A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas, raisonnement par récurrence. connaître l unicité de l écriture de la division euclidienne ; connaître l écriture d un entier relatif en fonction de ses restes possibles dans sa division par l entier naturel b ; déterminer, en fonction de l entier naturel n, le reste dans une division euclidienne où le dividende et le diviseur sont des entiers fonctions de n ; utiliser les propriétés de congruences ; utiliser les nombres négatifs pour faciliter le calcul des congruences. I. Divisibilité dans. a) Multiples et diviseurs d un entier relatif. Définition 1: Soit a et b deux entiers relatifs. b divise a signifie qu il existe un entier k tel que a = kb On note b a. Dans ces conditions, on dit que a est un multiple de b et b est un diviseur de a. Exemples : -3 divise 6, car. -3 (-2) = 6 pour tout entier n, n + 1 divise n² - 1 car (n + 1) (n 1) = n² - 1. Remarques : 0 est multiple de tout entier, mais 0 a un seul multiple : 0 = 0 n et 0 0 = 0 Tout entier non nul n a pour diviseurs 1 ; -1 ; n et n. Il y a un nombre fini de diviseurs tous compris entre n et n. En revanche, un entier non nul a une infinité de multiples. Diviseurs de 1 ou -1 Propriété 1 : Les seuls diviseurs de 1 ou de -1 dans sont 1 et -1. 1 et -1 sont bien des diviseurs de 1 et de -1, car 1 = (-1) (-1) = 1 1 et -1 = (-1) 1. Si pour deux entiers a et b non nuls, on a : a b = 1 ou a b = -1, alors par passage aux valeurs absolues, on a : a b = 1 avec a 1 et b 1. Avec b 1, on peut déduire, grâce aux propriétés de l ordre dans, que a b a 1. On a donc 1 a ; donc a = 1 ou a = -1 (car a est un entier naturel non nul) Le même raisonnement permet également d obtenir b = 1 ou b = -1. 1
b) Propriétés de la divisibilité dans. Propriété 2 : Soit a, b et c des entiers relatifs tels que a 0 et b 0. Si a divise b et b divise c, alors a divise c. Si a b et b c alors il existe deux entiers k et k tels que b = ka et c =k b Donc c = (kk )a et par suite a c. Propriété 3 : Soit a et b des entiers relatifs non nuls. a b et b a équivaut à a = b ou a = -b Si a b et b a alors il existe deux entiers k et k tels que b = ka et a =k b. D où : ab = kk ab Donc kk = 1 car ab 0. k et k sont ainsi des diviseurs de 1 ; ils sont donc égaux à 1 ou -1 (d après la propriété 1). On a donc a = b ou a = -b. Réciproquement, si a = b ou a = -b, alors, par définition a b et b a. Propriété 4 : Soit a, b et c des entiers relatifs non nuls et et deux entiers relatifs. Si c a et c b, alors c ( a + b) Si c a et c b alors il existe deux entiers k et k tels que a = kc et b =k c. a + b = kc + k c = ( k + k )c où ( k + k ) est un entier. Donc c ( a + b) Attention : La réciproque est fausse : 2 3 2 + 4 3 mais 2 ne divise pas 3. II. Division euclidienne a) Division euclidienne dans Propriété 5 : Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q ;r) d entiers naturels tels que : a = bq + r et 0 r < b. q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. (a est appelé le dividende). Soit a et b dans avec b 0. Existence de q et r Propriété d Archimède dans : Soit b un entier naturel non nul. Alors, quel que soit l entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb. 2
D après la propriété d Archimède dans, l ensemble des entiers naturels n, tels que a < nb n est pas vide. Il possède donc un plus petit élément k 0. k 1 est aussi un entier naturel et (k 1)b a < kb On pose alors q = k 1 et on obtient : qb a < (q+1)b. En retranchant qb, on obtient 0 a qb < b En posant r = a bq, on conclut que a = bq + r et 0 r < b. Unicité de q et r On suppose a = bq1 + r1 = bq2 + r2 avec 0 r1 < b et 0 r2 < b. On en déduit que b < r2 r1 < b et que r2 r1 = b(q1 q2). Ainsi, r2 r1 est un multiple de b strictement compris entre b et b. On a donc r2 r1 = 0, d où r2 = r1. On en déduit alors, du fait que b 0, que q1 = q2. D où l unicité annoncée dans la propriété. Remarque : q est le quotient de la division euclidienne de a par b si, et seulement si, on a : bq a <b(q + 1) Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs de b. Attention : Il y a de multiples écritures de a sous la forme bq + r mais une seule est la division euclidienne de a par b. Par exemple 103 = 13 7 + 12 mais aussi 103 = 13 6 +25. Seule l égalité 103 = 13 7 + 12 est la relation de la division euclidienne de 103 par 13 car 12 < 13. Exemples : a = 356 ; b = 17 : 356 = 17 20 + 16 Donc q = 20 et r = 16 b) Divisibilité Propriété Soit a et b deux entiers naturels avec b 0. On a : b divise a, si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul. c) Division euclidienne dans Théorème 1: Soit a et b deux entiers relatifs avec b 0. Il existe un unique couple (q ;r) d entiers relatifs tels que : a = bq + r et 0 r < b. q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. 3
