8 Arithmétique Activités de découverte Cours Méthodes et savoir-faire Application Bien comprendre Mieux rédiger Approfondissement Divisibilité d un nombre entier [ p 9],,,, 8, 9, 0, PDCD de deux nombres entiers naturels [ p 9],,,, 9, 0 Apprendre à calculer un PGCD par différentes,,,,, méthodes [p 9] Nombres premiers entre eux et fraction irréductible,, 8,, [ p 9],, PPCM de deux nombres [ p 9] 9, 0,,, 9, 8 Comparaison et opérations sur les fractions [ p 9],,,,,,, 8, 0 Apprendre à calculer un PPCM et à comparer des fractions [ p 9], 8, 9,,,, *Les caractères gras signalent des pages ou des exercices de Méthodes et savoir-faire. Activités de découverte Pour démarrer Des bouquets de fleurs. roses blanches et 0 roses rouges à répartir dans un certain nombre de bouquets identiques, suppose que ce nombre divise et 0. a. En décidant de préparer bouquets, toutes les roses blanches ne seront pas utilisées puisque ne divise pas. b. En décidant de préparer 8 bouquets, toutes les roses blanches ne seront pas utilisées, puisque 8 ne divise pas, et toutes les roses rouges ne seront pas utilisées, puisque 8 ne divise pas 0. c. En décidant de préparer bouquets, toutes les roses seront utilisées puisque divise et divise 0 (chacun des bouquets comportera roses blanches et roses rouges).. En décidant de préparer bouquets : a. toutes les roses blanches seront utilisées, puisque divise, et toutes les roses rouges seront utilisées, puisque divise 0 ; b. chaque bouquet comportera roses blanches et 0 roses rouges. c. Les diviseurs de (,,,,, 9,, 8 et ) et les diviseurs de 0 (,,,,,,,,, 0, 0 et 0) n ayant pas en commun de diviseur plus grand que, Omar ne peut pas préparer plus de bouquets identiques utilisant toutes les roses. Tiges à partager. Partage d une tige de bois rectiligne longue de cm, en morceaux dont la longueur est le même nombre entier de cm : a. Nombre de morceaux de même longueur 9 8 Longueur de chaque morceau (en cm) 8 9 b. Les nombres de la première ligne divisent exactement, donc le nombre a 9 diviseurs. c. Les deux lignes sont identiques à l ordre près : sur la e ligne figurent tous les diviseurs de, en ordre croissant ; sur la e ligne figurent tous les diviseurs de, en ordre décroissant. De plus, dans chaque colonne, le produit des deux nombres est égal à..a. Partage en morceaux dont la longueur est le même nombre entier de cm : d une tige longue de cm Nombre de morceaux de même longueur Longueur de chaque morceau (en cm) d une tige longue de cm Nombre de morceaux de même longueur Longueur de chaque morceau (en cm) b. Les diviseurs de sont et ; les diviseurs de sont et. Chacun de ces deux nombres ont la même particularité : n être divisible que par et lui-même. c. Les nombres entiers inférieurs 0 qui ont la même particularité sont :,,,,,,, 9, et 9. d. Ces nombres, qui admettent exactement deux diviseurs ( et eux-mêmes) sont appelés nombres premiers. Hachette Livre International 9
Compétition d athlétisme.a. Si les filles et les garçons sont répartis en équipes mixtes comprenant toutes le même nombre de filles et le même nombre de garçons, le nombre d équipes est un diviseur de et de ; or : donc les diviseurs de sont :,,, 9, et ; donc les diviseurs de sont :,,,,,, et ; finalement le nombre maximal d équipes est ; c est le plus grand diviseur à la fois de et de. b. Il s agit donc du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de et. c. Chaque équipe comprendra : filles et garçons.. Pour un effectif de garçons et 8 filles : a. et 8 ; b. PGCD(;8) ; donc, ou équipes auraient pu être formées ; s agissant de équipes, chacune comprendrait : garçons et 8 9 filles, s agissant de équipes, chacune comprendrait : 8 garçons et 8 filles, s agissant de équipes, chacune comprendrait : garçons et 8 filles. Simplification de fractions. est un diviseur commun de et 98, donc : 98 99. 99.a. donc les diviseurs de sont :,,,,,,,,,,, ; 98 donc les diviseurs de 98 sont :,,,, 9,, 8,,,, 99, 98 ; les diviseurs communs de et 98 sont :,,,,,, et ; avec le diviseur commun, la fraction simplifiée obtenue est : ; 98 avec le diviseur commun, la fraction simplifiée obtenue est : ; 98 avec le diviseur commun, la fraction simplifiée obtenue est : ; 98 8 8 avec le diviseur commun, la fraction simplifiée obtenue est : 98 9 9 ; avec le diviseur commun, la fraction simplifiée obtenue est : ; 98 avec le diviseur commun, la fraction simplifiée obtenue est :. 98 b. La fraction simplifiée, dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits, est. c. Impossible de «réduire plus» la fraction ; on dit que est une fraction «irréductible». 98.a. Pour obtenir la fraction irréductible, on a divisé et 98 par. b. est le Plus Grand Commun Diviseur de et 98, noté PGCD(;98). Les feux tricolores. Multiples successifs de :,,, 8,, Multiples successifs de :, 0,,.a. Le nombre de secondes au bout duquel les deux feux vont repasser au vert en même temps est :. b. Ce nombre est le Plus Petit Commun Multiple de et, noté : PPCM(;). Comparaison de deux fractions. En b. et d. les deux fractions sont comparables sans faire de calculs : 8 8 b. > (deux fractions de même dénominateur sont dans le même ordre que leurs numérateurs) ; 8 8 d. > (deux fractions de même numérateur sont dans l ordre opposé à leurs dénominateurs). En a. et c., où numérateurs et dénominateurs sont différents, il faut les réduire au même dénominateur pour les comparer : 9 8 8 9 a. et ; comme <, on a : < ; 80 0 0 80 c. et ; comme >, on a : >..a. et ; comme <, on a : <. 0 0 0 0 0 0 b. Le plus petit dénominateur commun que l on puisse trouver est 0. c. 0PPCM(;0). 80 Hachette Livre International
