INTRODUCTION AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Cours de maîtrise, L. Boutet de Monvel

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1 EDP - Cours de Maîtrise LBdM 1 INTRODUCTION AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Cours de maîtrise, L. Boutet de Monvel Ce polycopié regroupe les notes du cours d Équations aux dérivées partielle de la Maîtrise de Mathématiques. La principale référence pour le cours est : L. Schwartz - Méthodes Mathématiques de la Physique. Hermann, Paris 1961 (plusieurs reéditions). On pourra aussi utilement consulter : L. Schwartz - Théorie des Distributions. Hermann, Paris L. Hörmander - The analysis of linear partial differential operators I-IV. Grundlehren der Math.Wiss. 256, 257, 274, 275, Springer-Verlag, I. Gelfand, G. Shilov - Generalized functions vol.1,2. Acad. Press, New York & London, 1964, R. Courant, D. Hilbert - Methods of mathematical physics, vol. I (1953), vol. II (1962). Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y. L. Boutet de Monvel - Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles (cours de maîtrise, Paris 7, 1974, rédigé par Ch. Bercoff) C. Zuily - Problèmes sur les distributions et les EDP. Hermann, Paris, 1988.

2 TABLE DES MATIÈRES 2 Table des Matières 1 INTRODUCTION ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES et E.D.P Notations Équations différentielles Équations aux dérivées partielles E.D.P. LINÉAIRES Calcul d erreurs ou de perturbations Équations axiomatiquement linéaires EXEMPLES Équations différentielles Équation de Laplace Équation des ondes Équation de la chaleur, équation Schrödinger Équations de Cauchy Riemann, analyse complexe MÉTHODES Problèmes bien posés Analyse fonctionnelle Distributions Transformation de Fourier DISTRIBUTIONS FONCTIONS TEST Fonctions test Topologies, limites Régularisation, densité DISTRIBUTIONS Définition des Distributions Opérations élémentaires Topologies Exemples Support CONVOLUTION Produit externe Convolution Régularisation COMPLÉMENTS, EXEMPLES Structure des distributions famille holomorphe: pf x s Passages à la limite

3 TABLE DES MATIÈRES 3 3 TRANSFORMATION de FOURIER DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES FORMULE de RÉCIPROCITÉ POLYNÔMES de HERMITE Annihilateurs et Créateurs Fonctions de Hermite Oscillateur Harmonique, Base de S et S ÉQUATION DE LAPLACE en COORDONNÉES POLAIRES SOLUTION ÉLÉMENTAIRE Cas n = 1 : Cas n RÉGULARITÉ PROBLÈME de DIRICHLET Principe du Maximum Problème de Dirichlet Noyau de Poisson de la boule Noyau de Poisson du demi-espace Formule de la moyenne HARMONIQUES SPHÉRIQUES ÉQUATION des ONDES CORDES VIBRANTES (ondes en dimension 1+1) Primitives dans C (R) Opérateur x y Corde vibrante TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE, PROBLÈME de CAUCHY Problème de Cauchy Solution élémentaire avancée SOLUTION ÉLÉMENTAIRE Cas de la Dimension Théorème de Paley-Wiener APPENDICE - ÉQUATIONS de MAXWELL Formulation usuelle Formulation intrinsèque Groupe de Lorentz

4 TABLE DES MATIÈRES 4 6 ÉQUATION de la CHALEUR, ÉQUATION de SCHRÖDINGER TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE SOLUTION ÉLÉMENTAIRE DIVERS ÉQUATION de SCHRÖDINGER ÉQUATIONS de l ANALYSE COMPLEXE ÉQUATIONS de CAUCHY-RIEMANN Fonctions d une Variable Complexe Solution Élémentaire Système de Cauchy-Riemann sur C n ÉQUATIONS de H. LEWY et S. MIZOHATA Équations de H. Lewy, b Équation de Mizohata Transformation de Fourier Partielle, Développements en Fonctions de Hermite Opérateur de Hermite PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE THÉORÈME de CAUCHY-KOWALEWSKI Problème de Cauchy Solution formelle Séries majorantes Équations différentielles d ordre Équation linéaire d ordre Crochet de Poisson Équations d ordre Fin de la preuve Appendice APPENDICE La Fonction Γ

5 1 INTRODUCTION 5 1 INTRODUCTION 1.1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES et E.D.P Notations Soit U un domaine (ouvert) de R n. On appelle multi-indice (ou n-multi-indice) une suite d entiers positifs ( 0) : α = (α 1,... α n ). On pose α = α α n, α! = α 1!... α n!,... α n! ( ) α1 ( ) αn α =... x 1 x n f (α) = α f aussi noté et, si x = (x 1,..., x n ) est un vecteur de R n, x α = x α x αn n α f x α de sorte que, pour une fonction f assez différentiable, la formule de Taylor s écrit f(x + h) = f (α) (x) hα α! + O( h N ) α <N Équations différentielles Le problème est de trouver et d étudier les fonctions dérivables y(t) d une variable t qui sont liées à leur dérivée par une relation Φ(t, y, dy ) = 0, souvent dt sous forme résolue en dy : dt dy = F (t, y) dt Les équations différentielles et le calcul infinitésimal sont apparus au 17ème siècle, avec Newton et Leibniz. Elles ont inspiré Newton pour son explication spectaculaire du mouvement des planètes sous l influence de la force de gravitation universelle. Nous utilisons toujours aujourd hui les notations de Leibniz. Leur puissance s est affirmé au 18ème pour l étude de nombreux problèmes géométriques ou mécaniques, et leur importance en mathématiques et en physique n a cessé de croître depuis. Les équations de Newton comportent deux aspects : 1) l équations générale des mouvements ( F = m γ ) dit que c est la dérivée du moment cinétique m v d un corps ponctuel de masse m, dont la position

6 1 INTRODUCTION 6 est x (fonction du temps) qui égale la force F à laquelle ce corps est soumis, autrement dit la position obéit à l équation différentielle m d2 x dt 2 = F, où la force F est en principe connue indépendamment en fonction de la position et du temps (dans certains cas, par exemple s il y a des frottements, elle dépend aussi de la vitesse). La loi n est pas du tout vide ou insignifiante: elle dit que c est la variation de la vitesse (accélération) plutôt que la vitesse elle-même (variation de la position) qui est liée à la force, comme l avait déjà dit Galilée. Elle a pour conséquence que, si la force est connue par ailleurs, le mouvement est complètement déterminé par la position et la vitesse à un instant initial. C est la partie mathématique des lois de Newton. 2) La loi de la gravitation universelle (partie physique des lois de Newton): si des mobile de masse m i et de position x i sont soumis aux seules forces de la gravitation, la force exercée sur le i-ème mobile par les autres est: F i = (x j x i ) F ij avec F ij = fm i m j x j x i = ( fm i m j ) 3 x i x i x j où f est une constante universelle. Lorsqu on étudie le mouvement d un solide indéformable ou d un nombre fini de tels solides, on tombe encore sur un système fini d équations différentielles du second ordre, parce que la position du solide est complètement déterminée par celle d un repère lié de façon fixe à ce solide, i.e. par un déplacement de l espace à 3 dimensions; or un repère orthonormé est déterminé par 6 paramètres (3 coordonnées pour déterminer l origine du repère, et trois angles pour déterminer les trois vecteurs de sa base orthonormale - en tout cas un nombre fini de paramètres réels) Équations aux dérivées partielles Il en va tout autrement lorsqu on étudie le mouvement d un corps déformable (solide élastique, liquide, gaz ou plasma), par exemple un pont suspendu, le mouvement de l eau dans un torrent, des vagues ou des courants dans la mer, ou de l écoulement de l air autour d une aile d avion. Un fluide est composé d un très grand nombre de particules massives (atomes ou molécules), et il est raisonnable de l idéaliser en un milieu continu, paramétré par les points d un domaine de R n. Une première idée serait de repérer point par point les éléments du fluide, par exemple par leur position initiale: l inconnue est alors la collection des

7 1 INTRODUCTION 7 mouvements de chaque point et est décrite par une fonction vectorielle de 4 variables x(t, ξ) où ξ désigne la position initiale. La collection des masses apparaît alors comme une densité ρ(ξ)dξ (ou une mesure), indépendante du temps si la loi de conservation de la masse est respectée. La force apparaît comme une champ de vecteurs F (t, x) et l équation du mouvement est d dx (ρv(ξ, t) = F (x, t) avec v = dt dt Le champ de forces F se compose de forces externes, comme la force de gravitation, et de force internes parfois compliquées á décrire, qui font le plus souvent intervenir des dérivées de x par rapport aux variables d identification ξ (ou de position x) - nous n en donnons pas de description ici. Cette façon de décrire le mouvement peut être raisonnable pour l étude d un solide presque indéformable, mais pour un fluide elle ne fournit pas directement les renseignement les plus utiles : le plus intéressant est plutôt l état du fluide dans un repère fixé à l observateur (nous même) - par exemple pour améliorer la forme d une aile d avion, nous devons étudier la répartition des vitesses et des contraintes près de l aile, et en se repérant par rapport à l aile, et pas ce qui s évanouit 10m plus loin! Aussi depuis Euler on repère plutôt l état du fluide par le champ de vitesses V (t, x), vitesse de la particule de fluide qui occupe la position x (de notre repère) à l instant t. De nouveau la masse est décrite par une densité (mesure) ρ(t, x), qui dépend maintenant du temps, puisqu elle est liée à x et plus au repère ξ fixé dans le fluide). Le champ de moments cinétiques est toujours ρv, mais dans ce nouveau repère, le champ des moments cinétiques, dérivée absolue par rapport au temps de ρv, est d dt (ρv (t, x(t, ξ)) = ( t + V i )(ρv ) x i. Dans cette façon de repérer, cette expression est quadratique et non linéaire par rapport à V, de sorte que (sauf miracle exceptionnel) les équations de la mécanique des fluides ne sont jamais linéaires.

8 1 INTRODUCTION E.D.P. LINÉAIRES Les équations de la mécanique des fluides sont souvent difficiles à résoudre, d autant plus qu elles donnent très souvent lieu au phénomène appelé chaos (c est typiquement le cas pour la météorologie): même si en principe la solution dépend continûment des données initiales, l erreur devient vite trop grande pour qu on puisse calculer utilement. Elles ne font pas l objet de ce cours, qui s occupe des équations linéaires, mais elles sont très importantes. Les équations linéaires sont également importantes. Il y a à cela plusieurs raisons, décrites ci-dessous Calcul d erreurs ou de perturbations Le principe de base du calcul infinitésimal - calcul d erreurs ou calcul différentiel, est qu il conduit toujours à des équations linéaires : si le vecteur h est très petit et la fonction F est différentiable, l accroissement F (x+h) F(x) F (x) h est presque linéaire en h (l erreur est de l ordre de h 2 si F est deux fois différentiable) Selon ce principe si f(x) est solution d une équation différentielle Φ(x, f (α) ) = g dans un domaine Ω de R n soumis à des condition limites supplémentaires Φ j (x, f (β) ) = g j sur le bord Ω et si ce problème est bien posé, i.e. que la solution f dépend continûment et différentiablement des données g, g j, et si f + u est la solution du même problème correspondant à des données voisines g + v, g j + v j, alors la variation u de la solution doit être (approximativement) solution du système linéaire Φ f (α) α u = v dans Ω Φj f (β) (β) u = v j sur Ω (cette discussion a tout de même des limites : il est souvent beaucoup plus difficile de montrer pour des EDP que pour des équations différentielles qu un problème est bien posé) Équations axiomatiquement linéaires. Certains objets utilisés en physique sont linéaires par définition, aussi les équations qui gouvernent leur évolution doivent être linéaires pour respecter cete structure.

9 1 INTRODUCTION 9 Par exemple les champs en physique sont des fonctions à valeurs vectorielle, ils forment un espace vectoriel, et cette structure vectorielle fait partie de leur définition, aussi les équations concernant les champs doivent être linéaires. Par exemple le équations de Maxwell, qui gouvernent le champ électromagnétique, sont linéaires (nous en reparlerons à propos de l équation des ondes). En mécanique classique, un système est déterminé par son état, qui est un point d un ensemble - de préférence un ouvert d un espace numérique R n ou d une variété X. L évolution du système est gouvernée par une équation différentielle, indépendante du temps dans le cas d un système autonome: dx dt = V (x) où V est un champ de vecteurs sur X (le champ des vitesses). dont la solution, idéalement, est donnée par un groupe à un paramètre: x(t) = Φ t (x 0 ) Comme nos mesures sont toujours imprécises, il est tout à fait raisonnable d étudier comment évolue un loi de probabilité (c est à dire une mesure positive de masse 1, mesurant la probabilité de présence du mobile dans une région donnée) plutôt qu un point isolé. On peut plus généralement étudier comment évoluent les fonctions intégrables, ou les fonctions de carré intégrable. Une fonction f sur X évolue selon la loi f t (x) = f(t, x) = f(φ t (x)) et est donc gouvernée par l équation différentielle f t = V j (x) f x j Cette équation est automatiquement linéaire, parce que notre espace de fonctions (et de même L 1 ou L 2 ) est un espace vectoriel, et que la loi d évolution respecte la structure linéaire. L espace L 2 est particulièrement commode parce que c est un espace de Hilbert, qui a une bonne géométrie avec laquelle il est plus agréable de travailler. Toujours dans ce cadre, les fonction continues à valeurs complexes forment une algèbre involutive A (on peut les ajouter et les multiplier ; l involution est la conjugaison complexe). On l appelle algèbre des observables du système. Une observable (ou mesure) est une procédé qui à un phnomne observable état associe un nombre dtermin par son tat, c est à dire une fonction sur

10 1 INTRODUCTION 10 l ensemble X des tats (celle-ci doit être continue pour avoir une signification physique, i.e. une petite erreur - inévitable - sur l état du système produit une petite erreur sur la mesure). Deux observables sont identiques si elles donnent le mme rsultat sur tous les phnomnes possibles; deux phnomnes sont dans le mme tat si toutes les mesures possibles rendent sur eux le mme rsultat. L ensemble des états est donc complètement déterminé par l algèbre A: c est le spectre X = spec A, ensemble des caractères de A, i.e. des applications χ : A C telles que χ(f + g) = χ(f) + χ(g), χ(fg) = χ(f)χ(g). En physique quantique, il y a toujours une algèbre des observables (involutive), mais ce n est plus une algèbre commutative, de sorte qu il n y a plus d ensemble des états comme ci-dessus (il n y a pas assez de caractères). Il reste tout de même un espace de Hilbert H, qui est l analogue de l espace L 2 des demi-densités ci-dessus, qui est par définition un espace vectoriel, avec en plus une métrique hilbertienne respectée par l évolution. A opère sur H, de même que ci-dessus l algèbre des fonctions continues opère, par multiplications, sur L 1 ou L 2. Une loi d évolution en physique quantique correspond alors à un groupe d isométries linéaires U t sur H et se traduit par une équation différentielle linéaire de Schrödinger de la forme i dx dt = Ax avec A = A. La mécanique quantique est en réalité un peu plus compliquée que cela car H n est pas de dimension finie, et l opérateur A, limite d éléments de A, est en général non borné (exemple type: H = L 2 (R 3 ), A =, voir ci-dessous). La constante de Planck est un nombre, qu on aurait aussi bien pu incorporer dans A; mais en pratique il est utile de regarder le problème à des échelles de plus en plus grandes ce qui conduit à étudier le comportement asymptotique des solutions de l équation de Schrödinger pour 0.

11 1 INTRODUCTION EXEMPLES Équations différentielles. Une équation différentielle linéaire d ordre n, pour une fonction numérique y(t), est une équation de la forme (1) y (n) + a j (t)y (n j) = 0 où les a j sont des fonctions continues sur un intervalle I R. Si les a j sont de fonctions constantes on ditqu il s agit d une équation à coefficients constants. On sait (cours de DEUG) que les solutions d une équation d ordre n à coefficients constants sont sommes d exponentielles polynômes y = P k (t)e tλ k où les λ k sont les racines du polynôme caractéristique λ n + a j λ n j = 0 et P k est un polynôme de degré inférieur (<) à la multiplicité de la racine λ k. On étudie aussi dans le domaine complexe des équations á coefficients rationnels, comme l équation de Bessel: (2) y + 1 z y + (1 ν2 z 2 )y = 0 qui intervient dans beaucoup de problèmes, par exemple pour la transformation de Fourier des fonctions radiales (chap. 4). Rappelons que les solutions d une telle équation se prolongent holomorphiquement en dehors des points singuliers, de façon plus compliquée (ramifiée), mais plus significative, que dans le domaine réel Équation de Laplace Le Laplacien est l opérateur du second ordre sur R n (3) = n 2 x 2 1 j Le cas usuel est le cas n = 3. Cet opérateur apparaît dans un très grand nombre d équations provenant de la physique, de la mécanique, ou de problèmes géométriques. Une raison de son unversalité est la suivante: de nombreuses lois de la physique ont tendance à se traduire par des EDP du second ordre,

12 1 INTRODUCTION 12 invariantes par déplacement (translations et rotations). Or les seuls opérateurs linéaires du second ordre invariants par déplacement sont les a + b, a, b constants, de sorte que doit apparaître dans la plupart les problèmes linéaires, en particulier de perturbation, provenant de la physique. L équation f = g apparaît en particulier en électrostatique, où c est l équation qui lie un potentiel f à la densité de charges électriques g (dans l équation de électrostatique figure aussi la constante diélectrique ε 0, qui vaut 1 dans un système d unités convenable). Le potentiel engendré par une charge 1 placée au point y R 3 est V (x, y) = 1 4π x y Comme l équation de Laplace est linéaire, le potentiel engendré par la densité g est (principe de superposition). g(y) (4) f(x) = 4π x y (pourvu que g ne soit pas trop grand de sorte que l intégrale converge). Cette formule sert à résoudre l équation de Laplace dans de nombreux cas (chap. 5). Un autre problème classique provenant de la physique est le problème de Dirichlet: trouver le potentiel f dans un domaine Ω R 3 vérifiant f = 0 lorsque f est connue sur le bord Ω. Plus généralement on étudie le problème aux limites (5) f = g dans Ω f = f 0 sur Ω On verra (chap. 5) que ce problème est bien posé (voir ci-dessous), comme le suggère l intuition physique Équation des ondes L opérateur des ondes (D Alembertien) sur R n+1 est 2 t 2. Le problème bien posé associé le plus souvent à l équation des ondes est le problème initial, avec donnée de Cauchy: (6) ( 2 f t 2 )f = g f f = f 0 (x), t = f 1(x) pour t = 0 La solution de l équation des ondes est donnée par une formule intégrable remarquable (chap. 6).

