Séquence 5. La fonction logarithme népérien

Séquence 5 La fonction logarithme népérien Sommaire. Pré-requis. Définition et propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien 3. Étude de la fonction logarithme népérien 4. Compléments 5. Synthèse Dans cette séquence, on introduit une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien. Comme la fonction eponentielle à laquelle elle est liée, c est une fonction essentielle en mathématiques et, par ses nombreuses applications biologiques et économiques, elle a aussi un rôle important dans la vie quotidienne. Séquence 5 MA

Pré-requis A Généralités sur les fonctions Dans cette séquence, plusieurs notions sur les fonctions doivent être connues.. Limites Limites des fonctions de référence (fonctions carré, cube, racine, et leurs inverses) au bornes de leurs ensembles de définition. Règles opératoires et formes indéterminées. Composition. Limites et inégalités : théorèmes de comparaison et compatibilité avec l ordre.. Continuité Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire dans le cas d une fonction strictement monotone. 3. Dérivation Définition de la dérivabilité en un point. Dérivées des fonctions de référence. Opérations. Liens entre le sens de variation d une fonction sur un intervalle I et le signe de sa dérivée sur I. B Fonction eponentielle Le cours sur la fonction eponentielle doit être connu. Voici un eercice-test concernant les principau résultats. Séquence 5 MA 3

Eercice Vrai/Fau Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le cas où elle est fausse, proposez une modification qui la rende vraie. a. La fonction définie sur ] ; + [ parf( )= e est à valeurs dans R + et transforme une somme en un produit. b. L équation ep( ) = admet une unique solution strictement positive. c. La dérivée de la fonction eponentielle est strictement croissante sur d. La fonction eponentielle est dérivable sur R donc continue sur R. ;. e. La dérivée de la fonction f : e est telle que f'( ) = e donc f est une fonction strictement croissante sur R ; par conséquent, il eiste un seul nombre réel tel quef( ) =. f. Pour tout ] ; [, e e =. 3 3 3 + 3 g. On a e e =. h. Sur ; +, la dérivée de la fonction f : e est f ' : e. i. Une équation de la tangente à la courbe de la fonction eponentielle au point d abscisse est y = e ( ). j. Le tableau de variation de la fonction eponentielle est : + ep ( ) + ep() + Solution a. Vrai. On peut aussi définir la fonction f sur R tout entier. b.fau. Pour tout réel, e > donc l équation e = n a pas de solution dans R. c. Vrai. La dérivée de la fonction eponentielle est la fonction eponentielle ellemême, qui est bien strictement croissante sur R, donc sur ; aussi. d. Vrai. Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La fonction eponentielle qui est dérivable sur R (par définition) n échappe pas à cette règle. e. Vrai. On peut même ajouter que =. f. Vrai. L égalité ee = est même vraie pour tout réel. 3 3 3 3 9 g. Vrai. En effet, on calcule séparément e e e = =, 3 + 3 3 + 6 9 puis e = e = e. 4 Séquence 5 MA

Toutefois, dans le cas général de nombres réels et y quelconques, on a : e y + y ( ) e sauf dans les cas «eceptionnels» où y = + y (comme ici, où = 3 et y = 3 on vérifie que y y + = 9 = ). h. Fau. En posant u( )= sur ; + u ( ), on a f'( ) = u'( ) e = e. i. Vrai. En effet, on sait qu une équation de la tangente à la courbe de la fonction eponentielle au point d abscisse est y = ep'( )( ) + ep( ) = e ( ) + e = e ( ). j. Fau. Il suffit d échanger les valeurs et données pour et ep( ) pour corriger l erreur. Précisément, le tableau de variations de la fonction eponentielle est : + ep ( ) + + ep() C Symétrie par rapport à la droite d équation y = Propriété Soient a et b deu nombres réels. Dans un repère orthonormé ( O;i, j), les points M( a; b) et N( b; a) sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. Démonstration a b j O i N b I M a y = Il suffit de montrer que le milieu I du segment [ MN] appartient à la droite et que les droites et (MN) sont perpendiculaires. Les coordonnées du point I sont a+ b b+ a ; donc le point I appartient bien à la droite d équation y =. Montrons que les droites sont perpendiculaires en utilisant le produit scalaire. Séquence 5 MA 5

