Lois de probabilité continues
|
|
- Catherine Ménard
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Lois de probabilité continues Lois à densité sur un intervalle Les expériences aléatoires étudiées en première conduisaient à définir un univers Ω = {ω ; ω ; ; ω } fini muni d une loi de probabilité P qui attribuait à chaque issue ω sa probabilité P(ω ) telle que P(ω ) 0 et P(ω ) = 1. Toute variable aléatoire définie sur Ω ne prenait qu un nombre fini de valeurs. On s intéresse maintenant à des univers qui contiennent une infinité d issues, par exemple toutes valeurs dans l intervalle [0 ; 1]. Les variables aléatoires utilisées sur ces univers prennent toutes valeurs dans un intervalle donné. Définition Densité de probabilité On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de R, toute fonction f continue, positive sur I et telle que l aire sous la courbe C est égale à 1 u.a. P(a X b) = 1 Ainsi toute fonction f continue, positive sur I est une densité de probabilité si: f(t)dt = 1 si I = [a; b] où lim f(t)dt = 1 si I = [a; + [ Définition Loi à densité Soit f une densité de probabilité sur un intervalle I. Dire qu une variable aléatoire X suit la loi de densité f signifie qu à tout intervalle J inclus dans I, on associe la probabilité P(X J) = aired où D est le domaine de l aire sous la courbe C sur l intervalle J. Conséquences Pour tout nombre réel c I, P(X = c) = f(t)dt = 0 Si J = [c; d], P(X J) = P(c X d) = f(t)dt {M(x; y)/ c x d et 0 y f(x)}). P(c X d) = P(c < X d) = P(c X < d) = P(c < X < d) (Aire sous la courbe délimitée par Propriétés Les propriétés des probabilités rencontrées dans le cas discret s étendent au cas continu. Ainsi : P(X J) = 1 P(X J) (Complémentaire). En particulier, si I = [a; + [ et si c > a alors P(X > c) = 1 P(a < x < c) = 1 f(t)dt Si J et K sont deux intervalles inclus dans I, alors P(X J K) = P(X J) + P(X K) P(X J K) Si P(X J) 0, alors P (X K) = ( ) ( ) N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1
2 P(c X d) = f(t)dt P(X > c) = 1 P(a X c) = 1 f(t)dt Exemple f est la fonction définie sur l intervalle [0; 4] par la courbe ci-contre : 1) Vérifier que l aire, en unité d aire du domaine coloré est égale à 1. Que peut-on en déduire pour f? 2) X est une variable aléatoire continue à valeurs dans [0; 4] dont la loi de probabilité a pour densité f. a) Calculer P(1 X 2) b) Calculer P (1,5 X 2,5) Définition Espérance mathématique L espérance mathématique d une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f est définie sur un intervalle fermé [a; b] est E(X) = xf(x)dx. Remarque Cette définition prolonge au cadre continu la définition donnée de l espérance d une variable aléatoire discrète. Loi uniforme sur [a; b] La loi uniforme est la loi de phénomènes continus uniformément répartis sur un intervalle. Définition Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l intervalle [a; b], avec a < b, lorsque sa densité de probabilité f est une fonction constante sur [a; b]. Propriété La densité de probabilité de la loi uniforme sur [a; b] est la fonction définie sur [a; b] par f(x) =. Preuve La densité de probabilité f de la loi uniforme sur [a; b] est une fonction constante. Posons f(x) = λ. On doit avoir f(x)dx = 1 soit λdx = 1 λb λa = 1 λ = N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2.
