Calcul matriciel CHAPITRE L'ensemble des matrices Dénitions. Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C.

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1 CHAPITRE 0 Calcul matriciel Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C 0 L'ensemble des matrices 0 Dénitions Dénition Soient n, p N On appelle matrice à coecients dans K à n lignes et p colonnes tout tableau A de taille n p contenant des scalaires (des nombres) du corps K : ˆ a, a,2 a,3 a,p a i,j A a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,p a n, a n,2 a n,3 a n,p Quand on note un terme de la matrice :a i,j, le premier indice i désigne l'indice ligne le second indice j désigne l'indice colonne in jp Dénition 2 On note : M n,p (K) l'ensemble des matrices à n lignes, p colonnes et à coecients dans K M n (K) l'ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes (On dit qu'une matrice de M n (K) est carrée d'ordre n) M,p (K) l'ensemble des matrices à une ligne et p colonnes On dit qu'une matrice de M,p (K) est une matrice ligne M n, (K) l'ensemble des matrices à n lignes et une colonne On dit qu'une matrice de M n, (K) est une matrice colonne

2 2/0 0 Calcul matriciel Exemples : Deux matrices sont égales si elles ont : le même nombre de lignes le même nombre de colonnes tous les coecients pris deux à deux (sur la même ligne et la même colonne) sont égaux E Une matrice carrée est dite diagonale si elle est carrée et si tous les termes qui ne sont pas situés sur la diagonale sont nuls : a, a 2, a n,n diag(a,, a 2,2,, a n,n ) autrement dit, une matrice A M n (K) est diagonale si i j, a i,j 0 E 2 Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure si tous les coecients "en dessous" de la diagonale sont nuls, ie si i > j, a i,j 0 E 3 Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure si tous les coecients "au-dessus" de la diagonale sont nuls, ie si i < j, a i,j 0 E 4 CAS PARTICULIER : Matrice nulle 0 n E5 CAS PARTICULIER : matrice identité (ou matrice unité) d'ordre n : 0 0 I n Elle ne contient que des sur la diagonale et des 0 partout ailleurs 02 Somme de matrices, Multiplication par un scalaire Dénition 3 Soient A a i,j in jp et B b i,j in jp deux matrices de M n,p (K) On dénit alors la matrice somme A + B comme la matrice de M n,p (K) où on additionne deux à deux les termes correspondants aux mêmes lignes et colonnes A + B a i,j + b i,j in jp

3 0 Calcul matriciel 3/ Soit A 0 3 et B 3 2 Alors A + B Remarques : R On ne peut pas calculer la somme de deux matrices n'ayant pas le même nombre de lignes ou le même nombre de colonnes R 2 L'addition de matrices possède les propriétés suivantes : elle est commutative : A + B B + A elle est associative : (A + B) + C A + (B + C) A + B + C elle possède un élément neutre : la matrice nulle A A A chaque matrice possède un opposé qui est A a i,j in jp Dénition 4 Soit A a i,j in jp une matrice de M n,p (K) et soit λ K un scalaire On dénit alors la matrice λa comme une matrice de même taille que A où on multiplie tous les coecients de la matrice A par le scalaire λ : λa λa i,j in jp Remarques : R On écrit λa mais on n'écrit pas Aλ : le coecient toujours devant R2 Pour toute matrice A, on a 0A 0 R3 Pour toute matrice A, on a A A R 4 L'addition et la multiplication par un scalaire sont distributifs l'un sur l'autre : (λ + µ)a λa + µa, λ(a + B) λa + λb Dénition 5 Soient A a i,j in jp et B b i,j Soient λ et µ deux scalaires Alors in jp deux matrices de M n,p (K) λa + µb λa i,j + µb i,j est appelé une combinaison linéaire de A et B Plus généralement, si A,, A k sont k matrices de M n,p (K) et si λ,, λ k λ A + λ 2 A λ k A k est une combinaison linéaire de matrices de M n,p (K), ie une matrice obtenue par des sommes ou des multiplications par des scalaires in jp K, alors la matrice