On a MN( b a ; a b ) et le vecteurv ( ; ) est un vecteur directeur de la droite. Comme MN v = ( b a) + ( a b) = les deu droites sont bien perpendiculaires. D Logique : contraposée On appelle «proposition» un énoncé qui peut être vrai ou fau. Quand une proposition est de la forme «si alors», on dit qu il s agit d une proposition conditionnelle. Quand on sait qu une proposition est vraie, on l appelle «propriété». Définition Soit A et B deu propositions, on considère la proposition «A implique B» c est-à-dire «si A est vraie alors B est vraie». On note nona la négation (la proposition contraire) de A et nonb la négation de B. La proposition contraposée de est «nonb implique nona» c est-à-dire «si B est fausse alors A est fausse». Propriété Une proposition conditionnelle et sa contraposée sont vraies en même temps : si l une est vraie, l autre est vraie aussi. Elles sont donc toutes les deu vraies ou toutes les deu fausses. 6 Séquence 5 MA

Définition A et propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien Objectifs du chapitre On définit ici la fonction logarithme népérien, une des fonctions essentielles des mathématiques. On étudie ses propriétés algébriques, c est-à-dire les propriétés de la fonction logarithme népérien lorsqu on utilise les opérations +,,,. On étudie aussi des équations et des inéquations où la fonction logarithme népérien intervient. Début du premier chapitre du livre de Neper : Mirifici Logarithnorum Canonis Descriptio - 64. B Activité 3 Pour débuter Un peu d histoire Au début du di-septième siècle, le besoin de faire beaucoup de calculs (en astronomie, navigation, économie (où on est amené à chercher n (k étant donné) n t dans des relations de la forme + = k pour connaître l évolution de placements d argent à intérêts composés) pousse à chercher des moyens pour faciliter ces calculs, notamment les multiplications et les puissances. Séquence 5 MA 7

L idée de remplacer les produits par des sommes commence à circuler. Une technique est connue par les astronomes arabes au X e siècle, basée sur la trigonométrie. L eemple ci-dessous utilisant la formule sinα sinβ= ( cos( α β) cos( α+ β) ) est proposé par Jean-Pierre Friedelmeyer dans Histoires de logarithmes, Commission Inter-Irem d Epistémologie et d histoire des Mathématiques. Voici un eemple de calcul. Soit à multiplier A = 5, 879 et B = 7, 343. n n On pose AB = ab = sinα sin β avec a = sinα et b = sin β; avec une table trigonométrique à si chiffres, cela donne n = 5 ; a =, 5879 ; b =, 7343. Donc : = 3 35 = 58 Cos ( ) =,947676 Cos ( + ) =,736687 = 8 37 + = 4 33 différence,989 sin.sin =,5494 D où. = 549,4 Les mathématiciens, les utilisateurs de calculs, avaient observé depuis longtemps le rapport entre les suites géométriques et arithmétiques : dans une suite géométrique, les eposants forment une suite arithmétique. Pour faire des multiplications il suffit de faire des sommes sur les eposants d après la relation n n' n+ n' a a = a. Voici l eemple de la suite géométrique de terme général, n et de la suite arithmétique de terme général n. Table de valeurs n, n,,,33,464,65,7756,9487,4359,35795,59374,853 3,3843 3,457 3,7975 4,775 4,59497 n 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Les valeurs indiquées dans la première ligne du tableau sont des valeurs approchées à partir de la siième valeur. Montrons comment on peut faire des calculs avec cette table de valeurs en donnant l eemple d une multiplication et d une puissance : 4 5 9, 464, 65, 35795 car il s agit de,, =,. Au lieu de multiplier les deu nombres décimau, on a ajouté les eposants 4+ 5= 9, et on a lu dans la première ligne de la table la valeur correspondant à la valeur 9 de la deuième ligne., n,,,33,464,65,7756,9487,4359,35795,59374,853 3,3843 3,457 3,7975 4,775 4,59497 n 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 + résultat 8 Séquence 5 MA

