 x Puisque x =, on a 5. Valider sa solution. Les deux côtés sont équivalents! Youpi! Ex1 : 5m 1 = 2(2m 12) 9 Ex2 : 2( x + 3 ) = 2x x 19