ARITHMÉTIQUE. B Montrer que, quel que soit l entier naturel n, n 3 8 est multiple de n 2.

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1 Divisibilité - Théorèmes généraux B Montrer que, quel que soit l entier naturel n, n 3 8 est multiple de n 2. C Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3. D Montrer que, quel que soit l entier naturel n, 5 2 n 7 n est divisible par 18. E Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 2n + 3 et 3n + 4, cet entier ne peut qu être égal à 1. F n désigne un entier relatif. Démontrer que si un entier relatif a divise les entiers n 2 + 3n + 13 et n + 2, alors a divise 11. G Déterminer les entiers relatifs n tels que n 1 divise n + 17, en remarquant que : n + 17 = (n 1) H En utilisant la définition, démontrer que : si a divise b, alors a 2 divise b 2. I VRAI OU FAUX? Si a b et c b alors ac b. J Montrer que, quel que soit l entier naturel n, 7 n 3 n est divisible par 4. 1) Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4. 1! Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 5n + 9 et 2n + 3, il ne peut prendre que deux valeurs que l on précisera. 1@ Comment choisir l entier naturel n pour que n divise n + 8? 1# Déterminer les entiers relatifs n tels que n 4 divise n $ Quelles sont les valeurs que peut prendre un diviseur relatif commun à 5n 3 et 2n 3, où n désigne un entier relatif? 1% Montrer que, quel que soit l entier naturel n, 2n 2 +7n + 3 est divisible par 2n + 1. ARITHMÉTIQUE 1 P.G. 2007/2008

2 Types de raisonnement 1^ Montrer que, quel que soit l entier naturel n, le nombre n(n + 3) est divisible par 2. 1& Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que (x 1) 2 y = 18. 1* n désignant un entier relatif quelconque, montrer que 7 ne divise pas n. 1( Montrer que, si a 2 + b 2 est impair, alors a et b ne sont pas de même parité. 2) Montrer que, quel que soit l entier naturel n, 7 divise 3 2n n+2. 2! Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n 1, le nombre 2 2n + 6n 1 est divisible par 9. 2@ Montrer que, quel que soit l entier naturel n, le nombre n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6. 2# x et y désignent des entiers naturels avec x > y. a. Démontrer que si x 2 y xy 2 = 6, alors xy et x y divisent 6. b. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x 2 y xy 2 = 6. 2$ Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, le nombre 3 n+3 4 4n+2 est divisible par 11. 2% 1. Établir, par récurrence que : a. pour tout entier naturel n, n 3 n est un multiple de 3. b. pour tout entier naturel n, n 7 n est un multiple de Est-ce que, pour tout entier naturel n, n 4 n est un multiple de 4? 2^ On se propose de démontrer que 2 est irrationnel. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que 2 a. Montrer que p 2 = 2q 2 ; en déduire que p est pair. b. En déduire alors que q est pair, puis conclure. p = avec p q q fraction irréductible. ARITHMÉTIQUE 2 P.G. 2007/2008

3 Division euclidienne 2& Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants : a. a = 54 et b = 16 ; b. a = 187 et b = 26 ; c. a = et b = * Déterminer les entiers n compris entre 0 et 100 tels que le reste de la division euclidienne de n par 41 soit 5. 2( La division euclidienne de l'entier naturel a par l'entier naturel b donne pour quotient q et pour reste r. La division euclidienne de (a + 15) par (b + 5) donne q pour quotient et r pour reste. Déterminer q. 3) La somme de deux entiers naturels a et b (a > b) est 444. La division euclidienne de a par b donne 4 pour quotient et 24 pour reste. Déterminer a et b. 3! Soit deux entiers naturels a et b (a > b). La division euclidienne de a par b donne q = 6 pour quotient et r = 47 pour reste. Par ailleurs, a + b + r = 591. Déterminer a et b. 3@ Le reste de la division euclidienne de 321 par le naturel b est 75. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient. 3# Déterminer un entier a qui, divisé par 23, donne pour reste 1, et qui, divisé par 17, donne le même quotient et 13 pour reste. 3$ On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Déterminer q sachant que q et r ne changent pas lorsqu'on augmente a de 52 et b de 4 3% Déterminer les entiers a et b dont la différence est 538, et tels que le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement 13 et 22. 3^ Montrer que, si l'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division euclidienne par un même naturel k non nul, le quotient est inchangé et le reste est multiplié par k. 3& On désigne par a un entier naturel non nul. Montrer que le reste de la division euclidienne de [a 2 + (a 1) 2 ] 2 par 4a 2 est (2a 1) 2. 3* On sait que 5n + 7 = 5(n + 1) + 2. Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par 5? Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par n + 1? 3( a et b sont deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient n est pas nul. Montrer que a est supérieur au double du reste. ARITHMÉTIQUE 3 P.G. 2007/2008