4 4/0 0 Calcul matriciel 03 Produit matriciel Dénition 6 Soient A a i,j in jp M n,p (K) et B a i,j ip jq égal au nombre de lignes de B On peut alors dénit une matrice produit C AB c i,j i, n, j, q, c i,j M p,q (K), ie le nombre de colonnes de A est in jq px k M n,q (R) avec a i,k b k,j Exemples : E E E3 E4 E5 E6 Š a b Š x x y 2 y a b Š Remarques : R Si le produit AB existe, le produit BA peut ne pas exister R2 Le produit matriciel n'est pas commutatif Autrement dit, même si AB et BA existent, on n'a pas forcément AB BA : et Donc de manière général AB BA R3 Le produit matriciel est associatif Si les produits ont bien un sens, on a : (A B) C A (B C) A B C R4 Le produit matriciel est distributatif à droite et à gauche par rapport à l'addition : A (B + C) (A B) + (A C) (B + C) A (B A) + (C A) R 5 Le produit matriciel possède des éléments neutres qui sont les matrices identités : A M n,p (K), I n A AI p A R6 On a pour toutes matrices A et B telles que AB existe, et pour tout scalaire λ A (λb) (λa) B λ (A B)

5 0 Calcul matriciel 5/ Soit A et B On a : AB A et BA On peut donc avoir A 0 et B 0 et avoir AB 0 où 0 désigne la matrice nulle On dit que le produit matriciel n'est pas intègre Par conséquent, il faudra faire attention : AB AC B C 04 Produits de matrices carrées Exemples : E Soit A M n (K), alors A0 n 0 n A 0 n et AI n I n A A E2 Un produit de matrices diagonales reste une matrice diagonale Plus précisément, si D diag(λ,, λ n ) et D diag(µ,, µ n ), alors DD diag(λ µ,, λ n µ n ) D D E 3 Un produit de matrices triangulaires supérieures reste une matrice triangulaire supérieure E 4 Un produit de matrices triangulaires inférieure reste une matrice triangulaire inférieure Dénition 7 Soit A M n (K) une matrice carrée Alors on dénit les puissances de la matrice A par : Soit A A 0 I n et k, A k AA {z A} A k A AA k k fois 0 0 On a A 2 et A 3 On en déduit que k 3, A k 0 On dit que la matrice A est nilpotente d'ordre 3 ATTENTION En général 0 (AB) k A k B k On a (AB) k AB AB {z AB} k fois Dénition 8 Soient A, B M n (K) On dit que les matrices A et B commmutent si Remarques : AB BA R Si AB BA, alors on a bien dans ce cas, (AB) k A k B k R2 La matrice identité d'ordre n, I n commute avec toutes les matrices carrées d'ordre n R3 Une matrice A M n (K) commute avec A k pour tout k N

6 6/0 0 Calcul matriciel Théorème 9 Soient A, B M n (K) deux matrices qui commutent (ie AB BA) Alors : n N, (A + B) n nx k0 n k! A k B n k Formule du binôme de Newton 05 Transposée d'une matrice Dénition 0 a i,j Soit in jp M n,p (K) On dénit la matrice transposée de A, notée t A, la matrice de M p,n (K) t A a j,i où on transpose les lignes en colonnes de A et vice-versa : jp in t Soient A, B M n,p (K) et λ K Alors : t ( t A) A, t (A + B) t A + t B, t (λa) λ t A, t (AB) t B t A 06 Matrices et systèmes linéaires Dénition Soit un système linéaire à n équations et p inconnues : 8 >< >: a, x + a,2 x a,p x p b a 2, x + a 2,2 x a 2,p x p b 2 a n, x + a n,2 x a n,p x p b n On peut représenter ce système matriciellement par une équation du type AX B avec les notations suivantes : ˆ a, a,2 a,3 a,p a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,p a n, a n,2 a n,3 a n,p 0 {z } A x x 2 x 3 B@ CA x {z p } X ˆ b b 2 b n {z } B