13 1 INTRODUCTION Équation de la chaleur, équation Schrödinger L opérateur de la chaleur, resp. de Schrödinger est R n+1 est (7) C = t resp. S = t i. Un problème bien posé souvent associé est le problème initial: P f = g (P = C ou H), f = f 0 (x) pour t = 0. La solution de l équation de la chaleur, et celle de l équation de Schrödinger, sont données par des formules intégrables remarquables (chap. 7). Bien qu il y ait des ressemblances formelles, les deux problèmes pour C et S sont profondément différents, en particulier l équation de Schrödinger est réversible et le problème initial a une solution définie pour toutes les valeurs de t; l équation de la chaleur ne l est pas, et le problème initial n est résoluble que pour t Équations de Cauchy Riemann, analyse complexe. L équation de Cauchy-Riemann est celle que vérifient les fonctions holomorphes de z = x + iy: f (8) z = 1 ( 2 x + i ) f = 0 y Les fonctions holomorphes sur C n vérifient le systèmes des équations de Cauchy-Riemann f = ( f z k ) = 0 (k = 1,..., n). Il n y a pas de conditions limites bien posées du type ci-contre associé à ce système d équations. Si f est holomorphe dans un domaine Ω de C n, de frontière régulière Ω, la restriction f Ω vérifie un système de n 1 équations différentielles (système b des équations de Cauchy-Riemann tangentes, chap. 8). L équation de H. Lewy sur R 3 (variables z = x + iy, t) est : (9) Lf = f z + iz f t = 0 c est un cas particulier du système tangent b (n = 2, Ω =la boule unité, Ω =la sphère unité, après choix d un système de coordonnées convenable sur la sphère). L équation de Mizohata que nous étudierons à la fin du cours est (10) Mf = f t it f x = 0 Ses solutions sont les fonctions f(z), z = x + i 2 t2 où f est holomorphe dans le demiplan de Poincaré Im z 0. Elle est apparentée á l équation de H. Lewy en ce sens

14 1 INTRODUCTION 14 que l une se ramène en gros à l autre après une transformation canonique (nous en parlerons un peu à la fin du cours). Les équations Lf = g ou Mf = g ont la propriété remarquable suivante : non seulement il n y a pas de conditions limites bien posées au sens usuel, mais elles n ont a en général pas de solution du tout au voisinage d un point donné (avec t = 0 pour la seconde) si le second membre g est mal choisi. Elles ne se comportent donc pas du tout comme devraient se comporter intuitivement les équations associées à un phénomène physique - mais elles ont leur origine dans des problèmes de géométrie analytique complexe tout à fait naturels.

15 1 INTRODUCTION MÉTHODES Problèmes bien posés Les premières préoccupations des mathématiciens ont été l étude et la description de la solution générale d une équation ou d un système d équations aux dérivées partielles. Mais il est important, surtout quand nos équations doivent servir à décrire et modéliser des phénomènes physiques, de savoir quelles données supplémentaires il faut prescrire pour que la solution soit déterminée de façon unique, et surtout qu elle dépende continûment des données (en un sens intuitif, qu il faudra préciser). Lorsqu il en est ainsi on dit, avec J. Hadamard, que le problème est bien posé. Pour une équation P (x, α f) = g dans Ω, où Ω est un domaine de R n de frontière Ω régulière ou réguliére par morceaux, les données supplémentaires sont le plus souvent des conditions aux limites sur la frontière Ω, de la forme Q k (x, α f) Ω = g k où les Q k sont aussi des opérateurs différentiels (donc locaux). Il est parfois utile d utiliser d autres types de conditions supplémentaires, par exemple des conditions intégrales (non locales). Un exemple typique est la donnée de Cauchy d ordre k, qu on adjoint à une équation d ordre k pour définir le problème de Cauchy: k t f(t, x) + F (t, x, α f) = g j f t = g j(x), pour t = 0, j = 0,..., k 1 j où dans l équation principale F ne dépend que des dérivées α f d ordre α k, et α t < k (ordre en t). Le problème de Cauchy est bien posé pour certaines équations, appelées hyperboliques, par exemple pour l équation des ondes (chap. 6). Mais il ne l est pas pour les autres exemples ci-dessus. Pour le Laplacien c est le problème de Dirichlet (5) qui est bien posé. En général le problème de trouver des conditions limites pour lequel un problème est bien posé (et montrer qu elles le sont) est difficile Analyse fonctionnelle La notion de problème bien posé demande qu on définisse une topologie (notion de limite) sur l ensemble de fonctions avec lequel on travaille. Par exemple si on travaille avec des fonctions de classe C k, il est raisonnable de travailler avec

16 1 INTRODUCTION 16 la topologie de la convergence C k, définie par la famille de semi-normes N K,k (k N, K compact) : N K,k (f) = sup α f(x) x K, α k Ces topologies, liées à la convergence uniforme de f et de certaines de ses dérivées, sont bien adaptées et adéquates pour beaucoup de problèmes à une variable (équations différentielles). Mais elles ne suffisent absolument plus pour les problèmes à plusieurs variables (n 2), et on a été obligé, dans la théorie des EDP, pour exprimer que la solution dépend continûment des données (ou simplement démontrer qu elle existe), d introduire un grand nombre de topologies et de semi-normes plus élaborées. Parmi les plus usuelles sont les semi-normes du type Sobolev: N p,k (f) = ( α f p) 1/p α k qui marchent mieux que les normes uniformes Distributions Il est souvent commode de remplacer le problème d évolution par l équation intégrale dy dt = F (t, y), y(0) = 0 y(t) = y 0 + t t 0 F (s, y(s))ds (pout tout t) Les deux problèmes sont équivalents et ont les mêmes solutions, bien que dans le second l intégrale ait un sens pour une classe plus large de fonction (si F est continue, il suffit que y soit mesurable bornée). On peut souvent de même remplacer une EDP (avec conditions limites) par une équation intégrale en gros équivalente, en particulier pour les problèmes dits variationnels. Les solutions de l équation intégrale sont appelées solutions faibles. Si n 2 il arrive qu il existe des solutions faibles qui ne sont pas assez différentiables pour que l équation différentielle ait pour elles un sens. L intérêt des solutions faibles a été mis en valeur en particulier par J. Leray, qui a montré que des solutions faibles des équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes) existent pour toutes les valeurs du temps, alors que les solutions au sens normal semblent disparaître ou se brouiller.

17 1 INTRODUCTION 17 La théorie des distribution (chap. 3) est un outil de la théorie des EDP, plus spécifiquement des EDP linéaires, qui rend compte des solutions faibles ci-dessus, mais aussi de beaucoup de formules de la théorie des EDP analogues à la formule du potentiel (4), qui contiennent des intégrales singulières, i.e. des procédés de calcul qui sont des limites d intégrales et se comportent comme des intégrales, mais ne sont pas des intégrales convergentes. Les distributions ont été pressenties par P. Dirac, de façon un peu heuristique pour les besoins de la physique théorique, et beaucoup d idées de la théorie viennent de S.L. Sobolev. La mise en forme finale est due de L. Schwartz (Théorie des distributions, Hermann Paris 1950) et est présentées de façon très élémentaire dans son manuel de Méthodes Mathématiques de la Physique Transformation de Fourier On a vu dans (1.2.1) que les exponentielles e λx jouent un rôle privilégié dans l analyse des équations différentielles (1 variable) `z coefficients constants. Pour un opérateur différentiel à coefficients constants P (D) = a α D α sur R n, avec D, = 1 i (Dα = ( i )α ), on a P (D)(e ix.ξ ) = P (ξ)(e ix.ξ ) de sorte que l équation P (D)f = g se ramènera à un problème de division par P (ξ) si on arrive à écrire g comme superposition d exponentielles: g(x) = e ix.ξ ĝ(ξ) dξ La transformation de Fourier réalise exactement cela. Les séries trigonométriques ont été d abord introduites par Fourier pour étudier l équation de la chaleur. Il est naturel de privilégier les exponentielles à exposant imaginaire, qui sont les exponentielles bornées. Dans la théorie actuelle décrite ci-dessous (chap. 4), le facteur ĝ n est pas une fonction, ni même une mesure, mais une distribution (tempérée), et il ne s agit pas d une vraie intégrale mais d une intégrale généralisée au sens des distributions, mais l idée de base reste la même.

18 2 DISTRIBUTIONS 18 2 DISTRIBUTIONS Une fonction numérique (sur un ouvert X de R n, ou une variété, etc.) est définie par sa valeur f(x) en chaque point x. Dans un processus de mesure où il y a des erreurs sur la position des points et sur les valeurs de f, il est souvent plus significatif de repérer des moyennes de valeurs dans des parties de X. La fonction apparaît ainsi alors par ses moyennes (ou épreuves) contre des fonctions test convenablement choisies. C est ainsi aussi qu apparaissent les distributions, mais au lieu de calculer des moyennes dans des ensembles, on les éprouve contre des fonctions très régulières : les fonctions test. Une fonction f, et plus généralement une distribution n apparaît alors qu à travers les moyennes : f, ϕ = fϕ Plus la définition des fonctions test est exigeante, mieux elle absorbe (et permet) d éventuelles irrégularités de f. 2.1 FONCTIONS TEST Fonctions test Définition 1 Soit X un ouvert de R n. On note C 0 (X) l ensemble des fonctions C à support compact sur X Exemple: la fonction exp 1 si x < 1 1 x 2 ϕ(x) = 0 si x 1 est de classe C, à support dans la boule de rayon 1. À partir de cet exemple on voit qu il y a beaucoup de fonctions test. En particulier Proposition 1 pour tout compact K R n et tout ε > 0 il existe une fonction test ϕ C0 telle que (11) 0 ϕ 1, ϕ = 1 au voisinage de K, ϕ = 0 en dehors de K ε où K ε est l ensemble (compact) des x R n tels que d(x, K) ε. Démonstration: exercice (ou voir le n o 3.1.3).

19 2 DISTRIBUTIONS Topologies, limites Pour K compact, k entier positif, on introduit la semi-norme (12) N K,k (f) = sup f (α) (x) α k,x K L espace des fonctions de classe C k à support dans K est noté CK k ; c est un espace de Banach pour la norme: N K,k. Les espaces C k resp. C sont munis de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact des dérivées d ordre k (resp. de toutes les dérivées), autrement dit de la topologie définie par les semi-normes N K,k, K compact (resp. toutes les semi-normes N K,k, K compact, k 0). Ce sont des espaces de Fréchet: métrisables car la topologie est déjà définie par la famille dénombrable de semi-normes N BN,k, B N la boule de rayon N entier > 0 (resp. N, k N); le fait qu il soient complets résulte du théorème usuel sur la dérivée d une limite: si f k converge vers une limite et f k converge uniformément sur tout compact vers une limite, alors f = lim f k est dérivable et (lim f k ) = lim(f k ). [Remarque: si E est un espace vectoriel topologique dont la topologie est définie par une suite (dénombrable) N p de semi-normes, la topologie de E peut toujours être définie par un seul écart (= distance, sans l axiome de séparation): par exemple d(x, y) = sup(min(2 p, N p (x y)) : il est immédiat que d(x, y) 0 N p (x y) 0 pour tout p).] Topologie sur C0 (X): par définition, une application f sur C0 est continue si et seulement si sa restriction à CK est continue pour tout compact K (nous n aurons besoin de cette définition que dans le cas où f est linéaire, mais elle vaut pour toutes les applications, linéaires ou non). La topologie peut aussi être définie par une famille non dénombrable de semi-normes, que nous ne décrirons pas car la seule propriété utile est la définition ci-dessus Régularisation, densité Choisissons ϕ C0 (R n ) telle que ϕ 0, ϕ = 0 pour x > 1 et ϕ = 1 (il en existe). On pose ϕ ε = ε n ϕ( x ), et, si f est une fonction localement intégrable ε on note f ε le produit de convolution: (13) f ε = f ϕ ε = f(x y)ϕ ε (y)dy = f(y)ϕ ε (x y) (le produit de convolution est généralisé à des objets plus généraux plus loin).

20 2 DISTRIBUTIONS 20 f ε est de classe C. Si f est de classe C k, f ε (α) = (f (α) ) ε f (α) pour α k, uniformément sur tout compact, parce que f(x) f ε (x) = ϕ ε (y)(f(x) f(x y))dy 0 x ε uniformément sur tout compact si f est continue, et de même pour les dérivées car on a (f ε ) (α) = (f (α) ) ε, comme on voit en dérivant sous le signe. Donc C est dense dans C k. Si f est à support dans K on a supp f ε K ε, et K ε est compact si K est compact. Donc C0 est dense dans C0 k. Si χ C0, χ = 1 pour x 1, f n = χ( x f est à support compact et tend n vers f dans C (resp. C k ) pour k si f C (resp. C k. Donc C0 est dense dans tous les espaces ci-dessus. Remarque: si on pose ϕ = ϕ ε χ où χ est la fonction caractéristique de K 3 2 ε, K 3 compact (avec la notation de la prop.1, i.e. χ(x) = 1 si d(x, K) 2 ε, 0 sinon). 3 Alors ϕ = 1 sur K ε et ϕ = 0 en dehors de K ε, ce qui donne un exemple pour 3 la prop.1.

21 2 DISTRIBUTIONS DISTRIBUTIONS Définition des Distributions Définition 2 Une distribution ( fonction généralisée ) est une forme linéaire continue sur C 0. Les distributions forment un espace vectoriel C (noté D dans le livre de L. Schwartz). Ainsi une distribution T est une forme linéaire sur C 0 : ϕ T, ϕ = T (ϕ) La continuité signifie que pour tout compact K in existe une constante c et un entier k ( ordre de la distribution sur K) tels que T, ϕ c N K,k (ϕ) pour ϕ C K Exemples 1) Si f est une fonction continue, elle définit une distribution T f, ϕ = fϕ T f est nulle si et seulement si f est nulle, on a f = lim f ε et f ε (a) = f(x), ϕ(a x) = 0 si T f = 0. Dans toute la suite nous identifierons une fonction continue f a la distribution qu elle définit, de même si f est une fonction localement intégrable (si f est localement intégrable, T f est bien définie; on a T f = 0 si et seulement si f est nulle presque partout). 2) La masse de Dirac est la distribution δ, ϕ = ϕ(0) ( d ordre 0) Opérations élémentaires Soit P (x, D) = a α (x)d α est un opérateur différentiel à coefficients C. Le transposé t P est l opérateur différentiel: t P (x, D) = ( 1) α D α a α (x) (où dans le deuxième membre on compose les opérateurs dans l ordre écrit: D α a α (f) = D α (a α f)). Si T est une distribution, on définit P (x, D)T par la formule (14) P (x, D)T, ϕ = T, t P (x, D), ϕ

22 2 DISTRIBUTIONS 22 Cette formule est justifiée parce qu elle est vraie si T est une fonction C (intégration par parties). En particulier les dérivées D (α) T sont bien définies, ainsi que le produit ft si f C : (15) D (α) T, ϕ = ( 1) (α) T, D (α) ϕ ft, ϕ = T, fϕ Attention que si f n est pas C, le produit ft n est pas toujours bien défini pour toute distribution T Topologies Sur l espace C des distributions, on dispose de plusieurs topologies: - la topologie faible, qui est la topologie de la convergence simple sur C0 : une famille T i converge faiblement vers T si pour toute ϕ C0 T i, ϕ T, ϕ. - la topologie forte, qui est la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de C0. Par définition une partie B de C0 est bornée s il existe un compact K tel que b CK et pour tout k, N K,k(B) = sup ϕ B N K,k (ϕ) <. La topologie faible, resp. forte, est définie par la famille de semi-normes p F (T ) = sup ϕ F T, ϕ où F parcourt l ensemble des parties finies, resp. des parties bornées, de C 0. Remarques: - Soit ϕ i une suite d éléments de C K ; alors ϕ i 0 si pour tout k, N K,k (ϕ i ) 0. S il en est ainsi la suite (ϕ i ) est bornée; mieux : il existe une suite λ i telle qu on ait encore λ i ϕ i 0 (par exemple il existe une suite i 1 < i 2 <... telle que N K,k (ϕ i ) 4 k si i i k ; on choisit λ i = 2 k si i k i < i k+1 ). Par suite si T est une forme linéaire bornée sur les parties bornées de C 0, elle est continue ( T, ϕ i 0 si ϕ i 0 dans un C K ), et C est complet pour la topologie forte. - La topologie forte est, comme son nom l indique, plus fine que la topologie faible. Elle est vraiment plus fine, i.e. une famille qui converge faiblement ne converge pas toujours fortement. Cependant Théorème 1 Si T n est une suite de distributions qui converge simplement vers une limite T, i.e. T n (ϕ) T (ϕ) pour toute ϕ C0, alors T est une distribution (i.e. est linéaire et continue), et T n tend fortement vers T.