4 Congruences 4) Les nombres a et b sont-ils congrus modulo c? a. a = 48, b = 7, c = 11 ; b. a = 153, b = 84, c = 23. 4! Déterminer les entiers compris entre 153 et 187 qui sont congrus à 7 modulo 18. 4@ Démontrer que pour tout entier naturel n, 3 n n est divisible par 5. 4# n désigne un entier naturel quelconque. a. Déterminer, suivant les valeurs de n, les restes dans la division euclidienne par 5 des entiers 2 n et 3 n. b. En déduire pour quelles valeurs de n le nombre entier A=1188 n n est divisible par 5. 4$ Montrez que pour tout couple d'entiers relatifs (a, b), si a et b ne sont pas divisibles par 7 alors a 2 + b 2 n'est pas divisible par 7. 4% n désigne un entier naturel quelconque. a. Trouver, suivant les valeurs de n, le reste de la division de 5 n par 7 ainsi que le reste de la division de 5 n par 11. b. Déterminer l ensemble des entiers naturels n tels que 5 n 4 [77]. c. Quel est le reste de la division de par 77? 4^ n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1. a. Déterminer, suivant la valeur de n, le reste de n 4 1 par 5. b. En déduire que n(n 4 1) est un multiple de 5 pour toute valeur de n. c. En déduire que les nombres n p et n p +4 se terminent par le même chiffre à droite. 4& Soit n un entier naturel. a. Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5 n par 13. b. En déduire que est divisible par 13. c. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N=31 4n n 1 est divisible par 13. 4* a. Déterminer suivant les valeurs de l entier naturel n le reste de la division de 3 n par 7. b. Déterminer le reste de la division par 7 du nombre A = ( a. Déterminer les restes de la division par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers naturels. b. Déterminer les entiers naturels n tels que A n = 3 n + 3 2n + 3 3n soit divisible par 13. 5) Soit x un entier relatif. a. Déterminer le reste de la division euclidienne de x 3 par 9, en discutant suivant les valeurs de x. En déduire que, pour tout entier relatif x, on a : x 3 0 [9] x 0 [3], x 3 1 [9] x 1 [3] et x 3 8 [9] x 2 [3]. b. On considère trois entiers relatifs x, y et z tels que x 3 + y 3 + z 3 soit divisible par 9. Démontrer que l un des nombres x, y et z est divisible par 3. ARITHMÉTIQUE 4 P.G. 2007/2008

5 Nombres premiers 5! Le nombre 73 est-il premier? Même question pour 259. Décomposer 3528 en facteurs premiers. Même question avec # Déterminer le nombre de diviseurs positifs du nombre 72. Déterminer, de même, le nombre de diviseurs positifs de 80. 5$ 1. Le nombre est-il premier? 2. p et q étant deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, quel est le reste de la division euclidienne de 2 pq par 2 p 1? En déduire que 2 pq 1 est divisible par 2 p 1 et par 2 q Démontrer que, si 2 n 1 est premier, alors n est premier. La réciproque est-elle vraie? 5% Le nombre 257 est-il premier? Même question pour ^ Décomposer 300 en facteurs premiers. Même question avec & Déterminer le nombre de diviseurs positifs du nombre * Deux nombres premiers n et p (avec n > p) sont dits jumeaux lorsque n p = 2. Par exemple, 3 et 5 sont des nombres premiers jumeaux, tout comme 41 et Démontrer que si p et p + 2 sont des nombres premiers jumeaux, avec p 3, alors la somme de ces deux nombres est divisible par Démontrer que tout couple de nombres premiers jumeaux, à l exception du couple (3 ; 5) est de la forme (6n 1 ; 6n + 1). 5( n désigne un entier naturel dont l écriture, dans le système décimal, est Déterminer le nombre de zéros pour que n ait exactement 130 diviseurs positifs. 6) Existe-t-il des entiers naturels n tels que le nombre de diviseurs positfs de 21 3n soit quatre fois le nombre de diviseurs positifs de 21? ARITHMÉTIQUE 5 P.G. 2007/2008

6 PGCD - PPCM 6! Déterminer le PGCD de 360 et 9450 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs premiers. 6@ n désigne un entier naturel non nul. Si le PGCD de n et de 8 est 4, déterminer le PGCD de n 2 et 8n, puis celui de 5n et 40. 6# Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour 7x + 4y et 5x + 3y. 6$ n désigne un entier naturel. a. Montrer que PGCD(n 2 + 4n + 5 ; n + 3) = PGCD(n + 3 ; 2). b. En déduire les entiers n pour lesquels n 2 + 4n + 5 et n + 3 sont premiers entre eux. 6% Déterminer, par la méthode des divisions successives, le PGCD de 126 et ^ Résoudre dans Z Z les équations : a. 5x 3y = 1. b. 12x + 18y = 6 c. 4x 8y = 3 6& Déterminer le PGCD de 1750 et 1960 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs premiers. 6* n désigne un entier naturel non nul. Si le PGCD de n et de 5 est 3, déterminer le PGCD de 2n 2 et 10n. 6( Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour 5x + y et 9x + 2y. 7) n désigne un entier naturel. a. Montrer que PGCD(n 2 + 5n + 7 ; n + 1) = PGCD(n + 1 ; 3). b. En déduire les entiers n pour lesquels n 2 + 5n + 7 et n + 1 sont premiers entre eux. 7! Déterminer, par la méthode des division successives, le PGCD de 213 et @ Résoudre dans Z Z les équations : a. 8x 5y = 1. b. 14x + 10y = 6 c. 6x + 9y = 4 ARITHMÉTIQUE 6 P.G. 2007/2008

