Fascicule d exercices
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- Blanche Brunelle
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1 UE4 : Evaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Analyse Fascicule d exercices Christelle MELODELIMA Année universitaire 2011/2012 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
2 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
3 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
4 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
5 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
6 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
7 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 1 : Calculer log 3 10, log 5 27, log 11 2, log π 15.
8 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 1 : Correction Rappel : ln(2) ln(11)
9 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 2 : Quel est le logarithme de 81 dans la base 3? Quel est le logarithme de 16 dans la base 2? Quel est le nombre dont le logarithme est -2 dans la base 4?
10 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 2 : Correction Quel est le logarithme de 81 dans la base 3? Quel est le logarithme de 16 dans la base 2?
11 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 2 : Correction Quel est le nombre dont le logarithme est -2 dans la base 4?
12 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 3 : Démontrer les deux égalités suivantes
13 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 3 : Correction Rappel : Log a (b)=ln(b)/ln(a)
14 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 3 : Correction Rappel : Ln(a)+ln(b)=ln(a*b)
15 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 3 : Correction
16 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Résoudre des équations définies sur par : ln ln ln (3) (4)
17 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction RAPPEL
18 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction (1) ln ln ln(18) Domaine de définition : Résolution de l équation : ln ln ln ln ln
19 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction (2) Domaine de définition : Résolution de l équation : + ou -
20 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction (2)
21 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction (3)
22 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction (3) 3 x = 3 x=1
23 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 4 : Correction (4) ln( x) ln x 1/ ln(x) e a e b a b car exponentielle strcitement monotone
24 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 5 : Résoudre le système suivant dans
25 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 5 : Correction. - 4 X X 2 1 X X 17 4X X
26 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 5 : Correction - >1
27 Exercice 6 : I. Logarithmes et exponentielles Résoudre les systèmes suivants dans
28 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 6 : Correction Domaine de définition : Résolution de l équation :
29 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 6 : Correction
30 I. Logarithmes et exponentielles Exercice 6 : Correction x(ln(2) ln(3)) ln(3) x ln(2 3) ln(3) x ln(6) ln(3) x ln(3) ln(6)
31 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
32 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 1 : Calculer les dérivées premières des expressions suivantes
33 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 1 : Correction
34 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 1 : Correction
35 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 1 : Correction
36 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 2: Calculer la dérivée logarithmique et la différentielle logarithmique des fonctions suivantes puis en déduire la dérivée et la différentielle :
37 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 2 - Correction : Rappels
38 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 2 - Correction cos x +
39 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 2 - Correction
40 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 2 - Correction
41 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 2 - Correction
42 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 3 : On considère la chute ralentie d une bulle de savon lâchée dans l air avec une vitesse verticale initiale nulle. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant où z désigne l espace parcouru par la bulle pendant le temps t: a) Tracer les graphes z(t) et sa dérivée numérique z (t). Les décrire. b) L équation du phénomène est de la forme : Comparer les valeurs de la dérivée obtenues par la méthode numérique aux valeurs calculées analytiquement.
43 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 3 - Correction a) Tracer les graphes z(t) et sa dérivée numérique z (t). Les décrire.
44 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 3 - Correction a) Tracer les graphes z(t) et sa dérivée numérique z (t). Les décrire.
45 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 3 - Correction a) Tracer les graphes z(t) et sa dérivée numérique z (t). Les décrire. Fonction z(t) Fonction z(t) décroissante donc la dérivée est négative A l origine, dérivée z équivaut à 0 Quand t augmente, z tend vers la valeur limite -4 cm.s -1 La courbe z (t) présente une asymptote z =-4 cm.s -1
46 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 3 - Correction b) Comparaison dérivée analytique et dérivée numérique : z=56,6-4t-6,6e -0,6t z (cm) t (s) z (t)=-4+3,96e -0,6t z (cm.s -1 )
47 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 : En courant alternatif de fréquence f, l impédance Z d une bobine d inductance L et de résistance R est donnée par la relation : On donne : R=10000 W, L=30 H et f=50 Hz. et f=50hz a) Comparer la variation de l impédance lorsque f augmente de 2Hz puis quand f diminue de 5 Hz. Comparer les valeurs exactes aux valeurs approchées par la différentielle. b) Calculer les incertitudes absolue et relative sur la valeur de Z si f est connu à c) Calculer la variation de l impédance lorsque R diminue de 100 W. d) Calculer les incertitudes absolue et relative sur la valeur de Z si L est connu à
48 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 - Correction
49 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 - Correction
50 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 - Correction b) Calculer les incertitudes absolue et relative sur la valeur de Z si f est connu à Incertitude absolue : Z Z f f dz On dérive par rapport à la variable f, les autres sont des constantes Z R 2 L f 2 1/ 2 dz Z f df on utilise u n nu u n 1 dz L2 2 f R2 2L 2 f 1/ 2 df Z ,8 400 Arrondi supérieur
51 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 - Correction b) Calculer les incertitudes absolue et relative sur la valeur de Z si f est connu à Incertitude relative : Z Z Avec Z Z ,4133 0,028 0,03
52 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 - Correction
53 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 - Correction d) Calculer les incertitudes absolue et relative sur la valeur de Z si L est connu à Incertitude absolue : Z Z L L dl Z Z L L dl 300 Majore à l unité supérieur
54 II. Dérivées et différentielles - Fonctions d une variable Exercice 4 - Correction d) Calculer les incertitudes absolue et relative sur la valeur de Z si L est connu à Incertitude relative : Z Z Avec Z Z L L dl 300
55 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
56 III. Etude de fonctions Exercice 1 : Etudier le sens de variation et faire la représentation graphique des fonctions suivantes :
57 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Domaine de définition : x>0 et D=R +*
58 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Domaine de définition : x>0 et D=R +* Limites :
59 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Dérivées :
60 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Dérivées :
61 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Tableau de variation :
62 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Domaine de définition : D=R f(-x) = - f(x) la fonction est impaire Limites :
63 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Dérivées :
64 III. Etude de fonctions Exercice 1 - Correction Tableau de variation : 0
65 III. Etude de fonctions Exercice 2 : Etudier le sens de variation de la fonction : Montrer que cette fonction possède une fonction réciproque dont on donnera l expression. Représenter graphiquement les deux fonctions dans le même système d axes.