7 0 Calcul matriciel 7/0 02 Matrices carrées inversibles 02 Dénition Dénition 2 Une matrice carrée A de M n (K) est dite inversible s'il existe une matrice B de M n (K) telle que AB BA I n La matrice B est alors notée A et s'appelle l'inverse de A L'ensemble des matrices inversibles de taille n est noté GL n (K) appelé le groupe linéaire des matrices inversibles Remarques : R Si une matrice A est inversible, son inverse est unique R2 Si une matrice A est inversible à droite (il existe B telle que AB I n ), alors elle est inversible à gauche (il existe C telle que C A I n ) Exemples : De même, si une matrice est inversible à gauche, elle est inversible à droite également E Une matrice qui n'est pas carrée ne peut pas être inversible E2 La matrice I n est inversible et I n I n E3 Soit A M n (K) telle que A 2 3A I n 0 Alors, on a A 2 3A I n 0 A 2 3A I n A(A 3I n ) I n La matrice A est donc inversible à droite, donc inversible, et son inverse est A A 3I n Proposition 3 Soient A et B deux matrices de GL n (K) (ie inversibles) Si A est inversible, alors pour toutes matrices M, N de même taille : AM AN M N 2 A est aussi inversible et on a : (A ) A 3 Le produit AB est aussi inversible et (AB) B A En particulier, pour tout p N, A p est inversible et : (A p ) (A ) p A p 4 Pour λ 0, λa est inversible et on a : (λa) λ A 5 A est inversible si et seulement t A est inversible, et dans ce cas, ( t A) t (A )

8 8/0 0 Calcul matriciel 022 Matrice inversible et système linéaire Théorème 4 Une matrice carrée A de M n (K) est inversible si et seulement si pour toute matrice Y M n, (K) le système AX Y d'inconnue X M n, (K) est de Cramer : Dans ce cas, on a A GL n (K) Y M n, (K),!X M n, (K) / AX Y AX Y X A Y La résolution du système AX Y permet de déterminer A La matrice A Prenons X x x 2 x 3 et Y AX Y Donc A est inversible et A 8 < : 8 < : y y 2 y 3 est-elle inversible? Si oui, calculer A Alors x + 2x 2 + x 3 y x x 2 y 2 x + 3x 2 + x 3 y 3 x y y 2 y 3 x 2 y 2y 2 y 3 X x 3 2y + 5y 2 + 3y Y Théorème 5 Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coecients diagonaux sont non nuls 2 Une matrice diagonale D est inversible si et seulement si tous ses coecients diagonaux sont non nuls Dans ce cas, si D diag(λ, λ 2,, λ n ), alors D diag,,, λ λ 2 λ n Une matrice contenant une ligne nulle ou une colonne nulle ne sera pas inversible

9 0 Calcul matriciel 9/0 023 Méthode du Pivot de Gauss Dénition 6 Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont de trois types : on peut échanger des lignes i et j : L i L j on peut multiplier une ligne par un réel non nul : L i al i, (a 0) on peut rajouter à une ligne autant de fois qu'on veut une autre ligne : De même pour les colonnes : on peut échanger des colonnes i et j : L i L i + bl j, (b R) C i C j on peut multiplier une colonne par un réel non nul : C i ac i, (a 0) on peut rajouter à une colonne autant de fois qu'on veut une autre ligne : C i C i + bc j, (b R) Dénition 7 Lorsqu'on obtient une matrice B à partir d'une matrice A à l'aide d'une suite d'opérations élémentaires, on dit que les matrices A et B sont équivalentes et on note A B Proposition 8 Si A et B sont deux matrices équivalentes, alors A est inversible si et seulement si B est inversible Pour savoir si une matrice est inversible, on peut donc essayer de la changer à l'aide d'opérations élémentaires en une matrice plus simple pour vérier l'inversibilité : les matrices triangulaires sont l'exemple le plus simple On applique donc la méthode du Pivot de Gauss, non plus sur le système, mais sur la matrice elle-même et on regarde si la matrice triangularisée obtenue possède une ligne/colonne nulle METHODE DE GAUSS-JORDAN Pour calculer explicitement l'inverse d'une matice inversible A GL n (K), il sut de la transformer en la matrice identité I n à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes uniquement ou sur les colonnes uniquement Si on répète exactement les mêmes opérations dans le même ordre en partant initialement de la matrice I n, on obtiendra à la n la matrice inverse A ATTENTION : la méthode ne marche que si on ne mélange pas les opérations lignes/colonnes

10 0/0 0 Calcul matriciel 2 La matrice A 0 est-elle inversible? Si oui, calculer A 3 Puisqu'on fait les mêmes opérations sur les matrices A et I, on les écrit côte à côte et on applique les opérations élémentaires simultanément pour déterminer A L 2 L 2 L 0 L 3 L 3 + L 0 L 3 3L 3 + 5L On peut conclure ici que la matrice A est inversible, puisqu'elle est équivalente à une matrice triangulaire sans zéro sur la diagonale L L 2 + L L L L L 2 3 L Ainsi, A 2 L L 2L 2 2