UTILISATION DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATIF SINUSOIDAL.

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1 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. NTRODCTON : Comme il a été établi précédemment, à toute grandeur alternative sinusoïdale, nous pouvons associer un vecteur de Fresnel. Ce vecteur a pour norme ( ou module ) la valeur efficace et pour orientation ( ou argument ) la phase à l'origine. Pour faciliter les calculs et éviter des constructions graphiques, on peut aussi utiliser les nombres complexes. Rappels : On définit un nombre complexe par za jb tel que j 2 1 (en maths i 2 1 ). Axe des imaginaires (m) Axe des imaginaires (m) b z a + jb b z [ ρ ; θ ] ρ θ a Axe des réels (Re) Forme algébrique ou rectangulaire Forme trigonométrique ou polaire a Axe des réels (Re) n nombre complexe peut s'écrire sous deux formes ; une forme algébrique ou rectangulaire za jb avec une forme trigonométrique ou polaire z[ ; ] avec a:partie réelle b:partie imaginaire :module :argument en [ ] ou [rad].1 Passage de la forme rectangulaire à la forme polaire : On passe de la forme rectangulaire à la forme polaire par : a 2 b 2 et tan 1 b a [! uniquement valable en physique car 2 2 ].2 Passage de la forme polaire à la forme rectangulaire : On passe de la forme polaire à la forme rectangulaire par : a cos et b sin 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 1/14

2 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL..3 Exercice n 1: Sur le graphe ci-contre, placer les nombres et z 2 : 6 4j et z 2 8 3j et z 3 [5;53,13 ] m Écrire les et z 2 nombres sous leurs formes polaires : module 1 argument 1 et [ ; ] 1 Re 1 module 2 argument 2 et z 2 [ ; ] Écrire z 3 sous sa forme rectangulaire et placer z 3 sur la graphe : partie réelle a 3 partie imaginaire b 3 et z 3 + j.4 Addition et soustraction de deux nombres complexes: L'addition et la soustraction ne peut se faire qu'avec les formes rectangulaires. Soient a 1 jb 1 et z 2 a 2 jb 2. On définit a z 2 a 1 a 2 j b 1 b 2 et s z 2 a 1 a 2 j b 1 b 2 Exercice : Soient 6 4j et z 2 8 3j. Calculer a z 2 et s z 2. Les nombres a et s seront mis sous la forme rectangulaire et polaire..5 Multiplication de deux nombres complexes : La multiplication de deux nombres complexes peut se faire indifféremment sous les deux formes. Soient deux nombres complexes a 1 jb 1 [ 1 ; 1 ] et z 2 a 2 j b 2 [ 2 ; 2 ] Multiplication en utilisant les formes rectangulaires : z 2 a 1 jb 1 a 2 jb 2 a 1 a 2 b 1 b 2 j a 1 b 2 a 2 b 1 Multiplication en utilisant les formes polaires (beaucoup plus rapide): z 2 [ 1 ; 1 ] [ 2 ; 2 ][ 1 2 ; 1 2 ] 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 2/14

3 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. Exercice : Soient 6 4j et. z 2 [5;53,13 ] Calculer P z 2 Le nombre P sera mis sous la forme polaire puis rectangulaire en utilisant les transformations du.2..6 Division de deux nombres complexes : On effectue la division de deux nombres complexes en utilisant les formes polaires. Soient deux nombres complexes [ 1 ; 1 ] et z 2 [ 2 ; 2 ] [ ; ] [ 1 1 z 2 [ 2 ; 2 ] 1 2] ; 1 2 Exercice : Soient 6 4j et. z 2 8 3j Calculer D Le nombre D sera mis sous la forme polaire puis rectangulaire en utilisant les transformations du.2. z 2.7 Conjugué, opposée et inverse d'un nombre complexe : Soit za jb[ ; ] un nombre complexe. On définit le conjugué de z par : z * a jb et z z * a jb a jb a 2 b 2 2 On définit l'opposé de z par : z a jb On définit l'inverse de z par : 1 z 1 a jb 1 [ ; ] [ 1 ; ] m Soit 4 3j, placer sur le graphe ; * et 1 Re 1 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 3/14

4 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL..8 Relations utiles : Le chiffre 1 s'écrit sous forme polaire [1;0] Le nombre j s'écrit sous forme polaire [1;90 ] 1 j j j j j j 2 j Soit a jb. Pour rendre réel le dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par son conjugué soit a jb a jb a jb a jb a jb a 2 b 2.9 Exercices : Soient les nombres suivant : 4 3j ; z 2 2 ; z 3 5j ; z 4 [6;30 ] Calculer ( résultats sous forme polaire et rectangulaire): * z 4 Z 2 z 2 z 3 z 2 z 3 z 4 z 4 z 4 z 4 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 4/14