23 2 DISTRIBUTIONS 23 Nous ne démontrons pas ce théorème, qui a l air miraculeux. Voici tout de même une indication: si T n est une suite simplement convergente de distributions, la limite T est évidemment linéaire. On montre qu elle converge en fait uniformément sur les parties bornées : pour tout compact K soit B l ensemble des ϕ C K,k telles que T n (ϕ) 1 pour n 0 (on a aussi à la limite T (ϕ) 1 pour ϕ B). Alors B est convexe, fermé et puisque T n (ϕ) converge donc est bornée pour toute ϕ CK, on a C K = k>0 kb (réunion dénombrable). Or CK est un espace de Fréchet, i.e. métrique complet, et le théorème de Baire affirme que dans ces conditions un des ensembles kb est d intérieur non vide. Alors kb kb = 2kB est un voisinage de 0, et aussi B; finalement comme T 1 sur B, T est continue sur CK (et la suite T n est équicontinue ). L autre assertion résulte du théorème d Ascoli, qui montre d une part que les parties bornées de C0 sont compactes, et d autre part que puisque la suite T n est équicontinue et converge simplement vers T, elle converge uniformément sur tout compact. En pratique il est impossible de démontrer qu une suite T n est convergente sans trouver en même temps pour quelles semi-normes la limite est continue, mais le théorème ci-dessus dit qu on n a même pas besoin de s en préoccuper! Exemples 1) La dérivée δ (α) est définie par δ (α), ϕ = ( 1) α ϕ (α) (0) On a en particulier (n = 1) δ = lim 1 2ε (δ ε δ ε ) où δ a est la masse de Dirac au point a ( δ a, ϕ = ϕ(a)). La dérivée δ modélise bien le dipôle électrique. 2) Valeurs Principales et Parties Finies La distribution vp 1 x est définie par vp 1 x, ϕ = lim x >ε ϕ dx x, valeur principale de l intégrale divergente ϕ(x) dx. La limite existe car ces x intégrales sont toutes nulles si ϕ est paire, et si ϕ(0) = 0, ϕ(x) est continue de x sorte que l intégrale est convergente. Plus généralement on définit la distribution pfx s + (partie finie, ou pseudofonction x s +, s C) par : pf x s +, ϕ = pf 0 x s ϕ(x)dx

24 2 DISTRIBUTIONS 24 où, suivant J. Hadamard, on définit la partie finie de l intégrale comme suit : Écrivons ϕ = k<n ϕ(k) (0) xk + ϕ k! N où ϕ N est le reste de la formule de Taylor à l ordre N. Comme x s+k a pour primitive xs+k+1 +cste, resp. Log x+cste si s+k+1 = 0, s+k+1 l intégrale 1 ε xs ϕ(x) (primitive nulle à l infini de x s ϕ(x)) admet, pour ε 0 (et pour N assez grand: Re s + N > 0), un développement asymptotique : 1 où C est une constante et I N (ε) = ε k<n,s+k+1 0 x s ϕ(x) = C + I N (ε) + 0(ε s+n ) ϕ (k) (0) k! ε s+k+1 s + k + 1 k<n,s+k+1=0 ϕ (k) (0) Log ε k! La partie finie de l intégrale est la constante qui apparaît dans cette formule: pf 0 x s ϕ(x)dx = lim ε 0 [ 1 ε x s ϕ(x) I N (ε) Cette limite ne dépend pas de N (Re s + N > 0) puisque ε s+k+1 0 si Re s + k + 1 > 0. Noter que le terme logarithmique n apparaît que si s est entier. La loi d em.. maximum fait que c est bien sûr ce cas qui est le plus utile. 3) Valeur au Bord de Fonction Holomorphe Notons z = x + iy la variable dans C. Soit f une fonction holomorphe dans le demi-plan Im z > 0. Nous dirons que f est modérée (ou à croissance modérée le long de l axe réel) si pour tout R il existe un exposant N et une contante C tels que f(z) Cy N pour z R Proposition 2 Si f est modérée, la fonction f y (x) = f(x + iy) a une limite distribution pour y +0. On note parfois cette limite f(x + i0) Preuve: ceci est évident si f se prolonge continûment au demi-plan fermé y 0. Dans le cas général, soit f k une primitive k-ième de f (par exemple f 0 = f, f k = z i f k 1 (u)du). Alors on a dans le demi-disque de rayon R: f k cste y N+k si N + k < 0 resp. cste Log y si N + k = 0)

25 2 DISTRIBUTIONS 25 de sorte que f k est continue (dans le même demi-disque) pour k assez grand ( N + k > 0). On a donc (dans l intervalle [ R, R]) k f(x + i0) = lim f(x + iy) = lim y 0 y 0 x f k(x + iy) = k k x f k(x + i0) k (limite et dérivée au sens des distributions). On définit de même la valeur au bord d une fonction holomorphe modérée dans le demi-plan y < 0. Exercices : 1 1) montrer qu on a 1 = 2πiδ x+i0 x i0 2) Montrer que toute distribution T à support dans un intervalle compact I R est de la forme T = f(x + i0) f(x i0) où f est une fonction holomorphe dans C I Support Support d une fonction. On rappelle que si f est une fonction, son support est le plus petit ensemble fermé dans le complémentaire duquel f est nulle (x / supp f si et seulement si f est nulle dans un voisinage de x). Définition 3 (et théorème) Soit T une distribution. Il y a un plus grand ouvert U tel que T U = 0. Le support de T est le complémentaire de cet ouvert. T U = 0 signifie T (ϕ) = 0 pour toute ϕ C0 (U). Il faut montrer que si U i est une famille d ouverts, U = U i, T est nulle dans U si elle l est dans tous les U i Soit ϕ C0 (U), et K = supp ϕ. Pour chaque x K, choisissons une fonction χ x de classe C, de sorte que - χ x 0, χ x (x) > 0 - supp χ est contenu dans un des U i (c est possible puisque K U i ); notons V x l ensemble ouvert où χ x > 0. Comme K est compact, il est contenu dans une réunion finie V xk. Alors χ = χ xk est de classe est > 0 au voisinage de K, de sorte que ϕ k = χx k ϕ χxk C (elle l est au voisinage de K où χ > 0, et elle est nulle en dehors de K. On a évidemment ϕ = ϕ k, et comme pour chaque k, supp f k est contenu dans un des U i, on a T, ϕ = T, ϕ k = 0. CQFD Remarque: la construction ci-dessus utilise est un cas particulier d un résultat général sur les partition de l unité: si X est un ouvert de R n (plus généralement

26 2 DISTRIBUTIONS 26 une variété métrisable), U i un recouvrement ouvert de X, il existe une famille χ α C 0 (X) telle que (i) pour chaque α, supp χ α est contenu dans un des U i, (ii) la famille est localement finie i.e. au voisinage de tout point les χ α sont toutes nulles, sauf un nombre fini, (iii) χ α = 1. Proposition 3 L espace C 0 des distributions à support compact est le dual (topologique) de C On a bien sûr Co C, et si T est à support compact, elle se prolonge continûment en une forme linéaire continue sur C (de façon unique puisque C0 est dense dans C ; par exemple T, f = T, χf avec χ C0, χ = 1 au voisinage de supp T ). Inversement si T est une forme linéaire continue sur C c est aussi une distribution (sa restriction à C0 est linéaire continue), et il existe une seminorme N K,k (K compact) telle que T, ϕ ra cn K,k : ceci implique T, ϕ = 0 si ϕ est nulle au voisinage de K, autrement dit supp T K. CQFD

27 2 DISTRIBUTIONS CONVOLUTION Produit externe Si f resp. g sont des fonctions intégrables sur R m resp. R n, leur produit externe est la fonction f g = f(x)g(y) sur R m+n. Si alors h est une fonction continue (ou mesurable) bornée sur R m+n, on a d après le théorème de Fubini f g, h = f(x)g(y)h(x, y) dxdy = m+n R R f(x)dx g(y)h(x, y)dy = m n R R g(y)dy f(x)h(x, y)dx n m R En particulier si ϕ(x) et ψ(y) sont bornées sur R m resp. R n on a et ceci caractérise f g Ceci se généralise aux distributions: f g, ϕ(x)ψ(y) = f, ϕ g, ψ Proposition 4 et Définition Soient S resp. T des distributions sur R m resp. Il existe une unique distribution S T sur R m+n (le produit externe) telle que (16) S T, ϕ(x)ψ(y) = S, ϕ T, ψ pour toutes ϕ C 0 (R m, ψ C 0 (R n ) Preuve: 1) existence Lemme 1 Soit ψ = ψ(x, y) C 0 (R m+n. Alors la fonction Φ : x ψ x C 0 (R n ) est C à support compact, à valeurs dans C 0 (R n ) (ψ x désigne la fonction partielle y ψ(x, y)). En effet Φ est évidemment à support compact (nulle pour x assez grand) si ψ est à support compact. Comme ψ est à support compact, elle est uniformément continu. Le théorème des accroissements finis montre alors que pour tout α la fonction Φ α : x ψ (α) x (N (f) = sup f ), de dérivée Φ x j On définit alors S T par est continue et dérivable pour la norme uniforme = ( ψ x j, donc par récurrence Φ est C. x S T, ψ = S(x), ϕ où ϕ C 0 (R m est la fonction ϕ(x) = T (y), ψ x. Cette distribution vérifie évidemment (16). 2) Unicité - On va montrer que l ensemble des combinaisons linéaires de fonctions décomposées ϕ(x)ψ(y) est dense dans C 0 (R m+n ).

28 2 DISTRIBUTIONS 28 Lemme 2 Si ϕ C 0 (R k ), ϕ est limite dans C de polynômes. Preuve: régularisons ϕ, en posant ϕ ε = ϕ a ε = a ε (x y)ϕ(y)dy avec a ε = ε k a 1 ( x ), mais on choisit maintenant : ε a 1 (x) = (2π) k 2 e 1 2 x 2 comme dans le n o 3.1.2, ϕ ε tend vers ϕ dans C (pas C 0 ). Mais ϕ ε est une fonction holomorphe entière (l intégrale converge pour tout x C k ); elle est donc somme de sa série de Taylor, et celle-ci est une série de polynômes, qui converge au sens C (en fait dans C k tout entier). Pour conclure: soit ϕ(x, y) C0 (R m+n. Alors ϕ est limite dans C d une suite de polynômes P j, qui sont somme de monômes décomposés. Choisissons des fonctions ϕ 0 C0 (R m ), ψ 0 C0 (R n ) telles que ϕ 0 (x)ψ 0 (y) = 1 au voisinage de supp ϕ: on a ϕ = lim ϕ 0 (x)ψ 0 (y)p j, cette fois dans C0, et ϕ 0 (x)ψ 0 (y)p j est somme de fonctions décomposées Convolution Si f, g sont deux fonctions intégrables sur R n, leur produit de convolution est la fonction f g(x) = f(y)g(x y) dy = f(x y)g(y) dy n R Si h est une fonction bornée, on a alors, d après le théorème de Fubini f g, h = h(x + y) f(x) g(y) dxdy 2n R On définit alors le produit de convolution de deux distributions á support compact S et T par (17) S T, ϕ = S T, ϕ(x + y) pour ϕ C. (ceci a bien un sens car S T est à support compact). Plus généralement le produit de convolution est défini si les supports de S et T sont adaptés au sens de la définition suivante: Définition 4 On dit que deux ensembles fermés F, G R n sont adaptés si pour tout compact K R n, l ensemble F G s 1 K est compact, où s : R 2n R n est l application somme x, y x + y

29 2 DISTRIBUTIONS 29 De façon équivalente: pour tout r > 0 il existe R > 0 tel que x F, y G, x + y r implique x R et y R. Par exemple la demi-droite positive R + dans R est adaptée à elle même, et le produit de convolution de deux distributions à support positif est toujours défini (comme celui des fonctions : f g(x) = x f(t)g(x t)dt). 0 De même si F est une cône fermé convexe saillant (i.e. qui ne contient pas de droite) dans R n, F est adapté à lui-même. Il y a beaucoup d autres cas où le produit de convolution de deux distributions peut être défini raisonnablement. Mais comme le produit usuel, il n y a pas de définition raisonnable qui marche pour toutes les distributions Régularisation Proposition 5 Si T est une distribution, f une fonction C, et un des deux est à support compact, alors T f est de classe C et T f(x) = T (y), f(x y) Le résultat est également valable si les supports de f et T sont adaptés. Preuve: la fonction T (y), f(x y est C (preuve: voir le lemme 1), et on a pour ϕ C 0 : T f, ϕ = T (x)f(y), ϕ(x + y) = T (u y)f(y), ϕ(u) = = T (u y)f(y) y, ϕ(u) (la formule de changement de variable (x, y) (u = x + y, y) marche pour les distributions comme pour les fonctions). Corollaire 1 L espace C0 est dense dans l espace des distributions (et dans l espace des distributions à support compact). Preuve: il suffit de régulariser: si ϕ ε est comme au n o 3.1.2, T est limite des fonctions C T ε = T ϕ ε. Remarque : on peut montrer que le dual de C0 (resp. C ) est C (resp. C0 ); cela résulte de théorèmes généraux sur les espaces vectoriels topologiques (voir appendice). En fait si F est une forme linéaire continue sur C0 la fonction f(x) = F, δ x est C, et F f(x) annule toutes les masses de Dirac δ X. Elle annule aussi toutes les limites de combinaisons linéaires des δ x, donc est nulle parce que l espace vectoriel engendré par les δ x est dense dans C 0 (ou C ) comme il résulte des n o précédents.

