Méthodes algébriques pour la théorie des automates
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- Sébastien Dupuis
- il y a 8 ans
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1 1/28 Université Paris-Diderot Sciences mathématiques de Paris Centre Thèse de Doctorat Spécialité Informatique Méthodes algébriques pour la théorie des automates Luc Dartois
2 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
3 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
4 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
5 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
6 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
7 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
8 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
9 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
10 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
11 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée : Langage reconnu : {1,..., 9} 1138{1,..., 9}
12 3/28 Automates Unidirectionnel p a u q p a a u q r p a q p a q Bidirectionnel u a u r Déterministe Non-déterministe
13 3/28 Automates Unidirectionnel p a u q p a a u q r p a q p a q Bidirectionnel u a u r Déterministe Non-déterministe
14 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = =
15 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = =
16 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = =
17 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = = = 3.
18 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Unidirectionnel Séquentiel Unidirectionnel non-déterministe u ũ Bidirectionnel Bidirectionnel déterministe Bidirectionnel non-déterministe Déterministe Non-déterministe
19 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) ua au Unidirectionnel Séquentiel Unidirectionnel fonctionnel Unidirectionnel non-déterministe u ũ Bidirectionnel Bidirectionnel déterministe Bidirectionnel fonctionnel Bidirectionnel non-déterministe Déterministe Non-déterministe
20 5/28 Modèles pour les langages rationnels Machine Algèbre Automates a 1 2 Monoïdes η : A (M,, 1 M ) Logique MSO x a(x) ϕ(x)
21 5/28 I. Transducteurs bidirectionnels apériodiques Machine Algèbre Transducteurs bidirectionnels a a, 1 2 Apériodiques [[x ω = x ω+1 ]]
22 5/28 II. Ajout des prédicats modulaires Automates a 1 2 Monoïdes η : A (M,, 1 M ) Ajout des prédicats modulaires MSO x a(x) ϕ(x)
23 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1
24 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1
25 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a
26 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a a
27 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a a b
28 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a a b b
29 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b
30 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b
31 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b b
32 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b b a
33 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b b a a
34 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
35 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
36 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
37 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
38 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
39 7/28 Modèles de transductions Transducteurs bidirectionnels déterministes [AC10] Streaming String Transducers [AC10] [EH01] [AC10] MSO-transductions [Cou94] [Courcelle 94], [Engelfriet, Hoogeboom 01], [Alur,Černý 10]
40 7/28 Modèles de transductions Transducteurs bidirectionnels apériodiques et déterministes Aperiodic Streaming String Transducers [FKT14] [FKT14] FO-transductions [Filiot, Krishna, Trivedi 14]
41 8/28 Composition des transducteurs A B u A(u) = v B(v) B A Stabilité par composition Séquentiel Bidirectionnel déterministe Générique oui oui Apériodique oui??
42 8/28 Composition des transducteurs A B u A(u) = v B(v) B A Stabilité par composition Séquentiel Bidirectionnel déterministe Générique oui oui Apériodique oui oui (Nouveau)
43 9/28 Monoïde de transitions dans le cas unidirectionnel Éléments du monoïde u R u Q Q R a = {(1, 1), (2, 1)} Loi de composition R uv = R u R v R ab = {(1, 1), (2, 1)} {(1, 2)} = {(1, 2), (2, 2)} a b 1 2 a ɛ 1 2 Produits a 1 1 aa = a b 2 - bb = 0 ab 2 2 aba = a ba 1 - bab = b bb - -
44 10/28 Éléments du monoïde de transitions Cas unidirectionnel : u R u Q Q u gauche-droite
45 10/28 Éléments du monoïde de transitions Cas bidirectionnel : 4 relations de Q Q u gd(u) gauche-droite u dg(u) gg(u) droite-gauche dd(u) gauche-gauche droite-droite 4 types de parcours partiels [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
46 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv =
47 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R u
48 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v
49 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
50 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) gd(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
51 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) gg(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
52 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) gg(v)dd(u) gd(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
53 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) ( gg(v)dd(u) ) gd(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
54 12/28 Composition des Transducteurs Un transducteur bidirectionnel est apériodique si son monoïde de transitions est apériodique, i.e. s il existe un entier n tel que pour tout mot u, u n et u n+1 ont les mêmes parcours. Théorème [Chytil, Jákl 77] Soient A et B deux transducteurs bidirectionnels, déterministes, et composables. Alors on peut effectivement construire un transducteur C déterministe et tel que C = B A. A B u A(u) = v B(v) B A
55 12/28 Composition des Transducteurs Un transducteur bidirectionnel est apériodique si son monoïde de transitions est apériodique, i.e. s il existe un entier n tel que pour tout mot u, u n et u n+1 ont les mêmes parcours. Théorème [Carton, D.] Soient A et B deux transducteurs bidirectionnels, déterministes, apériodiques et composables. Alors on peut effectivement construire un transducteur C déterministe et apériodiques tel que C = B A. A B u A(u) = v B(v) B A
56 13/28 Cas particulier Théorème Soient A un transducteur unidirectionnel et B un transducteur bidirectionnel, tous deux déterministes et apériodiques. Alors on peut effectivement construire un transducteur D déterministe et apériodique tel que D = B A.