5 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. ASSOCER N NOMBRE COMPLEXE À NE GRANDER ALTERNATVE SNSOÏDALE :.1 Passage de u(t) à à Précédemment, nous avons vu qu'à toute grandeur alternative sinusoïdale u(t), nous pouvions faire correspondre le vecteur tournant. Ce vecteur étant définit par module. argument Exemple [ voie 1 : référence des phases ]: On visualise deux tensions à l'oscilloscope. La voie 1 visualise la tension u 1 (t) [référence des phases]. La voie 2 visualise la tension u 2 (t). Caractéristiques de u 1 (t) : 1MAX 3,5DV 2V/DV7V ,95V 1 0 Caractéristiques de u 2 (t) : Voie 1 : 2 V/div Base de temps : 2 ms/div Voie 2 : 1 V/div 1MAX 2,5DV 2V/DV5V ,54 V 2 72 Période : T 20ms et f 1 50 Hz T On peut représenter ces deux vecteurs dans le repère (x,y) ci-dessous : On peut représenter les deux nombres 1 et 2 dans le plan complexe : y m x -72 Re ,95 V ,54 V [4,95 V;0 ]4,95 2 [3,54 V; 72 ]1,09 3,37 j 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 5/14

6 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. Exercices : On relève les oscillogrammes ci-dessous. Pour tous les oscillogrammes, la voie 1 est prise comme référence des phases. On appelle u 1 la tension visualisée sur la voie 1 et u 2 la tension visualisée sur la voie 2. Déterminer pour chaque oscillogramme le nombre complexe associé à u 1 (t) et le nombre complexe associé à u 2 (t). Les résultats seront mis sous forme polaire et rectangulaire. Voie 1 : 2 V/div ; voie 2 : 2 V/div ; Base de temps : 2 ms /div Oscillogramme n 1 Oscillogramme n 2 Oscillogramme n 3 1MAX 1 φ 1 1 [ ; ] 1 1MAX 1 φ 1 1 [ ; ] 1 1MAX 1 φ 1 1 [ ; ] 1 2MAX 2 φ 2 2 [ ; ] 2 2MAX 2 φ 2 2 [ ; ] 2 2MAX 2 φ 2 2 [ ; ] 2 1 en par rapport à 2 1 en par rapport à 2 1 en par rapport à 2 Pour l'oscillogramme n 1, calculer Pour l'oscillogramme n 2, calculer Pour l'oscillogramme n 2, calculer GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 6/14

7 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL..2 Les lois de l'électricité avec avec les nombres complexes : Toutes les lois vues pour le régime continu sont valables en alternatif sinusoïdal à condition d'utiliser les nombres complexes. Notation avec les grandeurs temporelles : Notation avec les nombres complexes : i 1 u i 2 i u u a. Loi des nœuds, loi des mailles : Loi des nœuds : ; loi des mailles : b. Loi d'ohm en alternatif sinusoïdal : On appelle Z l'impédance complexe d'un dipôle quelconque. La loi d'ohm s'écrit Z z.2.c. mpédance complexe des dipôles élémentaires : Toute impédance peut-être écrite sous forme complexe i.e : Z[Z; ] avec Z en [ ] et, en [ ] ou [ rad ]. Dipôle R L C mpédance forme polaire R [ Z R [R;0 ] Z L [L ; 90 ] Z 1 C L C C ; 90 ] mpédances forme rectangulaire Z R R Z L j L Z C 1 j C j C 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 7/14

8 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL..2.d. mpédance équivalente : Soient deux impédances Z 1 et Z 2 branchées en série L'impédance équivalente équivalente Z EQ est : Z 1 Z 2 Z EQ Z EQ Z 1 Z 2 Soient deux impédances Z 1 et Z 2 branchées en parallèle : Z EQ Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 On appelle Y 1 1 Z 1 l'admittance de dipôle 1 et Z EQ Y 2 1 Z 2 l'admittance de dipôle 2. L'admittance équivalente de ce montage est Y EQ Y 1 Y 2 avec Y EQ 1 Z EQ.2.e. Exercices : On dispose d'une résistance R 100 Ω, d'une inductance L 0,3 H et d'un condensateur C 20 µf. Le montage est alimenté par une tension u t 5sin t 1- Calculer les impédances de chacun des dipôles élémentaires Z R, Z L et Z C. (forme polaire et rectangulaire) 2- On branche la résistance R en série avec l'inductance L. Calculer l'impédance équivalente de ce montage Z EQ. 3- En déduire la valeur de l'intensité et préciser la valeur de,. 4- Calculer alors la valeur de la tension R aux bornes de R et la valeur de la tension L aux bornes de L et vérifier que R + L 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 8/14

