ETUDE EXPERIMENTALE D'UN MOTEUR A COURANT CONTINU

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Germain Isaac Legaré
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1 ETUDE EXPERIMENTALE D'UN MOTEUR A COURANT CONTINU Présentation du système On dispose d'un ensemble moteur - dynamo tachymétrique ESCAP 8HL8-9/64 dont on donnera les caractéristiques constructeur pertinentes. Cet ensemble, commandé par l'induit, est alimenté par un générateur basse fréquence. La tension d'alimentation u(t) a la forme d'un créneau, et vaut 0.0 au début de l'expérience. L'achat d'un ensemble moteur et dynamo tachymétrique sous un même carter permet au constructeur de garantir que tous les enroulements sont identiques. u(t) J m ω(t) v DT (t) Oscilloscope numérique + imprimante Travail à réaliser A partir du relevé expérimental ci-dessous, en utilisant la partie montante du V ( ) créneau sur la tension d'alimentation u(t), montrer que la fonction de transfert DT p est du U ( p) K type et déterminer les deux paramètres K et τ. +τp Etablir le schéma fonctionnel de ce système entre u(t) et v DT (t). En déduire la V ( ) fonction de transfert théorique DT p en négligeant l'inductance du circuit d'induit et les U ( p) frottements visqueux sur l'arbre moteur. Les caractéristiques constructeurs donnent : Fiche moteur : Résistance aux bornes = 5,8 Ohm et Constante de couple = millinm/a. Fiche moteur dynamo tachymétrique : Pour une tension à vide de Volts, on relève une vitesse à vide de 500 tours/mn, une inertie du rotor de 0,7 0-7 gm et une constante de temps mécanique de 3 ms. Déterminer les paramètres de la fonction de transfert théorique à partir de ces données (il y a trois façons de déterminer la constante de temps ; vérifier qu'ils donnent des résultats cohérents). Comparer les valeurs expérimentales et théoriques obtenues pour la constante de temps. Proposez un explication pour la différence.

2 Comparer les valeurs expérimentales et théoriques obtenues pour le gain. Pour trouver une explication on s'aidera de la courbe de ralentissement (passage de u(t) à zéro)

3 CORRECTION Détermination de la fonction de transfert expérimentale. On examine l'allure de la réponse à l'échelon de,5 volts : La tangente à l'origine est non nulle c'est donc un système du er ordre. Il n'y a pas de dépassement le système du er ordre n'a pas de zéro. La fonction de transfert s'écrit donc : V DT U ( p) K = ( p) + τp Calcul du gain K : D'où un gain égal à : K = = Calcul de la constante de temps τ : Il faut choisir une méthode. Vu la courbe expérimentale (échelon) trois méthodes sont possibles.. La première est le tracé de la tangente à l'origine qui coupe l'asymptote de la valeur finale de v DT (t) pour t=τ. Cette méthode est à éviter lorsque seul un enregistrement

4 "papier" est disponible et qu'une autre méthode est possible. En effet le tracé d'une tangente au moyen d'une règle sur un tracé expérimental est très difficile et conduit à des résultats imprécis (parfois 50 à 00% d'erreur).. La deuxième consiste à tracer une droite à 95% de la valeur finale de v DT (t). Lorsque la courbe v DT (t) coupe cette droite, alors le temps mesuré est égal à 3τ. 3. La dernière ici consiste à mesure le temps t pour lequel v DT (t) atteint 63% de sa valeur finale. Alors t=τ %.5 63% On trouve une valeur τ = 8 ms τ 3τ Mise en équation du système Rappel des équations d'un moteur à courant continu commandé par l'induit : Equation électrique : di U = Ri + L + E où E est la fcem dt Après transformée de Laplace, on obtient U ( p) E( p) = ( R + Lp) I( p) Ainsi, la différence de tension entre U et la force contre-électromotrice E passée à travers le filtre /(R+Lp) est la cause du courant i dans l'induit.

