Lycée Polyvalent de Taaone. Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures
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- Tiphaine Duval
- il y a 6 ans
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1 Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Tout autre document est interdit Ce sujet s adresse aux élèves qui ont suivi la spécialité Mathématiques Il comporte quatre exercices et cinq pages Toute réponse doit être justifiée Le barème est indicatif Exercice 1 (4 points) Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment Tous les résultats seront donnés sous la forme de fractions On dispose d une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au toucher On considère l expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l urne U, en remettant à chaque fois la boule dans l urne On appelle X le nombre de fois où on a obtenu une boule rouge 1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres 2) Calculer la probabilité d avoir obtenu exactement une fois une boule rouge 3) Déterminer l espérance mathématique de X et interpréter ce résultat On procède maintenant à une nouvelle expérience : on tire une boule de l urne U Si elle est rouge on s arrête, sinon on la remet dans l urne et on tire une boule à nouveau ; si cette deuxième boule est rouge, on s arrête, sinon on la remet dans l urne et on tire une boule pour la troisième fois 1) Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités 2) On appelle Y le nombre de boules rouges obtenues lors d une expérience La variable aléatoire Y prend donc la valeur 1 si la dernière boule est rouge et 0 sinon Déterminer la loi de probabilité de Y et son espérance mathématique 3) On appelle N le nombre de tirages effectués lors d une expérience Déterminer la loi de probabilité de N et son espérance mathématique 4) On appelle proportion moyenne de boules rouges le rapport de l espérance du nombre de boules rouges obtenues sur l espérance du nombre de tirages Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l expérience est la même que la proportion de boules rouges dans l urne Page: 1/5
2 Exercice 2 (6 points) 1) On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f(x) = 5 ln (x + 3) x a) On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur [0 ; + [ Calculer f (x) et étudier son signe sur [0 ; + [ b) Donner, dans un tableau, les variations de f sur l intervalle [0 ; + [ c) Montrer que, pour tout x strictement positif on a : ( f(x) = x 5 ln x ) ( x ln ) x d) En déduire la limite de f en + e) Compléter le tableau de variation de f sur l intervalle [0 ; + [ 2) a) Montrer que l équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle [0 ; + [ On notera α cette solution b) Après avoir vérifié que α appartient à l intervalle [14 ; 15], donner une valeur approchée de α à 10 2 près c) En déduire le signe de f sur l intervalle [0 ; + [ Soit (u n ) la suite définie par : { uo = 4 u n+1 = 5 ln (u n + 3) pour tout entier naturel n > 0 On considère la fonction g définie sur [0 ; + [ par : g(x) = 5 ln (x + 3) En annexe 2 (à rendre avec la copie), on a tracé dans un repère orthonormé la droite D d équation y = x et la courbe C, courbe représentative de la fonction g 1) a) Construire sur l axe des abscisses de l annexe 2, les termes u o, u 1, u 2 de la suite (u n ) en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction b) Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite (u n ) 2) a) Étudier le sens de variations de la fonction g sur l intervalle [0 ; + [ b) Vérifier que g(α) = α où α est défini dans la partie A question 2) a) c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 0 u n α d) Démontrer alors la conjecture émise à la question 1) b) de la partie B e) En utilisant la question 2) a) de la partie A, justifier que lim n + u n = α 3) On considère l algorithme suivant : u prend la valeur 4 Répéter Tant que u 14, 2 < 0 u prend la valeur de 5 ln(u + 3) Fin du Tant que Afficher u Page: 2/5
3 a) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation Justifier que cet algorithme se termine b) Donner la valeur que cet algorithme affi che (on arrondira à 5 décimales) Exercice 3 (5 points) On considère l équation (E) : 25x 108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs 1) Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation 2) Déterminer l ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation (E) Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g 108c = 1 On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors a p 1 1 (mod p) 1) Soit x un entier naturel Démontrer que si x a (mod 7) et x a (mod 19), alors x a (mod 133) 2) a) On suppose que a n est pas un multiple de 7 Démontrer que a 6 1 (mod 7) puis que a (mod 7) En déduire que (a 25 ) g a (mod 7) b) On suppose que a est un multiple de 7 Démontrer que (a 25 ) g a (mod 7) c) On admet que pour tout entier naturel a, (a 25 ) g a (mod 19) Démontrer que (a 25 ) g a (mod 133) Partie C On note A l ensemble des entiers naturels a tels que : 1 a 26 Un message, constitué d entiers appartenant à A, est codé puis décodé La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l entier r tel que a 25 r (mod 133) avec 0 r < 133 La phase de décodage consiste à associer à r, l entier r 1 tel que r 13 r 1 (mod 133) avec 0 r 1 < 133 1) Justifier que r 1 a (mod 133) 2) Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : Décoder ce message Exercice 4 (5 points) ( Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, i, ) j ( ) On considère les points B(100 ; 100) et C 50 ; 50 e et la droite (D) d équation y = x On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ, est donnée en annexe (annexe 1) On suppose de plus qu il existe deux réels a et b tels que : pour tout x réel, f(x) = xe ax+b les points B et C appartiennent à la courbe Γ Page: 3/5
4 1) a) Montrer que le couple (a ; b) est solution du système : b) En déduire que, pour tout x réel, f(x) = xe 0,01x 1 2) Déterminer la limite de f en + 3) a) Montrer que pour tout x réel, f(x) = 100 e 0, 01xe 0,01x b) En déduire la limite de f en { 100a + b = 0 50a + b = 1 2 4) Etudier les variations de la fonction f On donnera le tableau de variations complet 5) Etudier la position relative de la courbe Γ et de la droite (D) 6) a) Vérifer que la fonction F définie sur R par F (x) = (100x 10000) e 0,01x 1 est une primitive de f b) On désigne par A l aire, en unités d aire, du domaine du plan délimité par les droites d équations x = 0 et x = 100, la droite (D) et la courbe Γ Calculer A Annexe 1 (Exercice 4) Figure 1 Annexe 1 (Exercice 4) Page: 4/5
5 Figure 2 Annexe 2 (Exercice 2) à rendre avec la copie Page: 5/5
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