3 Remarques 1. Si l on choisit au hasard un nombre dans l intervalle I = [a; b], la probabilité que ce nombre soit dans l intervalle J I est le quotient da la longueur J par celle de I. En effet, pour tout intervalle J = [α; β] [a; b] = I, P(X J) = 2. Si deux intervalles J et K ont la même longueur alors P(X J) = P(X K). D où le nom de loi uniforme. dt = = Exemple On choisit un nombre au hasard dans l intervalle [0; 5]. Par définition la variable aléatoire X qui indique le nombre choisi suit la loi uniforme sur [0; 5]. P(X = 2) = 0 ; P(X > 3) = = ; P(1 X < 4) = = Propriété Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l intervalle [a; b]. Alors son espérance est E(X) = Preuve E(X) = dt = = = ()() = Exemples d utilisation de la loi uniforme 1) Jeanne a dit qu elle passerait chez Jean entre 18h et 20h30. Quelle est la probabilité qu elle arrive pendant qu il mange entre 19h et 19h30? On note X la variable aléatoire égale à l heure d arrivée de Jeanne chez Jean. Elle prend ses valeurs dans l intervalle [18; 20,5]. X suit une loi uniforme sur [18; 20,5]. 19,5 19 P(19 X 19,5) = 20,5 18 = 0,2 La probabilité que Jeanne arrive pendant le repas est. 2) Un feu tricolore reste 55 secondes au vert, 5 secondes à l orange et 60 secondes au rouge. Un piéton ne peut traverser que lorsque le feu est rouge. A 8h00, le feu passe au rouge. On s intéresse aux piétons qui se présentent entre 8h00 et 8h05. T est la variable aléatoire qui donne, en seconde, le temps écoulé de 8h00 jusqu à l heure d arrivée devant le feu d un piéton désirant traverser. On suppose que T suit la loi uniforme [0; 300]. On veut calculer la probabilité qu un piéton attende moins de 10 secondes puis plus de 20 secondes. a) Faire un schéma illustrant la succession des feux. b) Pour une attente de moins de 10 secondes, dans quels intervalles de temps doit se situer T? Une attente de moins de 10 secondes signifie que T [0; 60] ou T ]110; 180] ou T ]230; 300]. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3
4 En déduire la probabilité que l attente ne dépasse pas 10 secondes. Les évènements T [0; 60], T ]110; 180], T ]230; 300] sont deux à deux disjoints donc P(T [0; 60] ]110; 180] ]230; 300]) = P(T [0; 60]) + P(T ]110; 180]) + P(T ]230; 300]) P(T [0; 60] ]110; 180] ]230; 300]) = + + = c) Calculer la probabilité que l attente dure plus de 20 secondes. Une attente de plus de 20 secondes signifie que T ]60; 100[ ou T ]180; 220[. Ces évènements sont deux à deux disjoints donc P(T ]60; 100[ ]180; 220[) = P(T ]60; 100[) + P(T ]180; 220[) = + = 3) La fonction Rand ou NbrAléat sur TI ou Ran# sur Casio d une calculatrice donne un nombre au «hasard» dans l intervalle [0; 1[. Ce nombre aléatoire suit la loi uniforme X sur [0; 1[. Par exemple la probabilité que X 0; est. Plus généralement, si a et b sont deux nombres tels que 0 a < b < 1, la probabilité que X [a; b] est b a. a) Calculer P(0,54 X 0,62) P(0,54 X 0,62) = 0,62 0,54 = 0,08 b) Sachant que X < 0,3, quelle est la probabilité de l évènement A : «son chiffre des centièmes est 1». Les nombres inférieurs à 0,3 dont le chiffre des centièmes est 1 sont dans les intervalles [0,01; 0,02[ ou [0,11; 0,12[ ou [0,21; 0,22[. (0,02 0,01) + (0,12 0,11) + (0,22 0,21) P, (A) = 0,3 0 c) Calculer l espérance de X. E(X) = = Lois exponentielles = 3 0,01 0,3 = 1 10 La plupart des phénomènes naturels sont soumis au processus de vieillissement. Par exemple, la durée de vie des êtres humains : la probabilité de vivre 40 ans pour un enfant à la naissance est de l ordre de 0,98. La probabilité pour une personne de 50 ans de vivre encore 40 ans est environ égale à 0,65. Il existe des phénomènes où il n'y a pas de vieillissement ou d'usure. Dans la pratique, ils relèvent d'événements survenant accidentellement et/ou de façon brutale. L absence de «mémoire» ou de vieillissement se traduit par le fait qu un phénomène a autant de chances de se produire sur un laps de temps donné après l instant t qu après l instant h. La probabilité qu il survienne aujourd hui sachant qu on l attend depuis un siècle est la même que si on l attendait depuis un jour. Les lois exponentielles modélisent ces phénomènes dont la durée de vie n est pas affectée par l âge, par exemple la durée de vie d un noyau radioactif ou d un composant électronique. Définition λ désigne un nombre réel strictement positif. Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ lorsque sa densité de probabilité est la fonction f définie sur [0; + [ par f(t) = λe. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4
5 Remarque La fonction f définie sur [0; + [ par f(t) = λe est bien une densité de probabilité sur [0; + [ : f est continue et positive sur [0; + [ et si t > 0, λe dx = e = 1 e. Or, lorsque t tend vers +, λt aussi et donc e tend vers 0. On a donc lim λe dx = λe dx = 1 Propriétés Pour tous nombres réels a et b tels que 0 a b : P(T a) = λe dt = e = 1 e P(T > a) = 1 P(t a) = e P(a T b) = e e Théorème (Propriété de perte de mémoire) Pour tous nombres réels positifs t et h, P (T t + h) = P(T h). La durée de vie T sur un laps de temps h, ne dépend pas de l âge t à partir duquel on considère cet évènement. Preuve Pour tous nombres réels positifs t et h, P (T t + h) = [() ()] () = () () Proposition Espérance mathématique = () = e = P(T h). L espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre λ est E(T) =. Preuve (Exigible) Pour tout nombre réel positif t, on calcule λxe dx. La fonction g: x λxe est le produit des fonctions dérivables Id: x x et x λe. Donc g est dérivable sur [0; + [. λxe dx = xe e dx = te + e λ = te e λ + 1 λ e 1 lim = 0 et lim λ te = lim λ λte On pose X = λt. Alors lim Xe = 0 (croissances comparées) On a donc lim λxe dx = E(T) = 1 λ lim X = et N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5