5 ère équation de liaison : m = i γ Après transformée de Laplace, on obtient Γ m ( p) = I( p) Ainsi, le courant i dans l'induit génère grâce au flux magnétique le couple moteur sur l'arbre mécanique. Equation mécanique : dω J γ m fω dt = Après transformée de Laplace, on obtient Γm ( p) = ( f + Jp) Ω( p) Ainsi, le couple moteur entraîne l'arbre mécanique et crée la vitesse de rotation. ème équation de liaison : E = ω Après transformée de Laplace, on obtient E( p) = Ω( p) Ainsi, la vitesse de l'arbre moteur crée la force contre-électromotrice E. Equations pour la dynamo tachymétrique : Equation mécanique : l'arbre est commun au moteur et à la dynamo ; cette équation a donc déjà été écrite. Equation électrique : la charge de la dynamo est un appareil de mesure à forte impédance. Par conséquent v DT (t) est la f.e.m. délivrée par la dynamo. Il n'y a donc qu'une seule équation de liaison à écrire qui concerne la transformation de ω(t) en v DT (t) : V DT ( p) = Ω( p), avec le même coefficient "" que pour le moteur (le constructeur garanti que les enroulements sont identiques). Par conséquent, il existe un schéma fonctionnel sous jacent à ces équations : U + R + Lp i γ m f + Jp ω V DT E En négligeant l'inductance L du circuit d'induit et les frottements f sur l'arbre moteur, le schéma fonctionnel devient : U + R i γ m Jp ω V DT E

6 On obtient l'équation différentielle suivante : Ω ( p) =. U RJ + p D'où : V DT ( p) = U RJ + p Détermination des paramètres de la fonction de transfert à partir des données constructeur : Le gain de la fonction de transfert est unitaire. La fiche moteur dynamo tachymétrique donne la valeur de la "constante de temps mécanique". On a donc τ = RJ ms = 3. La fiche moteur indique R = 5,8 Ohm et = 0-3 NmA. La fiche moteur dynamo tachymétrique donne J = 0,7 0-7 gm. On en déduit : τ = RJ ms =,8. Il existe enfin une deuxième méthode pour trouver la valeur de, en exploitant l'information sur les spécifications constructeur : on mesure une tension de V pour une vitesse à vide de 500 tours/mn. Alors = V / (500 tours/mn), et l'on retrouve en unités SI = 0-3 V/(rad/s). Comparaison des constantes de temps expérimentales et constructeur On a τ exp = 8ms et τ cons = 3ms. La courbe expérimentale étant bien du type premier ordre, nous n'avons pas a priori à remettre en cause le fait que l'inductance du circuit d'induit, L, et les frottements visqueux f soient négligeables. Les paramètres J et sont propres au moteur, ne peuvent être modifiés par l'utilisateur et sont certifiés par le constructeur. Ils peuvent donc être considérés comme sûrs. Par contre la résistance du circuit d'induit, R, résulte de la résistance propre au moteur, et d'éventuelles résistances supplémentaires ajoutées par l'utilisateur. En effet, pour les besoins de la manipulation, on a ajouté une résistance sur le circuit d'induit afin de ralentir le moteur. La résistance effective sur la manipulation est R =,6 Ohm. 7,6*0,7.0 Un nouveau calcul de τ donne : τ cons = = 9, 7ms 3 (.0 ) On retrouve deux valeurs cohérentes.

7 Comparaison des gains expérimentaux et constructeur On a G exp = 0.96 et G théo =. Examinons la courbe de ralentissement. Elle correspond à un échelon descendant sur l'alimentation U du moteur (de,5 à 0 volts). On s'attend donc à observer l'allure d'une réponse d'un premier ordre à un échelon (exponentielle décroissante qui tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini). Or on constate au contraire un arrêt brusque du moteur. 3.5 ε Ce phénomène est typique de frottement secs sur un système mécanique en rotation (exemple des freins). Prenons en compte ce phénomène dans le schéma fonctionnel du moteur : U + R i γ m + γ s Jp ω V DT E L'échelon montant de U appliqué au moteur sert à créer un couple moteur γ m qui entraîne l'arbre. Cependant l'existence de γ s fait que le couple moteur effectif entraînant l'arbre est γ m - γ s. Ainsi une partie de l'échelon U sert à compenser les frottements secs γ s. L'écart ε entre v DT et U sur l'enregistrement expérimental, correspond à l'équivalent en tension des

8 frottements secs. C'est la raison pour laquelle on mesure sur la courbe un gain apparent de 0.96 au lieu du gain unitaire effectif. On mesure ε = 0. volt. Le coefficient pour passer de U à γ s selon le schéma fonctionnel vaut "/R". On a donc : 0,00*0, ε = 0, volts γ s = ε = =,75e 5 Nm R,6 Pour le ralentissement, on retrouve bien la réponse à un échelon d'un système du er ordre de gain unitaire. Cependant, lorsque la vitesse diminue, la force contre électromotrice E diminue. Elle finit par avoir une valeur critique qui crée un γ m juste égal à γ s et le moteur atteint une vitesse ω nulle. Le moteur n'étant plus alimenté, il ne peut repartir en sens inverse, et le moteur s'arrête brutalement.

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