Addition, soustraction, multiplication de deux fractions 9 0 9.a. + ;. 8 8 8 8 8 8 b. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on calcule la somme (ou la différence) des numérateurs et on garde le même dénominateur. 9.a. et. 8 9 8 9 9 b. + + et - -. 9 8 8 8 9 8 8 8.a. Le nombre de tablettes de chocolat (deux et demi) peut s écrire : ++ + +. b. En écrivant, Yacouba calcule la part qu il garde ; en écrivant, Yacouba calcule la part qu il donne à ses amis. c. Pour calculer le produit de deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : et. 8 8 Méthodes et savoir-faire Apprendre à calculer un PGCD par différentes méthodes Exercice b. PGCD(;8) car 8. d. PGCD(8;) car 8. f. PGCD(;) car. Exercice a. 8 et donc PGCD(8;). b. et donc PGCD(;). c. et donc PGCD(;). d. et donc PGCD(;). e. et donc PGCD(;). f. et donc PGCD(;). Exercice a. 8 + donc PGCD(8;)PGCD(;) + donc PGCD(;)PGCD(;) 8+0 donc PGCD(;)PGCD(8;) b. 9 + donc PGCD(9;)PGCD(;) + donc PGCD(;)PGCD(;) + donc PGCD(;)PGCD(;) +0 donc PGCD(;)PGCD(9;) c. + donc PGCD(;)PGCD(;) + donc PGCD(;)PGCD(;) + donc PGCD(;)PGCD(;) +0 donc PGCD(;)PGCD(;) d. 80 + donc PGCD( ;80)PGCD(80;) 80 +08 donc PGCD(80;)PGCD(;08) 08 + donc PGCD(;08)PGCD(08;) 08 +0 donc PGCD(08;)PGCD( ;80) e. 0089 +8 donc PGCD( 00;89)PGCD(89;8) 898 +9 donc PGCD(89;8)PGCD(8;9) 89 +0 donc PGCD(8;9)9PGCD(89; 00) f. + donc PGCD( ;)PGCD(;) + donc PGCD(;)PGCD(;) + donc PGCD(;)PGCD(;) +0 donc PGCD(;)PGCD(; ) Exercice a. 9 et donc PGCD(;). b. 8 donc PGCD(;8). c. 8 et donc PGCD(8;). d. 0 donc PGCD(0;)0. e. 8 donc PGCD(;8). f. donc PGCD(;). Exercice a. et donc PGCD(;) 9. b. et 9 donc PGCD(;9). c. 80 + donc PGCD(8;0)PGCD(0;) 0 + donc PGCD(0;)PGCD(;) +0 donc PGCD(;)PGCD(8;0) d. 00 0 donc GCD( 00;0)0. e. 8 9 et 9 9 donc PGCD(8; 9)9. f. +08 donc PGCD( ; )PGCD( ;08) 08 + donc PGCD( ;08)PGCD(08;) 08 + donc PGCD(08;)PGCD(;) +0 donc PGCD(;)PGCD( ; ). Exercice a. 8 et 9 8 donc : PGCD(8;9) et. 9 b. et 9 donc : PGCD(;9) et. 9 8 8 c. et 8 donc : PGCD(;) 8 et. 8 9 9 d. 8 et 9 donc : PGCD( 8; 9) 8 et. 9 9 9 Hachette Livre International 8
Apprendre à calculer un PPCM et à comparer des fractions Exercice a. est un multiple de, car donc PPCM(;). b. 8 est un multiple de, car 8 donc PPCM(8;)8. c. 0 est un multiple de, car 0 donc PPCM(;0)0. d. n est pas un multiple de est un multiple de, car donc PPCM(;). e. n est pas un multiple de 0 est un multiple de, car 0 donc PPCM(;)0. f. n est pas un multiple de 8 8 n est pas un multiple de 8 est un multiple de 8, car 8 donc PPCM(8;). Exercice 8 a. 0 et donc PPCM(0;) 0. b. et 8 donc PPCM(;8). c. 98 et 0 donc PPCM(98;0) 90. d. 8 et donc PPCM(8;) 890. d. et donc PPCM(;) 88. d. et donc PPCM(;) 0. Exercice 9 a. 8 est un multiple de, car 8 donc PPCM(;8)8. b. 8 et donc PPCM(8;) 9. c. et 0 8 donc PPCM(;0) 800. d. et donc PPCM(;). e. 8 est un multiple de, car 8 donc PPCM(;8)8. f. 9 et 9 9 donc PPCM(;9) 9 0. Exercice a. 9 et donc PPCM(9;) 9. b. 9 est un multiple de, car 9 donc PPCM(9;)9. c. et donc PPCM(;). d. est un multiple de 8, car 8 donc PPCM(8;). e. et 0 donc PPCM(;0). f. est un multiple de, car donc PPCM(;). Exercice. PPCM(;)0 ; PPCM(;)8 ; PPCM(9;)8. 8 8.a. et ; or > donc > ; 0 0 0 0 8 9 8 9 b. et ; or > donc > ; 8 8 8 8 0 0 c. et ; or < donc <. 9 8 8 8 8 9 Exercice a. PPCM(;) 0 donc or < 0 0 donc <. et ; 0 0 b. 9 donc PPCM(;9)9 et ; 9 or < 9 9 donc <. 9 c. et 0 donc PPCM(;0), 8 9 et ; 0 0 8 9 or < donc <. 0 9 8 d. PPCM(8;0) 0 donc et ; 8 0 0 0 8 or < 0 0 donc 9 <. 8 0 9 9 e. PPCM(;) donc et ; 9 9 or < donc <. f. 8 et donc PPCM(8;), 9 8 et ; 8 8 9 or < donc <. 8 Exercice. a. ; b. 9 ; c... a. PPCM(;9) 90 ; b. PPCM(;) 0 ; c. PPCM(9;).. 0 0 a. or 00 90 0 < 90 b. or 00 < 9 0 0 0 90 0 9 donc donc 0 0 et 9 9 et 0 0 <. 9 0 0 < 0. 00 90 0 00 0 0 0 0 c. et 9 9 0 0 or < donc <. 0 9 ; ; ; 8 Hachette Livre International
Activités d application Divisibilité Exercice a. et la liste des diviseurs de est :,,,,, 8, et. b. est un nombre premier, donc la liste des diviseurs de est : et. c. et la liste des diviseurs de est :,,,,,, et. d. 0 et la liste des diviseurs de 0 est :,,,, et 0. e. 0 et la liste des diviseurs de 0 est :,,,,,,,,, 0, 0 et 0. f. 9 et la liste des diviseurs de est :,,, 9, 8 et. g. 8 et la liste des diviseurs de 8 est :,, 9, et 8. h. 0 et la liste des diviseurs de 0 est :,,,,, 0,, 0 et 0. Exercice a. 9 est un diviseur de. b. est un multiple de 9. c. est divisible par 9. d. 9 divise. Exercice Parmi,, 90,,,, 080, 0 : a. les nombres divisibles par sont :, 90, et 080 ; b. les nombres divisibles par sont :, 90,,, 080 et 0 ; c. les nombres divisibles par sont :, 90 et 080 ; d. les nombres divisibles par 9 sont : 90, et 080 ; e. les nombres divisibles par,, et 9 sont : 90 et 080. Exercice a. Il est faux qu un nombre premier n est divisible que par lui-même (il est aussi divisible par ). b. Il est faux qu un nombre pair ne peut pas être premier ( est le seul nombre premier pair). c. Il est vrai que le nombre n est pas un nombre premier (il n a qu un seul diviseur : lui-même). d. Il est faux qu en multipliant deux nombres premiers on obtient un nombre premier. Exercice 8 a. est un nombre premier ; en effet il n est divisible que par et. b. n est pas un nombre premier ; en effet il est divisible par,, et. c. 9 est un nombre premier ; en effet il n est divisible que par et 9. d. 9 n est pas un nombre premier ; en effet il est divisible par,, et 9. e. est un nombre premier ; en effet il n est divisible que par et. f. n est pas un nombre premier ; en effet il est divisible par,, 9 et. g. 9 est un nombre premier ; en effet il n est divisible que par et 9. h. 9 n est pas un nombre premier ; en effet il est divisible par,, et 9. Exercice 9 a. La bonne décomposition en un produit de facteurs premiers de 98 est. b. est la décomposition en un produit de facteurs premiers de. c. La bonne décomposition en un produit de facteurs premiers de 0 est. d. La bonne décomposition en un produit de facteurs premiers de 90 est. Exercice 0 Décomposition en un produit de facteurs premiers : a. 8 ; b. ; c. 0 ; d. ; e. 9 ; f. ; g. ; h. 0. Exercice Décomposition en un produit de facteurs premiers : a. 9 et 8. b. 89 8. Hachette Livre International 8
PGCD Exercice a. (décomposition en produit de facteurs premiers) ; la liste des diviseurs de est :,,,,,, et. 0 (décomposition en produit de facteurs premiers) ; la liste des diviseurs de 0 est :,,,,,, et 0. b. Diviseurs communs à et 0 :,,,. c. Le PGCD de ces deux nombres est. Exercice.a. ; b. ; c. 8 ; d...a. PGCD(;) ; b. PGCD(;) ; c. PGCD(8;). Exercice a. +89 d où PGCD(;)PGCD(;89) ; 89 + d où PGCD(;89)PGCD(89;) ; 89 + d où PGCD(89;)PGCD(;) ; +0 donc PGCD(;)PGCD(;). b. 8 +8 d où PGCD(;8)PGCD(8;8) ; 88 +0 d où PGCD(8;8)PGCD(8;0) ; 80 +8 d où PGCD(8;0)PGCD(0;8) ; 08 + d où PGCD(0;8)PGCD(8;); 8 +0 donc PGCD(8;)PGCD(;8). c. 888 +80 d où PGCD( 8;88)PGCD(88;80) ; 8880 +8 d où PGCD(88;80)PGCD(80;8) ; 808 +0 donc PGCD(80;8)8PGCD( 8;88). Exercice a. 8 et donc PGCD(8;) ; b. 0 et donc PGCD(0;) ; c. 89 et 9 donc PGCD(89;9) ; d. 0 et donc PGCD( 0;) ; e. 0 9 et 0 9 donc PGCD( 0; 0) 990 ; f. et 9 donc PGCD( ; ) 9. Ecriture irréductible d une fraction Exercice.a. 8 ; b. 89 ; c. ; d. 90. Exercice a. est une fraction irréductible. b. est une fraction irréductible. c. n est pas une fraction irréductible ;. 8 d. n est pas une fraction irréductible ;. 8 8 9 88 88 8 e. n est pas une fraction irréductible ;. 98 f. est une fraction irréductible. 8.a. b. c. d. 8 90 89 89 8 90 Exercice 8 ; ; 9 ; 8. a. PGCD(8;90) d où b. PGCD(98;) d où c. PGCD(;8)8 d où d. PGCD(;8) d où e. PGCD( 9;8 )9 d où f. PGCD( 9; ) d où 8 90 98 8 8 0 ; 0 9 9 ; 8 8 ; ; 9 9 8 9 ; 9 8. 8 8 Hachette Livre International
