Une algorithmique pour le Network Calculus

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1 Une algorithmique pour le Network Calculus Anne Bouillard ENS Cachan (Bretagne) / IRISA 27 janvier journées AFSEC Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 1 / 43

2 Objectifs (1) a(t) t t Système b(t) arrivées à la date t départs à la date t Étude Pire cas délais des paquets taille des les d'attente Contraintes sur les arrivées sur le service fourni par le système Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 2 / 43

3 Objectifs (2) Politique de service FIFO par ux Politique de service arbitraire entre ux. Calcul de performances pire cas dans un réseau? Calcul de meilleur chemin? Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 3 / 43

4 Plan 1 Le Network Calculus Les contraintes Propagation des contraintes et composition Dériver des bornes pire cas 2 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des propriétés algébriques aux algorithmes 3 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Un problème de routage 4 Conclusion et perspectives Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 4 / 43

5 Le Network Calculus 1 Le Network Calculus Les contraintes Propagation des contraintes et composition Dériver des bornes pire cas 2 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des propriétés algébriques aux algorithmes 3 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Un problème de routage 4 Conclusion et perspectives Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 5 / 43

6 Le Network Calculus Network calculus Théorie développée dans les années 1990 par R.L. Cruz, puis CS Chang et J.-Y. Le Boudec. J.-Y. Le Boudec & P. Thiran, Network Calculus : A Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet, LNCS 2050, Springer (2001). C.-S. Chang, Performance Guarantees in Communication Networks, TNCS, Springer (2000). Applications : Internet : transmission vidéo (VoD), Systèmes embarqués : AFDX Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 6 / 43

7 Le Network Calculus Les contraintes Contrainte sur les processus cumulés A(t) t t Système B(t) arrivées jusqu'à la date t départs justqu'à la date t A : X R min + : processus des arrivées cumulées, fonction croissante B : X R min + : processus des départs cumulés, fonction croissante Modèle uide F : X = R + Modèle discret D : X = N Contrainte de causalité : A B Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 7 / 43

8 Le Network Calculus Les contraintes Contraintes sur les arrivées Courbe d'arrivée Un processus d'arrivées A est contraint par la courbe d'arrivée α si 0 s t, A(t) A(s) α(t s). α A(t) t Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 8 / 43

9 Le Network Calculus Les contraintes Contraintes sur les arrivées Courbe d'arrivée Un processus d'arrivées A est contraint par la courbe d'arrivée α si 0 s t, A(t) A(s) α(t s). α A(t) t Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 8 / 43

10 Le Network Calculus Les contraintes Contraintes sur les arrivées Courbe d'arrivée Un processus d'arrivées A est contraint par la courbe d'arrivée α si 0 s t, A(t) A(s) α(t s). taux d'arrivées à long terme rafale max t Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 8 / 43

11 Le Network Calculus Les contraintes Contraintes sur les arrivées Courbe d'arrivée Un processus d'arrivées A est contraint par la courbe d'arrivée α si 0 s t, A(t) A(s) α(t s). taux d'arrivées à long terme rafale max t Autre dénition : A A α A α(t) = inf 0 s t A(s) + α(t s) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 8 / 43

12 Le Network Calculus Les contraintes Contraintes sur les services A β B Courbe de service Un élément de réseau garantit une courbe de service β pour A si le processus des départs est tel que B A β. A β(t) = inf 0 s t A(s) + β(t s) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 9 / 43

13 Le Network Calculus Les contraintes Exemples Délai garanti Taux garanti Délai + taux garanti + t t Rt t t R(t T ) + t t t t Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 10 / 43

14 Le Network Calculus Les contraintes Un deuxième type de courbes : service strict On ne tient plus compte des dates d'arrivée des paquets pour calculer le processus de sorties. Courbe de service strict Un élément de réseau garantit une courbe de service strict β pour A si le processus des départs est tel que pour tous 0 s < t, dans une même période d'activité, B(t) B(s) + β(t s). En particulier, si u est le début de la période d'activité de t, on a B(t) A(u) + β(t u). Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 11 / 43