9 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. 5- On branche maintenant la résistance R en dérivation avec le condensateur C. Calculer la valeur de l'impédance équivalente Z EQ. 6- En déduire la valeur de l'intensité et préciser la valeur de,. 7- Calculer alors la valeur de l'intensité R dans R et la valeur de l'intensité L dans L et vérifier que R + L.2.f. Diviseur de tension : 1 Z1 1 Z 1 Z 1 Z 2 Z2 2 2 Z 2 Z 1 Z 2.2.g. Diviseur de courant : Z 2 Z 1 Z 2 Z1 Z2 2 Z 1 Z 1 Z 2 Exercice : Refaire la question 4 du.2.e en utilisant le diviseur de tension. Refaire la question 7 du.2.e en utilisant le diviseur de courant. 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 9/14

10 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. PSSANCES EN ALTERNATF SNSOÏDAL : Z La tension u(t) a pour tension efficace L'intensité i(t) a pour valeur efficace On définit, le déphasage de vers avec Puissance active P : La puissance active P est définit par P cos en Watt [W]. Cette puissance est toujours positive ou nulle et se mesure avec un wattmètre..2 Puissance réactive Q : La puissance réactive Q est définit par Q sin en volt-ampère réactif [var]. Cette puissance peut-être positive, nulle ou négative car Cette puissance n'a pas de sens physique, c'est un intermédiaire de calcul. En général, on calcule cette puissance ; quelquefois, on la mesure avec un varmètre (branchement identique que celui d'un wattmètre)..3 Puissance apparente S : La puissance apparente S est définit par S en Volt-Ampère [VA]. Cette puissance est aussi un intermédiaire de calcule, elle est aussi appelée puissance de dimensionnement..4 Facteur de puissance f P : Le facteur de puissance d'un montage est définit par f P P S. Dans le cas de l'alternatif sinusoïdal, f P P S cos cos. C'est un nombre sans dimension et 1 f P 1..5 Triangle des puissances : Relation dans le triangle des puissances : φ S P Q S P 2 Q 2 QP tan 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 10/14

11 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL..6 Exercices : ne installation est alimenté par une tension alternative sinusoïdale [230 V;0] et absorbe l'intensité [10 A ;30 ]. 1-Calculer la puissance active P absorbée par l'installation. 2- Calculer la puissance réactive Q absorbée par l'installation. 3- Calculer la puissance apparente S absorbée par l'installation. 4- En déduire le facteur de puissance de l'installation..7 Les différentes puissances pour les dipôles élémentaires : Dipôle R L C L C R P R R 2 ou P [ W ] P R 2 P L 0 P C 0 R Q L L 2 ou Q C 2 C ou Q [var] Q R 0 Q L 2 L Q C 2 C.8 Théorème de Boucherot : n montage est composé de N dipôles D 1, D 2,..., D N branchés en série ou parallèle. Chacun des dipôles absorbe la puissance active Pi et la puissance réactive Q i. D 1 (P 1,Q 1 ) D 3 (P 3,Q 3 ) D 2 (P 2,Q 2 ) La puissance active totale absorbée par ce montage est P T P 1 P 2... P N D 4 (P 4,Q 4 ) La puissance réactive totale absorbée par le montage est : Q T Q 1 Q 2... Q N Attention, la puissance apparente de ce montage est S T P T 2 Q T 2 et le facteur de puissance de ce montage est alors f P P T S T. 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 11/14

12 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. Y 1 Y 2 L L R R L'oscillogramme est représenté ci-dessous : Voie1 Voie 2 Voie 1 : 2 V/div Voie 2 : 1 V/div Base de temps : 0,1 ms/div 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 12/14

13 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. 6- Déterminer la valeur du déphasage, et préciser si le courant i(t) est en avance ou en retard par rapport à la tension u(t). 7- On branche un voltmètre numérique aux bornes du GBF Quelle type de tension mesure-t-il sur la position DC? 7.2- Quelle valeur affiche-t-il? 7.3- Quelle type de tension mesure-t-il sur la position AC+DC? 7.4- Quelle valeur affiche-t-il? Pour la suite du problème, on prend f 1 khz, R 820 Ω,L 0,2 H et 3,3 ma. 8- Déterminer les caractéristiques de l'impédance Z R : Z R ; φ R 9- Déterminer les caractéristiques de l'impédance Z L : Z L ; φ L 10- En utilisant la loi d'ohm en alternatif sinusoïdal, déterminer les caractéristiques des tensions : R R R L L L 11- Établir la relation entre les tensions R, L et 12- En prenant pour échelle 1 V 2 cm, en prenant comme axe de référence, tracer R L. 13- En déduire les caractéristiques de la tension u(t) : L 14- Et en utilisant la loi d'ohm en alternatif, déterminer la valeur de l'impédance Z du montage : Z L 1 GET T.D. Les R nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 13/14 φ RL R

14 TLSATON DES NOMBRES COMPLEXES EN ALTERNATF SNSODAL. : axe de référence. 15- En utilisant la représentation vectorielle ci-dessus, montrez que l'impédance équivalente du montage est Z R 2 L 2 et que le déphasage imposée par la charge est tan 1 L R. 1 GET T.D. Les nombres complexes en alternatif sinusoïdal Page 14/14