30 2 DISTRIBUTIONS COMPLÉMENTS, EXEMPLES Structure des distributions Théorème 2 Toute distribution T est localement une somme finie de dérivées de fonctions continues. Localement signifie que pour tout compact K il existe une famille finie de fonctions continues f j et de multiindices α j tels que T = f (α j) j au voisinage de K. Il s agit d un résultat local, pas global. Par exemple la distribution T = (n) δ n n est pas d ordre fini globalement; aucune de ses primitives successives n est continue. Preuve du théorème: Comme pour toute distribution il existe C, m tels que pour u de support K on ait < T, u > C sup u (α) α m T définit alors une forme linéaire continue sur le sous espace V de W = C(K) J constitué des familles u (α), α m (J désigne l ensemble des multiindices de longueur m). Le théorème de Hahn-Banach dit qu une telle forme linéaire se prolonge en une forme linéaire continue sur W : autrement dit il existe une famille de mesures µ α sur K telles que < T, u >= < µ α, u (α) > Ceci implique qu on a, à l intrieur de K T = ( 1) α µ ( alpha) α. Ainsi T est, localement, somme finie de dérivées de mesures. Proposition 6 Une mesure est somme de dérivées de fonctions continues. (i) sur R Soit µ une mesure. Alors µ a une primitive; par exemple si µ est à support limité à gauche la primitive est la fonction F (x) = µ(] dµ(t) F est une fonctions à variation bornée (µ est diffrence de deux mesures positives donc F est différence de deux fonctions croissantes). t x

31 2 DISTRIBUTIONS 31 µ est la mesure de Stieltjes définie par F c est à dire: pour toute fonction continue φ de support compact [a, b], l intégrale φdµ est la limite de sommes de Riemann φ(ξk )(F (x k+1) F x k ) lorsque le pas de la subdivision a = x 0 x 1 x N = b tend vers 0 (ξ k [x k, x k+1 ]). µ est aussi la dérivée de F au sens des distributions (exercice). Un théorème de Lebesgue dit que si F est croissante, ou à variation bornée, elle est dérivable presque partout. En fait, comme toute mesure, la dérivée au sens des distributions se décompose µ = µ a + µ s + µ cc où µ a est une mesure atomique (µ a = λ k δ ak où pour tout R on a a k R λ k <, µ cc est absolument continue, de la forme f dx où f est une fonction localement intégrable, et µ s est une mesure singulière, i.e. portée par une ensemble de mesure nulle. La dérivée presque partout fournie par le thórème de Lesbesgue est la partie absolument continue µ s. Le théorème de Lebesgue est très fin et difficile (beaucoup plus difficile que ce qui précède), et de notre point de vue insuffisant car il ne fournit pas la dérivée au sens des distributions: il ne permet pas de pas faire des inégrations par parties. La primitive de F est une fonction continue, donc µ est en tout cas la dériv ee seconde d une fonction continue. Sur R n : exercice - montrer qu une mesure est toujours dérivée d ordre n+1 de fonction continue. On rappelle qu une fonction f est lipschitzienne s il existe un nombre M 0 tel que f(x) f(y) M x y. Par exemple, sur R la primitive d une fonction mesurable bornée est Lipschitzienne. Exercice: une fonction f sur R n est lipschitzienne si et seulement si ses dérivées (au sens des distributions) sont des fonctions mesurables bornées. Remarque: dans le cas d une fonction lipschitzienne, la dérivée presque partout donnée par le théorème de Lebesgue est la dérivée distribution. Mais le théorème de Lebesgue (convergence presque partout de 1 (f(x + ɛ) f(x) ɛ reste plus dur et plus difficile que l assertion plus simple ci-dessus qui dit que la dérivée distribution est une fonction mesurable bornée) famille holomorphe: pf x s + On rappelle qu une fonction f est méromorphe dans le plan complexe C si elle est holomorphe, sauf sur un ensemble discrèt {a 1,..., a n,.. } en chaque

32 2 DISTRIBUTIONS 32 point duquel elle a un pôle d ordre fini (i.e. pour tout n, il existe N tel que (z a n ) N f soit holomorphe au voisinage de a n. Par exemple la fonction Γ(s) = 0 e t t s 1 dt est bien définie et holomorphe pour Re s 0 (l intégrant est fonction holomorphe de s et l intégrale converge localement uniformément). Elle se prolonge en une fonction méromorphe dans C avec des pôles aux points entières k 0, le résidu au point k est ( 1)k Preuve: l intégrale. k!.. est évidemment holomorphe dans C tout entier. 1 Pour le reste: on a e t = ( 1) k 0 x k (série uniformément convergente dans k! l intervalle [0, 1]), d où 1.. = ( 1) k (pour Re s > 0, et il est évident k! s+k que le résultat se prolonge comme indiqué. L application qui à s associe la distribution (fonction localement intégrable) T s = x s + est bien définie, et holomorphe dans le demi-plan Re s 1 (rappel: une application s U T s C est holomorphe si pour toute fonction test φ l application s < T s, φ > est holomorphe. De façon équivalente (exercice: pourquoi?): au voisinage de tout point de U on a un développement en série de Taylor convergent T s+t = T s,j t j où (T s,j ) est une suite convenable de distributions). Si φ est une fonction test est qu on fait le développement de Taylor à l ordre N: φ(x) = φ (k) (0) k<n x k, on obtient k! < T s, φ >= 1 x s φ(x) dx + k<n φ (k) (0) k! 1 s + k + 1 Ceci montre que s T s se prolonge en une fonction mèromorphe sur le demi-plan Re s > N 1 (donc dans C tout entier), avec des pôles simples aux entiers < 0. Le résidu au point m est ( 1)m 1 (m 1)! δ(m 1). (k = m + 1; le signe est celui de l intégration par parties dans la définition de la dérivée: < φ (m 1) (0) = ( 1) m 1 ) < δ (m 1), φ >). Remarque: l application s (x ± i0) s est bien définie et holomorphe (sans pôle) dans tout le plan complexe (comme l application x z s à valeur dans l espace des fonctions holomorphes dans le demi-espace ±Im z > 0, à croissance modérée au bord)

33 2 DISTRIBUTIONS Passages à la limite Produits de convolution. Le produit de convolution f g est défini par f g(x) = f(y)g(x y)dy. Si f, g sont des fonctions intégrables, on a < f g, φ >= f(x)g(y)φ(x + y) le théorème de Fubini montre que l intégrale f(y) g(x y)dy converge presque partout, que sa somme f g est intégrable, et que c est le produit au sens des distributions). Notons τ y g = g(x y) la translatée de g: la définition du produit de convolution s écrit aussi bien f g = f(y)τ y g. Si E C est une espace de Banach de distributions (normé, complet), stable par translations, dans lequel l ensemble des translations τ y est borné, et pour tout g E l application y τ y g est continue (ou seulement mesurable), alors si f L 1, g E, on a f g E (aussi bien si f est une mesure bornée (=de masse totale fini). Exemples: E = L p pour 1 p. N.B. Pour g L p, p < l application y τ y g est continue: c est évident si g est continue à support compact; en général g est limite dans L p d une suite de fonctions test g n ; comme τ y est de norme 1 (c est une isométrie), τ y g est limite uniforme des τ y g n donc continue. Ceci ne marche pas pour p = mais dans ce cas l assertion est évidente. y τ y g est quand même mesurable (en un sens faible, mais suffisant). Exercice: si f L 1, g L, f g est continue.

34 3 TRANSFORMATION DE FOURIER 34 3 TRANSFORMATION de FOURIER La transformée de Fourier d une fonction f est définie par Ff = ˆf(ξ) = e ix.ξ f(x)dx A priori ˆf est bien définie si f est intégrable, c est alors une fonction continue de la variable ξ R n. (Exercice: si f est intégrable, ˆf(ξ) 0 pour ξ ). Nous allons étendre la définition de la transformation de Fourier à une classe plus large de distributions. Notons déjà que si f et x j f, resp. D j f sont intégrables, on a (18) F(x j f) = D j Ff resp. F(D j f) = ξ j Ff comme on voit en dérivant sous le signe somme, resp. en intégrant par parties, ce qui est justifié quand toutes les intégrales qui interviennent sont convergentes. On a aussi le résultat suivant: Proposition 7 La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions intégrables est le produit des transformées de Fourier: (19) F(f g) = e (x+y).ξ f(x)g(y) = Ff Fg 3.1 DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES Définition 5 On note S l espace des fonctions C à décroissance rapide sur R n : f S si et seulement si pour tout N et tout indice de dérivation α, (1 + x ) N f (α) est bornée S est muni d une topologie naturelle qui en fait un espace de Fréchet: on peut prendre comme famille fondamentale de semi-normes p N (f) = sup (1 + x ) N f (α) (x) α N,x R n Cette topologie est métrisable puisque définie par une famille dénombrable de semi-normes. En outre S est complet (c est donc un espace de Fréchet): cela résulte du théorème sur la dérivée d une limite. L espace C0 est dense dans S (preuve - exercice: soit χ C0 telle que χ = 1 au voisinage de 0 ; alors si f S on a χ( x f f dans S pour n ). n

35 3 TRANSFORMATION DE FOURIER 35 Proposition 8 La transformation de Fourier induit une application linéaire continue: S S. Preuve: si (1+ x ) N n 1 f (α) est bornée, (1+ x ) N f (α) est intégrable, comme (1 + x ) n 1. Ainsi si f S, D α x β f est intégrable, donc ξ α D β Ff est borné pour tous indices α, β; ceci implique Ff S (et que F est continue: vérifier par exemple par exemple qu on a p N (Ff) C ste p N+n+1 (f)). Définition 6 Une distribution tempérée est une forme linéaire continue sur S. On note S l ensemble des distributions tempérées. Si T est une distribution tempérée, la forme linéaire ϕ C0 T, ϕ est une distribution. T est complètement déterminé par cette distribution puisque C0 est dense dans S. On identifie ainsi S à un sous espace de D : une distribution est tempérée si elle se prolonge continûment à S. De même que C0 est dense dans C = D, il est dense dans S. Si f, g S on a Ffg = e ix.y f(x)g(y) = ffg; par conséquent Proposition 9 La transformation de Fourier se prolonge en une application linéaire continue S S. On a, pour T S, f S: FT, f = T, Ff

36 3 TRANSFORMATION DE FOURIER FORMULE de RÉCIPROCITÉ On définit de même la transformation conjuguée Fg(x) = e ix.ξ g(ξ)dξ Théorème 3 1) La transformation de Fourrier est un isomorphisme S S 2) L isomorphisme inverse est (2π) n F. 3) L application 2π) n 2 F induit une isométrie bijective sur l espace de Hilbert L 2 (R n ) Preuve : on a (en changeant de signes) F(D ξj )g = x j Fg, Fξ j g = D j Fg d où en composant FFD j f = D j FFf, FFx j f = x j FFf autrement dit FF commute avec tous les opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux. Montrons que ceci implique qu on a FF = C Id où C est une constante. - Observons d abord qu une fonction f S est nulle en un point a R n si et seulement si f = f k (x k a k ) avec des f k S convenables (cela résulte de la formule de Taylor avec expression intégrale du reste). Donc f(a) = 0 FF(a) = 0 de sorte qu il existe une constante C(a) telle que FFf(a) = C(a)f(a) - La fonction C : a C(a) est de classe C (elle l est au voisinage de tout point a tel qu il existe une fonction f S non nulle en a). Pour toute f S, on a FF(D k f) = D k (FFf) = D k (Cf) = D k C f + C D k f Ceci implique D k C = 0 pour k = 1,... n, donc C est constante. Pour calculer la constante C, on calcule une transformée de Fourier particulière. Lemme 3 Soit f la fonction (gaussienne) f = e 1 2 x 2 : on a Ff = c n f avec n = e 1 2 x 2 = (2π) n 2 Preuve: on a e ix.ξ 1 2 x 2 = e 1 2 ξ 2 e 1 2 (x+iξ)2, où pour un vecteur complexe z = (z j ) on a posé z 2 = z 2 j.

37 3 TRANSFORMATION DE FOURIER 37 L intégrale du deuxième membre est constante, indépendante de ξ, car elle se prolonge en une fonction holomorphe entière de ξ C n, constante pour ξ réel (de façon équivalente, on peut dans cette intégrale, grâce à la formule de Cauchy et au fait que e 1 2 (x+iξ)2 tend très vite vers 0 pour x, translater le domaine d intégration R n et le remplacer par R n + iξ). La constante c n est c n = e 1 2 x 2 = c n 1 = (2π) n 2 (la dernière égalité se voit en faisant n = 2: en passant en coordonnées polaires on obtient c 2 = R 2 e 1 2 x 2 = 2π dθ 0 e 1 2 r2 = 2π Ceci termine la démonstration de 1) et 2). La troisième assertion résulte du fait qu on a (FFf) g = (Ff)(Fg) = (2π) n fg Ainsi F = (2π) n 2 F est isométrique sur S pour la norme L 2, donc se prolonge isométriquement à L 2. CQFD

38 3 TRANSFORMATION DE FOURIER POLYNÔMES de HERMITE Si F est la transformation (isométrique) F = (2π) n 2 F, on a F 4 = Id (F 2 est la symétrie f f( x)). Par suite F a pour valeurs propres les quatre nombres ±1, ±i et L 2, S, S (et plus généralement tout espace de distributions stable par F) est somme de ses quatre sous espaces propres : si f est une distribution tempérée, on a f = f ζ avec F f ζ = ζf (ζ = ±1, ±i) avec f ζ = 1 4 (f + ζ 1 F f + ζ 2 F 2 f + ζ 3 F 3 f) Les fonctions de Hermite décrite ci-dessous fournissent une famille complète particulièrement commode de fonctions propres (pour S ou S ). L analyse ci-dessous est pour n = 1; le cas général s en déduit aussitôt (par produit externe) Annihilateurs et Créateurs On a vu que la fonction e 0 = e 1 2 x2 est fonction propre: On pose Fe 0 = 2πe 0 F e 0 = e 0 C = x A = x + x x =t C opérateur de création resp. d annihilation. On a Par suite e 1 2 x2 Ae 1 2 x2 = x Ae 0 = 0 e 1 2 x2 Ce 1 2 x2 = 2x x e k = C k e 0 = P k e 1 2 x2 où P k = (2x x ) k (1) est un polynôme de degré k, de terme dominant 2 k x k (k-ième polynôme de Hermite). On a A p e q = e 1 2 x2 ( x )p P q = 0 si p > q

39 3 TRANSFORMATION DE FOURIER Fonctions de Hermite Proposition 10 1) On a F e p = i p e p. 2) ep e q = δ pq c p avec c p = 2 p p! π 3) Les fonctions h p = c 1 2 p e p forment une base orthonormale de L 2. Preuve : On a F C = F (x x ) = (iξ i ξ ) = icf donc F e k = F C k e 0 = i k F e 0 = i k e 0 d où la première assertion. On a par ailleurs e p e q = C p e 0 C q e 0 = e 0 A p C q e 0 = 0 si p > q, (donc aussi, symétriquement, si p < q). Si p = q on a e 2 p = e 0 A p C p e 0 = 2 p p! e 2 0 = 2 p p! π d où la deuxième assertion, et le fait que les fonctions h p forment un système orthonormal. La dernière assertion est plus subtile. Comme les polynômes P k forment clairement une base de l espace des polynômes, elle signifie que l ensemble des polynômes est dense dans L 2 (R, µ), si µ désigne la mesure e x2 dx. De façon équivalente : qu une fonction f L 2 (R, µ) est nulle si elle est orthogonale à tous les polynômes. Soit donc f L 2 (R, µ). Posons f 0 = e 1 2 x2 f et g = e 1 2 x2 f 0. f 0 est tempérée (f 0 L 2 (R)), et Fg = (2π) 1 2 e 1 2 ξ2 Ff 0 est analytique dans tout le plan complexe. Si f est orthogonale aux polynômes on a gx n = 0 pour tout n, donc Fg (n) (0) = 0 pour tout n. Comme Fg est analytique, ceci implique bine g = 0, donc f = Oscillateur Harmonique, Base de S et S L oscillateur harmonique est l opérateur du second ordre H = x 2 2 x Lemme 4 1) On a H = 1 2 (AC + CA) 2) Pour tout k On a He k = (2k + 1)e k

40 3 TRANSFORMATION DE FOURIER 40 Preuve 1) est immédiat 2) On a He 0 = 1 2 (AC + CA)e 0 = 1 2 ACe 0 = e 0 x (2x x)(1) = e 0. Si u, v sont deux opérateurs, on note le commutateur [u, v] = uv vu. On ici [A, C] = 2, d où [AC, C] = [A, C]C = 2C = [CA, C] = [H, C] de même [H, A] = 2A, autrement dit pour toute f, HCf = C(H + 2)f. Par récurrence ceci donne He k+1 = HCe k = C(H + 2)e k = (2k + 2)e k + 1, d où 2. Si f est une distribution tempérée, on pose f k = h k, f (k-ième coefficient de Hermite), et f k h k sa série de Hermite. En utilisant ce qui précède nous laissons le lecteur montrer en exercice: Proposition 11 1) On a f L 2 si et seulement si (f k ) est de carré sommable; alors la série converge vers f dans L2 2) On a f S si et seulement si la suite f k est à décroissance rapide; alors la série converge vers f dans S. 3) En général si f S la suite (f k ) est à croissance polynomiale (ou lente ou tempérée ); alors la série converge vers f dans S. La série de Hermite produit donc un isomorphisme de L 2 resp. S, S avec l espace l 2 des suites de carré sommable (resp. l espace mathcals des suites à décroissance rapide, des suite à croissance lente). Ceci se généralise sans peine à R n : il y a n opérateurs de création ou d annihilation C j = x j j x j A j = x j + j x j (j = 1... n) Les fonctions de Hermite de base sont les h α = h α1 (x 1 )...h αn (x n ) indexées par les multi-indices α = (α 1,..., α n ). L oscillateur harmonique est H = x 2 (on a Hh α = (2 α + n)h α ).

41 4 ÉQUATION DE LAPLACE 41 4 ÉQUATION DE LAPLACE 4.1 en COORDONNÉES POLAIRES Proposition 12 On a (20) x 2 = + θ(θ + n 2) (21) avec θ = x i d i, = i,j n (x i d j x j d i ) 2 En particulier si ϕ = ϕ(r) est invariante par rotation on a ϕ = 0 et ϕ = 1 r d dr (r d dr n 1 + n 2) ϕ = ϕ + ϕ r 4.2 SOLUTION ÉLÉMENTAIRE Une solution élémentaire de est une distribution E telle que E = δ. On cherche E invariante par rotation: alors en dehors de l origine E est une fonction (généralisée) de r = x qui vérifie r r (r r + n 2)E = 0 Ceci implique que, pour x 0 E est de la forme E = a + b si n 2, resp. alog r + b si n = 2 rn 2 où a, b sont des constantes. On a bien sûr (1) = 0, et la fonction 1 (resp. rlog r) est localement r n 2 intégrable: on cherche E = cr n+2 (resp. E = clog r) Cas n = 1 : Pour n = 1 l opérateur = 2 x 2 admet pour solution élémentaire la fonction E = x 2 (la dérivée seconde est nulle pour x 0, le saut à l origine est 0 ( x est continue), et le saut de la dérivée est 1, d où E = δ.