15 Le Network Calculus Les contraintes Exemples Délai garanti Taux garanti Délai + taux garanti + t t Rt t t R(t T ) + t t t t t t t Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 12 / 43

16 Le Network Calculus Propagation des contraintes et composition Propagation des contraintes α β α β Courbe d'arrivée du processus des sorties Si le processus A est α-contraint et si β est une courbe de service pour A, alors le processus des sorties est α β contraint. α β(t) = sup s 0 α(t + s) β(s) β α α β t t Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 13 / 43

17 Le Network Calculus Propagation des contraintes et composition Composition A B β 1 β 2 C Composition de courbes de service La concaténation de deux serveurs orant des services minimum resp. β 1 et β 2 ore un service minimum β 1 β 2 au ux. C B β 2 (A β 1 ) β 2 A (β 1 β 2 ) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 14 / 43

18 Le Network Calculus Propagation des contraintes et composition Composition A β 1 β 2 C Composition de courbes de service La concaténation de deux serveurs orant des services minimum resp. β 1 et β 2 ore un service minimum β 1 β 2 au ux. C B β 2 (A β 1 ) β 2 A (β 1 β 2 ) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 14 / 43

19 Le Network Calculus Propagation des contraintes et composition Trac transverse α 1 β α 2 Si β est une courbe de service strict, alors le service garanti pour α 2 est Valable si β 2 = (β α 1 ) +. le ux 1 est prioritaire sur le ux 2 on ne connait a priori pas la politique de service (donc on prend le cas le pire). (x) + = max(x, 0). Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 15 / 43

20 Le Network Calculus Propagation des contraintes et composition Trac transverse α 2 (β α 1 ) + Si β est une courbe de service strict, alors le service garanti pour α 2 est Valable si β 2 = (β α 1 ) +. le ux 1 est prioritaire sur le ux 2 on ne connait a priori pas la politique de service (donc on prend le cas le pire). (x) + = max(x, 0). Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 15 / 43

21 Le Network Calculus Propagation des contraintes et composition Retour arrière synchronisé Contrôle d'admission tel que charge dans réseau toujours W une courbe de service minimum de l'ensemble [contrôleur + réseau] est β (β + W ). º º A(t) ÓÒØÖÓÐ ÙÖ X(t) Ê Ù B(t) º º B min(a, (B + W )) β = min(a β, B (W + β)) f n = f... f et f = inf n N f n Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 16 / 43

22 Le Network Calculus Dériver des bornes pire cas Des contraines aux bornes Charge maximum : B max = sup t 0 A(t) B(t) Délai maximum : D max = inf{d t R +, B(t + d) A(t)} α v(α, β) β h(α, β) Bornes de performances B max α β(0) = v(α, β) = sup{α(t) β(t) t 0} D max h(α, β) = sup{β 1 (z) α 1 (z) z 0}. (sous réserve que ux servi en FIFO et f 1 (z) def = inf{t 0 f (t) z}) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 17 / 43

23 Le Network Calculus Dériver des bornes pire cas Un cadre algébrique pour le Network Calculus On se place dans l'espace des fonctions à valeurs dans le semi-anneau (min,plus) complété R {, + }. Cet espace, muni du minimum et de la convolution (min,plus),, est lui-même un semi-anneau. Les opérateurs utilisés sont : le minimum et le maximum ; l'addition et la soustraction ; la convolution : f g(t) = inf 0 s t f (s) + g(t s) ; la déconvolution : f g(t) = sup s 0 f (t + s) g(s) ; la clôture sous-additive : f = inf n N f n. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 18 / 43

24 Aspects algorithmiques 1 Le Network Calculus Les contraintes Propagation des contraintes et composition Dériver des bornes pire cas 2 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des propriétés algébriques aux algorithmes 3 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Un problème de routage 4 Conclusion et perspectives Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 19 / 43