PPCM et comparaison de fractions Exercice Exercice 9 a. PPCM(;8) car est un multiple de ; b. PPCM(;9)9 car 9 est un multiple de ; c. PPCM(;0)80 car parmi les multiples successifs de (,, 8,, 80, 9, ) 80 est le premier multiple de 0 ; d. PPCM(;) car parmi les multiples successifs de (, 0,, 0, ) est le premier multiple de ; e. PPCM(;)9 car parmi les multiples successifs de (,, 9, 8, ) 9 est le premier multiple de ; f. PPCM(;) car parmi les multiples successifs de (, 88,,, ) est le premier multiple de. Exercice 0. Multiples successifs de :,,, 8, 0,, 8, 9, 8,, et.. a. PPCM(;9) car est le premier multiple de 9 parmi les multiples successifs de ; b. PPCM(;0)0 car 0 est le premier multiple de 0 parmi les multiples successifs de ; c. PPCM(;)8 car 8 est le premier multiple de parmi les multiples successifs de. a. 9 et 9, donc PPCM(9;) ; b. 9 et 9 9, donc PPCM(;9) 980 ; c. et, donc PPCM(;) ; d. 88 et, donc PPCM(88;) 0 ; e. et 80, donc PPCM(;80) 80 ; f. 8 et 80, donc PPCM(8;80) 0. Exercice a. et > donc > ; b. PPCM(9;), 0 or < donc 0 9 et < ; 9 9 c. PPCM(;), et 9 8 9 or > donc > ; d. et donc e. et < 8 ; donc ; 9 8 ; < ; 8 90 0 90 f. et > 8 9 8 8 8 donc 0 >. 8 8 Hachette Livre International 8
Opérations sur les fractions Exercice a. c. e. f. 8 9 ; b. ; ; d. ; 0 0 0 8 8 0 ; 0 0 0 8. Exercice a. + c. + ; b. 0 ; 0 8 ; d.. 0 Exercice a. b. c. d. 8 8 + + + + ; 9 9 9 0 + + + + ; 8 8 8 + + ; ; e. + + ; 9 8 f. 9 9 + + + + 0 0 0 0 0 Exercice a. c. e.. 8 8 ; b. ; 9 ; d. ; ; f.. 9 9 9 Problèmes Exercice a. Le nombre de sachets répartissant la totalité des chocolats noirs et des 0 chocolats au lait, le nombre de chocolats noirs étant le même dans chaque sachet ainsi que le nombre de chocolats au lait, est un diviseur commun à et 0 ; donc 9PGCD(;0) est le nombre maximal de sachets que le confiseur peut réaliser. b. Chaque sachet va alors contenir : 98 chocolats noirs, 0 9 chocolats au lait. Exercice 9 a. Le nombre de dents qui ont défilé au point de contact des dents colorés, entre deux contacts consécutifs de ces dents, est égal au PPCM(;0) (, 0 et PPCM(;0) ). b. Nombre de tours alors effectués ; par la roue à dents,, par la roue à 0 dents, 0. Exercice 0 a. Dépense du vendredi : ; Exercice 8 a. Avançant à la même vitesse, Malik et Paul poseront un pied exactement en même temps pour toute distance multiple commune de 8 et 8 ; après leur départ, ils poseront donc à nouveau un pied exactement en même temps pour une distance égale au PPCM(8;8) 8 cm (8, et PPCM(8;8) ). b. Nombre de pas alors accomplis : par Malik, 8 8, par Paul : 8 8. dépense du samedi :. 8 Comme : et 8, on a : PPCM(;8), 0 0, avec >, 8 donc c est vendredi que Fatou a dépensé le plus d argent. 0 b. Fraction de la dépense des deux jours : +. c. Avec une somme initiale de 00 FCFA, Fatou a dépensé en tout : 00 0 FCFA. 8 Hachette Livre International
Bien comprendre, mieux rédiger Exercice Nombre premier ou pas.a., nombre impair, n est pas divisible par ; ++ n est pas un multiple de, donc n est pas divisible par ;, avec un chiffre des unités différent de 0 et, n est pas divisible par. b. Dans une succession de divisions euclidiennes à dividende constant, quand les diviseurs augmentent, les quotients diminuent : dans la division de par, le quotient est 8 ; dans la division de par, le quotient est ; inutile de continuer : un nombre supérieur à ne peut pas diviser car le quotient, supposé obtenu et inférieur à, diviserait ; ce qui est impossible d après les résultats précédents.. n est divisible ni par, ni par, ni par ; +, donc n est pas divisible par ; 0+, donc n est pas divisible par ;, donc, divisible par et, n est pas un nombre premier. Exercice Fraction irréductible. a. ; ; 8 est une fraction irréductible ; 0 n est pas une fraction irréductible : ; 8 8 est une fraction irréductible. 0.a. 080 + donc PGCD( 08;0)PGCD(0;), 0 +9 donc PGCD(0;)PGCD(;9), 9 + donc PGCD(;9)PGCD(9;), 9 + donc PGCD(9;)PGCD(;), + donc PGCD(;)PGCD( 08;0). 9 + donc PGCD( 9;)PGCD(;), + donc PGCD(;)PGCD(;), +8 donc PGCD(;)PGCD(;8), 8 +9 donc PGCD(;8)PGCD(8;9), 89 +0 donc PGCD(8;9)9PGCD( 9;). 8 + donc PGCD(8 ; )PGCD( ;), 8+ donc PGCD( ;)PGCD(;), +9 donc PGCD(;)PGCD(;9), 9 +8 donc PGCD(;9)PGCD(9;8), 98 + donc PGCD(9;8)PGCD(8;), 8 +0 donc PGCD(8;)PGCD( ;8 ). b. 08 0 9 8 est une fraction irréductible ; n est pas une fraction irréductible : 9 9 9 9 ; 9 n est pas une fraction irréductible : 9 8 9. Exercice Nombres premiers ou premiers entre eux. Un nombre est dit premier s il a exactement deux diviseurs : et lui-même. Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à.. Parmi les nombres, 9, 8 et 9 : a. et 9 sont premiers (8 9 et 9 ) ; b. les couples de nombres premiers entre eux sont : (;9), (;8), (9;9) et (8;9) [PGCD(;9) et PGCD(9;8)].. Parmi les nombres, 9, et 0 : a. est le seul nombre premier (9, et 0 ) ; b. (;9) est le seul couple de nombres premiers entre eux [PGCD(;), PGCD(;0), PGCD(9;), PGCD(9;0) et PGCD(;0)]. Exercice PGCD, PPCM ou ni l un ni l autre Enoncé A. Le côté d une plaque carrée doit être un diviseur commun de 0 et ; si l on veut utiliser des plaques les plus grandes possible, la mesure de leur côté doit donc être égale au PGCD(0;). Or : 0 et ; donc : PGCD(0;) 0. La mesure du côté d une plaque est de 0 cm.. Nombre de plaques sur la longueur du mur : 0 0 ; nombre de plaques sur la largeur du mur : 0 ; nombre de plaques pour couvrir le mur : 8. Enoncé B.a. La mesure du côté du carré, obtenu en juxtaposant (toujours dans le même sens) des plaques rectangulaires de mm de longueur et mm de largeur, doit être un multiple commun de et ; si l on veut utiliser le moins de plaques possible, la mesure du côté du carré doit donc être égale au PPCM(;). Or : et ; donc : PPCM(;) 9. La mesure du côté du carré réalisé est de 9 mm. b. Nombre de plaques disposées selon leur longueur : 9 ; nombre de plaques disposées selon leur largeur : 9 ; nombre total de plaques utilisées :.. 89 ; on en déduit qu un carré de 8 mm de côté est partagé en quatre carrés de 9 mm de côté. Pour réaliser ce nouveau carré Kondo devra donc utiliser : plaques. Exercice Comparer des fractions. Les justifications de Joseph et Safi sont incorrectes ; celle d Abdoul est correcte.. On peut comparer directement deux fractions dans deux cas : deux fractions de même dénominateur sont dans le même ordre que leur numérateur : > car > ; 8 8 deux fractions de même numérateur sont dans l ordre inverse de celui de leur dénominateur : < car >. 9 9. Pour comparer et, des calculs sont nécessaires : 8 PPCM(;8) 8 ; 0 0, et < donc <. 8 8 Hachette Livre International 8
