BTS - groupmnt B - novmbr 8 - Nouvll Calédoni Ercic Ls partis A, B t C sont indépndants. points Un ntrpris produit n grand séri ds véhiculs élctriqus équipés d battris au nicklcadmium. On s propos d étudir l autonomi n kilomètrs d cs véhiculs. A - Soit X la variabl aléatoir qui, à chaqu véhicul pris au hasard dans la production, associ son autonomi. On admt qu X suit la loi normal d moynn µ = 4 t d écart typ σ =.. Détrminr, à - près, la probabilité p qu l autonomi d un véhicul pris au hasard dans la production soit compris ntr 98 t.. La probabilité qu un véhicul ait un autonomi insuffisant t soit donc déclaré non conform au cahir ds chargs st p =,4. Calculr l autonomi corrspondant, c st-à-dir l nombr rél d tl qu P(X d) =,4. B - Ls véhiculs sont parqués par lots d 75 avant d rcvoir l crtificat d conformité. On not Y la variabl aléatoir qui, à tout échantillon d 75 véhiculs pris au hasard dans la production, associ l nombr d véhiculs non conforms. La production st assz important pour qu on puiss assimilr tout échantillon d 75 véhiculs à un échantillon aléatoir prélvé avc rmis. On suppos qu la probabilité qu un véhicul soit non conform st,4.. Epliqur pourquoi Y suit un loi binomial t donnr ls paramètrs d ctt loi. Calculr à -3 près, la probabilité p 3 = P(Y = ) d l évènmnt «dans l échantillon prélvé au hasard tous ls véhiculs sont conforms».. On admt qu la loi précédnt put êtr approché par un loi d Poisson d mêm spéranc mathématiqu. Donnr son paramètr. Calculr à -3 près, la probabilité p 4 d l évènmnt «dans l échantillon prélvé au hasard il y a au plus du véhiculs non conforms». C - À la suit d un modification ds battris, on rdout qu l autonomi moynn ds véhiculs soit modifié. Afin d contrôlr qu la moynn ds autonomis d l nsmbl ds véhiculs mis sur l marché après modification ds battris st 4, on s propos d construir un tst d hypothès (tst bilatéral, bin qu, pour ctt situation. un tst unilatéral soit plus adapté). On désign par X la variabl aléatoir qui à chaqu échantillon aléatoir d 3 véhiculs, associ la moynn ds autonomis ds 3 véhiculs (la production st assz important pour qu on puiss assimilr cs prélèvmnts à ds tirags d 3 véhiculs avc rmis). L hypothès null st H : µ = 4 ; L hypothès altrnativ st H : µ 4. L suil d signification du tst st fié à,5. On suppos qu, sous l hypothès null H, la variabl aléatoir X suit la loi normal d moynn 4 t d écart typ.. Détrminr à - près l nombr rél positif h tl qu P ( 4 h X 4 + h ) =,95.. Énoncr la règl d décision prmttant d utilisr c tst. 3. Un étud statistiqu sur un échantillon d 3 véhiculs donn,9 comm moynn ds autonomis ds véhiculs d ct échantillon. Utilisr l tst avc ct échantillon t conclur. BTS novmbr 8 groupmnt B Nouvll Calédoni
Ercic Ls du partis A t B puvnt êtr traités d façon indépndant points A - Résolution d un équation différntill On considèr l équation différntill (E) : y'' 3 y' + y = où y désign un fonction d la variabl réll, défini t du fois dérivabl sur R. y' la fonction dérivé d y t y" sa fonction dérivé scond.. Détrminr ls solutions d l équation différntill (E ) : y'' 3 y' + y =.. Détrminr ls constants rélls a t b pour qu la fonction g défini sur R par : g () = a + b soit un solution particulièr d l équation (E). 3. Déduir du. t du. l nsmbl ds solutions d l équation différntill (E). 4. Détrminr la solution f d l équation (E) qui vérifi ls conditions initials f () = t f () =. B - Étud d un fonction On considèr la fonction f défini sur R par : f ( ) = +. On not C sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormal d unité cm.. a. Détrminr lim f ( ). On pourra mttr + b. Détrminr lim f ( ). n factur dans f (). c. Démontrr qu la droit D d équation y = st un asymptot d la courb C. d. Étudir la position rlativ d C t D.. a. Calculr f '( ) pour tout d R. f = +. b. Vérifir qu pour tout d R, '( ) ( ) c. Déduir du b. l sign d f '( ) lorsqu vari dans R. d. Établir l tablau variation d la fonction f. 3. Construir D t C. 4. Calculr la valur act n cm, d l air d la parti du plan limité par la courb C, son asymptot D t ls droits d équations = t =. BTS novmbr 8 groupmnt B Nouvll Calédoni
