Examen 2. Collège des Saints-Cœurs Sioufi. Mathématiques Terminales ES Enseignement de spécialité. Durée de l épreuve : 3 heures.

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1 Examen Collège des Saints-Cœurs Sioufi Mathématiques Terminales ES Enseignement de spécialité Durée de l épreuve : 3 heures Avril 06 Coefficient : 7 Cet examen comporte 5 exercices L usage d une calculatrice programmable est autorisé L élève doit traiter tous les exercices. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

2 Exercice : (4 points) Baccalauréat ES Asie juin 05 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. Une réponse multiple ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève des points.. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 0 fois de suite. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de «pile» obtenues. La probabilité d obtenir exactement 5 «pile» est, arrondie au centième : a) 0,3 b) 0, c) 0,5 d) 0,5. X est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d écart-type. Une valeur approchée au centième de la probabilité PX ( 5) est : a) 0,4 b) 0,6 c) 0,3 d) 0,84 3. Dans une ville donnée, pour estimer le pourcentage de personnes ayant une voiture rouge, on effectue un sondage. L amplitude de l intervalle de confiance au seuil de 0,5 est inférieure ou égal à 0,04. La taille de l échantillon est : a) 400 b) 000 c) 000 d) Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de 0,40 au 0/07/007 à 0,37 au 0/07/04. Cette augmentation correspond à un taux d évolution arrondi au centième, chaque année, de : a),7% b),67% c),68% d),33% 5. On choisit au hasard un réel de l intervalle [ ;3]. La probabilité, arrondie au millième, qu il soit solution de l inéquation : x 33x 0 0 est égale à : a) 0,333 b) 0,5 c) d) 0, Un livreur a promis de passer chez un client entre 0h et h. on suppose que la probabilité de son passage est uniformément répartie. Sachant que le client a attendu le livreur 5 minutes, la probabilité que le livreur arrive dans les dix prochaines minutes est : a) b) f est la fonction définie sur l intervalle I [;0] par f () t. Pour que f soit une fonction densité t de probabilité sur I, il faut que soit égale à : 0 a) b) c) d) 0 8. f est la fonction densité de probabilité d une variable aléatoire X. f est définie sur [0; [ par f () t te t. P(0 X ) est environ égale à : a) 0,86 b) 0,77 c) 0,67 d) 0,57 c) 3 0 d) 7

3 Exercice : (7 points) baccalauréat ES Métropole La Réunion juin 05 Le service marketing d un magasin de téléphonie a procédé à une étude de comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 4% de femmes, 35% des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55% pour les hommes. Une personne entre dans le magasin. On note : F l événement : «la personne est une femme» ; R l événement : «la personne repart sans rien acheter» ; Pour tout événement A, on note A son événement contraire et PA ( ) sa probabilité. Dans tout l exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième. Les parties A, B, C et D peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A :. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu elle reparte sans rien acheter. 3. Montrer que PR ( ) 0, Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme ou qu elle reparte sans rien acheter. 5. Une personne achète un article. Qu elle est la probabilité que ça soit une femme? Partie B : Un client du magasin s inquiète de la durée de la durée de vie du téléphone de type T qu il vient d acheter. On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone du type T prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois. On admet que X suit la loi normale d espérance 48 et d écart-type 0.. Calculer, sans utiliser la calculatrice, P(38 X 68).. Vérifier que la probabilité que le téléphone de type T prélevé fonctionne plus de 3 ans est d environ 0, On sait que le téléphone du type T prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu il fonctionne moins de 5 ans?

4 Partie C : La durée de vie, en mois, d un téléphone du type T est une variable aléatoire Y qui suit une loi normale de moyenne m et d écart-type s. On sait que P( Y 50) 0,843 et que P(50 Y 80) 0,886.. Montrer que m et s sont solution du système d équations : 50 m s 80 m s. Résoudre le système ci-dessus et déduire les valeurs de m et s. Partie D : Le gérant du magasin émet l hypothèse que 30% des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housses, chargeur, ). Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.. Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 5% de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 500 personnes.. Le service marketing interroge un échantillon de 500 personnes. L étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5% l hypothèse formulée par le gérant?