42 4 ÉQUATION DE LAPLACE Cas n 2 Proposition 13 Pour n 2 le Laplacien a pour solution élémentaire la fonction localement intégrable : E = { 1 2π Log r si n = 2 c r n 2 si n 3 (avec 1 c = (n 2) 2πn/2 Γ( n 2 ) ) Remarque: v n 1 = 2πn/2 est le (n 1)-volume de la sphère unité de Γ( n 2 ) Rn ), qu on l évalue en calculant de deux façons l intégrale de e x 2 sur R n : ( n = e dt) t2 = π n/2 = v n 1 e r2 r n 1 dr = 1 R 2 Γ(n 2 ) R n e x 2 0 Preuve de la proposition: on teste contre une fonction test ϕ. Comme E est invariante par rotation, il suffit de tester contre ϕ invariante par rotation (on peut remplacer ϕ par la moyenne ϕ de ses transformées par rotation ( ϕ(x) = moyenne de ϕ sur la sphère de rayon x, qui ne dépend que de r = x ). On a alors, pour n 3, en coordonnées polaires: r 2 n, ϕ = r 2 n, ϕ = r n 2, r 1 r (r r + n 2)ϕ = = v n 1 r 2 n r 1 [ r (r r + n 2)ϕ] rn 1 dr = 0 = (r ϕ r + (n 2)ϕ) O Le cas (n=2) se traite de façon analogue. = (n 2)ϕ(0)

43 4 ÉQUATION DE LAPLACE RÉGULARITÉ Si T est une distribution à support compact on a T = (E T ). On observe que E est de classe C en dehors de 0 (en fait analytique): Proposition 14 Si T est une distribution et T est C dans un ouvert U de R n alors T l est aussi. Ceci résulte du résultat suivant sur le support ou le support singulier d un produit de convolution: Proposition 15 Si f, g sont des distributions, f ou g à support compact, on a supp (f g) supp f + supp g, et suppsing (f g) suppsing f + suppsing g La première assertion résulte immédiatement de la définition du produit de convolution. Démontrons la seconde; par définition le support singulier suppsing f est le plus petit fermé en dehors duquel f est une fonction C. Posons F = suppsing f, G = suppsing g. Pour tout ε on peut écrire f = f 0 + f 1 où f 1 est C et supp f 0 est contenu dans l ensemble F ε des points dont la distance à F est ε, et de même pour g. On a alors f g = f 0 g 0 + f 1 g 0 + f 0 g 1 + f 1 g 1 Dans cette somme les trois derniers termes sont C (un des facteurs f 1 ou g 1 l est), et on a supp (f 0 g 0 ) F ε + G ε (F + G) 2ε. Ainsi un point de suppsing (f g) est distant de F + G de moins de 2ε pour tout ε > 0, d où l assertion. Définition 7 Une fonction harmonique est une fonction f telle que f = 0 Une distribution harmonique T ( T = 0) est automatiquement une fonction C, harmonique. Remarque: pour n 2 les dérivées secondes de la solution élémentaire E ne sont pas des mesures (en dehors de l origine ce sont des fonctions homogènes de degré n, non nulles si n > 1). Alors si f est une distribution telle que f soit continue, f n est pas forcément de classe C 2 (sinon l application linéaire f D 2 ne f serait continue: C 0 0 C 0 à cause du théorème du graphe fermé; en particulier l application linéaire f D 2 ne, f = D 2 ne f(0) serait continue, ce qui voudrait dire exactement que D 2 ne est une mesure). C est le premier problème des EDP: en dimension 2 ça ne marche pas bien avec les espaces C k - les premiers auxquels on pense!

44 4 ÉQUATION DE LAPLACE PROBLÈME de DIRICHLET Principe du Maximum Lemme 5 On dit qu une distribution T est positive si T, ϕ 0 pour ϕ C 0, ϕ. Les distributions positives sont les mesures positives (au sens de la théorie de la mesure). Montrons qu une telle distribution est une mesure: soit K un compact; choisissons une fonction χ C0 positive, égale à 1 au voisinage de K (il en existe), et soit C = T, χ. Si supp ϕ K et m = sup ϕ on a mχ ϕ mχ donc T, ϕ Cm. Or ceci caractérise les mesures. CQFD Définition 8 On dit qu une fonction f de classe C 2 (resp. une distribution) est sous-harmonique si f 0 (resp. f est une distribution positive). Théorème 4 (Principe du maximum) Soit f une fonction continue sur un compact K R n. On suppose f sous-harmonique (au sens des distributions) dans l intérieur K. Alors f atteint sa borne supérieure sur la frontière K. Preuve: supposons d abord f de classe C 2 dans l intérieur de K, et posons f ε = f + ε x 2 ; on a donc f ε ε x 2 = 2nε > 0. La fonction f ε atteint sa borne supérieure en un point x ε K; x ε ne peut pas être intérieur, sinon on aurait en ce point f ε ( 0, donc x ε K. Comme K est compact, il existe une suite ε k 0 telle que x εk converge vers une limite x K: alors (à la limite) f atteint sa borne supérieure en x. Cas général: on régularise f: choisissons ϕ I C0 positive, nulle pour x > 1, d intégrale 1, et posons f ε = ϕ ε f avec ϕ e = 1 ϕ ε n 1 ( x. La fonction ε f ε est bien définie dans le compact K ε, ensemble des points de K dont la distance à K est ε, elle est C dans l intérieur de K ε et f ε = ϕ ε f y est positive parce que ϕ ε 0. Donc f ε atteint sa borne supérieure en un point x ε K ε. A la limite (choisir une suite ε k telle que x εk converge vers une limite x (x K car la distance à K est ε k pour tout k), on voit de nouveau que f atteint sa borne supérieure sur K. CQFD Problème de Dirichlet C est le problème suivant: on se donne un compact K R n ), de frontière K, et une fonction continue f 0 sut K. Trouver f continue sur K telle que (22) f = 0 dans l intérieur de K, f = f 0 sur K

45 4 ÉQUATION DE LAPLACE 45 Nous ne ferons pas ici l étude du problème de Dirichlet en général, et nous contenterons des deux remarque suivantes: - Si f est continue sur K, harmonique à l intérieur, elle est de toute façon de classe C à l intérieur de K, et le principe du maximum montre qu elle atteint ses bornes (sup et inf) sur la frontière K. Donc la solution du problème de Dirichlet, si elle existe, est unique. - En outre si la solution f existe toujours, elle dépend linéairement de f 0, et, toujours à cause du principe du maximum, est donnée par une formule intégrale de la forme f(x) = f 0 (y) dµ x (y) K où le noyau de Poisson dµ x (y) est une mesure sur K, dépendant de x, positive de masse 1 ( dµ K x(y) = 1 car 1 est la seule fonction harmonique égale à 1 sur K). En fait le problème de Dirichlet est en général bien posé, i.e. a une solution unique, du moins si la frontière K n est pas trop irrégulière. Dans le n o suivant nous étudions le problème de Dirichlet lorsque K est la boule unité Noyau de Poisson de la boule On note B = { x 1} la boule unité de R n ; son bord est la sphère unité S = { x = 1}. Le noyau de Poisson de la boule est la fonction (23) K(x, y) = 1 v n 1 1 x 2 x y n Théorème 5 La solution du problème de Dirichlet sur la boule (24) f = 0 pour x < 1, f = f 0 pour x = 1 (f, f 0 continues) est donnée par la formule de Poisson: (25) f(x) = K(x, y)f 0 (y) dσ(y) y=1 Preuve: 1) tout d abord K(x, y) est harmonique en x (preuve: calcul direct, 1 ou observer que, avec E y =, Ey x y n 2 x i = (n 2) y i x i, est harmonique pour x y n x y, ainsi que v n 1 K = 2 E y 1 yi + ). n 2 x i x y n 2 2) K est évidemment positif, et on a K(x, y)dσ(y) = 1. S

46 4 ÉQUATION DE LAPLACE 46 En effet la fonction f(x) = K(x, y)dσ(y) est harmonique en x (y compris S à l origine où elle est évidemment C ); elle est invariante par rotation (si u est une rotation on a K(ux, uy = K(x, y)), donc elle est constante. Pour x = 0 on a K = 1 v n 1 donc la constante vaut 1. 3) si x x 0 S, alors K(x, y) 0, uniformément pour y x 0 ε (pour tout ε > 0). Plus précisément si x x 0 ε 2 et y x 0 ε donc y x ε 2, on a K (1 x 2 )( 2 ε )n 2 et cette quantité tend vers 0 si x x 0. Alors si f 0 est continue sur S et f = K(x, y)f(y)dσ(y), f est harmonique S dans la boule ouverte, et pour x x 0 S on a f(x) f(x 0 ) = K(x, y)(f 0 (y) f 0 (x 0 )) dσ(y) 0 de sorte que f est continue sur la boule fermée, et prolonge continûment f Noyau de Poisson du demi-espace On dispose d une formule analogue pour la solution du problème de Dirichlet (tempérée) dans un demi-espace: si P est le demi-espace x n 0 de R n, et f une fonction continue bornée sur le bord (l hyperplan H = {x n = 0}, le problème de Dirichlet f = 0 dans P, f = f 0 sur H admet pour unique solution continue bornée la fonction f(x) = K P (x, y)f(y)dy avec x n K P = C x y, avec 1 n C = H H dy (1 + y 2 ) n 2 exercice: démontrer la dernière égalité (ou voir appendice) Formule de la moyenne = v n 1 2 La formule de Poisson (ou la formule de la solution élémentaire) montre qu une fonction harmonique est analytique (de même que la formule de Cauchy montre qu une fonction holomorphe est analytique). Elle montre aussi que si une suite f n de fonctions harmoniques converge en un sens assez faible (par exemple au sens de L 1 loc ou au sens des distributions) elle converge au sens de C

47 4 ÉQUATION DE LAPLACE 47 (uniformément sur tout compact, et de même pour toutes les dérivées). (N.B. convergence simple ne suffit pas, pas plus que pour les fonctions holomorphes). Une autre conséquence remarquable de la formule de Poisson est: Proposition 16 Si f est harmonique dans un ouvert U, et x U, f(x) est égal à la moyenne de f sur la sphère S x,r (ou sur la boule B x,r ) si B x,r U. De même si f est sous harmonique dans U, f(x) est intérieur à la moyenne de f sur la sphère ou la boule de centre x et de rayon r si B x,r U. La propriété de la moyenne implique facilement le principe du maximum (il n y a pas de réciproque).

48 4 ÉQUATION DE LAPLACE HARMONIQUES SPHÉRIQUES Notons P k l espace des polynômes homogènes de degré k sur R n, et H k P k l espace des polynômes harmoniques ( P = 0) homogènes de degré k. Lemme 6 est une surjection P k P k 2. On a dim H k = ( ) ( n+k 1 n 1 n+k 3 ) n 1 Preuve: le dual de P k s identifie à l espace des combinaisons linéaires a α δ (α) ( α k) ou après transformation de Fourier, à l espace des polynômes P (ξ) de degré k. Moyennant ceci le transposé de est l opérateur de multiplication P ξ 2 P : cette application linéaire est injective, donc est surjective (les espaces P k sont de dimension finie). La dimension de P k est le coefficient du binôme ( ) n+k 1 n 1 Proposition 17 Soit K = K p (x, y) la série de Taylor en x du noyau de Poisson K. Alors la série K p converge, uniformément dans chaque boule réelle { x r < 1} Preuve: Il est clair que, pour x assez petit, K est analytique en x, somme de sa série de Taylor. On a, pour u C petit (26) K p (ux, y) = 1 e ipθ K(e iθ ux, y)dθ 2π Soient y S, x B réels. Posons x = ty + x, avec t = x.y, x y. Pour u C assez petit, posons F (u) = K(ux, y). Remarquons que si z C on a (zy x) 2 = (u t) 2 + x 2 = 0 z = t±i x (donc z = x ). Par suite on a (y ux) 2 0 dans le disque { u < x 1 }: le dénominateur ((y ux) 2 ) n 2 de F se prolonge en une fonction holomorphe non nulle, et F elle-même se prolonge en une fonction holomorphe de u dans ce disque, de sorte que l intégrale (26) converge pour ux < 1, en particulier pour u = 1, x < 1, ce qui démontre la proposition (l assertion d uniformité est laissée en exercice). N.B. nous avons montré que le domaine de convergence de la série K p (y réel, y = 1) contient les vecteurs complexes de la forme ux, x réel, u C, ux < 1. En fait ce domaine est contenu strictement dans la boule unité de C n, par exemple le dénominateur est singulier en un point z = 1 (x + iy) 2 si x y, x = y = 1 (z.z = 1 ) (mais un tel z n est pas proportionnel à un 2 vecteur réel).

49 4 ÉQUATION DE LAPLACE 49 Remarque - K p est le terme de degré p en x du développement de Taylor de K. Il est commode de le prolonger de façon symétrique en, y comme terme de degré p en x et y de la série de Taylor de la fonction K (x, y) = 1 (1 x 2 y 2 )(1 2x.y + x 2 y 2 ) 2 n 2 v n (cette fonction est harmonique en y, égale á K pour y = 1). Pour tout y, K p (x, y) est un polynôme harmonique de degré p. Si P est un polynôme harmonique de degré p, on a P (x) = K(x, y)p (y)dσ(t) = K p (x, y)p (y)dσ(y) parce que c est le p-ième terme de son développement de Taylor. Donc tout polynôme P H p est combinaison linéaire de polynômes K p (x, y j ), et est orthogonal, sur la sphère, à H q si q p ( K q (x, y)p (y)dσ(y) = 0 si p q). La formule de Poisson (théorème 5) montre que toute fonction continue, donc aussi toute fonction de carré sommable, est limite sur la sphère de polynômes harmoniques. On a ainsi obtenu une décomposition orthogonale L 2 (S n 1 ) = H p Sn 1 qui généralise la décomposition en séries trigonométriques dans le cas n = 2 (le cas du cercle), et est très utile dans les problèmes invariants par rotation.

50 5 ÉQUATION DES ONDES 50 5 ÉQUATION des ONDES L opérateur des ondes (D Alembertien) sur R n est l opérateur (27) = 2 t 2 x On a noté t = x 1 la première variable, x = (x 2,..., x n ) le reste. 5.1 CORDES VIBRANTES (ondes en dimension 1+1) Primitives dans C (R) Une fonction test ϕ C0 (R) est une dérivée si et seulement si ϕ = 0 (c est la condition pour que la primitive x ϕ(s)ds soit à support compact). Proposition 18 Si T C (R) il existe S C (R) telle que S x (primitive de T ). Deux primitives diffèrent par une constante. = T En effet 1) si T x = 0, T est nulle sur le noyau de la distribution 1 : ϕ ϕ donc (proportionnelle à la distribution 1 (constante). 2) Notons H C0 l hyperplan des ϕ telles que ϕ = 1, ϕ = 0; l application ϕ H P (ϕ) = x ϕ(s)ds est évidemment linéaire continue : H C 0. Alors si S est n importe quelle forme linéaire sur C0 prolongeant la forme linéaire (continue sur H) : ϕ T, P (ϕ), S est une primitive de T Opérateur 2 x y Notons D 2 l opérateur D 2 = 2 x y sur R2 Proposition 19 1) Les distributions telles que D 2 (T ) = 0 sont les distributions de la forme T = T 1 (x) + T 2 (y) (ou T = T T 2 ) 2) D 2 a pour solution élémentaire la distribution (fonction bornée) E = Y (x)y (y) Preuve: Si T est une distribution telle que T x = 0, elle est de la forme T 1(y) (produit externe T 1 1) (c est la prop18 avec paramètre): = 0 pour toute fonction test ϕ C 0, et les fonc- T ϕ = 0 signifie T, x y tions test ϕ qui sont des dérivées ϕ = ψ x ϕ(x, y)dx = 0 pour tout y R sont exactement les ϕ telles que

51 5 ÉQUATION DES ONDES 51 Choisissons une fonction fixe ψ 0 (x) C0 (R) telle que ψ 0 (x)dx = 1, et soit S C (R) la distribution telle que S, u = T, ψ 0 (x)u(y). D après ce qui précède, toute ϕ C0 (R 2 s écrit ϕ = ψ 0 (x)ϕ 0 (y) + ψ y avec ϕ 0 (x) = Donc on a T, ϕ = S, ϕ o c est à dire T = 1 S. R ϕ(x, y)dy, ψ C 0 (R 2 ). Ceci étant, si 2 T x y = 0, on a T x) = 1 T 2 pour une distribution T 2 C R convenable, d où, par le raisonnement ci-dessus, T = T T 2 si T 1 est une primitive de T 1 On a 2 (Y Y ) = δ(x) δ(y) = δ. x y Corde vibrante L équation des cordes vibrantes (dimension 1+1) est (28) f = ( 1 v 2 2 t 2 2 x 2 )f = g (dans (27) la vitesse de propagation v est égale à 1). On se ramène à l opérateur D 2 = 2 par le changement de variables X = x tv, Y = x + tv. Tenant x y compte du déterminant jacobien dans la formule de changement de variables, on obtient: Proposition 20 1) Les solutions de l équation des cordes vibrantes (T ) = 0 sont les distributions de la forme T = T + (x vt) + T (x + vt) 2) L opérateur des ondes a pour solution élémentaire la distribution (localement intégrable) E = v 2 Y x vt(t, x) où Y x t est la fonction caractéristique du secteur angulaire { x vt}.

