France métropolitaine Enseignement spécifique

Transcription

1 Franc métropolitain 03. Ensignmnt spécifiqu EXERCICE 7 points) commun à tous ls candidats) Sur l graphiqu ci-dssous, on a tracé, dans l plan muni d un rpèrorthonormé rprésntativ C d un fonction f défini t dérivabl sur l intrvall ]0, + [. O; i, ) j,lacourb C B j O i A On dispos ds informations suivants : -lspointsa, B, C ont pour coordonnés rspctivs, 0),, ), 0, ) ; -lacourbc pass par l point B t la droit BC) st tangnt à C n B ; -ilistdurélspositifsa t b tls qu pour tout rél strictmnt positif, f) = a + b ln. ) a) En utilisant l graphiqu, donnr ls valurs d f) t f ). b) Vérifir qu pour tout rél strictmnt positif, f ) = c) En déduir ls réls a t b. b a) b ln. ) a) Justifir qu pour tout rél appartnant à l intrvall ]0, + [, f ) almêmsignqu ln. b) Détrminr ls limits d f n 0 t n +. On pourra rmarqur qu pour tout rél strictmnt positif, f) = + ln. c) En déduir l tablau d variations d la fonction f. 3) a) Démontrr qu l équation f) = admt un uniqu solution α sur l intrvall ]0, ]. b) Par un raisonnmnt analogu, on démontr qu il ist un uniqu rél β d l intrvall ], + [ tl qu fβ) =. Détrminr l ntir n tl qu n<β<n+. 4) On donn l algorithm ci-dssous. Variabls : a, b t m sont ds nombrs réls Initialisation : Affctr à a la valur 0 Affctr à b la valur Traitmnt : Tant qu b a>0, Affctr à m la valur a + b). Si fm) <alors affctr à a la valur m. Sinon affctr à b la valur m. Fin d Si. Fin d Tant qu Sorti : Affichr a. Affichr b. a) Fair tournr ct algorithm n complétant l tablau ci-dssous qu l on rcopira sur la copi. http :// c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

2 étap étap étap 3 étap 4 étap 5 a 0 b b a m b) Qu rprésntnt ls valurs affichés par ct algorithm? c) Modifir l algorithm ci-dssus pour qu il affich ls du borns d un ncadrmnt d β d amplitud 0. 5) L but d ctt qustion st d démontrr qu la courb C partag l rctangl OABC n du domains d airs égals. a) Justifir qu cla rvint à démontrr qu f) d =. b) En rmarquant qu l prssion d f) put s écrir + ln, trminrladémonstration. http :// c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

3 EXERCICE : corrigé Franc métropolitain 03. Ensignmnt spécifiqu ) a) f) st l ordonné du point B àsavoir. f ) st l cofficint dirctur d la tangnt à C n B. CtttangntstladroitBC) d cofficint dirctur 0. Donc, f ) =0. f) = t f ) =0. b) La fonction f st dérivabl sur ]0, + [ n tant qu quotint d fonctions dérivabls sur ]0, + [ dont l dénominatur n s annul pas sur ]0, + [. Dplus,pourtoutrélstrictmntpositif, b a + b ln)) f ) = = b a b ln) = b a) b ln). Pour tout rél, f ) = b a) b ln). c) L égalité f) = s écrit a + b ln) = ou ncor a =. L égalité f b a) bln) ) =0 s écrit = 0 ou ncor b a = 0 ou nfin b = a =. Pour tout rél, f) = + ln). ) a) D après la qustion b) appliqué avc a = b =, pourtoutrél,ona f ) = ln). Pour tout rél,ona >0t donc, pour tout rél, f ) st du sign d ln). Lsigndln) étant connu, on n déduit qu la fonction f st strictmnt positiv sur ]0, [, strictmntnégativsur], + [ t s annul n. b) Limit n 0. Pour tout rél, f) = + ln)).onsaitqu limln) = t donc lim + ln)) =. D autr part, lim =+. Enmultipliant,onobtint 0 lim f) =. 0 Limit n +. Pour tout rél > 0, f) = + ln). D après un théorèm d croissancs comparés, ln) lim = 0. D autrpart, lim = 0. Onndéduitqu + + lim f) = + lim + + ln) lim f) = ) = = 0. c) Ds du qustions précédnts, on déduit l tablau d variations d l fonction f. 0 + f ) f 0 http :// c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

4 ] 3) a) La fonction ] f st continu t strictmnt croissant sur ]0, ]. Onsaitalorsqupourtoutrélk d l intrvall lim f),f) 0 =],], ilistunrél 0 t un sul d l intrvall ]0, ] tl qu f 0 )=k. Commlrél appartint à ],], ilistunréld]0, ] t un sul, noté α, tlqufα) =. b) La calculatric fournit f5) =, t f6) = 0, Donc,f5) >fβ) >f6). Puisqulafonctionf st strictmnt décroissant sur [, + [, onndéduitqu 5<β<6. 4) a) étap étap étap 3 étap 4 étap 5 a 0 0 0, 5 0, 375 0, 4375 b 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 b a 0, 5 0, 5 0, 5 0, 065 m 0, 5 0, 5 0, 375 0, 4375 b) Ls valurs finals d a t d b affichés par ct algorithm sont ls borns d un ncadrmnt d α d amplitud au plus 0.Laméthodutilisépourobtnirctncadrmntstlaméthod par dichotomi. c) Algorithm modifié. Variabls : a, b t m sont ds nombrs réls Initialisation : Affctr à a la valur 5 Affctr à b la valur 6 Traitmnt : Tant qu b a>0, Affctr à m la valur a + b). Si fm) >alors affctr à a la valur m. Sinon affctr à b la valur m. Fin d Si. Fin d Tant qu Sorti : Affichr a. Affichr b. 5) a) L air du rctangl OABC, priménunitésd airs,stégalà =. Lamoitiédcttairstégalà. Détrminons maintnant l absciss du point d intrsction d la courb C t d l a O). Soit un rél strictmnt positif. + ln)) f) =0 = 0 + ln) =0 ln) = = =. [ ] ) Enfin, la fonction f st croissant sur, t, puisqu f = 0, onndéduitqulafonctionf st positiv sur [ ] l intrvall,.parsuit,l air,priménunitésd airs,dudomainduplandélimitéparlacourbc,l a O) t la droit d équation = st f) d. Finalmnt, la courb C paratg l rctangl OABC n du domains d airs égals si t sulmnt si b) Calculons f) d =. f) d. Lafonction ln) st d la form u u avc pour tout, u) =ln). On sait qu un primitiv d la fonction u u st la fonction u t donc http :// c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

5 f) d = + ) [ ln) d = ln)+ ln)) ) ) = ln)+ ln)) ln/)+ ln/)) = + ) ) =. ] f) d =. On a ainsi démontré qu la courb C partag l rctangl OABC n du domains d airs égals. http :// 3 c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.