7 PGCD - PPCM 7# Déterminer le PPCM de 4410 et 1540 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs premiers. 7$ n désigne un entier naturel non nul. Si le PPCM de n et de 4 est 12, déterminer le PPCM de 5n 2 et 20n. 7% Déterminer le PGCD puis le PPCM de 783 et ^ Trouver deux entiers naturels a et b connaissant leur somme a + b = 651 et sachant que le quotient de leur PPCM m par leur PGCD d est égal à & 1. Décomposer 319 en facteurs premiers. 2. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour 3x + 5y et x + 2y. ( 3a+ 5b)( a+ 2b) = Résoudre dans N 2 le système : où m désigne le PPCM de a et b. ab = 2m 7* Déterminer le PPCM de 275 et 143 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs premiers. 7( n désigne un entier naturel non nul. Si le PPCM de n et de 6 est 12, déterminer le PPCM de 3n 2 et 18n. 8) Déterminer le PGCD puis le PPCM de 2120 et ! 1. Trouver l'ensemble des entiers naturels qui divisent Trouver les paires d'entiers naturels dont le PGCD d et le PPCM m vérifient : m+ 3d = < d < 30. 8@ a et b étant deux entiers naturels non nuls, soit d leur PGCD et m leur PPCM. 2 m= d Trouver tous les couples (a, b) vérifiant le système : m+ d = 156. a b 8# 1. Montrer que si deux nombres entiers naturels x et y sont premiers entre eux, il en est de même pour les entiers 2x + y et 5x + 2y. 2. Déterminer dans N* les entiers a et b vérifiant : ( 2 a+ b )( 5 a+ 2 b ) = 1620 où M désigne le ab = 3M PPCM de a et b. ARITHMÉTIQUE 7 P.G. 2007/2008

8 L ARITHMÉTIQUE AU BAC $ Partie A Question de cours 1. Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. 2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. Partie B n 13 (19) Il s'agit de résoudre dans Z le système (S). n 6 (12) 1. Démontrer qu'il existe un couple (u ; v) d'entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple). Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 12v u est une solution de (S). 2. a. Soit n 0 une solution de (S). Vérifier que le système (S) équivaut à : b. Démontrer que le système n n n n 0 0 (19) (12) n n n n équivaut à : n n 0 (12 19). 0 0 (19). (12) 3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l'équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante. b. Déterminer l'ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b.). 4. Un entier naturel n est tel que lorsqu'on le divise par 12, le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19, le reste est 13. On divise n par 228 = Quel est le reste r de cette division? 8% Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1. Proposition 1 : "pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 2 2n 1". 2. Proposition 2 : "si un entier relatif x est solution de l'équation x 2 + x 0 (modulo 6) alors x 0 (modulo 3)". 3. Proposition 3 : "l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation 12x 5y = 3 est l'ensemble des couples (4 + 10k ; k) où k ŒZ". 4. Proposition 4 : "il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM (a ; b) PGCD (a ; b) = 1". 5. Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix. Proposition 5 : "si l'entier M est divisible par 27 alors l'entier M N est aussi divisible par 27". ARITHMÉTIQUE 8 P.G. 2007/2008

9 L ARITHMÉTIQUE AU BAC 8^ 1. a. Déterminer suivant les valeurs de l entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7 n. b. Démontrer alors que (2005) (9). 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : (10) n 1 (9). b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante : N S (9). c. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par On suppose que A = (2005) 2005 ; on désigne par : B la somme des chiffres de A ; C la somme des chiffres de B ; D la somme des chiffres de C. a. Démontrer la relation suivante : A D (9). b. Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que B c. Démontrer que C 45. d. En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15. e. Démontrer que D = 7. 8& On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l exercice est de démontrer que l entier naturel n = p 4 1 est divisible par 240, puis d appliquer ce résultat. 1. Montrer que p est congru à 1 ou à 1 modulo 3. En déduire que n est divisible par En remarquant que p est impair, prouver qu il existe un entier naturel k tel que p 2 1 = 4k(k + 1), puis que n est divisible par En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5 divise n. 4. a. Soient a, b et c trois entiers naturels. Démontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c. b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n. 5. Existe-t-il quinze nombre premiers p 1, p 2,, p 15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l entier naturel A = p + p + + p soit un nombre premier? ARITHMÉTIQUE 9 P.G. 2007/2008