Matrice inverse. Matrices inverses. Matrice inverse. Matrice inverse. Vincent Nozick Soit M une matrice, la matrice inverse M 1 de M est définie par :

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1 Matrices inverses Vincent Nozick Définition : Soit M une matrice, la matrice inverse M 1 de M est définie par : MM 1 = M 1 M = Id Vincent Nozick Matrices inverses 1 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 2 / 26 Propriétés : Propriétés : L inverse d une matrice n existe pas toujours. si M est inversible, on dit que M est régulière sinon, M est singulière. Soit M une matrice carrée d ordre n. Les énoncés suivants sont équivalents : M est inversible x = 0 est la seule solution de Mx = 0 M est de rang n aucune ligne (colonne) de M n est combinaison linéaire d autres lignes (colonne) de M pour tout vecteur k, Mx = k admet une solution det M 0 Vincent Nozick Matrices inverses 3 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 4 / 26

2 Propriétés : Id 1 = Id (AB) 1 = B 1 A 1 (M 1 ) 1 = M [ diag(m ii ) ] 1 [ ( ) = diag 1 ] m ii Applications : résoudre des systèmes linéaires trouver des transformations inverses Vincent Nozick Matrices inverses 5 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 6 / 26 Inversion Inverse et systèmes linéaires : Résoudre le système : Ax = b Ax = b A 1 Ax = A 1 b Idx = A 1 b x = A 1 b Note : Pour résoudre un système linéaire, préférez les méthodes sans inversion de matrice. Methode de Cramer : (méthode habituelle) M 1 = 1 det M com(m) avec : det M : le déterminant de M com(m) : transposée de la matrice des cofacteurs (comatrice) Vincent Nozick Matrices inverses 7 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 8 / 26

3 Inversion Inversion M 1 = 1 det M com(m) le calcul du déterminant est long! (cf. déterminant) Methodes numériques : pivot de Gauss Gauss-Jordan décompositions matricielles Vincent Nozick Matrices inverses 9 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 10 / 26 Méthode : m 21 m 22 m 23 m 31 m 23 m 33 MM 1 = Id il suffit de résoudre n systèmes. n 21 n 22 n 23 n 31 n 23 n 33 = Méthode : m 21 m 22 m 23 n 21 n 22 n 23 m 31 m 23 m 33 n 31 n 23 n 33 }{{} 0 k 22 k 23 = La triangulation de la M est commune à tous les systèmes, avec des effets sur N et Id. Vincent Nozick Matrices inverses 11 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 12 / 26

4 Triangulation : m 21 m 22 m 23 m 31 m 23 m 33 0 m 31 m 22 m 23 m 23 m 33 n 21 n 22 n 23 n 31 n 23 n 33 = ex : L 2 L 2 L 1 n 21 n 22 n 23 = n 31 n 23 n Elimination : on résoud : n 11 n 12 n 13 n 21 n 22 n 23 n 31 n 23 n 33 n 11 n 21 n 31 = = et on fait pareil pour les 2 autres colonnes de N u 11 u 12 u 13 u 21 u 22 u 23 u 31 u 32 u 33 u 11 u 21 u 31 Vincent Nozick Matrices inverses 13 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 14 / 26 Méthode : triangulation de M avec des effets sur N et Id éliminations indépendantes sur chaque colonne de N. n 11 n 21 n 31 n 12 n 22 n 32 n 13 n 23 n 33 = = = u 11 u 21 u 31 u 12 u 22 u 32 u 13 u 23 u 33 Gauss-Jordan Principe : données de départ : A à la manière de la triangulation du pivot de Gauss : on rend la matrice A triangulaire grâce à une matrice M 1. on rend cette matrice diagonale grâce à une matrice M 2. on tranforme cette matrice en matrice identité avec M 3. M 3 M 2 M 1 A = MA = Id En pratique : on applique les transformations succèssives sur A (A Id) et sur Id pour se souvenir des transformation successives et trouver M : [A Id] [MA M] = [Id M] M = A 1 Vincent Nozick Matrices inverses 15 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 16 / 26

5 Au départ : [A Id] = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a a 31 a 32 a 33 avec uniquement des opérations sur les lignes a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 u 21 u 22 0 Vincent Nozick Matrices inverses 17 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 18 / 26 a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 u 21 u 22 0 avec uniquement des opérations sur les lignes a 1 u 11 u 12 u 13 0 a 22 0 u 21 u 22 u 23 a 1 u 11 u 12 u 13 0 a 22 0 u 21 u 22 u 23 avec uniquement des opérations sur les lignes u 11 u 12 u u 21 u 22 u 23 u 31 u 32 u 33 Au final : [A Id] [Id U] avec U = A 1. Vincent Nozick Matrices inverses 19 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 20 / 26

6 Gauss-Jordan Inverse par décomposition Il est possible d inverser une matrice via des décompositions : on décompose une matrice A comme le produit de plusiseurs matrices ayant des propriétés spéciales. Remarques : utilise moins de mémoire que le pivot de Gauss. un peu moins de calculs. ne bénéficie pas du pivot total. A = M 1 M 2 M k on inverse ces matrices spéciales facile à inverser : matrices orthogonales matrice diagonales matrices triangulaires... on compose la matrice inverse A 1 via les inverses des matrices spéciales. A 1 = M 1 k M 1 2 M 1 1 Vincent Nozick Matrices inverses 21 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 22 / 26 Inverse par décomposition Inverse rapide Décompositions : LU QR et RQ SVD Vecteurs propres et valeurs propres Cholesky Matrice 2 2 : [ ] a b M = c d M 1 = 1 det M com(m) [ ] M 1 1 d b = ad bc c a Vincent Nozick Matrices inverses 23 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 24 / 26

7 Inverse rapide Inverse rapide Matrice 3 3 : A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A 1 = 1 det A com(a) Matrice 4 4 Affine : (en synthèse d images) M = [ A3 3 u 0 1 ] det(a) = a 11 (a 22 a 33 a 32 a 23 ) a 21 (a 12 a 33 a 32 a 13 )+a 31 (a 12 a 23 a 22 a 13 ) a 22 a 33 a 32 a 23 a 13 a 32 a 33 a 12 a 12 a 23 a 22 a 13 com(a) = a 23 a 31 a 33 a 21 a 11 a 33 a 31 a 13 a 13 a 21 a 23 a 11 a 21 a 32 a 31 a 22 a 12 a 31 a 32 a 11 a 11 a 22 a 21 a 12 M 1 = [ A 1 A 1 u 0 1 calcul de A 1 avec inversion 3 3. ] Vincent Nozick Matrices inverses 25 / 26 Vincent Nozick Matrices inverses 26 / 26