SUITES. I Définition et génération d une suite 1 I.1 Notion de suite numérique... 1 I.2 Modes de génération d une suite... 2

Transcription

1 1 re STI Ch09 : Suites 006/007 SUITES Table des matières I Définition et génération d une suite 1 I.1 Notion de suite numérique I. Modes de génération d une suite II Suites arithmétiques II.1 Définition II. Calcul du terme de rang n II.3 Somme des n premiers termes III Suites géométriques 4 III.1 Définition III. Calcul du terme de rang n III.3 Somme des n premiers termes I Définition et génération d une suite I.1 Notion de suite numérique Il arrive que l on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compléter "logiquement" une suite de nombres Exemple 1 1,, 4, 8, 16, 3, 64, 18,... 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64,... 3, 1, 5, 9, 13, 17, 1, 5,... 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34,... En mathématiques, une suite u est une liste ordonnée de nombres réels : les éléments de cette liste sont appelés termes de la suite u, et sont tous repérés par leur rang dans la liste ; ainsi le premier terme est souvent noté u 0, le second u 1 et ainsi de suite... u = ( u 0 ; u 1 ; u ;... ; u n 1 ; u n ; u n+1 ;... ) Définition 1 Une suite u est une fonction définie sur N A chaque entier naturel n on associe un nombre réel u n de la suite u = (u n ) n N Exemple A chaque entier naturel non nul on associe son inverse u 1 = 1, u = 1, u 3 = 1 3,..., u n = 1,...(on remarque qu ici la suite commence à l indice 1) n -1-

2 1 re STI Ch09 : Suites 006/007 I. Modes de génération d une suite Une suite peut être engendrée de deux manières : Définition explicite du terme de rang n du type u n = f(n) Exemple 3 Soit (u n ) n N la suite définie par u n = 5 + 7n pour n 0 u 0 = = 5 u 1 = = u = = 9 u 6 = = 37 Définition par récurrence du type u0 = a u n+1 = f(u n ) Cette relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent. Exemple 4 u0 = 3 Soit (u n ) n N la suite définie par : u n+1 = u n + 1 u 1 = u = = 5 u = u = ( 5) + 1 = 11 u 3 = u + 1 = = 1 L inconvénient est que des termes "éloignés" du début de la suite sont difficiles d accès : pour calculer u 100 il faut, a priori, calculer tous les termes précédents, jusqu à u 99!! II Suites arithmétiques II.1 Définition Définition Une suite (u n ) est arithmétique s il existe un réel r appelé raison de la suite tel que pour tout n 0 : u n+1 = u n + r Autrement dit, on passe d un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombre r : Exemple 5 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raison r = u0 = 5 La définition de la suite (u n ) n N par récurrence est u n+1 = u n u 1 = u 0 = 5 = 3 u = u 1 = 3 = 1 u 3 = u = 1 = 1 --

3 1 re STI Ch09 : Suites 006/007 Exemple 6 5 ; 8 ; 11 ; 14 est une suite arithmétique de premier terme 5 de raison 3 1 ; 10, 5 ; 9 ; 7, 5 ; 6 est une suite arithmétique de premier terme 1 de raison 1, 5 Méthode : Pour démontrer qu une suite est arithmétique, il faut montrer que pour tout n N la différence u n+1 u n est un réel r constant. Exemple 7 Les suites (u n ) n N et (v n ) n N suivantes sont-elles arithmétiques : u n = 3n + 1 et v n = n + 1 Les trois premiers termes de la suit (u n ) sont u 0 = 1 ; u 1 = 4 et u = 7 La différence u n+1 u n semble constante, prouvons le : u n+1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4 u n+1 u n = (3n + 4) (3n + 1) = 3 La suite (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 de raison 3 Les trois premiers termes de la suite (v n ) sont v 0 = 1 ; v 1 = et v = 5 La différence v n+1 v n n est pas constante. En effet : v 1 v 0 = 1 et v v 1 = 3 La suite (v n ) n est donc pas une suite arithmétique II. Calcul du terme de rang n Propriété 1 Soit (u n ) n N une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r Pour tout n N, on a u n = u 0 + nr Pour tous n,p N, on a u n = u p + (n p)r Exemple 8 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 de raison 3 Le terme de rang 50 est : u 50 = u r = = 16 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de terme u 1 0 = de raison 4 Le terme de rang 50 est : u 50 = u (50 10) r = + 40 ( 4) = 158 II.3 Somme des n premiers termes Propriété Somme des n premiers entiers naturels : S n = n = Somme de N termes consécutifs d une suite arithmétique : S = nombre de termes n(n + 1) premier terme + dernier terme -3-

4 1 re STI Ch09 : Suites 006/007 Démonstration : On additionne membre à membre les deux égalités suivantes : n + n 1 + n = S n n + n 1 + n = S n (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = S n Autrement dit, S n = n (n + 1) et donc S n = n(n + 1) Exemple 9 Calcul de la somme des 10 premiers entiers naturels : 10(10 + 1) S 10 = = = 55 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de premier terme u 1 = 1 de raison S 4 = u 1 + u + u 3 + u 4 = 4 u 1 + u 4 u 4 = u 1 + (4 1) r = = 7 S 4 = = 16 III III.1 Suites géométriques Définition Définition 3 Une suite (u n ) n N est géométrique s il existe un réel q non nul appelé raison de la suite tel que pour tout n 0 : u n+1 = q u n Autrement dit, on passe d un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombre q Exemple 10 Soit la suite géométrique de premier terme u 0 = 5 de raison q = u0 = 5 La définition de la suite (u n ) n N par récurrence est u n+1 = u n u 1 = u 0 = 5 = 10 u = u 1 = ( 10) = 0 u 3 = u = 0 = 40 Exemple 11 1 ; ; 4 ; 8 ; 16 ; 3 est une suite géométrique de premier terme 1 de raison Méthode : Pour démontrer qu une suite est géométrique il faut s assurer que pour tout n N, u n 0 puis montrer que pour tout n N, u n+1 est un réel q constant. u n Exemple 1 Soit (u n ) n N la suite définie par u n = 3 n pour tout entier naturel n, u n 0 u n+1 = 3n+1 u n 3 n = 3 la suite (u n ) n N est une suite géométrique de premier terme u 0 = de raison 3-4-

5 1 re STI Ch09 : Suites 006/007 III. Calcul du terme de rang n Propriété 3 Soit (u n ) n N une suite géométrique de premier terme u 0 de raison q Pour tout n N, on a u n = u 0 q n Pour tous n,p N, on a u n = u p q n p Exemple 13 Soit (u n ) n N la suite géométrique de premier terme u 0 = 3 de raison q = Le terme de rang 5 est : u 5 = u 0 q 5 = 3 5 = 96 III.3 Somme des n premiers termes Propriété 4 Somme des (n + 1) premières puissances d un nombre réel : S = 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q Somme de (n + 1) termes consécutifs d une suite géométrique : 1 raisonnombre de termes S = premier terme 1 raison Exemple 14 La somme des 8 premières puissances de vaut : S = = =