Exercices d approfondissement Exercice 0 Bonbons à vendre Exercice Nombres premiers et premiers entre eux. Si deux nombres a et b, a b, sont premiers, alors : les diviseurs de a sont et a, les diviseurs de b sont et b. On en déduit que est le seul diviseur commun à a et b, c est-à-dire que a et b sont premiers entre eux.. La réciproque est fausse. Contre-exemple : les diviseurs de sont,, et ; les diviseurs de sont,, et ; est donc le seul diviseur commun à et, c est-àdire que les nombres et sont premiers entre eux ; pourtant et ne sont pas des nombres premiers. Exercice Quel est le nombre?,, 9. Parmi les quatre nombres :,,, 8 9, le nombre a tel que PGCD(a;) est ou 8 ; le nombre b tel que PPCM(b;)9 est ou ; le nombre c tel que PGCD(c;) et PPCM(c;)9 est. Exercice 8 PGCD et PPCM a. 0 et ; donc : PGCD(0;), PPCM(0;) 0. b. Constats : 0 0, PGCD(0;) PPCM(0;) 0 0, 0 PGCD(0;) PPCM(0;). c. Propriété utile à retenir : pour tout couple a et b de nombres naturels a bpgcd(a;b) PPCM(a;b). Pour: et, on a : et PGCD(;), donc : PPCM(;) 9. Exercice 9 Les arbres coupés La distance qui séparait deux arbres consécutifs est un diviseur commun à et. Or et, donc : PGCD(;). La distance, qui séparait deux arbres consécutifs, était donc de m ; il y en avait donc : +. C est-à-dire que : ont été coupés..a. Le nombre de sachets de bonbons doit être un diviseur commun de 0, 8 et 9 ; le plus grand nombre possible de sachets est donc le PGCD(0;8;9). Or : 0, 8, 9 ; donc : PGCD(0;8;9). Le plus grand nombre possible de sachets est. b. Chaque sachet va contenir : 0 bonbons rouges, 8 bonbons verts, 9 bonbons jaunes..a. Dans les sachets précédents, il y a : ++9 bonbons ; si le marchand veut que ses sachets toujours tous identiques (et en plus grand nombre) contiennent au moins 0 bonbons, il faut doubler dans chaque sachet le nombre de bonbons, c est-à-dire diviser par deux le nombre de sachets : 8. b. Chaque sachet va alors contenir : 0 80 bonbons rouges, 8 8 bonbons verts, 9 8 bonbons jaunes. Exercice L examen.taux de réussite : 0 cette année : ; 0 9 9 l année dernière : 9 8 il y a deux ans :. 9. PPCM(9;8;), 8 8 9, et ; 9 8 donc c est il y a deux ans que le taux de réussite a été le plus élevé. Exercice Parcelles à vendre 8 a. et. 88 8 La fraction du terrain initial vendu par M. Diboti est : + + + + 8. 8 9 9 b. Après la vente des trois parcelles il restera 9 du terrain, c est-à-dire : 0 9 0 m². 88 Hachette Livre International
Activités d intégration Exercice La clôture.a. L espacement entre deux poteaux consécutifs devant être un diviseur commun de, et, l espacement maximal est le PGCD(;;). Or : ; 9 et ; donc : PGCD(;;). L espacement maximal entre deux poteaux consécutifs est de m. b. Sur le côté qui mesure m, le nombre de poteaux est de +8 ; sur le côté qui mesure m, le nombre de poteaux est de + ; sur le côté qui mesure m, le nombre de poteaux est de + ; mais dans le décompte ci-dessus, les poteaux de chaque coin du terrain sont comptés deux fois, donc le nombre total de poteaux nécessaires est égal à : 8++-..a. Si, pour la solidité de la clôture, l espace entre deux poteaux ne doit pas être supérieur à m, alors (pour limiter la dépense, c est-à-dire le nombre total de poteaux) l espace entre deux poteaux consécutifs sera de m (plus grand diviseur commun à, et, inférieur à ). b. Le nombre total de poteaux sera alors égal à : ( +)+( +)+( +)-+9+-..a. Fraction du coût total restant à payer : - - 0. b. Pour un prix total de 0 000 F CFA, cela correspond à : 0 000 8 000 F CFA. Exercice A la recherche des exoplanètes. Le nombre de jours entre deux situations consécutives d alignement des deux planètes avec l étoile est égal au PPCM(9;8) ; or : 9 et 8 ; donc : PPCM(9;8). Il y a jours entre deux situations consécutives d alignement des deux planètes avec l étoile.. Le nombre de jours entre deux situations consécutives d alignement des trois planètes avec l étoile est égal au PPCM(9;8;) ; or : 9, 8 et ; donc : PPCM(9;8;) 8. Il y a 8 jours entre deux situations consécutives d alignement des trois planètes avec l étoile.., et 8 ; donc PPCM(;;8). + 98 + 8 9 + + 00 0 8 00. 0 00 0 8 00 9 Donc la masse totale des trois planètes est égale à masse de l étoile. 8 00 Hachette Livre International 89
9 Nombres rationnels Activités de découverte Cours Méthodes et savoir-faire Application Bien comprendre Mieux rédiger Approfondissement Les nombres rationnels [ p ],,,, 0 0 8, 9 Comparaison de nombres rationnels [ p ] 0, Addition et soustraction de nombres rationnels :,, règles de calcul [a p ] Opposé d un nombre rationnel [b p ] Multiplication de nombres rationnels [ p ],,,,,,, 9,, Apprendre à multiplier des nombres rationnels,,,,, [p ] Inverse d un nombre rationnel non nul [ p ], 8,, Division de deux nombres rationnels non nuls 9, 0,,, 8,, [ p ] Apprendre à diviser deux nombres rationnels [ p 8], 8, 9,,,, Rationnel décimal ou non décimal [ p ] 8 Approximations décimales d un nombre rationnel positif [8 p ] 9, 0,,,,,,,, 8, 9,, 8 *Les caractères gras signalent des pages ou des exercices de Méthodes et savoir-faire. Activités de découverte Pour démarrer Le bon cocktail.a. Proportion de jus d ananas dans le mélange : 0 0 9. b. Proportion des trois jus de fruit dans le cocktail : 9 9 + +. 8 0 0 0 9 c. Proportion de sirop de grenadine dans le mélange : -. 0 0 d. Le jus d ananas est l ingrédient en plus grande quantité.. Proportion de jus d ananas fabriqué par Acha dans le mélange : 9. 0 80. Pour préparer 00 centilitres de cocktail, Acha a utilisé : 00 8 cl de jus d orange, 00 0 0 cl de jus de papaye, 00 0 9 90 cl de jus d ananas, 00 cl de grenadine. 0 Quotients de nombres entiers relatifs.a. ; donc : ; (-)- ; donc : ; - - ; donc : ; - (-) ; donc :. b. et sont positifs ;.a. Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif ; le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif. 9 b. Quotients positifs :,, ; quotients négatifs : et sont négatifs.,,. 90 Hachette Livre International