25 Aspects algorithmiques Objectif Des classes de fonctions sur lesquelles on peut calculer eectivement les opérations du Network Calculus 1 Représentation nie des fonctions 2 trouver une classe close Quel est le coût de ces opérations? Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 20 / 43

26 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des fonctions anes aux fonctions ultimement pseudo-périodiques max(1 + x, 2x 2) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 21 / 43

27 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des fonctions anes aux fonctions ultimement pseudo-périodiques max(1 + x, 2x 2) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 21 / 43

28 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des fonctions anes aux fonctions ultimement pseudo-périodiques max(1 + x, 2x 2) min(max(1 + x, 2x 2), max(1+x, 2x 2) max(1+x, 2x 2)) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 21 / 43

29 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des fonctions anes aux fonctions ultimement pseudo-périodiques max(1 + x, 2x 2) min(max(1 + x, 2x 2), max(1+x, 2x 2) max(1+x, 2x 2)) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 21 / 43

30 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des fonctions anes aux fonctions ultimement pseudo-périodiques max(1 + x, 2x 2) min(max(1 + x, 2x 2), max(1+x, 2x 2) max(1+x, 2x 2)), (max(1 + x, 2x 2)) 3 Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 21 / 43

31 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des fonctions anes aux fonctions ultimement pseudo-périodiques max(1 + x, 2x 2) min(max(1 + x, 2x 2), max(1+x, 2x 2) max(1+x, 2x 2)), (max(1 + x, 2x 2)) 3 (max(1 + x, 2x 2)) Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 21 / 43

32 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Quelques classes de fonctions ρ ρ σ Ò σ T ÙÐØ Ñ Ñ ÒØ Ò d c Ô Ù Ó¹Ô Ö Ó ÕÙ T d c ÙÐØ Ñ Ñ ÒØ Ô Ù Ó¹Ô Ö Ó ÕÙ T Ö Ò T Ô Ö Ò Ô Ö Ò Notation : F[X, Y ] = fonctions de R + dans R {, + } anes par morceaux avec des sauts ou changements de pentes à des points d'abscisses dans X et d'ordonnées dans Y. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 22 / 43

33 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Navigation entre les diérentes classes modèle uide +, min, max, +, F franch.ult.ane F[R +, R] min, max, franch.ult.ane F[Q +, R] franch. F[R +, R] +, sub. clos. min, max, sub. clos. franch.ult.ps.-period. F[R +, R] min, max sub. clos., sub. clos. franch.ult.ps.-period. F[Q +, R] +,, min, max sub. clos. +, +, min, max, franch.ult.ane F[Q +, Q] sub. clos. franch.ult.ps.-period. F[Q +, Q] +, min, max, sub. clos. modèle discret +, sub. clos. +, min, max franch.ult.ane franch.ult.ps.-period. min, max, N R N R, sub. clos. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 23 / 43

34 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Théorèmes de clôture Deux classes stables pour min, max, +,,,,. et couvrant les exemples rencontrés en Network Calculus : Dans F, les fonctions anes par morceaux franches et ultimement pseudo-périodiques. Dans D, les fonctions franches et ultimement pseudo-périodiques. On peut dicilement faire plus petit pour rester stable : Théorème Dans F, la clotûre des fonctions anes pour les opérations min, max, +,,,,. est la classe des fonctions anes par morceaux continues (sauf éventuellement en 0) ultimement pseudo-périodiques. Question : quels algorithmes pour implémenter les opérations élémentaires sur ces classes de fonctions? Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 24 / 43

35 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Structure de données t 1 t 2 t i 0 t k x 1 f (x 1 ) y 1 ρ 1 x 2 f (x 2 ) y 2 ρ 2 x i f (x i 0 ) y 0 i 0 ρi 0 x k k ) y k ρ k T d c pos η f Notations : N f : nombre de segments dans la représentation Pour les algorithmes, nécessité d'étendre cette représentation. Nf e la taille de la fonction étendue. est Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 25 / 43

36 Aspects algorithmiques Des propriétés algébriques aux algorithmes Minimum de deux fonctions T 1 T 2 T La complexité du minimum est en O(N e f + N e g ). Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 26 / 43