57 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u 0 A D A(u) : B B A(u)
58 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
59 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
60 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
61 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : A(u) : B A A(u j ) u j D B A(u)
62 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : A(u) : A A(u j ) B u j D B A(u)
63 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : A(u) : A A(u j ) B u j D B A(u)
64 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
65 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) u u u u
66 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) u u u u A
67 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) n A itérations u u u u A q 1 q 2 q q q q q
68 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) n A itérations u u u u A q 1 q 2 q q q q q A(u n ) v... v v
69 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) n A itérations u u u u A q 1 q 2 q q q q q A(u n ) B v p 1 p 2... v v p nb 1 p p n B itérations
70 16/28 Travaux en cours Transducteurs bidirectionnels apériodiques et déterministes Aperiodic Streaming String Transducers [FKT14] [FKT14] FO-transductions [Filiot, Krishna, Trivedi 14]
71 16/28 Perspectives Transducteurs bidirectionnels J -triviaux et déterministes? J -trivial Streaming String Transducers?? BΣ 1-transductions
72 17/28 Ajout des prédicats modulaires Automates a 1 2 Monoïdes η : A (M,, 1 M ) Ajout des prédicats modulaires MSO x a(x) ϕ(x)
73 18/28 Logique monadique du second ordre Modèles : mots finis sur un alphabet fini. abba = ({0, 1, 2, 3}, a = {0, 3}, b = {1, 2},...) Logique monadique du second ordre : ϕ ϕ ϕ xϕ X ϕ x X a(x) x < y ϕ x a(x) y ( x < y a(y) ) ( y < x b(y) ) L(ϕ) = b aa
74 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d.
75 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d. ψ x ( a(x) MOD 3 0 (x)) D 3 1. L(ψ) = (A 3 ) a(a 3 ).
76 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d. ψ x ( a(x) MOD 3 0 (x)) D 3 1. L(ψ) = (A 3 ) a(a 3 ). ϕ x ( a(x) MOD 3 0 (x) MOD2 1 (x)). L(ϕ) = (A 6 ) A 3 aa.
77 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d. ψ x ( a(x) MOD 3 0 (x)) D 3 1. L(ψ) = (A 3 ) a(a 3 ). ϕ x ( a(x) MOD 3 0 (x) MOD2 1 (x)). x ( a(x) MOD 6 3 (x)). L(ϕ) = (A 6 ) A 3 aa.
78 20/28 Questions de logique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Problème de la définissabilité Soit L un langage régulier. Existe-t-il une formule ϕ de F[σ] telle que L = L(ϕ)?
79 20/28 Questions de logique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Problème de la définissabilité Soit L un langage régulier. Existe-t-il une formule ϕ de F[σ] telle que L = L(ϕ)? Problème de transfert La décidabilité de F[σ] implique-t-elle celle de F[σ, MOD]?
80 21/28 Résultats connus BΣ 1 [<] : Formules du premier ordre de profondeur de quantification 1, J : Monoïde dont la relation de division est l égalité, QV : Morphisme η tel que η((a d ) ) appartient à V. Fragment Caractérisation algébrique Référence BΣ 1 [<] J [Sim75] BΣ 1 [< MOD] J MOD [CPS06] Σ 2 [<, MOD] Effective [KW14] FO[<] A [MP71] & [Sch65] FO[<, MOD] QA [BCST92] [Schützenberger 65], [McNaughton, Papert 71], [Simon 75], [Barrington, Compton, Straubing, Thérien 92], [Chaubard, Pin, Straubing 06], [Kufleitner, Walter 14]
81 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres (variétés de morphismes syntaxiques) V MOD.