Remarque : Si a et b sont des entiers naturels, les couples obtenus dans la division euclidienne de a et b dans ou dans sont bien sûr confondus! III Congruences dans. a) Définition et propriétés Définition 2 Soit un entier naturel n 2, a et b deux entiers relatifs. On dit que a et b sont congrus modulo n, et on note a b [n ] ou a b (n) ou a b (mod. n), si les divisions euclidiennes de a et de b par n ont le même reste. Exemples 11 = 4 2 + 3 et 7=4 1 + 3, donc 7 11 [4]. De même : 25 1 [12] ; 16 30 [7] 29-121 [5] -623 17 [10] Si l on compte de 6 en 6 à partir de 5, on obtient des entiers congrus à 5 modulo 6 : 5 ;11 ;17 ;23 ;29 ;. ; puis -1 ;-7 ;-13 ;-19 ;-25. Propriétés 6, 7 et 8 Soit un entier naturel n 2, a et b deux entiers relatifs. On a : 1. a b [n] n (a b) 2. a 0 [n] n a 3. Si n 2 est un entier et si n n, alors : a b [n] a b [n ] s 1) Si a b [n] alors il existe trois entiers q, q et r tels que : a = nq + r et b = nq + r On a donc a b = n(q q ) et donc n (a b) Réciproquement, si n (b a), alors il existe un entier k tel que a b = kn, soit a = b + kn. Si b = nq + r est la division euclidienne de a par n, on a donc 0 r < n et, en substituant : a = nq + r + kn = n(q + k) + r avec toujours 0 r < n. On obtient ainsi la division euclidienne de a par n dont le reste est aussi r. On a donc bien a b [n]. 2) C est un cas particulier de 1) avec b = 0 3) Si a b [n] alors n (a b) et n n, donc n (a b), c'est-à-dire a b [n ] b) Congruences et division euclidienne Propriété 9 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Tout entier relatif a est congru modulo n à un unique entier r tel que 0 r n 1 A l aide de la division euclidienne de a par n, on sait qu il existe un unique entier r {0 ;1 ;.. ;n-1} tel que a = nq + r. Le reste r est donc l unique entier compris entre 0 et n 1 vérifiant a r [n]. 4
c) Congruences et opérations Théorème 2 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. La relation de congruence modulo n est compatible avec l addition et la multiplication dans. Autrement dit, a, a, b et b étant des entiers relatifs quelconques, on a : Si a a [n] et b b [n] alors a + b a + b [n] et ab a b [n] Si a a [n] et b b [n], alors n divise a a et b b ; donc n divise la somme (a a ) + (b b ). On en déduit que n divise (a + b) (a + b ). On en conclut que a + b a + b [n]. De même, n divise a a et b b ; donc il existe deux entiers k et k tels que : a = a + kn et b = b + k n Alors en effectuant le produit, on a : ab = a b + a k n + b kn + kk n² = a b + n(a k + b k + kk n) Il existe ainsi un entier K (K = a k + b k + kk n) tel que ab a b = nk. Donc n divise ab a b et ab a b [n]. Conséquence : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et a et a deux entiers quelconques. On a : pour tout entier k, si a a [n] alors ka ka [n] ; pour tout entier naturel p non nul, si a a [n] alors a p a p [n] On a k k [n] et a a [n] ; d où par multiplication, avec la propriété précédente : ka ka [n]. On suppose que a a [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p. Initialisation : pour p = 1, la propriété est vraie par hypothèse. On suppose que la propriété est vraie pour un entier k 1 : a k b k [n]. On a par hypothèse, a a [n], et, donc, par multiplication, avec le théorème précédent : a k a a k a [n], c'est-à-dire : a k+1 a k+1 [n]. La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1. On a ainsi établi la propriété recherchée pour tout entier naturel p 1. Attention : on ne peut pas simplifier une congruence comme une égalité : 2a 2b[n] n implique pas a b[n]. Par exemple, 16 20[4] mais 8 et 10 ne sont pas congrus modulo 4. 5
d) Quelques critères de divisibilité des entiers Le calcul des congruences permet d obtenir de nombreux critères de divisibilité ; voici les principaux. Propriétés 10 : 1. Un entier est divisible par 10 s il se termine par 0 2. Un entier est divisible par 2 s il se termine par un chiffre pair. 3. Un entier est divisible par 5 s il se termine par 0 ou 5. 4. Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. 5. Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9. 6. Un entier n est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres de n est divisible par 4. Soit N = a na n-1 a 2a 1a 0 = a n 10 n + a n-1 10 n-1 + + a 2 10 2 + a 1 10 1 + a 0 Divisibilité par 10 10 0 [10], d où 10 p 0 [10] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a 0 [10] N est divisible par 10 si et seulement si a 0 est divisible par 10, c'est-à-dire si a 0 est nul. Divisibilité par 2 10 0 [2], d où 10 p 0 [2] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a 0 [2] N est divisible par 2 si et seulement si a 0 est divisible par 2, c'est-à-dire si a 0 est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8. Divisibilité par 5 10 0 [5], d où 10 p 0 [5] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a 0 [5] N est divisible par 5 si et seulement si a 0 est divisible par 5, c'est-à-dire si a 0 est égal à 0 ou 5. Divisibilité par 3 10 1 [3], d où 10 p 1 [3] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 [3] Cela montre le résultat annoncé car a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 est bien la somme des chiffres de N. Divisibilité par 9 10 1 [9], d où 10 p 1 [9] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 [9] Cela montre le résultat annoncé car a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 est bien la somme des chiffres de N. 6
Divisibilité par 4 Pour p 2, 10 p 0 [4] ; donc N 10a 1 + a 0 [4] Or 10a 1 + a 0 = a 1a 0 Donc N est divisible par 4 si, et seulement si, a 1a 0 est divisible par 4. Exemple : 27 083 127 est divisible par 3 car 2 + 7 + 0 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 = 30, entier divisible par 3. En revanche, il n est pas divisible par 9, car 30 ne l est pas. 7