1/2 2/2. 2. Matrices. Sections 2.4 et 2.5 MTH1007. J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016.

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1 2. Matrices Sections 2.4 et 2.5 MTH1007 J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016 (v4) MTH1007: algèbre linéaire 1/18

2 Plan 1. Les règles des opérations matricielles 2. Matrices inverses MTH1007: algèbre linéaire 2/18

3 1. Les règles des opérations matricielles 2. Matrices inverses MTH1007: algèbre linéaire 3/18

4 Définition Une matrice de taille m n est un tableau de nombres arrangés en m lignes et n colonnes : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... a m1 a m2 a mn Le nombre a ij est le coefficient (ou élément) de A situé sur la i-ième ligne et la j-ième colonne. Il est aussi noté A(i, j). MTH1007: algèbre linéaire 4/18

5 Définition des opérations matricielles Addition : Si A et B sont des matrices de même taille alors leur somme est la matrice C = A + B obtenue en additionnant les éléments correspondants de A et B : c ij = a ij + b ij. Multiplication par un scalaire : Si k R et A est une matrice alors C = ka est la matrice obtenue en multipliant chaque élément de A par k : c ij = ka ij. Multiplication : Si A est une matrice de taille m n et B une matrice de taille n p alors leur produit est la matrice C = A B = AB dont l élément c ij est égal à (i-ième ligne de A) (j-ième colonne de B). MTH1007: algèbre linéaire 5/18

6 Propriétés des opérations matricielles Lorsque que les opérations sont possibles, on a 1. A + B = B + A (commutativité). 2. k(a + B) = ka + kb (distributivité). 3. A + (B + C) = (A + B) + C (associativité). 4. A(B + C) = AB + AC (distributivité à gauche). 5. (B + C)A = BA + CA (distributivité à droite). 6. A(BC) = (AB)C (associativité). 7. A p = AA... A (p facteurs). 8. (A p )(A q ) = A p+q, (A p ) q = A pq (puissances). 9. IA = AI = A (élément neutre). Remarque : en général AB BA, même lorsque les deux produits existent. MTH1007: algèbre linéaire 6/18

7 Multiplication par blocs Il est parfois utile d effectuer la multiplication de matrices par blocs, comme dans l exemple suivant : AB = [ A11 A 12 A 21 A 22 ] [ B11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 ] = [ A11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 11 B 13 + A 12 B 23 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 A 21 B 13 + A 22 B 23 ]. MTH1007: algèbre linéaire 7/18

8 Multiplication par blocs : Cas particulier Si on considère que les blocs de A sont ses colonnes et les blocs de B sont ses lignes, alors on obtient : AB = colonne 1 de A ligne 1 de B + colonne 2 de A ligne 2 de B +... ce qui constitue une façon différente de voir la multiplication de deux matrices. [ ] [ ] Exemple 1 : Multiplier A = par B = MTH1007: algèbre linéaire 8/18

9 1. Les règles des opérations matricielles 2. Matrices inverses MTH1007: algèbre linéaire 9/18

10 Matrices inverses Définition Une matrice carrée A est inversible s il existe une matrice A 1 telle que AA 1 = A 1 A = I, où I est la matrice identité. Théorème Si A et B sont des matrices inversibles de même taille alors AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1. MTH1007: algèbre linéaire 10/18

11 Matrice inverse 2 2 [ a b Si A = c d ] et ad cb 0, alors A 1 existe et A 1 = [ 1 ad cb d c ] b. a ad cb sera appelé le déterminant de A. MTH1007: algèbre linéaire 11/18

12 Exemple 2 Montrer que l inverse d une matrice triangulaire inférieure est encore une matrice triangulaire inférieure (fonctionne aussi pour une matrice triangulaire supérieure). MTH1007: algèbre linéaire 12/18

13 Solution d un SEL Si A est inversible, alors il y a une solution unique au SEL Ax = b donnée par x = A 1 b. Mais en pratique, il ne faut jamais inverser une matrice pour résoudre un SEL. Au lieu, on applique la procédure d élimination de Gauss, moins coûteuse. MTH1007: algèbre linéaire 13/18

14 Inverse d une matrice d élimination Rappel : La matrice d élimination E ij qui soustrait de la i-ième ligne un multiple l (le multiplicateur) de la j-ième ligne est obtenue en remplaçant par l le 0 en position (i, j) dans la matrice identité I. L inverse de E ij est obtenu en remplaçant le l par l, à la même position. Eij 1 correspond donc à une autre matrice d élimination, qui permet de revenir à A : E 1 ij E ija = A. MTH1007: algèbre linéaire 14/18

15 Élimination par blocs [ A B Si M = C D ], alors la matrice d élimination [ E = I 0 CA 1 I ] effectue l élimination par blocs suivante : [ ] A B EM = 0 D CA 1 B. MTH1007: algèbre linéaire 15/18

16 Inverser une matrice avec des SEL On considère les colonnes de la matrice identité : I = [e 1 e 2... e n ]. Si A 1 existe, la résolution de Ax = e 1 donnera la solution x = A 1 e 1 qui est la première colonne de A 1. Pour inverser A au complet, on peut donc résoudre les n SEL Ax = e i pour i {1, 2,..., n}, chaque résolution donnant une colonne de A 1. La procédure de Gauss-Jordan vue ci-après résout ces n SEL en même temps en considérant le système augmenté [A I]. MTH1007: algèbre linéaire 16/18

17 Procédure de Gauss-Jordan pour calculer l inverse d une matrice Pour trouver l inverse de A : 1. On forme la matrice augmentée [A I]. 2. On applique la procédure d élimination de Gauss pour obtenir des 0 en dessous des pivots. 3. On applique ensuite la procédure d élimination de Gauss pour obtenir des 0 au-dessus des pivots. 4. On divise chaque ligne de la matrice résultante par la valeur du pivot. 5. On obtient ainsi la matrice augmentée [I A 1 ]. MTH1007: algèbre linéaire 17/18

18 Gauss-Jordan (suite) Remarque : Si on obtient au moins un pivot nul, la procédure s arrête et on en conclut que la matrice n est pas inversible. Exemple 3 : Inverser A = MTH1007: algèbre linéaire 18/18