82 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres (variétés de morphismes syntaxiques) V MOD. Problème Le produit semidirect ne préserve pas la décidabilité.
83 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L et tout entier d, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD d ], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres V MOD d.
84 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L et tout entier d, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD d ], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres V MOD d. Deux sous-problèmes Décision Décidabilité de V MOD d. Délai Peut-on calculer un entier d tel que L est définissable dans F[σ, MOD] ssi L est définissable dans F[σ, MOD d ]?
85 23/28 Automate 2-itéré a, b 1 2 a, b Langage (A 2 ), monoïde de transitions : C 2
86 23/28 Automate 2-itéré A A 2 Langage (A 2 ), monoïde 2-itéré trivial
87 23/28 Automate 2-itéré A A 4 Langage (A 2 ), monoïde 4-itéré isomorphe au 2-itéré
88 23/28 Automate 2-itéré A A 4 Langage (A 2 ), monoïde 4-itéré isomorphe au 2-itéré Indice de stabilité (d après [Straubing 94]) Pour tout langage régulier L, il existe un plus petit entier s tel que ses automates minimaux s-itéré et 2s-itéré soient isomorphes. Algébriquement, on a A s L A 2s L A 3s L....
89 24/28 Pertinence de l indice de stabilité Langage (A 2 ) Langage parité (nombre pair de a) a, b 1 2 b a 1 2 b a, b a monoïde de transitions : C 2 monoïde de transitions : C 2
90 24/28 Pertinence de l indice de stabilité Langage (A 2 ) s = 2 Langage parité (nombre pair de a) s = 1 a, b 1 2 b a 1 2 b a, b a monoïde de transitions : C 2 monoïde de transitions : C 2 A 2 1 A 2 2 monoïde 2-itéré trivial ab, ba a 2, b 2 a 2, b ab, ba monoïde 2-itéré C 2
91 25/28 Cas de FO 2 [<, MOD] Théorème [D.,Paperman (STACS13)] Soit L un langage régulier d indice de stabilité s. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable dans FO 2 [<, MOD], L est définissable dans FO 2 [<, MOD s ], Le morphisme syntaxique η de L appartient à DA MOD = QDA, Le sous-monoïde η(a s ) appartient à DA.
92 26/28 Généralisable? Soit F[σ] un fragment de logique caractérisé par la variété V. Généralisation? Soit L un langage régulier d indice de stabilité s. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable dans F[σ, MOD], L est définissable dans F[σ, MOD s ], Le morphisme syntaxique η de L appartient à V MOD = QV, Le sous-monoïde η(a s ) appartient à V.
93 26/28 Généralisable? Soit F[σ] un fragment de logique caractérisé par la variété V. Généralisation? Non Soit L un langage régulier d indice de stabilité s. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable dans F[σ, MOD], (L est définissable dans F[σ, MOD s ],) Problème ouvert Le morphisme syntaxique η de L appartient à V MOD QV (en particulier J MOD QJ), Le sous-monoïde η(a s ) appartient à V.
94 27/28 Résultats de décidabilité Fragment Caractérisation algébrique Délai BΣ 1 [<, MOD] FO[<, MOD] FO 1 [MOD] FO 2 [<, MOD] FO[=, MOD] J MOD [CPS06] QA [BCST92] QJ 1 Nouveau QDA Nouveau, [DP13] ACom MOD Nouveau 2s (s par [CPS06]) Décidable s Décidable s Décidable s Décidable 2s Décidable FO 2 k [<, MOD] V k MOD 2ks Nouveau Décidable
95 28/28 Perspectives (Prédicats modulaires) L ajout des prédicats modulaires correspond algébriquement à un produit semidirect par MOD. C est une caractérisation non effective, cependant : On a une réponse positive et effective pour la plupart des fragments connus (FO, FO 2, FO 2 k, BΣ 1, BΣ k?).
96 28/28 Perspectives (Prédicats modulaires) L ajout des prédicats modulaires correspond algébriquement à un produit semidirect par MOD. C est une caractérisation non effective, cependant : On a une réponse positive et effective pour la plupart des fragments connus (FO, FO 2, FO 2 k, BΣ 1, BΣ k?). Ensuite? L indice de stabilité est-il toujours un indice de délai? Les méthodes semblent s étendre aux variétés positives (Σk?) ou aux ne-variétés, Cette approche reste valable pour tout ensemble de prédicats unaires ayant une caractérisation algébrique (prédicats locaux unaires, prédicats algébriques).
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