37 Aspects algorithmiques Des propriétés algébriques aux algorithmes Convolution de deux fonctions On utilise la distributivité de min sur. Si f = min i I f i et g = min j J g j alors, f g = min f i g j. (i,j) I J Convolution de segments élémentaires = On décompose les fonctions en partie transitoire et périodique, et on sait calculer un rang à partir duquel la convolution est périodique Calcul du minimum de 2(N e f Ne g ) segments. Complexité On peut calculer la convolution en O(N e f Ne g log(ne f Ne g )). Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 27 / 43

38 Aspects algorithmiques Des propriétés algébriques aux algorithmes Algorithme de convolution : cas particulier = ½ ¼ ¼ ½ Théorème (Le Boudec, Thiran, 2001) Convolution de f et g convexes et ane par morceaux = concaténation des diérents morceaux de f et g triés par pentes croissantes. Complexité : O(N f + N g ) où N f de f (resp. g ). (resp. N g ) est le nombre de morceaux Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 28 / 43

39 Aspects algorithmiques Des propriétés algébriques aux algorithmes Déconvolution de deux fonctions Si f = max i I f i et g = min j J g j alors, f g = max f i g j. (i,j) I J Déconvolution de segments élémentaires = Complexité On peut calculer la déconvolution en O(N e f Ne g log(ne f Ne g )). Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 29 / 43

40 Aspects algorithmiques Des propriétés algébriques aux algorithmes Clôture sous-additive f (t) = inf t t k =t f (t 1 ) + + f (t k ) f (1) f (2) f (T ) f (T + d 1) 1 2 T T+d 1 c f (t) est le plus court chemin de longueur t dans le graphe de 1 vers 1. Théorème (Cohen,Dubois,Quadrat,Viot, 1985) Pour M irréductible, il existe d, T N et λ R tels que t T, M t+d = M t + λd. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 30 / 43

41 Étude de quelques scénarios 1 Le Network Calculus Les contraintes Propagation des contraintes et composition Dériver des bornes pire cas 2 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des propriétés algébriques aux algorithmes 3 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Un problème de routage 4 Conclusion et perspectives Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 31 / 43

42 Étude de quelques scénarios Un exemple simple... On suppose maintenant que les courbes sont strictes. α 2 α 2 α 1 β 1 α 1 β 2 Première solution α 1 = α 1 (β 1 α 2 ) + and α 2 = α 2 (β 1 α 1 ) + Service oert pour le ux 1 au deuxième serveur : β 2 = (β 2 α 2 (β 1 α 1 ) + ) +. Le service garanti total pour le ux 1 est : β = (β 1 α 2 ) + (β 2 α 2 (β 1 α 1 ) + ) +. Seconde solution (Pay multiplexing only once) β = (β 1 β 2 α 2 ) +. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 32 / 43

43 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Performances sur une ligne α 2 α 3 α 1 β 1 β 2 β 3 On ne peut pas utiliser directement la deuxième solution. β(t) = ( min u 1, u 2, u 3 0 u 1 + u 2 + u 3 = u β 1 (u 1 ) + β 2 (u 2 ) + β 3 (u 3 ) α 2 (u 1 + u 2 ) α 3 (u 2 + u 3 )) +. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 33 / 43

44 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Cas général Flow 0 Flow i A (s i 1) i A (e i ) i A (j) i 1 s i j e i n I = {1,..., k}, φ(t) = ( min u 1,..., u n 0 u u n = t β j (u j ) α i ( u j )) +. i I j {s i...e i } Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 34 / 43

45 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Limites Calcul de la courbe a priori pas polynomial (programmation linéaire entière avec un nombre exponentiel de contraintes). Calcul des bornes sur le délai et sur la charge en temps polynomial. Les bornes calculées ne peuvent pas toujours être atteintes. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 35 / 43