6 Remarque On admet que les variables aléatoires qui suivent une loi exponentielle sont les seules variables aléatoires à densité sans vieillissement. Exemple d utilisation de la loi exponentielle La durée de vie d une ampoule d un certain modèle peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif. Que vaut λ sachant que P(T 1000) = 0,3? P(X 1000) = 1 e = 0,3 d où e = 0,7 e = 0,7 1000λ = ln0,7 λ = ln0, , Sachant que l évènement (T > 1000) est réalisé, déterminer la probabilité de l évènement (T > 3000). On sait que pour tous nombres réels positifs t et h, P (T t + h) = P(T h). On remarque que 3000 = , d où en prenant t = 1000 et h = 2000 P (T > 3000) = P(T > 2000) = e 0,49 Démontrer que, pour tout réel t 0 et h 0, P (T t + h) = P(T h) Pour tous nombres réels positifs t et h, on a : P (T t + h) = 1 P (T > t + h) = 1 P(T > h) = P(T h) Sachant qu une ampoule a fonctionné 3000 heures, quelle est la probabilité qu elle tombe en panne avant 4500 heures? P (T 4500) = P(T 1500) = 1 e 0,41 Déterminer la durée de vie moyenne d une ampoule de ce modèle (on arrondira à l heure près) La durée de vie moyenne est égale à l espérance de T, c est-à-dire, soit environ N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailI3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300
I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détail4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Plus en détailMODELES DE DUREE DE VIE
MODELES DE DUREE DE VIE Cours 1 : Introduction I- Contexte et définitions II- Les données III- Caractéristiques d intérêt IV- Evènements non renouvelables/renouvelables (unique/répété) I- Contexte et définitions
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N
ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement
Plus en détailModèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques
Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés
Plus en détailActuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.
Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailVariables Aléatoires. Chapitre 2
Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailPROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailGEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailPeut-on imiter le hasard?
168 Nicole Vogel Depuis que statistiques et probabilités ont pris une large place dans les programmes de mathématiques, on nous propose souvent de petites expériences pour tester notre perception du hasard
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détail= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailPRÉCIS DE SIMULATION
PRÉCIS DE SIMULATION P. Del Moral Centre INRIA Bordeaux Sud-Ouest & Institut de Mathématiques de Bordeaux Université Bordeaux I, 351, cours de la Libération 33405 Talence, France Table des matières 1
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #6
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #6 ARTHUR CHARPENTIER 1 Supposons que le nombre X de coups de téléphone durant une heure suive une loi de Poisson avec moyenne λ. Sachant que P (X = 1 X 1) = 0.8, trouver
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailMesure et Intégration (Notes de cours de L3)
Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détail1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité
1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailProcessus aléatoires avec application en finance
Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailRéseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détail3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailEPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT. Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1)
1 CYCLE MST-A 30 JUIN 2010 10 ème Promotion 2010 / 2012 CONCOURS D ENTREE A L IIA DROIT EPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1) Le candidat traitera au choix
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailFeuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.
Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailUniversité Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité
Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient
Plus en détailSUIVI CINETIQUE PAR SPECTROPHOTOMETRIE (CORRECTION)
Terminale S CHIMIE TP n 2b (correction) 1 SUIVI CINETIQUE PAR SPECTROPHOTOMETRIE (CORRECTION) Objectifs : Déterminer l évolution de la vitesse de réaction par une méthode physique. Relier l absorbance
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailFluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités
Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand
Plus en détailLagrange, où λ 1 est pour la contrainte sur µ p ).
Chapitre 1 Exercice 1 : Portefeuilles financiers Considérons trois types d actions qui sont négociées à la bourse et dont les rentabilités r 1, r 2 et r 3 sont des variables aléatoires d espérances µ i
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès
Plus en détail