BREVET BLANC 1_DECEMBRE 2011 I-ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 : (4 pts) Soit les expressions 1) Calculer A et B en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 3 pts Critère d évaluation : ou 0,5 pt si les fractions ne sont pas simplifiée au maximum et 0,5 pt ou pour la fraction irréductible et 0,5 pt si les calculs sont détaillés 2) Donner l'écriture scientifique de C. 1 pt Exercice 2 : (4 pts) On considère l'expression Critère d évaluation : 0,5 pt pour le résultat et 0,5 pt pour l écriture scientifique 1) Développer et réduire l'expression D. 2) Factoriser l'expression D. 3) Calculer les valeurs de D pour Pour en utilisant la forme factorisée soit Pour en utilisant la forme développée soit Exercice 3 : Entourer la bonne réponse (4 pts) 1 point par bonne réponse, 0 point en cas d absence de réponse point en cas de mauvaise réponse 1 Réponses Questions A B C Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x= 1? 3 x 2 6( x+ 1) 5 x 2 + 1 2 Le développement de (x+ 3)(2 x+ 4) 2(5 x+ 6) est : 2 x 2 2 x 2 + 20 x+ 24 2 x 2 + 24 3 La factorisation de 9 x 2 16 est : (3 x 4) 2 (3 x+ 4)(3 x 4) (3 x+ 4) 2 4 (6 2 ) 4 6 5 6 4,est égal à 6 7 6 6 11
II-ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 points) Exercice 1 Sur 7 points On donne : BD = 4 cm, AB = 6 cm, =60, le triangle BDC est rectangle en D et le triangle ABC est rectangle en B. La figure ci-contre n'est pas réalisée en vraie grandeur. 1.Refaire la figure, sur le document annexe 1 /1 2. Montrer que BC = 8 cm. 3. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. 4. Montrer que AC = 10 cm. 5. Calculer la mesure de l'angle. Donner la valeur arrondie au degré près. 2. Dans le triangle BDC rectangle en D : soit donc /1,5 3. 2 méthodes au choix: /1.5 Dans le triangle BDC rectangle en D : donc Dans le triangle DBC rectangle en D, d après le théorème de Pythagore : BC²=BD²+DC² doit DC²=8²-4²=64-16=48 d où DC 1) Dans le triangle ABC rectangle en A, d après le théorème de Pythagore : AC²=AB²+BC² =6²+8²=36+64=100 d où AC=10 cm / 1, 5 2) Dans le triangle ABC rectangle en A : d où / 1, 5 Exercice 2 Sur 5 points La figure ci-contre n'est pas réalisée en vraie grandeur. On donne : les points K, A, F et C sont alignés, les points G, A, E et B sont alignés, (EF) et (BC) sont parallèles, AB = 5 cm ; AC = 6,5 cm ; AE = 3 cm ; EF = 4,8 cm ;
AK = 2,6 cm ; AG = 2 cm. 1.Démontrer que BC = 8 cm et AF = 3,9 cm. /3 2.Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier /2 1) Les droites (BE) et (FC) sont sécantes en A Les droites (EF) et (BC) sont parallèles D après le théorème de Thalès soit donc et = 8 cm. 2) Les droites (BG) et (KC) sont sécantes en A et Donc et les points G,A,B et K,A,C sont alignés dans le même ordre D après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (KG) et (BC) sont parallèles. III-PROBLÈME : un nombre mystérieux / 12 points Exercice 1 : À la rencontre de ce nombre mystérieux caché dans une suite arithmétique Soit la suite de nombres ci-contre : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13.. On constate que cette suite de nombres respecte une certaine logique dans sa progression. a) Compléter la case H1 de la ligne 1, sur le tableau ci-dessous, représentant cette suite de nombres.(0,5 pt) Lignes A B C D E F G H colonnes 1 1 1 2 3 5 8 13 21 2 =B1/A1 1 =C1/B1 2 =D1/C1 1,5 =E1/D1 1,67 =F1/E1 1,6 =G1/F1 1,625 =H1/G1 1,615 b) Compléter la ligne 2, sur le tableau ci-dessus, suivant les formules indiquées dans les cases E2, F2 et G2. Arrondir ce quotient au millième. (1,5 pt) c) Vers quelle valeur ce quotient, arrondi au centième, semble-t-il se rapprocher? (0,5 pt) Le quotient tend vers 1,62 3/5 Exercice 2 : À la rencontre de ce nombre mystérieux au cœur de certaines figures géométriques Un pentagone régulier possède 5 côtés identiques et 5 diagonales de même mesure. a) À partir des trois figures, pas à l échelle, calculer les rapports des longueurs, sous les figures 2 et 3. Tronquer ces quotients au millième.(1 pt) B Figure 1 A B' Figure 2 A' B'' Figure 3 A'' C 3,82 3,82 5,05 5,05 6,75
b) Que constate-t-on? (0,5 pt) Le quotient de la longueur d une diagonale par la longueur d un côté reste identique dans un pentagone régulier quelque soit ses dimensions. Exercice 3 : À la rencontre de ce nombre mystérieux au détour d une courbe On appelle la fonction qui, à chaque nombre, associe le nombre a) Compléter le tableau de valeurs, ci-dessous, associant antécédents et images. (2 pts) 2,75 b) Tracer, sur le document annexe 2, la courbe représentative de la fonction.(2 pts) 2 c) À partir de votre graphique, déterminer approximativement la valeur de l image pour l antécédent Indiquer, en pointillé, votre démarche sur le graphique.(1 pt) d) À partir de votre graphique déterminer approximativement la ou les valeur (s) des antécédents pour que l image soit nulle soit.(1 pt) Indiquer, en pointillé, votre démarche sur le graphique. Le nombre 0 a pour antécédents environ e) Déterminer, par calcul, l image de 1,61 par cette fonction tel que Que constate-t-on? (1 pt) soit une image proche de zéro f) La valeur positive exacte de pour est, à l aide de la calculatrice, donner une valeur approchée au millième de ce nombre. (1 pt) 4/5