52 5 ÉQUATION DES ONDES TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE, PROBLÈME de CAUCHY Problème de Cauchy Si f = f(t, x) est une distribution tempérée, notons F x f sa transformée de Fourier partielle en x : pour une fonction test F x f(t, ξ) = R e ix.ξ f(t, x) dx. n 1 La transformation de Fourier partielle marche comme la transformation de Fourier (il suffirait que f soit tempérée en x, en un sens évident). Si f est tempérée et vérifie l équation des ondes (f) = 0, sa transformée de Fourier partielle vérifie (29) de sorte que le problème de Cauchy f = 0, f = f 0 ; 2 t 2 F xf = ξ 2 ˆf f t = f 1 pour t = 0 admet, pour unique solution (sous réserve, provisoirement, que f, f 0, f 1 soient tempérés) la distribution telle que : (30) F x f = cos t ξ F x f 0 (ξ) + sin t ξ ξ F x f 1 (ξ) Solution élémentaire avancée Soit E + la distribution tempérée dont la transformée de Fourier partielle est (31) F x E + (t, ξ) = Y (t) sin t ξ ξ On a ( 2 t 2 + ξ 2 )F x E + = δ(t) ( formule des sauts avec paramètre ξ). Donc E + est une solution élémentaire de l opérateur des ondes, portée par le demi-espace t 0 (la solution avancée ). Dans les numéros suivants nous étudions plus précisément cette solution avancée. Observons dès maintenant le résultat suivant :

53 5 ÉQUATION DES ONDES 53 Lemme 7 1) La fonction se prolonge en une fonction entière holomorphe sur C n 1. sin t ξ ξ 2) Pour tout ζ = ξ + iη C n 1, t > 0 on a (32) sin t ζ 2 e t Im ζ ζ 2 Preuve: 1) sin t ξ ξ est somme de la série entière sin t ξ ξ = ( 1) k (2k + 1)! (t2 ξ 2 j ) k qui converge dans tout C n 1. 2) Pour z = x + iy C on a cos z = eiz +e iz 2 e y donc aussi sin z z = 1 0 cos sz ds e y Soit u = a + ib = ζ 2 (u est défini au signe près). On a donc a 2 b 2 = ξ 2 η 2 (et ab = ξ η) et aussi Donc par différence u 2 = a 2 + b 2 ζ 2 = ξ 2 + η 2. 2b 2 ( ξ 2 + η 2 ) ( ξ 2 η 2 ) = 2 η 2 i.e. b η. Ceci démontre (32).

54 5 ÉQUATION DES ONDES SOLUTION ÉLÉMENTAIRE Cas de la Dimension 3+1 C est le cas le plus utile puisque notre espace est à trois dimensions. Proposition 21 Sur R 3 la fonction distribution E 1 telle que E 1, f = 1 4π (moyenne de f sur la sphère unité.) sin ξ ξ x =1 est la transformée de Fourier de la f(x)dσ(x) Preuve: E 1 est invariante par rotation, donc aussi sa transformée de Fourier. Nous calculons celle-ci en coordonnées cylindriques, tenant compte que l aire infinitésimale de la couronne sphérique d abscisse x 1 de base dx 1 est 2πdx 1 (le rayon est 1 x 2 1, la longueur de l arc de cercle est dx 1 ). On obtient = dx 1 sin θ 1 x 2 1 Ê 1 (ξ) = Ê1( ξ e 1 ) = 1 1 e ix1 ξ 2πdx 1 = ei ξ e i ξ 4π 1 2i ξ = sin ξ ξ Corollaire 2 La solution élémentaire (avancée) de l équation des ondes est la distribution E + telle que 1 E +, ϕ = t dt [ ϕ(x, t)] 4πt 2 0 x =t (la deuxième intégrale qui figure dans le second membre les la moyenne de ϕ sur la sphère de rayon t) Théorème de Paley-Wiener sin ξ La fonction est la transformée de Fourier d une distribution à support ξ compact si n = 1+1 ou 3+1 et ceci assure l existence d une solution élémentaire avancée, à support dans le cône d onde d avenir {t 0, x t}. En fait ceci est vrai pour tout n. Le théorème de Paley-Wiener permet de reconnaître qu une fonction est la transformée de Fourier d une distribution à support compact. Théorème 6 Soit f une distribution tempérée, ˆf sa transformée de Fourier. Alors f est une distribution (resp. une fonction test) à support dans la boule de rayon R si et seulement si (i) ˆf se prolonge en une fonction holomorphe de ζ = ξ + iη, dans C n tout entier. (ii) Il existe N tel que ˆf(ζ) cste (1 + ζ ) N e R η, resp. (ii)bis Pour tout N on a ˆf(ζ) cste (1 + ζ ) N e R η

55 5 ÉQUATION DES ONDES 55 Preuve: La condition (i) est évidemment nécessaire. Si T est une distribution à support B R il existe un nombre N (l ordre de la distribution) tel que T (ϕ) C sup α N, x R ϕ (α) (x). En particulier on a, pour ζ complexe: T (ξ) = T (e ix.ξ ) C(1 + ζ ) N e Imξ Si de plus T est une fonction de classe C, on a pour tout α ξ α T = FT (α) Ce Imζ de sorte que la condition (ii) ou (ii)bis est nécéssaire. Réciproquement supposons la condition (ii)bis satisfaite. réciprocité montre qu on a f(x) = (2π) n e ix.ξ ˆf(ξ)dξ La formule de La formule de Cauchy montre qu on peut translater le domaine d intégration dans C n, et qu on a encore pour tout η: f(x) = (2π) n e ix.(ξ+iη) ˆf(ξ + iη)dξ Si alors x > R et qu on choisit η : λx, λ +, on obtient f(x) cste e (R x ) η 0 donc f(x) = 0. Dans le cas général ce qui précède montre que la régularisée T ε = T ϕ ε est portée par la boule de rayon R + ε, donc à la limite supp T B R. Corollaire 3 1) La solution élémentaire avancée E + de l opérateur des ondes est portée par le cône d onde d avenir Γ = {(t, x) 0 x t}, et est l unique solution élémentaire à support dans le demi-espace t 0. 2) Le problème de Cauchy f = 0, f(t, x) = f 0 (x), f = f t 1(x) pour t = 0 a une solution unique. Preuve: On a de toute façon E + = 0 pour t < 0, et le lemme (7) et le théorème sin t ξ de Paley-Wiener montrent que pour tout t la fonction est la transformée ξ de Fourier d une distribution portée par la boule x t. Si alors g est une distribution portée par le demi-espace H = {t > 0}, f = E + g est l unique solution de l équation f = g portée par H parce que H et le cône Γ sont adaptés pour la convolution. En particulier E + est l unique solution de l équation f = δ portée par H. Enfin le problème de Cauchy est équivalent à l équation (Y (t)f) = Y (t)g + f 0 (x)δ (t) + f 1 (x)δ(t)

56 5 ÉQUATION DES ONDES 56 où le second membre est à support dans H et on cherche la solution Y (t)f à support dans H : il a donc une unique solution. Remarque: le problème de Cauchy a de même une solution définie pour t < 0. En recollant les morceaux on obtient la solution (unique), définie pour tout t.

57 5 ÉQUATION DES ONDES APPENDICE - ÉQUATIONS de MAXWELL L espace-temps R 4 = R R 3 (coordonnées (t, x = (x 1, x 2, x 3 )) est muni de la forme quadratique (33) q(t, x) = c 2 t 2 x 2 j = c 2 t 2 x 2 et comme plus haut le D Alembertien (opérateur des ondes) est l opérateur différentiel (34) = 1 c Formulation usuelle t 2 x Dans la théorie électromagnétique, il y a des charges : la densité de charge est une fonction ρ; il y a un courant : la densité de courant est un champ de vecteurs j (il est utile d accepter pour ρ, j des coefficients distributions, pour couvrir le cas de charges ponctuelles ou réparties sur un fil ou une surface, ou des dipôles). Dans cette théorie interviennent le champ électrique E = (E 1, E 2, E 3 ) et le champ magnétique B = (B 1, B 2, B 3 ) : une charge ponctuelle q, animée d une vitesse v placée en un point devrait subir la force F = q(e + v B) (v B est le produit vectoriel : (v 2 B 3 v 3 B 2, 3, B 1 v 1 B 3, v 1 B 2, v 2 B 3 )) Les équations de Maxwell s écrivent : (35) (36) (37) (38).E = ρ ε 0 E + B t = 0.B = 0 c 2 B E = j t ε O (c est la vitesse de la lumière, ε 0 est la constante diélectrique ; on peut choisir les unités de mesure de sorte que c = ε 0 = 1). La loi de conservation de la charge électrique se traduit par (39) ρ + j t = 0

58 5 ÉQUATION DES ONDES Formulation intrinsèque E se comporte comme un champ de vecteurs (il faut quand même changer de signe dans les formules si on renverse le sens du temps). B se comporte comme un champ de vecteurs tordus, c est à dire une 2- forme : il faut changer le signe si on fait un changement de repère orthonormal qui change l orientation : il est commode de tout repérer par le champ électromagnétique E, qui est la 2-forme différentielle sur R 4 : (40) E = E j dx j dt + (B 1 dx 2 dx 3 + B 2 dx 3 dx 1 + B 3 dx 1 dx 2 ) On introduit le champ (41) J = 1 ε 0 (ρdt j.dx) Les équations de Maxwell se réécrivent alors (42) d E = 0 (43) d E = J La loi de conservation de la charge se récrit (44) d J = 0 Dans ces équations : d est la différentielle extérieure : dω = dy j ω y j (où les y j sont les coordonnées t ou x), d est l adjoint pour la métrique de la relativité : da, b = a, d b où, est le produit scalaire des formes différentielles de la relativité de sorte qu on a dt, dt = 1 c 2, dx j, dx j = 1 d E = (.E)dt + ( 1 c 2 E t B) Si E vérifie les équations de Maxwell homogènes (J = 0), chacune de ses composante vérifie l équation des ondes f = 0.

59 5 ÉQUATION DES ONDES Groupe de Lorentz Le groupe de Lorentz est le groupe des transformations linéaires qui préservent la forme quadratique q, ou de façon équivalente, le d Alembertien (on peut y ajouter le groupe des translations). Ce groupe opère aussi sur les formes différentielles et préserve d (qui est invariant par n importe quel changement de coordonnées) et aussi d (du moment que la métrique est préservée). Il préserve aussi les équations de Maxwell. Dans une transformation de Lorentz, on ne peut plus séparer les composantes (E, B) du champ électromagnétique (pas plus que les variables de temps et d espace dans la théorie de la relativité).

60 6 ÉQUATION DE LA CHALEUR, ÉQUATION DE SCHRÖDINGER 60 6 ÉQUATION de la CHALEUR, ÉQUATION de SCHRÖDINGER L opérateur de la chaleur sur R n+1 est (45) C = t L opérateur de Schrödinger est (46) S = 1 i t 6.1 TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE Le problème bien posé associé est le problème initial: (47) t f = f, f = f 0(x) pour t = 0. où f 0 est tempérée, et on cherche une solution tempérée. On note f = F x f la transformée de Fourier partielle en x. Le problème initial(47) se reécrit (48) dont la solution est t f = ξ 2 f, f = f0 pour t = 0. (49) f = e tξ 2 f0 ou de façon équivalente (50) f(t, x) = E t x f 0 (x), avec E t = (4πt) n 2 e x2 4t E t est la transformée de Fourier inverse Fx 1 e tξ2 ; c est une distribution Gaussienne. Le signe x signifie que le produit de convolution porte sur x R n 1 seul. t E t est un semi-groupe pour la convolution, i.e. on a E s E t = E s+t pour s, t 0 (parce que e sξ2 e tξ2 = e (t+s)ξ2.

61 6 ÉQUATION DE LA CHALEUR, ÉQUATION DE SCHRÖDINGER 61 Noter que E t n est pas défini pour t < 0 (e tξ2 s est pas tempérée). [La formule de solution (50) exprime que la chaleur diffuse selon la loi du mouvement Brownien, ou obéit à une loi normale Gaussienne (de variance proportionnelle à t), ce qui, et a posteriori est intuitivement assez naturel si on pense qu elle est diffusée par le mouvement grand nombre de particules atomiques qui statistiquement obéissent aux lois du mouvement Brownien.] 6.2 SOLUTION ÉLÉMENTAIRE On pose Ê(t, ξ) = e tξ2 si t > 0, 0 si t 0. On a évidemment ( t + ξ2 )Ê = δ(t) De sorte que l équation de la chaleur admet pour solution élémentaire la distribution E = Fx 1 Ê. En fait E est la fonction localement intégrable : (51) E(t, x) = (4πt) n 2 e x2 4t pour t > 0, 0 pour t DIVERS Hypoellipticité Remarquons que la solution élémentaire E est de classe C en dehors de l origine: en effet les dérivées pour t > 0 se raccordent continûment aux dérivée (nulles) pour t < 0 parce que si x 0, parce que e x2 4t tend vers 0 plus vite que n importe quelle puissance de t. Par suite, comme pour l équation de Laplace, on a le résultat de régularité suivant: Proposition 22 Si T est une distribution, on a suppsing T suppsing C(T ) (T est de classe C dans tout ouvert où C(T ) l est). Noter que, à la différence de la solution élémentaire de l équation de Laplace, E n est tout de même pas analytique en dehors de l origine. Principe du maximum Comme les fonctions harmoniques, les solutions de l équation de la chaleur vérifient le principe du maximum (i.e. si f est continue

62 6 ÉQUATION DE LA CHALEUR, ÉQUATION DE SCHRÖDINGER 62 sur un compact K, Cf = 0 dans l intérieur de K alors f atteint ses bornes sur K). On peut démontrer ceci exactement comme dans le cas de l équation de Laplace (en utilisant le fait qu on a toujours Cf(x) 0 en un point où f est deux fois dérivable et atteint un maximum local). (il n y a tout de même pas d analogue simple de la formule de la moyenne, et le problème de Dirichlet pour l équation de la chaleur n est pas un problème bien posé). 6.4 ÉQUATION de SCHRÖDINGER Pour l opérateur de Schrödinger S = 1 i problème initial : t sur Rn+1 on s intéresse au (52) 1 i t f = f, f = f 0(x) pour t = 0. où f 0 est tempérée, et on cherche une solution tempérée. Avec des modifications évidentes le problème initial se résout comme pour l équation de la chaleur: la transformée de Fourier partielle de la solution est (53) f = e itξ 2 f0 ou de façon équivalente (54) f(t, x) = E i t x f 0 (x), avec E i t = (4πit) n 2 e x2 4it (dans cette formule la détermination de (ζ) n 2, Re ζ 0, est celle qui est > 0 si ζ > 0 - autrement dit on doit choisir Arg it = π si t > 0, π si t < 0). 2 2 E it est défini pour tout t, et t E it définit un groupe d opérateurs de convolution unitaires (i.e. isométriques pour la norme L 2, parce que e itξ2 = 1). La distribution E sur R n+1 telle que F x E = e itξ2 si t > 0, 0 si t 0 est encore une solution élémentaire de l équation de Schrödinger, mais elle n est plus C en dehors de l origine (l équation de Schrödinger n est pas hypoelliptique).