5 Exercice 3 : (0 points) Baccalauréat ES Métropole La Réunion 4 juin 05 La courbe (C) ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction f définie et deux fois dérivable sur l intervalle [ 4;3]. Les points A d abscisse 3 et B (0;) sont sur la courbe (C). Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe (C) respectivement aux points A et B, la tangente en A étant horizontale. On note f ' la dérivée de f.

6 Partie A :. Par lecture graphique, déterminer : a. f '( 3). b. f (0) et f '(0).. La fonction f est définie sur [ 4;3] par f ( x ) a ( x b) e x où a et b sont deux réels que l on va déterminer dans cette partie. a. Calculer f '( x ) pour tout réel x de [ 4;3]. b. A l aide des questions précédentes, montrer que les nombres a et b vérifient le système suivant : ab b 3 c. Déterminer alors les nombres a et b. Partie B : On admet que f est définie sur [ 4;3] par f ( x ) ( x 4) e x.. Justifier que f '( x ) ( x 3) e x et en déduire le tableau de variation de f sur [ 4;3].. Montrer que l équation f ( x) 0 admet une unique solution sur [ 3;3] puis donner une valeur approchée de à 0,0 près par défaut. 3. On souhaite calculer l aire S, en unité d aire, du domaine délimité par la courbe (C), l axe des abscisses et les droites d équations x 3 et x 0. a. Exprimer, en justifiant, cette aire par une intégrale. b. Donner, à partir d une lecture graphique et sans justification, un encadrement de cette aire. c. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : A l aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l aire S puis sa valeur arrondie au centième. Partie C :. Donner, à partir d une lecture graphique, un intervalle sur lequel f est convexe. Expliquer.. T est la tangente à (C) au point d abscisse. Trouver l équation de T. 3. f '' est la dérivée de f '. Calculer f ''( x ) puis étudier la convexité de f sur [ 4;3]. On précisera le point d inflexion de (C).

7 Exercice 4 : (4 points) Baccalauréat S Amérique du nord juin 05 On donne les matrices M 4 et I Partie A :. Déterminer la matrice M. On donne M Trouver deux réels a et b tels que M am bm 6I. 3. On suppose dans la suite que a et b 8. En déduire que M est inversible puis donner l expression de M en fonction de M, M et I. Donner l écriture explicite de M. Partie B : On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole P d équation passe par les points A (;), B ( ; ) et C (;5). y ax bx c. Ecrire un système d équations qui permet de trouver a, b et c. Donner l écriture matricielle du système.. En utilisant le résultat de la partie A, résoudre le système puis donner l équation de P.

8 Exercice 5 : (5 points) Le graphe ci-dessous représente dans un aéroport donné, toutes les voies empruntées par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles circulent les avions avant ou après atterrissages sont appelées taxiways. Les arêtes du graphe représentent les taxiways et les sommets du graphe sont les intersections.. Déterminer le nombre de taxiways au total.. Afin que l aéroport soit déneigé le plus rapidement possible, est-il possible de planifier un parcours pour que les chasse-neige passent par tous les taxiways sans emprunter plusieurs fois la même route? Justifier et donner un tel parcours. 3. Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué le sens de circulation pour les avions dans les différents taxiways ainsi que le temps de parcours pour chacune en minute(s). 4. Ecrire la matrice M associée à ce graphe (ranger les sommets dans l ordre alphabétique). 5. Citer tous les chemins de longueurs 3 reliant A à T. 6. L avion qui a atterri est en bout de piste en A et doit se rendre le plus rapidement possible au terminal situé au point T. Déterminer l itinéraire le plus rapide et en donner la durée.