Programme détaillé des enseignements

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1 Programme détaillé des enseignements SEMESTRE S1 Spécialité Recherche Mathématiques Au premier, chaque étudiant doit suivre les cours des modules ci-dessous dont le total représente 30. Après avis des enseignants, il peut aussi remplacer un ou deux de ces modules (mais au plus 10 ) par un ou deux modules de la spécialité professionnelle du master. d'u.e. F F Intitulé et descriptif des U.E. ALGEBRE APPROFONDIE ET THEORIE D GALOIS Groupes finis : théorèmes de Sylow, applications, groupes résolubles, cas du groupe symétrique, groupes abéliens finis. Anneaux factoriels : éléments irréductibles et premiers d'un anneau, cas des anneaux principaux, anneaux factoriels, un anneau principal est factoriel, existence des pgcd, lemme de Gauss. Anneaux de polynômes : Critère d'eisenstein; si A est factoriel, A[X] l'est aussi; irréductibles de A[X]; discriminant d'un polynôme. Extension de corps : extension de corps de nombres, décomposition de polynômes, correspondance de Galois, équations résolubles, norme, trace, discriminant, la règle et le compas. Corps finis : existence et unicité, théorie de Galois des corps finis. Formes quadratiques : Classification des formes quadratiques sur les corps finis, théorème de Witt. ANALYSE Compléments sur les fonctions continues (théorèmes d Ascoli et de Stone-Weierstrass) Espaces de Banach : théorèmes de Hahn Banach, propriété de Baire, théorème de Banach-Steinhauss, théorème de l application ouverte, théorème de Banach-Alaoglu. Calcul intégral : espaces Lp,inégalité de Hölder, théorème de Riesz-Ficher. Espace L infini. Dualité dans les Lp (admis). Notion de convolution sur R ou Rd. L algèbre L1(Rd). Approximation de l unité, applications à l approximation et la régularisation. Transformation de Fourier dans L1, dans S. Théorème d inversion de Fourier. Théorème de Fourier-Plancherel, transformée de Fourier dans L2. Introduction aux distributions Analyse complexe : Retour sur le théorème des résidus, exemples d applications. Principe du prolongement analytique, exemples d utilisation. Notion de logarithme. Suites de fonctions holomorphes, théorème de Weirstrass et propriété de Montel. Produits infinis, exemples. Quelques propriétés de base de fonctions spéciales ( Gamma, Zéta,..) Université Blaise Pascal Page 1 sur 8

2 PROBABILITES Variables aléatoires réelles et vecteurs aléatoires : calcul de lois, fonction caractéristique, vecteurs gaussiens. Espérance conditionnelle, lois conditionnelles. Convergence de suites de variables aléatoires : presque sûre, en probabilité, en moyenne d ordre p, en loi ; théorèmes classiques. 1 22,5 22, GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Difféomorphismes Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites, théorème du rang. Applications étales et caracterisation des C^rdifféomorphismes. Variétés et applications différentiables Sous variétés de R^d. Applications différentiables. Espace tangent et champs de vecteurs : flot, groupe à un paramètre. Extrema liés. Propriétés métriques L'application de Gauss : courbure de Gauss, courbure moyenne, surfaces de l'espace de dimension trois, surfaces de révolution et surfaces réglées, position d'une surface par rapport au plan tangent; THEOREME DE GAUSS-BONNET (ENONCE). TOTAL HORAIRE S1 147,5 147,5 10 d'u.e.: F: fondamentale ; : optionnelle Coef: indiquer le poids de chaque matière dans l'ue Université Blaise Pascal Page 2 sur 8

3 SEMESTRE S2 Spécialité Recherche Mathématiques Au deuxième, chaque étudiant doit effectuer un TER (en langue anglaise), suivre le module EDP (10), puis choisir 3 modules parmi les 4 autres modules proposés ci-dessous. d'u.e. Intitulé et descriptif des U.E. F TER EN ANGLAIS SCIENTIFIQUE 1 5 F EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES (EDP) Espaces de Sobolev : Compléments sur les distributions, définitions, dual, théorèmes de prolongement et densité de fonstions régulières, notion de trace, formule de Green, théorèmes d injection de Sobolev (admis), théorème de Poincaré. EDP elliptiques du second ordre : Théorème de Lax Milgram, existence et régularité des solutions, approximation par les méthodes des éléments finis (interpolation de Lagrange, convergence de la méthode). Méthode des différences finies. Problèmes paraboliques du type équation de la chaleur : existence et unicité des solutions. Schémas numériques d approximation de ces solutions : discrétisation en temps par différences finies et en espace (par différences finies ou par éléments finis), convergence et estimation d erreur. Mise en œuvre numérique F STATISTIQUES Asymptotique des grandeurs empiriques. Test de Kolmogorov-Smirnov. TCL muti-dimensionel. Test du chi-deux. Modèle statistique, exponentiel. Estimation, borne de Fréchet. Maximum de vraisemblance, intervalle de confiance. Tests paramétriques THEORIE SPECTRALE Spectre d un opérateur borné sur un espace de Hilbert. érateurs compacts. Alternative de Fredholm. Algèbres de Banach, transformée de Gelfand. Le calcul fonctionnel continu sur les opérateurs normaux. Décomposition polaire. Le théorème spectral multiplicatif. Application au spectre d un opérateur compact Université Blaise Pascal Page 3 sur 8