Comparaison de nombres rationnels.a. < < ; < < ; b. < < ; < < ; < <0 ; 0< < ; 8 < < ; < <. - - - - - 0 - - - - - 8 c. Nombres opposés : et ; et..a. > ; > ; 8 > (utiliser à nouveau la représentation précédente). b. Règle : Si deux nombres relatifs sont positifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus grande ; si deux nombres relatifs sont négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite. Additionner et soustraire deux nombres rationnels + + 9 + 9 + + 9 9 9 9 9 9 + + 9 + + + 9 9 9 Règle : Soustraire un nombre en écriture fractionnaire revient à additionner son opposé. Multiplier deux nombres rationnels.a.. 8 b. En appliquant la règle des signes (le produit de deux nombres de même signe est positif, le produit de deux nombres de signes contraires est négatif), on obtient : ; ; 8 8 ; 8. 8.a. est un nombre positif ; est un nombre négatif. On en déduit (toujours d après la règle des signes) que est un nombre négatif et b. En appliquant la règle des signes au numérateur et au dénominateur, on a : ( ) ( ) ( ). 8 8. c. Règle : Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Inverse d un nombre rationnel.a.. b. est l inverse de. Le produit d un nombre non nul et de son inverse est égal à..a. ; ( ) ; b. est l inverse de ; est l inverse de ; ;. est l inverse de ; est l inverse de. c. Règle : a et b désignant deux nombres entiers relatifs non nuls, l inverse du nombre b a s écrit a b. Hachette Livre International 9
Diviser par un nombre rationnel.a. 0 et 0 ; 0 ( ) et 0. Les nombres et, d une part, et, d autre part sont inverses. b. Règle : Diviser par un nombre rationnel revient à multiplier par l inverse de ce nombre..a. ( ) ; b. 8 ; c. ; d.. Nombre rationnel décimal ou non décimal.a. ;, ; 0, ; 00,0 ; 8, ;,88 8. b. La division ne s arrête jamais pour et ; les nombres et ne sont pas décimaux.. 0, ;, ;, ; (trois divisions qui ne s arrêtent jamais) donc :, et ne sont pas des nombres décimaux ; 0, ;, ;, ; (trois divisions qui s arrêtent) donc :, et sont des nombres décimaux. Méthodes et savoir-faire Apprendre à multiplier des nombres rationnels Exercice Si * représente un nombre positif non nul : * * * * a. <0 ; b. * * * * >0 ; * * * c. <0 ; d. ( *) >0. * * * Exercice a. ; b. ; 8 9 c. ; d. ; e. ; f. ( ). 9 9 Exercice a. c. e. ; b. ; ; d. ; 0 ; f.. Exercice 8 A ; B ; 9 9 9 8 C ; D 8 9 9 E ; F 9 Exercice 0 E ; 9 9 F ; 8 G ; F 8 Exercice. Si * est un nombre positif non nul : a. b. * * * * * >0 ; * * * * * * * * * * <0. * * * * *. 9 Hachette Livre International
Apprendre à diviser deux nombres rationnels Exercice Les inverses de sont, 8,,, -, 8,,. Exercice 8 Parmi :,,,,, et, deux couples de nombres sont inverses l un de l autre :, et,. Exercice 9 a. c. e. * * * * <0 ; b. * * * * >0 ; * * * * * <0 ; f. * * Exercice a. ; b. 9 * * <0 ; d. ( *) 9 * >0. * * ; c. ( ) ; d. ; e. ; f.. >0 ; Exercice E 9 ; F 9 ; G I ; H 9 ; 9 ( ) ; J 9. 8 9 8 8 Exercice A ; 0 B ; C. 8 Exercice Parmi :,,, 0 les nombres qui vérifient l égalité, et 0., et 0... sont : 8, Activités d application Opérations sur les nombres relatifs Exercice a. (-)-8 ; b. - 9-8 ; c. - (-) ; d. 9,, ; e. - 00 ; f. -, (-),. Exercice a. (-) (-) (-)-8 ; b. (-) (-) (-) (-) 00 ; c. (-0,) (-,8) ; d. -8 (-0,) 0, (-) -. Exercice Si a b c<0 et a b<0, alors c>0 ; si a b c<0 et b c>0, alors a<0 ; si a b c<0, a<0 et c>0, alors b>0. Exercice a. -9 - ; b. (-)- ; c. -8 (-) ; d. 0 (-8)-, ; e. 8 (-)-, ; f. -0 (-8),. Hachette Livre International 9
Nombres rationnels Exercice 8 Parmi les sept nombres : 9 «; ; ; ; ; ; -0,», 0 il y a un seul groupe de nombres égaux entre eux : 9 «; ; ; -0,». 0 Exercice 9 Exercice Parmi les huit nombres : 8 «; ; ; 0, ;, ; ; -, ; il y a quatre couples de nombres opposés : 8 «et», «et -,», «et,», «0, et».», 0 ; 0, ; ; ; ; 8 8 8 ; -,. Exercice 0 a. > 8 ; b. 8 > ; c. > ; Exercice Voici les nombres à placer sur la droite graduée : 9 -,8 ;, ;, ; 8 0, ;, ; -0, ; -0, ; - - - 0 d. > ; e. 9 > ; f. 8 >. - -0, - - -9 8 Opérations sur les nombres rationnels Exercice a. c. e. + ; b. 8 8 ; 9 ; d. 8 + - ; f. Exercice a. c. e. 8 + ; b. ; d. 9 9 + ; 9. 0 ; + + ; f. 8 Exercice a. ; 8 8. 8 - ; b. ( ) ; c. ; d. ; e. f. ; 9 8. Exercice A ; 8 8 8 B ; C ( ) ; D ( 8) 9 8. 8 Exercice a. Inverse de - : ; b. inverse de : ; 8 c. inverse de : ; d. inverse de : 8 e. inverse de - : - ; f. inverse de g. inverse de : - ; h. inverse de 9 : ; ; :. 9 9 Hachette Livre International
Exercice 8 L opposé de l inverse de est : L opposé de l opposé de est : ; L inverse de l opposé de - est : ; L inverse de l inverse de Exercice 9 a. b. ; 8 est : ; ; c. ( ) d. ; 8 8 e. f. ; 9. ;. Exercice 0 A 0 ; B ; C ; D 8 8 8 8 E ( ) G ( ) Exercice.a. b. 9 ; F 9 ; H 8 9 9-9.. 9 8 ; ; 8 8. c. Constat : le produit de l inverse de deux nombres est égal à l inverse de leur produit..a. + +. 8 9 8 8 8 b. + +. 8 9 8 8 8 c. Constat : la somme de l opposé de deux nombres est égale à l opposé de leur somme. Exercice.. 8 + +. 8 8 8 8 8 0 8 8 + + ;. Constat : ces deux nombres, dont la somme des inverses est égale à, ont leurs somme et produit égaux..a. et sont deux nombres dont la somme des inverses ( + ) est égale à. 0 8 b. + + ;. Même constat : ces deux nombres, dont la somme des inverses est égale à, ont leurs somme et produit égaux.. Conjecture : deux nombres, dont la somme des inverses est égale à, ont leurs somme et produit égaux. Exercice Mme Diboti avait au départ dans son portefeuille : Exercice 00 9 00 F CFA.. Fraction utilisée pour acheter des friandises :.. Coût des friandises : 000 00 F CFA. Exercice. Proportion des places occupées après le premier arrêt :.. Nombre de passagers descendus au premier arrêt : 0 9. Exercice Contenance totale du réservoir : Exercice a. Contenance du grand bocal : 8 + + + 0 0 + 0 0 L. L. 0 b.,>, ; donc, à la fin, le bocal aura débordé. 0 Hachette Livre International 9