63 7 ÉQUATIONS DE L ANALYSE COMPLEXE 63 7 ÉQUATIONS de l ANALYSE COMPLEXE 7.1 ÉQUATIONS de CAUCHY-RIEMANN Fonctions d une Variable Complexe On note z = x + iy la variable de C (qui s identifie ainsi à R 2 ). On pose dz = dx + idy, dz = dx idy et (par convention, ou par prolongement des formules à coefficients réels) z = 1 2 ( x i y ) z = 1 2 ( x + i y ) de sorte qu on a df = f x dx + f y f f dy = dz + z z dz Par définition, une fonction holomorphe, dans un ouvert U C, est une fonction f : U C différentiable au sens réel, dont la dérivée en chaque point est C-linéaire (rappelons que la dérivée f (x, y) est l application R-linéaire telle que f(x + h, y + k) = f(x, y) + f (x, y).(h, k) + o( (h, k) )). Pour que f soit holomorphe il faut et il suffit que qu elle vérifie l équation de Cauchy Riemann f z = 0 Remarquons qu on a (55) = 4 2 z z En particulier une fonction holomorphe est harmonique (donc C ). Plus généralement si T est une distribution telle que T = 0, T est harmonique, donc z c est une fonction C, holomorphe au sens usuel Solution Élémentaire Proposition 23 L opérateur de Cauchy a pour solution élémentaire la distribution (fonction localement intégrable) E = 1 z πz Preuve: On a vu que = 4 2 a pour solution élémentaire la fonction E z z = 1 1 Log z = Log zz. On a par ailleurs Log zz = 1 2π 4π z z

64 7 ÉQUATIONS DE L ANALYSE COMPLEXE 64 (parce que Log zz et 1 sont toutes deux localement intégrables de sorte qu on z peut intégrer par parties: Logzz ϕ = 1 ϕ). z z On a donc, au sens des distributions 1 z z = 2 z z Log zz = 1 Log zz = πδ Système de Cauchy-Riemann sur C n Sur C n les fonctions holomorphes sont les solutions d un système de n équations aux dérivées partielles: (56) f = 0 avec = (,..., ) z 1 z n Comme dans le cas n = 1 une fonction holomorphe est harmonique car on a = 4 2 z k z k, de sorte qu une distribution holomorphe (T telle que T = 0 est automatiquement une fonction C, holomorphe). Comme dans le cas n = 1 ou pour les fonctions harmoniques, une fonction holomorphe admet des représentations intégrales remarquables. La plus simple généralise directement la formule de Cauchy: si f es holomorphe dans un voisinage du polydisque D = { z k r k } et z D on a (57) f(z) = (2πi) t n dt 1... dt n f(t 1,..., t n ) k =r k (z 1 t 1 )... (z n t n ) En fait si n > 1 nous avons affaire à un système d équations (pas une seule équation) et il y a beaucoup d autres formules intégrales possibles permettant de représenter les fonctions holomorphes. A titre d exemple nous citons la remarquable formule de Szegö, valable pour f continue sur la boule unité fermée, holomorphe dans la boule ouverte { z < 1}: (58) f(z) = 1 dσ(w) f(w) v 2n 1 (1 z.w) n w =1 où comme d habitude dσ(w) désigne l élément de volume usuel de la sphère unité, et v 2n 1 = 2πn est le (2n 1)-volume de cette sphère. (n 1)! Preuve: une fonction holomorphe est harmonique donc vérifie le formule de Poisson (25). Le noyau de Poisson de la boule est, avec c = 1 K(z, w) = c z w 2n = c (1 z.w z.w + z.z) n v 2n 1 : c Le noyau de Szegö est exactement la partie holomorphe du noyau (1 z.w) n de Poisson (i.e. dans le développement en série de z, z on ne garde que les monômes holomorphes z α z β avec β = 0). Nous laissons le lecteur terminer la démonstration.

65 7 ÉQUATIONS DE L ANALYSE COMPLEXE ÉQUATIONS de H. LEWY et S. MIZOHATA Équations de H. Lewy, b L opérateur de H. Lewy est (59) L = z + iz t sur R 3 = C R, où on note les coordonnées z = x + iy, t. L équation Lf = 0 admet pour solution les fonctions z et w = t izz. L interprétation géométrique de cette équation est la suivante: notons z = x + iy, w = t + is les coordonnées dans C 2 et soit H C 2 l hypersurface réelle d équation u(z, w) = s + zz = 0. Rappelons qu un champ de vecteurs (dérivation) X = a j (x) x j est tangent à H si et seulement si X(u) = 0 sur H. Alors si f est définie et dérivable au voisinage de H, X(f) H ne dépend que de la restriction f H. Les champs de vecteurs antiholomorphes (i.e. combinaisons à coefficients C des, ) z w tangents à H sont exactement les multiples de L = + iz, qui correspond z w à L lorsqu on paramètre H avec les coordonnées z = x + iy, t. Ainsi Lf = 0 si f = f(z, t izz) correspond à la restriction à H d une fonction holomorphe f, ou plus généralement si elle est limite (au sens des distributions) de telles fonctions. Remarques 1) On démontre (variante du théorème de Hartogs) qu une fonction sur H solution de l équation Lf = 0 se prolonge automatiquement au domaine Ω = {u < 0} tout entier, de même qu une fonction holomorphe au voisinage de la sphère unité de C n se prolonge automatiquement à la boule. 2) On démontre que l équation Lf = g n a en général pas de solution distribution, même localement, i.e. pour tout point x R 3 il existe une fonction g telle que l équation Lf = g n a de solution distribution dans aucun voisinage de x). Il y a ainsi une différence qualitative considérable entre les équations à coefficients complexes variables, comme l équation de H. Lewy, et les équations à coefficients constants, ou la plupart des équations qui proviennent de la physique, qui sont résolubles (au moins localement). Ce phénomène de non résolubilité locale est pourtant en un certain sens générique pour les équations à coefficients complexes variables, même s il a fallu attendre les années 1950 pour s en convaincre. Nous ne démontrerons pas ici ce phénomène de non existence de solutions pour l équation de H. Lewy, et nous contenterons de l étudier au numéro suivant pour le modèle similaire plus simple du à S. Mizohata.

66 7 ÉQUATIONS DE L ANALYSE COMPLEXE Équation de Mizohata L opérateur de Mizohata sur R 2 est (60) M = t it x Il admet évidemment pour solution la fonction z = x+i t2 2 les distributions de la forme : et plus généralement f(x + i t2 2 + i0) = lim ε +0 f(x + it2 2 + iε) où f(z) est une fonction holomorphe dans le demi-plan complexe y = Im z > 0, à croissance modérée pour y 0 (la limite existe au sens des distributions - cf. n o 3.2.4) Transformation de Fourier Partielle, Développements en Fonctions de Hermite Effectuons une transformation de Fourier partielle en x: on a (61) M = t + tξ (ξcorrespond à i x) Le développement en fonctions de Hermite (n o 4.3) est particulièrement bien adapté pour cette étude: la fonction de base est e 1 2 ξ t2. Pour ξ > 0 fixé, M ξ est l opérateur d annihilation. Il est surjectif, son noyau est Ce ξ t2 2. Pour ξ < 0, M ξ est (au signe près) l opérateur de création. Il est injectif et son image est l orthogonal du vecteur e ξ t2 2 (dans L 2 (R)). En particulier si f est une distribution tempérée et g = P f, on a ĝ(t, ξ)e ξ t2 2 dt = 0 pour tout ξ < Opérateur de Hermite Nous notons H l opérateur de Hermite, défini par : (62) Ĥf(ξ) = ˆf(t, ξ)e ξ t2 2 dt pour ξ < 0 (0 pourξ > 0)

67 7 ÉQUATIONS DE L ANALYSE COMPLEXE 67 Noter que la fonction Y ( ξ)e ξ t2 2 est transformée partielle de la distribution (localement intégrable) Φ(t, x) avec Φ(t, x) = 0 e ixξ+ξ t2 2 = 1 2πi (x + it2 2 + i0) 1 de sorte que pour f C0, Hf(x) est le produit de convolution: Hf(y) = 1 f(t, x) dxdt 2πi x + i t2 y + i0 2 On voit directement qu on a H(Mf) = 0 en remarquant qu on a M(Φ(t, x y) = 0 pour tout y, donc Mf, Φ(x y, t) = f, t MΦ = 0 (on a t M = M). On démontre le résultat suivant: Théorème 7 l équation Mf = g a une solution au voisinage d un (t 0, x 0 = 0) si et seulement si pour toute distribution g à support compact ǵale à g au voisinage de (t 0, 0), H g est analytique au voisinage de t 0. Nous ne démontrerons que la partie directe de ce théorème. Remarquons d abord que si x 0 0 il existe f telle que Mf = g au voisinage du point (t 0, x 0 ), parce que le changement de variable (t, x) z = x + i t2 ramène au 2 voisinage de ce point M à l opérateur de Cauchy-Riemann qui a une solution élémentaire, donc qu on sait résoudre localement. La question ne se pose donc qu au voisinage des points (t 0, x 0 ), x 0 = 0. Si f est à support compact on a Hf = Φ f t=0 = 0. Or la distribution Φ = 1 (x + i t2 + 2πi 2 i0) 1 est analytique en dehors de l origine, de sorte que si T est à support compact on a suppsingan (Φ T ) suppsingan T (suppsingan T désigne le plus petit fermé en dehors duquel T est une fonction analytique. Comme pour le support singulier usuel, on montre qu on a toujours suppsingan (T S) suppsingan (T ) + suppsingan (S)). Si alors g est une distribution à support compact et s il existe f à support compact telle que Mf = g au voisinage du point (t 0, x 0 ), on a HP = 0 de sorte que Hg = H(g P f) est analytique au voisinage de x 0. (Pour la réciproque: on a vu que la condition Hg = 0, qui a un sens lorsque g est tempérée, est essentiellement nécessaire et suffisante pour que l équation Mf = g ait une solution tempérée. Le cas général, que nous ne démontrons pas ici, se déduit de cela et de l observation que l équation Mf = g a toujours une solution locale si le second membre g est une fonction analytique, d après le théorème de Cauchy-Kowalewski).

68 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 68 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE Note: ce chapitre peut aussi être traité au début du cours. 8.1 THÉORÈME de CAUCHY-KOWALEWSKI Problème de Cauchy. Pour une équation différentielle (1 variable), le problème de Cauchy, où la valeur initiale est fixée, est bien posé : (63) df dt = F (t, f) f = y 0 pour t = t 0. Sur sur (R) n+1, notons les variables (coordonnées) t, x = (x 1,..., x n ). Pour une équation aux dérivées partielles d ordre m en t: (64) m t f = F (t, x, α f) (α t < m) le problème qui généralise immédiatement celui à une variable est de nouveau le problème de Cauchy, i.e. on adjoint les conditions limites (ou initiales) (65) j t f = f j (x) pour t = t 0, j = 0,..., m 1. En fait ce problème n est pas toujours bien posé. Il l est pour l opérateur des ondes, et plus généralement pour les opérateurs dits hyperboliques, mais il ne l est pas pour les autres exemples présentés plus haut; en particulier il ne l est pas pour la Laplacien. Exemples: le problème de Cauchy t f = x f, f(0, x) = f 0 (x) (sur R 2 ) a pour unique solution f = f 0 (x + t), qui est évidemment une série convergente si f 0 l est. Dans ce chapitre nous examinons le problème suivant qui, historiquement, est un des premiers à avoir été étudié : en supposant F et les données limite f j analytiques (i.e. sommes de leurs séries de Taylor au voisinage de chaque point), peut-on trouver une solution analytique. La réponse est exprimée dans le théorème de Cauchy-Kowalewsky :

69 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 69 Théorème 8 On suppose les données f j analytiques au voisinage d un point (t 0, x 0 ), F analytique au voisinage du point (t 0, x 0, α f(t 0, x 0 ). On suppose en outre F d ordre m, i.e. les seules dérivées qui y figurent sont d ordre m, et d ordre < m en t (les α f avec α m, α t < m). Alors le problème de Cauchy (64,65) admet une unique solution analytique (i.e. somme d une série entière convergente) au voisinage de (t 0, x 0 ). Remarque.- C est un des premiers résultats importants sur l existence de solutions. Mais pour beaucoup de questions, en particulier pour des questions d approximation utiles pour la physique, il n est pas très utilisable. Le théorème ne dit pas quel est le rayon de convergence de la série solution ; on peut extraire une majoration de la démonstration ci-dessous, mais elle est en général mauvaise, en particulier ce rayon de convergence peut être très petit même si ceux des données ne le sont pas. Surtout ce théorème ne dit pas que le probème de Cauchy est bien posé, i.e. que la solution a une limite en un sens raisonnable (par exemple au sens des fonctions différentiables) si les données en ont, ni même qu il a une solution si les données ne sont pas des fonctions analytiques. Si on essaie de résoudre le problème de Cauchy pour une donnée de Cauchy (f j ) différentiable mais non analytique, la première idée, qui serait d approcher les f j par des fonctions analytiques et de passer à la limite, ne marche pas, parce qu on ne sait pas si la limite des solutions existe (il faudrait justement pour cela que le problème de Cauchy soit bien posé). Le fait que le problème de Cauchy soit bien posé est une autre question, souvent beaucoup plus difficile. Nous démontrerons le théorème en deux étapes Solution formelle Lemme 8 Le problème de Cauchy (64,65) a une unique solution formelle. Série formelle signifie : série entière non nécessairement convergente. On peut effectuer sur les séries formelles les mêmes opérations, produit, dérivation, composition (en prenant garde à l origine) que sur les fonctions - le résultat est une autre série formelle. On peut toujours supposer t 0 = 0, x 0 = 0. Le lemme affirme qu il existe une unique série formelle f k,β t k x β (non nécessairement convergente) qui vérifie formellement les équations. Pour démontrer le lemme, on commence par se ramenner au cas où les f j qui définissent la donnée de Cauchy sont nulles : f j = 0 pour j < m: on prend comme nouvelle fonction inconnue f = f ϕ, avec ϕ = m 1 0 f j t j j!

70 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 70 La nouvelle équation que doit vérifier f est m t f = F (t, x, α f), j t f = 0 pour t = 0, j < m avec F = F (t, x, α ( f + ϕ) et les nouvelles données F et f j = 0 sont aussi analytiques. Soit alors f est la série formelle f = k m f k(x)t k, où les f k = f k,β x β, k m sont des séries formelles de x à déterminer. Alors f vérifie l equation si et seulement si pour tout k 0 les coefficients de t k dans les membres de droite et de gauche sont égaux: m + k! ( ) f m+k = F (t, x, α f) k! k Or il est évident que le coefficient ( F (t, x, α f))k de t k dans le membre de droite ne dépend que des f j, j < m + k (et des coefficients de F ): c est un polynôme des déries formelles f j, j < m + k et de leurs dérivées. Par récurrence, les coefficients f k de f sont ainsi déterminés de façon unique. Plus précisément, les coefficients d un composé Φ(u 1,..., u N ) et des dérivée β u sont des polynômes à coefficients entiers positifs des ingrédients (coefficients de Φ et des u j ), donc Lemme 9 Les coefficients de la solution formelle f sont des polynômes à coefficients positifs (rationnels) des coefficients de F. Pour démontrer le théorème de Cauchy-Kowalewski, il faut donc montrer que l unique solution formelle est en fait une série convergente. Remarquons que dans le lemme ci-dessus on a utilisé le fait que F ne fait intervenir que des dérivées d ordre < m en t, mais les dérivées en x peuvent être d ordre arbitraire. C est pour la convergence qu interviendra l hypothèse que F ne contient pas de dérivée d ordre total > m. Remarque: Le fait que l équation soit d ordre m (pas seulement en t) n intervient pas pour l existence et l unicité d une solution formelle. Mais il est indispensable pour que la solution soit convergente. Par exemple le problème de Cauchy t f = xf, 2 f(0, x) = f 0 (x) a pour solution formelle f = 1 k! 2k x f 0 (x)t k. Même si f 0 = f k x k est une série convergente, f, qui est bien définie comme série formelle, n est pas toujours convergente. Par exemple si f 0 = x k = 1, on a f = (m+2k)! t k x m, 1 x m!k!

71 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 71 qui est une série divergente. On verra néanmoins (chap. 7) que le problème initial pour l équation de la chaleur est bien posé, i.e. a une solution unique pour t 0 (pourvu qu on se limite à des fonctions f, f 0 pas trop grandes à l infini ); mais la solution f n est en général pas analytique, même si la donnée initiale f 0 l est Séries majorantes Si Φ = a α X α, Ψ = b α X α sont deux séries formelles, la deuxième à coefficients positifs (b α 0) on écrit Φ Ψ si a α b α pour tout α (on dit alors que Ψ est une série majorante, ou qu elle majore Φ, ou domine Φ). Une série Φ = a α X α est convergente si et seulement s il existe c, R > 0 tels que a α cr α, autrement dit Φ c (1 RX j ) 1 ou Φ c 1 R X j Il s agit donc de montrer, dans le problème de Cauchy, que si F et les f j ont ce type de majoration, il en est de même de la solution formelle. On peut simplifier le problème comme suit: remplaçons la fonction inconnue f par la fonction vectorielle f = (f α ) = ( α f), α < m. Alors f vérifie un système d équations d ordre 1 de la forme t f = F (t, x, f, x f ) Il n y a rien a prouver si m = 1; sinon si α < m 1, on a t f α = f (1)+α (où (1) désigne le multi-indice (1, 0, 0,... ) correspondant à la dérivation t ). Si α = m 1 1 et α t < m 1 il y a un indice i tel que α i 1 et on a t f α = f (1)+α (i). Enfin si α = (m 1, 0,... ) (correspondant à la dérivation m 1 t, l équation t m f = F (... ) fournit une relation du type cherché puisqu elle ne contient que les f α et xi f α (les f α satisfont encore d autres relations, que nous n utiliserons pas). On est ainsi ramené à un système d équations d ordre 1. On se ramène enfin au cas d une seule équation (scalaire) d ordre 1 en remarquant que si f satisfait une équation d ordre 1 comme ci-dessus et qu on pose g = f α avec f α = f α,β X β (on remplace les coefficients de la série de Taylor par leurs valeurs absolues), on vérifie facilement (exercice) que g vérifie encore une inéquation différentielle t g G(t, x, g, xi g)

72 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 72 où G est une série convergente à coefficients positifs Comme les coefficients des solutions sont des polynômes à coefficients positifs des coefficients des donnée, on voit qu on a g g si g est solution de l équation différentielle associée à G et sa donnée de Cauchy majore celle de g. Finalement pour prouver le théorème, il suffit de le prouver pour les équations d ordre 1.