4 ANALYSE NON LINEAIRE Compléments sur les topologies faibles : espaces réflexifs, uniformément convexes, application aux espaces Lp et aux espaces de Hilbert. Minimisation de fonctionnelles, problèmes d extremum (extrema liés, fonctionnelles convexes). Théorèmes de point fixe de Brouwer, de Schauder, méthode de Galerkin. GEOMETRIE ET ANALYSE COMPLEXE Rappels sur l'exponentielle et logarithme complexe, prolongement analytique des fonctions holomorphes le long des chemins, homotopie des chemins, théorème de monodromie, domaines simplement connexes et groupes fondamentaux, théorème d'uniformisation de Riemann, Surfaces de Riemann, revêtements, revêtements ramifiés. TOTAL HORAIRE S TOTAL HORAIRE M1 292,5 292,5 20 d'u.e.: F: fondamentale ; : optionnelle Coef: indiquer le poids de chaque matière dans l'ue Université Blaise Pascal Page 4 sur 8

5 SEMESTRE S3 Spécialité Recherche Mathématiques Chaque étudiant doit suivre des enseignements à choisir dans les listes ci-dessous, pour obtenir 40 (30 au S3 et 10 au S4), ou seulement 20 s il a déjà obtenu les 20 autres par une inscription en M2 mixte au cours de son année de préparation à l agrégation d'u.e. Intitulé et descriptif des U.E. Calcul scientifique avancé (A1) Méthodes numériques en mécanique des 20 fluides (A2) Mécanique des matériaux et des structures 24 (A3) Méthodes numériques en mécanique non 16 linéaire (A4) Compléments sur les problèmes hyperboliques (commun avec l agrégation) (B1) Schémas volumes finis Modélisation des fluides en milieux poreux (B2) Méthode des frontières immergées pour la résolution numérique des équations de Navier-Stokes. Modélisation des semi- conducteurs et des plasmas (B3) Homogénéisation d EDP : Problèmes de Cauchy abstraits et applications (C1) Analyse asymptotique de modèles 14 5 hydrodynamiques (C2) Probabilités (F1) Calcul stochastique Mouvement brownien, arbres et processus de branchement. Grandes déviations et applications. Analyse en ondelettes du mouvement brownien fractionnaire, applications. Analyse (F2) Théorie géométrique de la mesure. Méthodes déterministes et stochastiques de l analyse fractale. Algèbre (F3) Groupes quantiques. Introduction à la K-théorie. Introduction à la cohomologie. Arithmétique (F4) Formes modulaires et applications. Fonctions analytiques dans un corps ultramétrique Géométrie (F5) Introduction aux groupes et algèbres de Lie. Symboles et opérateurs différentiels comme outils en physique et en géométrie. Théorie géométrique des Groupes.Géométrie Riemannienne. 75Cust+ TOTAL HORAIRE S3 20agreg+ 228 Université Blaise Pascal Page 5 sur 8

6 SEMESTRE S4 Spécialité Recherche Mathématiques d'u.e. Intitulé et descriptif des U.E. Bifurcations dans les fluides et les plasmas : Analyse fonctionnelle et EDP (C3) ALGEBRES D OPERATEURS (F6) C* algèbres de groupes et nucléarité. Groupoides en géométrie non commutative. Propriétés géométriques des groupes quantiques discrets. C*-algèbres et K-théorie. TOTAL HORAIRE S Cust+ TOTAL HORAIRE M2 20agreg Cust+ TOTAL HORAIRE M1 + M2 20agreg +574, ,5 20 Stage ou mémoire de recherche Stage en milieu universitaire ou industriel et mémoire Nature et mode de validation Stage en milieu universitaire ou industriel Rédaction d un mémoire Durée (en semaines) (multiple de 5) 16 semaines 20 Université Blaise Pascal Page 6 sur 8

7 SEMESTRE S3 Spécialité Recherche Mathématiques, Parcours Mixte d'u.e. F Intitulé et descriptif des U.E. PREPARATION A L AGREGATION DE MATHEMATIQUES Validée par des notes de problèmes écrits et de prestations orales TOTAL HORAIRE S Cust+ 20agreg Université Blaise Pascal Page 7 sur 8

8 SEMESTRE S4 Spécialité Recherche Mathématiques, Parcours Mixte d'u.e. Intitulé et descriptif des U.E. UNITE I à choisir dans la liste des modules du M2R UNITE II à choisir dans la liste des modules du M2R UNITE III à choisir dans la liste des modules du M2R UNITE IV à choisir dans la liste des modules du M2R TOTAL HORAIRE S TOTAL HORAIRE M2 TOTAL HORAIRE M1 + M2 Stage ou mémoire de recherche Stage en milieu universitaire ou industriel et mémoire Nature et mode de validation Stage en milieu universitaire ou industriel Rédaction d un mémoire Durée (en semaines) (multiple de 5) 16 semaines 20 Université Blaise Pascal Page 8 sur 8