46 Étude de quelques scénarios Un problème de routage Un problème de routage Problème : étant donné un réseau (sans trac) et un ux de source et destination connues, calculer une route qui donne la meilleur garantie sur le délai maximum (resp. sur la charge maximum). Entrées : le réseau sous forme d'un graphe G = (V, A), un service minimum β v à chaque n ud v, source x, destination y et courbe d'arrivée α pour le ux à router. courbes anes par morceaux, arrivée α concave, services β v convexe. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 36 / 43

47 Étude de quelques scénarios Un problème de routage Un problème de routage Problème : étant donné un réseau (sans trac) et un ux de source et destination connues, calculer une route qui donne la meilleur garantie sur le délai maximum (resp. sur la charge maximum). Entrées : le réseau sous forme d'un graphe G = (V, A), un service minimum β v à chaque n ud v, source x, destination y et courbe d'arrivée α pour le ux à router. courbes anes par morceaux, arrivée α concave, services β v convexe. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 36 / 43

48 Étude de quelques scénarios Un problème de routage Routage : forme de la function à optimiser Optimisation de la borne sur les délais : OPT = inf chemin (x, v 1,..., v l, y) = inf chemin (x, v 1,..., v l, y) h(α, β v1 β vl ) sup{(β v1 β vl ) 1 (z) α 1 (z)} z 0 Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 37 / 43

49 Étude de quelques scénarios Un problème de routage Routage : cas particuliers º º + α β v (t) = Ð Ð Ë ÓÖØ Ø È Ø min Σµ T v T v1 ººº T vl α β v (t) = R v min(r v1,, R vl ) ÓØØÐ Ò Ë ÓÖØ Ø È Ø max minµ º º Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 38 / 43

50 Étude de quelques scénarios Un problème de routage Routage : un théorème min-max S bande de pente λ vsize(s) α v(α, β) β I(α, β) width(s) h(α, β) hsize(s) Théorème Si α concave et β convexe, alors sup{β 1 (z) α 1 (z)} = inf {hsize(s) I(α, β) S bande de pente λ}. z 0 λ C Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 39 / 43

51 Étude de quelques scénarios Un problème de routage Routage : résolution a2 α 2 b3 λ a1 α 1 b1 β 2 β 1 b2 l inf{hsize(s) I (α, β) S, S bande de pente λ} = proj λ (α)+ (proj λ (β )) v i + i=1 Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 40 / 43

52 Étude de quelques scénarios Un problème de routage Routage : résolution OPT = inf chemin (x, v 1,..., v l, y) = inf chemin (x, v 1,..., v l, y) ( sup (βv1 β vl ) 1 (z) α 1 (z) ) z 0 inf {hsize(s) I (α, β) S bande de pente λ} λ C = inf λ C inf chemin (x, v 1,..., v l, y) ( l ) projλ (α) + (proj λ (β vi )) + i=1 Algorithme : 1 Pour toute pente λ du modèle, remplacer β v par (proj λ (β v )) + et calculer plus court chemin classique dans le graphe. 2 Minimum des valeurs calculées pour ces pentes λ. Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 41 / 43

53 Conclusion et perspectives 1 Le Network Calculus Les contraintes Propagation des contraintes et composition Dériver des bornes pire cas 2 Aspects algorithmiques Stabilité par les opérateurs Des propriétés algébriques aux algorithmes 3 Étude de quelques scénarios Performance sur une ligne Un problème de routage 4 Conclusion et perspectives Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 42 / 43

54 Conclusion et perspectives Conclusion et perspectives Conclusion Un cadre algébrique pour le calcul de bornes déterministes de performances dans des réseaux. Approche fonctionnelle : les calculs de courbes réalisables, mais l'application directe des formules présente des limites. Approche algorithmique : calcul de bornes plus précis que l'approche fonctionnelle, utile pour résoudre des problèmes d'optimisation Perspectives Algorithme pour des bornes exactes sur le délai et la charge maximum dans le réseaux. Quid des réseaux avec des cycles? Anne Bouillard (ENS Cachan / IRISA) Une algorithmique pour le Network Calculus 43 / 43