Approximation décimale et encadrement Exercice 8 a., est un nombre décimal ; b.,08 n est pas un nombre décimal ; c. -, n est pas un nombre décimal ; d. - est un nombre décimal ; e., est un nombre décimal ; 8 f. -,8 88 n est pas un nombre décimal ; g., est un nombre décimal ; h. 0,98 n est pas un nombre décimal. Exercice 9 8 Le nombre est non décimal.. 8,. à l unité au dixième au centième Troncature,, Arrondi,, Exercice 0 A, B,8 C,8... 9. est l arrondi à l unité de chaque nombre.. A et B ont la même troncature au dixième :,.. A et C ont le même arrondi au dixième :,.. Nombres dont la troncature et l arrondi au millième sont égaux : B (dont la troncature et l arrondi valent,8) ; C (dont la troncature et l arrondi valent,8). Exercice a. Nombres dont la troncature au dixième est égale à, et l arrondi au dixième est égal à, :, ;, ;,8 ; b. Nombres dont la troncature au centième et l arrondi au centième sont tous deux égaux à 0, : 0, ; 0,9 ; 0,8 ; Exercice Exercice a, a. < a <. b., < a <,. a. Si la troncature à l unité d un nombre n est égale à alors : n <. b. Si la troncature au dixième d un nombre n est égale à 0, alors : 0, n < 0,. c. Si la troncature au centième d un nombre n est égale à 9, alors : 9, n < 9,. Exercice a. Si l arrondi à l unité d un nombre n est égale à alors :, n <,. b. Si l arrondi au dixième d un nombre n est égale à, alors :, n <,. c. Si l arrondi au centième d un nombre n est égale à 0, alors : 0, n < 0,. Exercice Si 8 p < 9,0 alors : la troncature à l unité de p est impossible à indiquer, la troncature au dixième de p est impossible à indiquer. Si, p <, alors : la troncature à l unité de p est égale à, la troncature au dixième de p est égale à,. Si 0, p < alors : la troncature à l unité de p est égale à 0, la troncature au dixième de p est impossible à indiquer. Si, p <,8 alors : la troncature à l unité de p est égale à, la troncature au dixième de p est impossible à indiquer. Exercice, 0 donc, <, ; 0, donc, <, ;, donc n est pas compris entre, et, ; 0 0 0, 0 0 donc, <, ; 0 9, 9 donc, <, ; 8 8, donc n est pas compris entre, et,. Exercice a c Exercice 8 D b Exercice 9 Si <a<, <b< et 8<c<9 alors le meilleur encadrement possible du périmètre p du triangle est : ++8<p<++9 <p<. Pour,<π<, et <D<, le meilleur encadrement possible du périmètre L de ce cercle est :, <π D<, 8,<L<,. En payant cinq cahiers identiques entre 00 et 0 F CFA, le prix d un cahier est compris entre : 00 00 et F CFA, c est-à-dire 0 et 0 F CFA. 9 Hachette Livre International
Bien comprendre, mieux rédiger Exercice 0 Les ensembles de nombres..a. b. N, Z, D et Q. Exercice Simplifier les calculs A ; 9 8 ; 0 8. 9 B ( ) C ( ) Exercice Parenthèses et signes inutiles E(+) (+) (-) (-) (+) (-) (-) ; 9 9 F + 8 8 ; + Entiers relatifs Rationnels Entiers naturels Décimaux 8 G ( ) -9 - N Z D Q - Q D Z N ( ). Exercice Règle des signes. Un produit de plusieurs nombres rationnels est : positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ; négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair. Un quotient de deux nombres rationnels est : positif si les deux nombres sont de même signe ; négatif si les deux nombres sont de signes contraires. * * * * *.a. <0 ; * * * * * * * * * * b. <0 ; * * * * * * * * c. >0 ; d. * <o. * * * * Exercice Inverses et opposés a. est l opposé de ; b. est l inverse de 8; 8 8 8 c. est l inverse de ; d. est l inverse de -; («est l inverse de 8» et «est l opposé de» 8 sont des phrases fausses). Exercice Relier calculs et questions Questions manquantes :.a. Quelle est la proportion des km que Kodick a parcourue en courant, avant qu il ne s arrête pour se reposer? b. Quelle est, à ce moment, la distance qu il a parcourue en courant?.a. Que représentent, en proportion de la distance totale, les km parcourus en courant par Kodick, avant qu il ne s arrête? b. Quelle est la distance totale parcourue par Kodick? Hachette Livre International 9
Exercices d approfondissement Exercice Boucher les trous a. (-) (-) (-)- ; b. - (-) (-)- ; c. - 0, (-) (-) (-8)9 ; d. - (-0,) (-) (-). Exercice Encore des trous 8 a. ; b. - ; c. e. ; d. ; 8 ; f.. 9 8 9 Exercice 8 Multiplier pour diviser a 9 a a. ; b. ; b 8 b a 9 b. b 9 a ; d. b. Exercice 9 Attention aux parenthèses A- + --+- ; B- (+) (-)- 8-8 ; C(- )+ (-)-+ ; 9 D ; 8 8 8 8 E ( ) 9. 0 Exercice 0 Des nombres et des signes Si a c<0 et b a <0 alors c et b sont de même signe ; or b+c<0 donc b<0, c<0 et a>0. Exercice Qui suis-je?. Soit a le nombre cherché. Si -a>- et - a<- alors a< et a> ; donc : a.. Soit b le nombre cherché. Si b>- et b (-) est un entier positif alors b est un nombre pair négatif et supérieur à - ; donc b-. Exercice Places à prendre. Après l entracte : la proportion des sièges occupés est : ; 8 8 la proportion des sièges libres est : ; 8 8 donc le nombre total de sièges dans la salle est : 8. 8. Nombre de spectateurs partis à l entracte :. 8 Exercice Ca roule! Proportion du déplacement effectué avant le premier arrêt + et après le deuxième arrêt : +. Proportion du déplacement effectué entre les deux arrêts :. Distance totale parcourue par Ali : 0 km. Exercice Troncature et arrondi. Si la troncature au dixième de x est égale à, alors :, x <,8..a. Si l arrondi à l unité de a est égal à alors :, a <,. b. Si la troncature au centième de b est égale à 9,8 alors : 9,8 b < 9,9. c. Si l arrondi au dixième de c est égal à, alors :,0 c <,. Exercice Quel est le nombre? a., ; 0 9, ;,8. 0 b. est le seul de ces trois nombres dont son arrondi 9 au dixième est égal à sa troncature au dixième :,.. Si a>b, a b et a b- alors a et b-. b a 98 Hachette Livre International
Activités d intégration Exercice Carrés de carton. AD AB AB. 9. Aire du petit carré : de l aire de la grande plaque. 9 9 8. Si l aire du petit carré est égale à cm², alors l aire de la grande plaque est :. Si l aire du petit carré est égale à cm², alors : la longueur de son côté est : AD8cm ; 9 la longueur du côté de la plaque est : AB 8 cm.. Sur ces cm peut être reportée fois la longueur 8 cm ; donc Mouafo peut découper dans sa plaque de carton : petits carrés identiques.. Aire de l ensemble des petits carrés : 0 cm².. Proportion de l aire de la plaque de carton utilisée par Mouafo : 0 9 8 9 cm². 8. 8 Exercice Inspiration, expiration 8 a. Pourcentage de diazote :, pourcentage de dioxygène :. 0 0 8 b. Fraction de l air atmosphérique constituée par d autres gaz que le diazote et le dioxygène :. 0 0 0 9 9 c. Proportion de l air atmosphérique constituée par l argon : 0,9%. 0 0 000 d. Proportion de l air atmosphérique constituée par le dioxyde de carbone : 0,0%. 0 0 000 Exercice 8 Mur à peindre Dimensions (en mètres) du mur à repeindre :, < L <, et, < H <,. a. Meilleur encadrement (en m²) de l aire A du mur à repeindre :,, < A <,,, < A <,. b. Si Yene doit passer deux couches de peinture, le meilleur encadrement (en m²) de l aire S à recouvrir est :, < S <, 0,8 < S <,. c. L de peinture permet de recouvrir une superficie de à m² ; pour être sûr d en avoir suffisamment, Yene doit en acheter :,, ; c est-à-dire : L. Hachette Livre International 99