66 Exercice 2 - correction III. Etude de fonctions Domaine de définition : Parité f(x) fonction est impaire
67 Exercice 2 - correction III. Etude de fonctions Limites Dérivées
68 Exercice 2 - correction III. Etude de fonctions Tableau de variation :
69 III. Etude de fonctions Exercice 2 - correction Fonction réciproque : La fonction est continue et strictement monotone, c est donc une bijection réciproque.
70 III. Etude de fonctions Exercice 2 - correction Fonction réciproque : Parité fonction est impaire Dérivées
71 III. Etude de fonctions Exercice 2 - correction Fonction réciproque : - 3 Point d inflexion Limites
72 Exercice 2 - correction Graphe : III. Etude de fonctions
73 III. Etude de fonctions Exercice 3 : Trouver les limites des expressions suivantes :
74 III. Etude de fonctions Exercice 3 - Correction Rappel 0/0 est une Forme indéterminée, penser à utiliser la règle de l hospital. -
75 III. Etude de fonctions Exercice 3 - Correction 1
76 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
77 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 1 : Calculer les dérivées partielles premières et secondes, puis la différentielle totale de la fonction.
78 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 1 - Correction
79 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 1 - Correction
80 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 1 - Correction
81 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 1 - Correction
82 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 2 :
83 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 2 - Correction a) Dérivées partielles premières et différentielle totale.
84 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 2 - Correction b) Dérivées partielles secondes.
85 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 2 - Correction c) Calcul de E.
86 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 3 : L étude des équilibres liquide-vapeur montre que l état liquide ne peut être obtenu que pour des températures inférieures à une certaines «température critique» T c pour un «volume critique» V c. a) Calculer V c et T c sachant qu ils vérifient simultanément :
87 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 3 : b) En déduire la pression critique T c à l aide de l équation de VAN DER WAALS. c) En posant : Écrire la nouvelle forme de l équation de VAN DER WAALS. Montrer que p et t étant évidemment positifs, v doit être supérieur à une valeur que l on précisera.
88 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 3 - Correction Equation de VAN DER WAALS : a) Calculer V c et T c sachant qu ils vérifient simultanément : T = constante : Si T=T c et V=V c
89 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 3 - Correction Division membre à membre : RT 2a V b 2 V 3 V b 2RT 6a 2 V 3 V b 3 V 4 Dans (1) :
90 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 3 - Correction b) En déduire la pression critique P c à l aide de l équation de VAN DER WAALS. b)
91 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 3 - Correction c) En posant : c) Écrire la nouvelle forme de l équation de VAN DER WAALS.
92 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 3 - Correction Montrer que p et t étant évidemment positifs, v doit être supérieur à une valeur que l on précisera. Car p et t positif Or Vc=3b v=v+vc
93 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 4 : L impédance Z d une bobine d inductance L et de résistance R est données par la relation :
94 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 4 - Correction
95 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 4 - Correction Avec dr=-100 et dl= +5
96 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 4 - Correction Avec dr=-100 et dl= +5
97 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 4 - Correction
98 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 5 : On mesure la période T d un pendule par une comparaison à celle T 0 d une horloge astronomique en utilisant la méthode des coïncidences. Si n désigne le nombre d oscillations complètes séparant deux coïncidences successives, la relation liant T à T 0 s écrit : Sachant que T 0 = 2, s à 10-6 près et n= , calculer les incertitudes relative et absolue sur la mesure de T.
99 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 5 - Correction To et n car ce sont les deux variables qui varient. T T T 0 T 0 T n n n n 1 T 0 T 0 n 1 n n 1 n 2 T T T 0 T 0 n n(n 1) =10-6 /2+20/( )=1,3.10-6
100 IV. Dérivées et différentielles de fonctions de plusieurs variables Exercice 5 - Correction 3
101 Sommaire des exercices 1. Logarithmes et exponentielles 2. Dérivées et différentielles - Fonction d une variable 3. Etude de fonctions 4. Dérivées et différentielles - Fonction de plusieurs variables 5. Exercices complémentaires
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