Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs)

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1 Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs) Plan de la séquence : I- Rappels de 4ème: 1) Calculs 2) Fractions 3) Nombres relatifs 4) Puissances a) Définition b) Propriétés c) Calculs d expressions d) Ecriture scientifique II- III- Les différents ensembles de nombres Les nombres entiers 1) Déterminer les diviseurs d un nombre entier a) Division Euclidienne b) Diviseurs et Multiples c) Propriété : Critères de divisibilité 2) Reconnaitre un nombre premier 3) Décomposer un entier en produit de facteurs premiers 1

2 Séquence 1 : Arithmétique (Nombres et calculs) Définition : L'arithmétique est l'étude des nombres et des opérations élémentaires (soustraction, addition, division, multiplication). I. Rappels : 1. Calculs Règle n 1 : Lorsqu'il n'y a que des additions et des soustractions on effectue les calculs dans l'ordre d'écriture (de gauche à droite) Exemple : = 10 Règle n 2 : Les multiplications et les divisions sont prioritaires. Exemple : = 14 Règle n 3 : Si les calculs sont entre parenthèses, on les effectue en premier. Exemple : (2 + 4) = Fractions Règle n 1 : Pour additionner ou soustraire des fractions je les mets sur le même dénominateur et j'additionne ou soustraie les numérateurs. Exemple : = = 9 8 Règle n 2 : Pour multiplier deux fractions, je multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. Exemple : = = = 6 28 = 3 14 Règle n 3 : Pour diviser par une fraction, je multiplie par son inverse. Exemple : = = 5 6 Si deux fractions sont égales ( a = c ), alors on a l'égalité des produits en croix (a d = c b) b d a La réciproque est vraie (si a d = c b, alors = c b d ). 2

3 3. Nombres relatifs Correction de la carte mentale : 4. Les puissances a) Définition : a désigne un nombre relatif et n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 2. Le produit de n facteur égaux à a se nomme a n et se lit «a exposant n». On dit que ce produit est une puissance de a. Le nombre a -n désigne l inverse du nombre a n (avec a 0). a n = a a a a -n = 1 a n n facteurs Par convention, on a a 1 = a et si a 0, a 0 = 1. Exemples à compléter : 5 3 = 5 5 5=. ; (-3) 0 =.. ; 7 1 =.. ; (-2) 5 =.= =.. =.... ; 012 =. ; 6 2 = =.. ; 8 =.. 3 ;.. facteurs 3

4 Trois puissance quatre =. =.. ; (-3).. = 81 ; b) Propriétés : Cas particulier : n désigne un nombre entier strictement positif. 10 -n = 1 = 1 = 10 n , n = = n facteurs n chiffres n facteurs n zéros après la virgule Exemple : = 10 9 (un milliard) 0, = 10-6 (un millionième) Règles de calculs : a et b désignent des nombres relatifs et m et n des nombres entiers relatifs. a m a n = a m + n am a n = am n avec a 0 (a b) n = a n b n (a m ) n = a m n ( a b )n = an b n Exemples à compléter : = = 10. ; = 12. = 12. ; (10-3 ) 5 = 10 ; (3x) 2 = 3.. x.. =.x.. ; 10 5 (10 3 ) = = (3 2 ) -5 = 3 ; ( 2 3 )3 = 2 3.; 100² = = = 10 7 (10 2 ) = 4

5 c) Calculs d expressions: Propriété : Dans une expression numérique, on effectue en priorité : - Les calculs entre parenthèses - Les puissances, les multiplications et les divisions - Les additions et soustractions Exemple à compéter : = = 4 ( ) = = 10 3 ( ) = ( 8 7 ) = 25 (7 4) 2 = ( 1) = d) Ecriture scientifique : Rappel : Soit n un entier positif : Pour multiplier un nombre décimal par 10 n, il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la droite, en complétant par des zéros si nécessaire. Pour diviser un nombre décimal par 10 n (ce qui revient à le multiplier par 10 -n ), il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la gauche, en complétant par des zéros si nécessaire. Exemple à compléter : 15 10² = = = = 0, = 0, = Définition : l écriture scientifique d un nombre décimal positif est l écriture de la forme : a 10 n où : - a est un nombre décimal tel que 1 a < 10 - n est un nombre entier relatif Exemple : L écriture scientifique de est 1, (un milliard 785 millions) L écriture scientifique de 0, est 2,