Puissances Activités de découverte Cours Méthodes et savoir-faire Application Bien comprendre Mieux rédiger Approfondissement Puissances de nombres rationnels [ p ] 9, 0, 8, 9, 9, 8 Calculs avec des puissances [ p ],, 9, 0 0 Apprendre à calculer avec des puissances,,,,,,, [ p 9], 8, 9, Puissances de dix [a p et b p 8], 8 Calculs sur les puissances de [c p 8], 8, 9, 0, Nombres de la forme p a [ p 8], 9 Apprendre à utiliser les puissances de dix,,,, [ p ],,,, 8 Ecriture scientifique d un nombre décimal [ p 8],,,,,,,,,,, 0 *Les caractères gras signalent des pages ou des exercices de Méthodes et savoir-faire. Activités de découverte Pour démarrer Des distances astronomiques.a. 8 0 000 000. b. 8,, 0 000 000 000 000 ( millions) : les deux sites donnent la même distance Terre-Soleil. c. La distance Terre-Soleil peut aussi s écrire :,.. Planète Distance, en km, entre le Soleil et la planète d où le rangement des trois planètes Neptune 00 000 000 de la plus proche à la plus éloignée du Soleil : Saturne mille quat e cent trente millions 0 000 000 Uranus 9, 8 80 000 000 Saturne, Uranus et Neptune. Puissances de nombres rationnels (exposants entiers positifs). exposant exposant exposant -0, exposant ( 0, ) (-0,) (-0,) (-0,) 8 0 000-0, exposant - exposant ( ) (-) (-) (-) (-) (-) (-) 9 9 Pour trouver le signe d une puissance d un nombre négatif, il suffit de regarder l exposant : lorsque l exposant est pair, la puissance est positive, lorsque l exposant est impair, la puissance est négative. Puissances de dix : : : : : : :.a A la division par correspond sur l exposant la soustraction du nombre. b. Ecriture décimale Ecriture avec exposant 000 000 0 0, 0,0 0,00 0 - - -.a. Le nombre de zéros des nombres 000, 000, 0, et est égal à l exposant p de leur écriture sous la forme p. b. Le nombre de zéros et le nombre de chiffres après la virgule des nombres 0, ; 0,0 ; et 0,00 sont égaux au nombre p de leur écriture sous la forme -p. c. 000 000 ( million) ; 9 000 000 000 ( milliard) ; 0,000 0 ; 9 0,000 000 00. 0 Hachette Livre International
Inverse d une puissance de dix. - 0, ; - 0 0,0 ; - 000 0,00..a. D après la question précédente, on peut dire que : les inverses de ; ; ; - ; - et - sont respectivement - ; - ; - ; ; et. b. On en déduit que : ; ; ; ; et. Produit et quotient de deux puissances de dix.a.. b. ; ; ; ( ) ( ). c. Règle : p et q étant deux entiers relatifs, on a : p q p+ q..a. 0 000 0 000 ; 0 0 0000,00. b. Règle : pour calculer le quotient de deux puissances de, il suffit d écrire et de soustraire l exposant du dénominateur à celui du numérateur. Méthodes et savoir-faire Apprendre à calculer avec des puissances Exercice a. ; b. ; 8 9 c. ; d.. Exercice a. ; b. ( ) ( ) ; c. ; d. 9 ; 9 ( ) e. Exercice a. ( ) ( ) c. ( ) ; f. ( ). ; b. ; ; d.. Exercice a. 9 ; 8 b. ; c. 8 ; d.. Exercice a. ( ) ; b. ( ) c. Exercice ; ; d.. a. ; b. ; c. ; d. ; e. f.. Exercice a. 8 ; b. ; c. 9 Exercice 8 a. c. 8 ; d. ; b. Exercice 9 a. 8 ; d. ; b. c. 8 ; d.. ; 9. 8 ;. Hachette Livre International
Apprendre à utiliser les puissances de Exercice Exercice a. 000 ; b. 000 000 ; c. 0,000 0 ; d. 000. a. c. 0, 0 0 ; b. 80 -,8 ; 0, 000 0, ; d. 00 0,. Exercice a. 0 000 cent mille ; b. 000 000 un million ; c. 9 000 000 000 un milliard ; d. 000 000 000 dix milliards ; e. 0,0 un centième ; f. 0,00 un millième ; g. 0,000 0 un cent millième ; h. 9 0,000 000 00 un milliardième. Exercice Exercice a.,0 00 ; b. 0,08 80 ; c., 0,0 ; d. 9 0 0,09 ; e.,8,8,8 ; f. 0,00,,. Exercice A 000 ; B 000 000 000 9 ; a., 00 ; b. 0, 00 8 0,8 ; C0,000 0 ; c. 8, -0,08 ; d. 0,. D0,000 000 000. Exercice a., 0, ; b. -08, 08 ; c.,8 0, 08 ; d. -0,0 0, 000 ; e. 0 0 00, ; f. 0, 0, 00 Exercice a. 90 90 000 ; b., 0 ; c. -0,09 90 ; d. 0,000 0, ; Exercice 8 a.,, ; b. 0, ; c. 8 0, 0 0, ; d. 8 0, 8,. e. - 000 ; f., 00. Hachette Livre International
Activités d application Calculs sur les puissances Exercice 9 ; ; 8 Exercice 0 8 ;,, ; ( ) ( ) ; (, ) ( ) - ; ( ) ; ; 8 ; 0., ; - ; ; 0 9 ;. Exercice A(-8) (-8) (-8) (-8) (-8) (-8) ( 8) ; B ; C,,,, ; Exercice Si l étoile représente un nombre positif, alors : a. * >0 ; b. * >0 ; c. * >0 ; d. * >0 ; e. ( *) >0 ; f. ( *) <0 ; g. ( *) >0 ; h. ( *) Exercice a. ; b. <0., 8, 8, 8 ; 8 c. ; d. 0,, ; e. 8 ; f. Exercice a.. ( ) ; b. 8 ; c. ( ) ( ) 9 ; d... D(-) (-) (-) ( ) Hachette Livre International
Puissances de Exercice a. mille 000 ; b. un million 000 000 ; Exercice a. 8 00,8 ; b. 0, 9 90 ; c. un milliard 000 000 000 9 ; c. 0, -0,00 ; d. 0, 00 0. d. mille milliards 000 000 000 000 ; e. un millième0,00 ; f. un millionième0,000 00. Exercice a. 000 ; b. 0 000 000 8 ; Exercice a.,80,0 8 ; b. 0,0,000 ; c. 9000,9 ; d. 0,000,000 00 ; e. - 00-,00 ; f. -8 00-8,. c. 000 000 000 ; d. 0,0 ; e. 0,000 ; f. 0,000 000. Exercice a. ; b. 9 ; c. 0 ; Exercice a., ; b. 0,0, ; c. -9 00, 9 ; d. -0,, ; e. 0,000 08 8 ; f. 000 000. d. 0 9. Exercice 8 a. ; b. ; c. ; d. 8 ; e. ; f. ; 0 g. ; h.. 0 Exercice 9 a. b. ; b. ; d. Exercice 0 ; 0 0. a. ; b. ; c. ; d. Exercice a. 8 c. 0 ; b. d.. 8 ; 0. Exercice a., ; b. c. 0, 0 0, -, ; 9 0, 000 ; d. 8, 8. Exercice Superficie du terrain :, 0 8, 8, m² Exercice, 8 m (écriture scientifique) 8 00 m² (écriture décimale). 00 milliards et 80 milliards 8.. Nombre d atomes d hydrogène contenus dans l univers observable : a. calcul : 8 ; b. résultat : 9,. Hachette Livre International