CORRIGE Ercic points A - X N ( µ = 4, σ = ). On pos T = X μ X 4 = σ. p = P ( 98 X ) T suit la loi normal cntré réduit 98 4 4 = P ( T ) T N (, ). = P ( T 3 ) = Π ( 3 ) Π ( ) = Π ( 3 ) ( Π ( ) ) = = Π ( 3 ) + Π ( ),998 +, 843. D où à - près : p, 84 d 4 d 4. P(X d) =,4 P( T ) =,4 Π ( ) =,4 Π ( 4 d d 4 ) =,4 car puisqu d 4 ( autonomi insuffisant ) t Π ( t ) = Π ( t ) Π ( 4 d ) =,9 4 d =, 755 ( lctur invrs d la tabl ) 4 d =,53 d = 4,53 = 93,47 d = 93,47 B - Y la variabl aléatoir qui, à tout échantillon d 75 véhiculs pris au hasard dans la production, associ l nombr d véhiculs non conforms.. Pour chaqu véhicul, il y a évntualités : - soit il st non conform ( SUCCES - probabilité p =,4 ), - soit il st conform ( ECHEC - probabilité q =,9 ) L prélèvmnt ds véhiculs constitu 75 épruvs élémntairs t indépndants ( prélèvmnt assimilé à un tirag avc rmis ) Y suit donc un loi binomial d paramètrs n = 75 ( nombr d répétitions ) t p =,4 ( probabilité du succès ). 75 75 p 3 = P(Y = ) = C 75, 4,9 =,9 p 3,47. λ = np = 3 ( Mêms spérancs mathématiqus ) p 4 = P ( Y ) = P ( Y = ) + P ( Y = ) + P ( Y = ) =,5 +, 49 +, 4 p 4 =,43 ( tabl d la loi d Poisson ) BTS novmbr 8 groupmnt B Nouvll Calédoni
C - hypothès null H : µ = 4 ; hypothès altrnativ H : µ 4. L suil d signification du tst st fié à,5.. X N ( m = 4, σ = σ = = ). n 3 P ( 4 h X 4 + h ) =,95 P ( 4 h 4 T 4 + h 4 ) =,95 P ( h T h ) =,95 Π ( h ) Π ( h ) =,95 Π ( h ) =,95 Π ( h ) =,95 Π ( h ) =,975 h =,9 ( lctur invrs d la tabl ) h =,9 X 4 On pos T = = X 4 T suit la loi normal cntré réduit T N (, ).. On rmplac h par la valur trouvé t on a : P (,4 X 5,9 ) =,95 Énonçons la règl d décision : Si la moynn d l échantillon st compris ntr,4 t 5,9 alors on accpt H, Sinon, on rfus H, t donc on accpt H. 3.,9 st compris ntr,4 t 5,9 donc on accpt H, autrmnt dit, on put affirmr, au suil d risqu d 5%, qu l autonomi moynn ds véhiculs n st pas modifié. BTS novmbr 8 groupmnt B Nouvll Calédoni
Ercic points A - Résolution d un équation différntill On considèr l équation différntill (E) : y'' 3 y' + y =. (E ) : y'' 3 y' + y =. L équation caractéristiqu associé st (EC) : r 3r+ = Ls solutions sont r = t r = ( ici Δ = > ) Ls solutions d (E ) sont donc : y k k = +, où k t k sont ds constants rélls.. g () = a + b ; g () = a ; g () = g solution d (E) ( ) ( ) g '' 3 g ' + g( ) = 3a + ( a + b) = a + b 3a = a = b= 3a = 4 a = b = a = ( idntification ) b 3a= donc g () = 3. Théorèm : La solution général d (E) s obtint n ajoutant la solution particulièr g trouvé à la solution général d l équation sans scond mmbr (E ). D où l nsmbl ds solutions d l équation différntill (E) : y = k + k, où k t k sont ds constants rélls. 4. f k k ( ) = + f () = donc k+ k = car = donc k+ k = f '( ) k k = + t f () = donc k+ k = donc k+ k = 3 Nous obtnons un systèm : k + k = k + k = 3 on trouv k k = = Et finalmnt : f ( ) = + BTS novmbr 8 groupmnt B Nouvll Calédoni
B - Étud d un fonction On considèr la fonction f défini sur R par : f ( ) = +.. a. f( ) = + = + lim + =+ donc lim = + Tins, comm c st étrang b. lim + =+ donc lim = + t lim + = + + = = donc lim ( ) lim lim + = + donc lim f ( ) = +. +. a. ( f ) ( ) + ( ( )) ( f ) lim ( ) = lim + = + c. ( ) + lim ( ) = lim + = Donc la droit D d équation y = st asymptot à la courb C n. f ( ) = + > donc C st au-dssus d D. d. ( ) f '( ) = + b. Vérifir qu pour tout d R, c. donc lim f ( ) = +. ( + ) = + = + = + = f '( ). f '( ) = +. ln + Donc ( ) > donc + > ln ln d. tablau variation d la fonction f. f ln ln ( ln ) = + + ln ln ln 4 = + + ln 5 = + + ln = + ln 4 4 f '( ) + f + + 5 + ln 4 BTS novmbr 8 groupmnt B Nouvll Calédoni
3. Construction d D t C. 4. Calcul d la valur act n cm, d l air d la parti du plan limité par la courb C, son asymptot D t ls droits d équations = t =. A = f ( ) ( ) d = ( + ) d 3 = + = + + = u.a. 3 = 4 cm² donc A = 4 cm² BTS novmbr 8 groupmnt B Nouvll Calédoni