6 II- Les différents ensembles de nombres Ensemble des... Définition Notation Exemple Entiers naturels Ensemble des entiers positifs N 0 ; 1 ; 2 ou 4 ; 16 Entiers relatifs Ensemble des entiers positifs et négatifs Z 4 Nombres décimaux Nombres rationnels Nombres réels Ensemble des nombres positifs ou négatifs possédant un nombre fini de décimales Ensemble des nombres pouvant s'écrire sous forme d'une fraction d'entiers relatifs Ensemble de tous les nombres que vous connaissez. D 2 ; -0,123 ; 9,12 ; 5 Q 2 ; -0,123 ; 9,12 ; 5 R Compléter le tableau ci-dessous : Cocher la ou les bonnes cases : Entier Naturel Décimal Rationnel Irrationnel 3, π III - Les nombres entiers. (Activité centurion) a) Division Euclidienne : 1) Déterminer les diviseurs d un nombre entier Définition : La division euclidienne d un entier positif ou nul m par un entier n > 0, c est de trouver les entiers positifs appelés quotients q et le reste R tel que m = q n + R avec 0 R n. Dividende Reste Exemple : la division euclidienne de 574 par 36 : Diviseur Quotient 6

7 574 = c est-à-dire Dividende = quotient diviseur + reste avec reste < diviseur b) Diviseurs et multiples Définition : soient m, n deux entiers naturels avec n 0, on dit que : n est un diviseur de m ou que m est un multiple de n s il existe un entier naturel q tel que : m = q n. Conséquence : q est alors un autre diviseur de m Exemple : 48 = 4 12 donc 4 est un diviseur de 48 (4 divise 48) 48 est un multiple de 4 (48 est divisible par 4) 12 est un diviseur de est un multiple de 12. Remarque : Si n est un diviseur de m, alors le reste de la division euclidienne de m par n est nul. Le nombre 1 n a qu un seul diviseur : lui-même. Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même. c) Critères de divisibilité Un nombre est divisible par : 0 : Jamais! 1 : Toujours! 2 : si et seulement si le chiffre des unités est pair 3 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 9 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 5 : si et seulement si le chiffre des unités est 0 ou 5 10 : si et seulement si le chiffre des unités est 0 6 : si et seulement si il est divisible par 2 et par 3 4 : si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 Ex : 00 ; 04 ; 08 ; 12 ; ; 80 ; 84 ; 88 ; 92 ; 96 7

8 Pour déterminer tous les diviseurs d un nombre entier N, on teste la divisibilité de N par tous les nombres entiers N. Exemple : Pour trouver les diviseurs de 18, on calcule 18 : 18 4,2 : il faut donc tester la divisibilité par 1, par 2, par 3 et par = 1 18 = 2 9 = 3 6 : les diviseurs de 18 sont donc 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Séries d exercices : voir dossier TD section exercices page 24 exercices 9/11/12 (oralement en classe) 18/19/24 (au tableau) 2) Reconnaître un nombre premier Définition : on dit qu un nombre est premier quand il a exactement 2 diviseurs, 1 et lui-même (distincts). Exemple : 13 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 13 et 1. Il existe une infinité de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 Attention: 1 n est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui même Séries d exercices : voir dossier TD section exercices page 25 exercices 31/32/33 (oralement) 35 au tableau) 3) Décomposer un entier en produits de facteurs premiers Propriété : un nombre entier 2 se décompose en un unique produit de facteurs premiers. (Si l on ne tient pas compte de l ordre de ces facteurs) Méthode : Pour décomposer un nombre N en produits de facteurs premiers, on cherche le plus petit nombre premier qui divise le nombre N. 8

9 On divise N par ce nombre premier et si le quotient obtenu est différent de 1, on recommence jusqu à obtenir pour quotient 1.. Exemple : La décomposition en produit de facteurs premiers de 2088 est : = Application : Fractions irréductibles Trouver la fraction irréductible de : 84 = = = = 14 5 Séries d exercices : voir dossier TD section exercices page 25 exercices 38/39 (oralement) et 46(au tableau) Faire le problème 78 page 31 9