Bien comprendre, mieux rédiger Exercice 8 Vocabulaire a. est une puissance de. Dans cette écriture, est un exposant. b. se lit «exposant» ou «puissance». c. ² peut se lire «au carré» et cube». Exercice 9 Confusions à éviter.a. et ; donc : peut se lire «au. b. A et B+++..a. 9 ; b. donc : ; et + + ;. + ; +.. ( ) 0 et 0,0 ; donc : ( ) Exercice 0 Rôle des parenthèses.a. ( ), ( ), b. ( ) ( ) ( + ) - ; ( + ) -. car ( ) ( ) ( ) >0,. <0 ; car ( ) >0,.a. -9 ; + +9 ; b. ( ) 9 ; c. ( ) ( ) - 9-. d. ( ) Exercice Vrai ou faux? a. est le double de : faux. b. est le carré de : vrai. ( ) ( ) ( ) ( ) <0. c. est un nombre plus petit que zéro : faux. d. est un nombre plus petit que : vrai. f. exposant est égal à exposant : faux. g. La moitié de est 9 : vrai. Exercice De mots en puissances Mille, c est. Un million, c est. Un milliard, c est 9. Mille milliards, c est. Un million de milliards, c est. Un milliard de milliards, c est 8. Un million de milliards de milliards, c est. Exercice Notation scientifique () Nombres écrits en notation scientifique : a.., ; e. ; f.,8 0, 8 ; h., 00. Exercice Notation scientifique () a. 9 0 9, 9, ; b.,, 0, ; c. 0, 9 9,, 9 ; d.,89, 8 9 ; e.,,, ; f. 000. Exercice Encadrements., (en effet : 000 00 000).. Si C alors : C (en effet : 0 00 000) ; si A 8, alors : A (en effet : 0,0 0,08 0,) ; si T, 8 alors : T (en effet : 000 80 000) ; si X alors : X (en effet : 0,0 0,0 0,) ; si E, alors : E (en effet : 0,00 0,00 0,0).. - - - - 0 E Exercice Ordre de grandeur d un résultat. 08 est de l ordre de ; 8 0 est de l ordre de ; 0, est de l ordre de ; donc un ordre de grandeur de 08 8 0 0, est : 8 (quatre centaines de millions).. A98, 0 8 A 8 (8 dizaines de millions) ; B0 8 0,0 B ( centaines de mille) ; 8, 0, 0 8 C 8, C 8 (8 dixièmes) ; 98 09 0, 8 D 0 X A C T D ( dizaine de mille). Hachette Livre International
Exercices d approfondissement Exercice Calculs avec des puissances () a. + + 0 ; b. 0 + 000 000 ; c. 0, 9 0,9 ; d. + 0 + 9 (8+) 0+9 98. Exercice 8 Opérations et puissances de a. + 000 000+ 000 00 000 ; b. 0 000-00090 000 ; c. 000-000-9 000 ; d. 90 000 ; e. + 000-( 000+0)8 900. Exercice Encadrements a.,, donc < < ; b. 0, 8, 8, donc < 0, 8 < ; c. 0, 09 9 donc < 0, 09 < ; d. 9 0, 9 donc 0 < 9 < ; e. 0, 0 donc < 0, 0 < ; f. 0, 0 donc < 0 <. Exercice 9 Chiffre des unités Puissance de n n + Exercice Etablir l égalité a.,, 8 ; Chiffre des unités Justification ; ; ; ; 0 ; l alternance,,,, va se poursuivre car : en multipliant un nombre dont le chiffre des unités est par, on obtient un nombre dont le chiffre des unités est ; en multipliant un nombre dont le chiffre des unités est par, on obtient un nombre dont le chiffre des unités est. Exercice 0 Produit et puissances a. Pour n ( n) 0 ( n) 000 n 0 n 0 ; b. pour n- ( n) 0 ( n) - 000 n 0 n -0. Exercice Rangement, ;, ; 0, 9, 9 ; 8 0, 00 ; 00 ; 0, ; 900, 9 ; 0, 0,. Rangement dans l ordre croissant : 00 ; 0, 0 ; 0, 9 ; ; 900 ; 8 0, 00 ; 0 ;. b.,, ; c. 9, ; d. 8,. Exercice Le sel des océans. km hm dam 9 m dm..a. 0 millions de km dm 9 dm. b. Masse de sel dissous dans les océans : 9 9 99 g. Exercice Bon voyage. Distance de la Terre au Soleil : km. Pour aller de la Terre au Soleil, le géant devrait faire : pas.. Pour aller de la Terre à Sirius, le géant devrait faire : 8 8 00 millions de pas. Hachette Livre International
Exercice Multiplication des bactéries a. Nombre de bactéries présentes, à partir d une seule bactérie initiale : au bout de 0 min :, au bout de 0 min ( fois 0 min) :, au bout d une heure ( fois 0 min) : 8, au bout de heures ( fois 0 min) : 09. b. Nombre de bactéries présentes, à partir de 0 bactéries initiales : après 0 min : 0 00, après deux heures ( fois 0 min) : 0 00. Exercice Recherche d exo planètes a. Distance entre la Terre et la planète Kepler -b : 9, km ; b. masse de la planète Kepler -b :, 98,, kg. Activités d intégration Exercice 9 Généalogie.a. Nombre de personnes figurant au niveau : b. Nombre de personnes figurant au niveau : c. Nombre de personnes figurant au niveau :. Nombres d arrières petits-enfants d Azah : Exercice 0 Du fer et des atomes ; au niveau : 8. ; au niveau :.. ; au niveau 8 : 8.. nombre d atomes dans un kilogramme de fer :,8 millions de milliards de milliards 9 9, 8, 8..a. Pour vérifier que la masse d un atome de fer est égale à 8 9 kg, Somen doit effectuer l opération :, ( 8) b. 8, 8., 0, 09 9 8 9. Conclusion : les deux informations (site internet et encyclopédie) sont presque identiques : 8 9 et 8 9..a., m, mm. b. Nombre d atomes qu il faudrait juxtaposer pour obtenir une longueur de mm :, ( ) Exercice Pays d Afrique, 0, 000 000. a. Superficie en écriture scientifique Bénin, 8 Cameroun, R.C.I.,, 8 Niger,, R.D.C,, Rwanda Gabon 00, Sénégal 9 Mali,, Togo, 8 Superficie en écriture scientifique,,,, 9, 8 b. Rangement des pays dans l ordre croissant des superficies : Rwanda, Togo, Bénin, Sénégal, Gabon, RCI, Cameroun, Mali, Niger et R.D.C. Hachette Livre International
Calcul littéral Activités de découverte Cours Méthodes et savoir-faire Application Bien comprendre Mieux rédiger Approfondissement Expression littérale [ p 8],,,, 8, 8, 8 88, 9, 8, 9 Apprendre à simplifier et évaluer une expression littérale [ p ],,,,,,, 8, 9,, Suppression des parenthèses [ p 8] 0,,,,,, Simple distributivité [ p 8], Forme développée, forme factorisée [ p 9] 8, 9, 0, 80 Réduire une expression littérale [ p 9], 8, 9, 0,,,,,,,, 8 89, 90, 9, 9, 9, 9, 9, 9 Apprendre à réduire des expressions littérales [ p ],,,,,, 8, 9, 0, Double distributivité [ p 9],,, 8, 9, 0,, Identités remarquables [ p 9],,,,, 8, 9 Apprendre à développer et à factoriser [ p ],,,,,, 8, 9, 0,,, *Les caractères gras signalent des pages ou des exercices de Méthodes et savoir-faire. 8, 8 8 Activités de découverte Pour démarrer Les containers.a. a, b et c représentent les longueurs des côtés du parallélépipède rectangle (plus précisément : a et b sont les longueur et largeur de sa base, c est la hauteur). A(bc+ca+ab) est l aire totale du parallélépipède rectangle, Vabc est le volume du parallélépipède rectangle. b. Formules laissant apparaître tous les signes : A (b c+c a+a b) et Va b c..a. Pour le container représenté sur la photo : a, ; b, et c,. b. Volume du container : V,,,8,0 m et A(,,+,,+,,),8 m². Suppression de parenthèses Partie A. Calculs permettant de déterminer la taille du bébé à deux ans : +(+) (à la taille à la naissance est ajouté le cumul des croissances des deux premières années), ++ (à la taille à la naissance est ajouté successivement la croissance de la e année puis celle de la e année).. Calculs permettant de déterminer la somme d argent qu il reste à Joseph après ses deux achats : 000-00-0 (au capital initial est enlevé successivement le montant du e achat puis celui du e achat), 000-(00+0) (au capital initial est enlevé le cumul des montants des deux achats). Partie B. a+b+ca+(b+c) et a-b-ca-(b+c).. Pour a, b et c : a+b-c, a-b+c-, a+(b-c), a-(b-c)- ; pour a, b et c : a+b-c, a-b+c, a+(b-c), a-(b-c). Constats : a+b-ca+(b-c) a-b+ca-(b-c). 8 Hachette Livre International