73 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE Équations différentielles d ordre Équation linéaire d ordre 1 Une équation linéaire d ordre 1 est une équation de la forme (66) vj (x) f x i = a(x)f + b(x) associée au champ de vecteurs v = (v j (x)), aussi noté v j x j (nous supposons les coefficients v j de classe C ). Dans ce qui suit nous supposons v 0 (i.e. un des coefficients v j 0) (l étude pour un champ de vecteurs singulier, i.e. qui s annule en certains points, peut être beaucoup plus compliquée). La théorie des équations différentielles montre qu on peut résoudre une équation différentielle dx dt = v(x). De façon plus précise, si on choisit une hypersurface initiale Σ (par exemple un hyperplan) transverse à v, i.e. telle que v ne soit pas tangent à Σ, il existe une unique solution x(t, y) de l équation dx = v prenant la valeur y Σ à l instant dt initial t = t 0 (ce résultat est seulement local, i.e. la solution est définie pour t assez voisin de t 0 pour y assez voisin d un point y 0 Σ). De façon équivalente : il existe, au voisinage de y 0, un système (X 1,..., X n ) de coordonnées locales C dans lequel le champ de vecteurs s écrit X 1 : par exemple on choisit pour (X 2,..., X n ) un système de coordonnées locales dans Σ du point x Σ, et notre nouveau système de coordonnées associe à (X 1,..., X n ) la valeur de la solution X(t, x) pour t = X 1 ). Pour l équation, avec conditions initiales sur Σ = {t = 0} la solution est : f t = af + b, f = f 0(x) pour t = t 0 t t f = e a(s)ds 0 f 0 + e t s a(u)du c(s) ds Donc l équation (66) avec donnée initiale sur une hypersurface transverse Σ a, au moins localement au voisinage de Σ, une solution unique. (Attention qu il ne s agit que d un résultat local; le passage du local au global, i.e. l étude de l équation dans tout le domaine de définition, peut aussi être délicat) Crochet de Poisson Plus généralement nous voulons étudier une équation d ordre 1 de la forme (67) Φ(x, f, x f) = O

74 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 74 Pour cela nous utiliserons les outils de la géométrie symplectique et de la mécanique Hamiltonienne. La formulation Hamiltonienne de la mécanique remonte au 19ème siècle (elle est due à Jacobi, Hamilton, et déjà pour plusieurs de ses aspects à Lagrange). Son utilisation pour les équations d ordre 1 est aussi ancienne. La théorie des opérateurs intégraux de Fourier (dont nous parlerons brièvement à la fin de ce cours) a montré qu elle intervient aussi de façon fondamentale dans la théorie des EDP. Soit X un ouvert de l espace vectoriel E = R n. Le fibré tangent (ensemble des vecteurs tangents) est T X = X E. Il faut penser que dans un changement de coordonnées, le vecteur v se comporte comme un vecteur tangent - ou dérivation - au point x: si u : X Y est un difféomorphisme (application bijective dérivable), il transporte (x, v) selon l application linéaire tangente: u (x, v) = T u(x, v) = (u(x), u (x).v) Le fibré cotangent T X est le fibré dual T X = X E. Si (x, ξ) est un vecteur cotangent il faut penser que les coordonnées ξ j de ξ sont les coordonnées d une forme différentielle, et T X est muni d une forme différentielle canonique, i.e. invariante par changement de coordonnées, la forme de Liouville: λ = ξ j d j (sur T X si u : X Y est un difféomorphisme, il transforme les covecteur comme des éléments du dual: (x, ξ) (u(x), t u 1 (x).ξ La dérivée de λ est la forme symplectique canonique ; c est une 2-forme sur T X : σ = dλ = dξ j dx j C est une 2-forme différentielle fermée (dσ = 0) et inversible, i.e. sa matrice (quand on la considère comme 2 forme bilinéaire alternée sur l espace des vecteurs tangents) est inversible. A cette forme (ou plutôt à la matrice inverse) est associé le crochet de Poisson, qui est un opérateur bidifférentiel antisymétrique : (68) {f, g} = f ξ k g x k f x k g ξ k. On note aussi (69) H f = f f g ξ k x k x k ξ k le champ hamiltonien de f: on a {f, g} = H f (g).

75 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 75 Ces opérations sont canoniques, invariantes par changement de coordonnées. On vérifie en outre facilement qu on a dσ = 0, [H f, H g ] = H {f,g}, {f{g, h}} + {g{h, f}} + {h{f, g}} = 0 i.e. le crochet de Poisson est un crochet de Lie: ces relations sont équivalentes et résultent toutes du théorème de Schwarz qui dit que les dérivations x j commutent ( 2 f x i x j = 2 f x j x i ). Dans la formulation hamiltonnienne de la mécanique, x = q représente une position, ξ = p est le moment cinétique; la donnée fondamentale est l énergie (ou hamiltonien) E(x, ξ) qui est une fonction sur T X, et les équations du mouvement s écrivent d (x; ξ) = H dt E i.e. dx dt = E ξ dξ dt = E x Une des vertus de cette formulation est qu elle ne dépend que de la forme symplectique σ (ou du crochet de Poisson), et donc reste toujours la même après un changement canonique de coordonnées, i.e. qui laisse invariante la forme symplectique : les changements de coordonnées cotangentes, i.e. qui proviennent d un changement de coordonnées sur la base X ont cette propriété, mais il y en a beaucoup d autres. La forme bilinéaire antisymétrique σ définit une relation d orthogonalité sur les vecteurs tangents : si V est un sous-espace (de l espace des vecteurs tangents de T X), V est l ensemble des vecteurs w tels que σ(v, w) = σ(w, v) = 0 pour tout v V. On dit qu une sous-variété Σ T X est isotrope, resp. coisotrope (ou involutive) si T V (T V ) resp. T V (T V ). Une définition équivalente de l involutivité est (exercice) : Proposition 24 Σ est involutive ssi pour toute f différentiable nulle sur Σ, H f est tangent à Σ ; de façon équivalente : pour toutes f, g différentiables nulles sur Σ, on a {f, g} = 0 sur Σ. Remarquons que si V est isotrope (resp. involutive) on a dimv n resp. dimv n (parce qu on a dimv = codimv donc dimv + dimv = 2n, de sorte que dimv n si dimv dimv, resp. dimv n si dimv dimv ). Définition 9 On dit que V est Lagrangienne si elle est involutive (ou isotrope) de dimension n.

76 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE Équations d ordre 1 Examinons d abord l équation (67) lorsque la fonction Φ ne dépend pas explicitement de f, i.e. est une fonction sur T X. Il est commode de chercher d abord le graphe Σ de df, ensemble des covecteurs (x, ξ = f (x)) : la connaissance Σ i.e. de f détermine complètement f, à une constante additive près. Lemme 10 Si f est une fonction 2 fois dérivable, le graphe Σ de f est Lagrangien. En effet sur Σ on a par définition λ = ξ j dx j = df donc σ = d(df) = 0 (le fond de la question est de nouveau le théorème de Schwarz sur les dérivées secondes, qui implique d 2 f = 0). Si f vérifie l équation, Σ est contenu dans l hypersurface {Φ = 0}. Comme il est involutif, il est tangent au champ de vecteurs H Φ, donc réunion de courbes intégrales de H Φ Si en outre Φ x 1 0, l équation Φ = 0 peut être résolue (localement) en ξ 1 et équivaut (localement) à une équation de la forme t f = F (t, x, x f). Alors la condition initiale transverse f = f O pour x 1 = t 0 d termine complètement Σ (au dessus de t = t 0, Σ 0 est défini par (ξ j = f 0 x j pour j > 1, ξ 1 donné par l équation). Σ est la réunion des courbes intégrales passant par Σ 0 ; l hypothèse implique que celles-ci sont transverses à Σ 0 (le coefficient de t de leur vecteur tangent est 0, donc Σ est une variété et un graphe; enfin on vérifie simplement (toujours en application du théorème de Schwarz, ou du fait que le crochet de Poisson est un crochet de Lie) que cette réunion est Lagrangienne, ce qui implique que Σ est le graphe d une différentielle df. Cas général. Dans le cas général, la construction ci-dessus ne s applique pas telle quelle. Au lieu de cela, on construit, en utilisant les mêmes méthodes, le fibré conormal Σ = TY X du graphe Y de f, ensemble des couples (x, y = f(x)) dans X = R n+1. Le fibré conormal d une sous variété V de X est l ensemble TV X des covecteurs (au dessus de points de V ) orthogonaux à T V. Ici Y est défini par l équation y f(x) = 0 et TY X est l ensemble des covecteurs proportionnels à d(y f(x)), i.e. de la forme (x, y, ξ, η) avec y = f(x), ξ = ηf (x). Lemme 11 Le fibré conormal Σ = TY X est Lagrangien.

77 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 77 1ère preuve: sur Σ on a ξ.dx + ηdy = ηf (x).dx + ηdy = η(d(y f(x)) = 0. 2ème preuve: Si V est la sous-variété linéaire (modèle) définie par x 1 = = x k = 0, le fibré conormal est défini par x 1 = = x k = ξ k+1 = = ξ n = 0, donc la forme de Liouville ξ j dx j, et aussi sa dérivée, s annule sur TV X puisque chaque terme de la somme est produit de deux facteurs dont un est nul sur Σ. En général, pour toute sous-variété V il existe (au voisinage de chaque point) des coordonnées locales dans lesquelles les équations de V sont les équations modèle ci-dessus: TV X est dons Lagrangien parce que cette propriété ne dépend pas du système de coordonnées choisi. Si f vérifie l équation (67), les points du fibré conormal Σ = TY X vérifient l équation homogénéisée: Ψ = ηφ(x, y, ξ, η) = 0. C est donc de nouveau une η Φ réunion de courbes intégrales de H Ψ. Si ξ 1 0 ( Ψ ξ 1 0), une donnée initiale f = f(x 2,..., x n ) pour x 1 = t 0 détermine complètement Σ (d abord au-dessus de l hypersurface x 1 = t 0, puis, dans tout un voisinage d un point donné, comme réunion de courbes intégrales; finalement le graphe de f, donc aussi f, sont déterminés. Remarquons que, comme au n o 1, ces constructions et résultats sont locaux, valables au voisinage d un point. Le passage du local au global, pour obtenir des résultats globaux, n est en général pas évident Fin de la preuve Nous pouvons maintenant terminer la démonstration du théorème de Cauchy- Kowalewsky : dans la construction ci-dessus il est évident que le graphe (ou fibré conormal) Σ est analytique si les données (Φ, l hypersurface et la donnée initiale f 0 le sont (les courbes intégrales sont analytiques, et toute la construction se prolonge de façon holomorphe dans un petit domaine complexe). Par suite la solution formelle du problème de Cauchy admet une série majorante convergente : elle est donc elle même convergente.

78 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE Appendice Calcul des variations Le problème du calcul des variations est le suivant: on se donne une fonction numérique L(t, x, v) sur R R n R n (ou R U 2, U ouvert de R n. Le problème est de trouver les courbes t x(t) d extrémit es données x(a) = x 0, x(b) = x 1, qui sont maximisent ou minimisent l intégrale d action L(x) = b a L(t, x(t), x (t))dt plus généralement qui sont éxtrémales de cette intégrale, i.e. pour lesquelles la dérivée de la fonctionnelle x L(x) est nulle (L(t, x, v) supposée de classe C 1 ). Équations d Euler Si L est de classe C 2, une extrémale de classe C 2, t x(t) vérifie les équations d Euler: d dt ( L v )(t, x, x ) L x (t, x, x ) = 0 Preuve: pour touteu(t) de classe C 2 telle que u(a) = u(b) = 0, la dérivée pour ɛ = 0 de l application ɛ L(x + ɛu) doit être nulle. Vu les hypothèses de dérivabilité, cette dérivée vaut L ɛ = b a L x u + L v u On intègre par parties le deuxième terme; comme u s annule aux éxtrémités, le terme tout intégré s annule et on obtient L ɛ = b a [ L x d dt ( L v (y, x, x ))] u Comme l ensemble de u de classe C 2 nulles aux extrémités est dense dans L 2 ([a, b)], ceci implique [ L d L(y, x, x dt x )] = 0 CQFD. Équations de Hamilton Jacobi On suppose toujours L de classe C 2 ; on fait le changement de coordonnées et de fonctions: q = x p = L E = p.v L v

79 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 79 p v est le produit scalaire entre vecteurs tangents (v) et covecteurs (p). Le théorème des fonctions implicites dit qu il s agit d un bon changement de coordonnées locales si la matrice hessienne 2 L est inversible. v 2 On suppose L indépendant de t. Dans le système de coordonnées (p, q) les équations des extrémales s écrivent sous la forme remarquable ( équations de Hamilton-Jacobi ): dq dt = E dp p dt = E p preuve: on joue entre les systèmes de coordonnées locales (x, v) et (q, p). Remarquons qu on a q = x donc dq = dx x = v. et, en coordonnées (q, p), = 0, dt dt p p q = 0, x q = Id. On a alors E p = v + p v p L v v p = v + p v p p v p = v E q = p v q L x x q L v v q = p v q L x v Id p q = L x (ci-dessus, les dérivées ou dérivées partielles sont considérées comme applications linéaires, et composées comme telles; on peut aussi tout reécrire coordonnée par coordonnée, par exemple dq k = E dt p k (k = 1,..., n) mais cela ne clarifie rien). Géométrie symplectique Dans le formalisme Hamiltonien apparaît la géométrie symplectique: forme symplectique canonique est la Le crochet de Poisson associ est σ = dp j dq j {f, g} = f p j g q j f q j g p j Le champ hamiltonien d une fonction f est H f = f p j f q j q j p j ({f, g} = H f (g) ) On a qui implique {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 [H f, H g ] = H {f,g}

80 8 PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE 80 Les équations de Hamilton-Jacobi signifient que la dérivée absolue d ψ(q(t), p(t)) dt d une fonction ψ(q, p) le long d une courbe extrémale x(t) est le crochet de Poisson {E, ψ}. En particulier si la fonction E ne dépend pas de t, elle est constante le long des courbes extrémales. En physique, E s apparente l énergie totale du système; dans un système fermé (E formellement indépendant du temps) l énergie reste constante. En mécanique, E est souvent appelée hamiltonien du système (et notée H). Équation du premier ordre (sur R n, plus généralement sur une variété X) Pour construire une fonction y(x) dérivable, telle que F (x, y (x)) = 0, on cherche le graphe Λ de la différentielle dy dans le fibré cotangent T X: c est une variété Lagrangienne, sur laquelle F (x, ξ) = 0, donc tangente au champ Hamiltonien H F et réunion de courbes intégrales de ce champ de vecteurs. Ceci permet le plus souvent de résoudre léquation. Par exemple si en un point on a F ξ j 0, l équation a une unique solution (locale) ayant une valeur initiale donnée sur l hypersurface x j =constante passant par ce point. Cas général : équation F (x, y, y ) = 0 (y en fonction de x): soit Y X R le graphe de y: on construit le fibré conormal Γ de ce graphe - c est l ensemble des covecteurs (x, y, ξ, η) othogonaux à T Y, i.e. (ξ = ηu (x). De nouveau Γ est Lagrangien, et la fonction Φ(x, y, ξ, η) = F (x, y, ξ η ) s y annule, donc Γ est réunion de courbes intégrales de H Φ, ce qui, permet de résoudre le problème (au moins localement, au voisinage d un point).

81 9 APPENDICE 81 9 APPENDICE 9.1 La Fonction Γ La fonction Γ intervient dans dans un grand nombre de formules mathématiques, en particulier dans le calcul de beaucoup de constantes de la théorie des EDP. Nous rappelons juste ici les formules les plus usuelles qui servent dans ce cours. On trouvera une étude élémentaire dans le manuel de Méthodes Mathématiques de la Physique de L. Schwartz, et des analyses plus complètes dans un très grand nombre de manuels. Définition : Γ(s) = pf 0 e t t s 1 dt (intégrale Eulérienne de deuxième espèce). Équation fonctionnelle : Γ(s + 1) = s Γ(s) (se voit en intégrant par parties). La fonction Γ est bien définie pour Re s > 0 (intégrale absolument convergente); elle se prolonge en une fonction méromorphe dans C tout entier, avec des pôles simples aux entiers négatifs (le résidu en s = k est ( 1)k ). k! Pour s entier positif (et par définition pour les autres valeurs de s) on a Γ(s + 1) = s!, en particulier Γ(1) = 0! = 1. L intégrale Eulerienne de première espèce est B(p, q) = 1 0 t p 1 (1 t) q 1 dx = 0 u p 1 Γ(p)Γ(q) du = (u + 1) p+q Γ(p + q) (la première égalité se voit en faisant le changement de variable t = deuxième en évaluant l intégrale double e x y x p 1 y q 1 = e r t p 1 (1 t) q 1 r p+q 1 dr x,y 0 r 0,0 t 1 u ; la u+1 où la dernière égalité résulte du changement de variable de x = rt, y = r(1 t).) Formule des compléments : Γ(s)Γ(1 s) = π sin πs Cette formule, comme les autres, est due à Euler. On peut la démontrer en évaluant l intégrale 0 z s 1 dz z+1 par la méthode des résidus.