3, 464 3, 38433 car 464 3 4 3 3, = (, ) =, 4 =, 3, 38433. Elever au cube correspond à multiplier entre eu trois nombres égau, on ajoute donc 3 nombres égau de la deuième ligne, ce qui correspond à une multiplication par 3., n,,,33,464,65,7756,9487,4359,35795,59374,853 3,3843 3,457 3,7975 4,775 4,59497 n 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Sur la première ligne de la table de valeurs n sont indiquées les puissances de,. Mais bien sûr ce qui est intéressant c est d avoir des valeurs quelconques sur cette première ligne. On propose ci-dessous une table de valeurs plus complète où les valeurs de sont données avec un pas égal à,, la fonction f est continue, strictement croissante sur R telle que l égalité f( a b) = fa ( ) + fb ( ) est + toujours vraie. On epliquera dans le chapitre 4 comment est fabriquée cette fonction. Les valeurs de la première table s intercalent dans cette deuième table comme on le voit avec les deu premières valeurs et l avant dernière qui donne f( ) = 5,. Table de valeurs n,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6 f(),93,753 3,353 4,54 4,93 5,567 6,67 6,734 7,73 7,784 8,73 8,739 9,85 9,64,5,7,8,9 3 3, 3, 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4, 4,775 4, f(),4,83,7,57,87,4,57,84 3,44 3,44 3,77 4,7 4,79 4,545 4,84 5, 5,57 Les valeurs données pour f( ) sont des valeurs approchées. Vérifier la formule f( a b) = fa ( ) + fb ( ) avec a = et b = 5, ; avec a = 4, et b = 3 ; avec a = 8, et b =,. Imaginez que votre calculatrice est en panne ou que vous êtes au lycée (ou ingénieur, astronome ) avant 98 et que vous ne savez plus multiplier «à la main» les nombres décimau ou que vous cherchez un moyen de calcul plus simple que la multiplication. En utilisant cette table de valeurs donner une valeur approchée de 9,, ;, 6, 7, ; 9, ;, 5 ;, 3 5,. Conjecturer un moyen pour calculer un quotient a et proposer une valeur b approchée de 4,. 3, Conjecturer un moyen pour déterminer une racine carrée a et proposer une valeur approchée de 7,. Séquence 5 MA 9

Les logarithmes apparaissent en 64 quand l écossais John Neper publie son livre Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Les logarithmes crées par Neper ne sont pas tout à fait les logarithmes que nous nommons aujourd hui logarithme népériens en son honneur mais ils en sont très proches. On peut essayer de s imaginer la vie en Ecosse en 64 et, pour essayer d apprécier l apport de cette invention, penser qu en mathématiques les notions de fonction, dérivée, eponentielle étaient inconnues et que, en pratique, même l écriture des nombres décimau était très récente et pas encore fiée avant Neper. (On utilisait, par eemple, des fractions au lieu décrire des chiffres à droite de la virgule. L écriture positionnelle des décimau est décrite par le flamand Simon Stevin en 586 seulement dans les 7 pages de son livre La Dîme.) Une des avancées de Neper est d avoir pensé et utilisé un eposant qui n est pas un entier mais qui est une variable réelle puisqu il a interprété l eposant comme une quantité liée au temps, les deu suites, arithmétique et géométrique, qu il a utilisées correspondant à des distances parcourues par des points mobiles. Bien sûr nous en ferons ici une présentation moderne. C Cours. Définitions Définition Une fonction f définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J est appelée bijection de I dans J si tout réel b de l intervalle J admet un et un seul antécédent a dans I par f, b = f( a). Eemple La fonction carré est une bijection de ; + dans ; + car, pour tout nombre b de ; + il eiste un et un seul nombre a dans ; + tel que a = b (ce nombre est noté b ). La fonction carré n est pas une bijection de R dans ; + car, pour tout nombre b de ; +, il eiste, dans R, deu nombres solutions de l équation = b, ce sont b et b. Définition Soit f une bijection de l intervalle I dans l intervalle J. On appelle bijection réciproque de f la fonction g définie sur l intervalle J et à valeurs dans l intervalle I telle que a= g( b) si et seulement si b = f( a). Séquence 5 MA

Eemple Remarque La fonction carré étant une bijection de ; + dans ; +, elle a une fonction réciproque, c est la fonction racine carrée. Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction racine est la courbe symétrique de la courbe de la fonction carré racine définie sur ; + par rapport à la droite d équation y =. D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction eponentielle étant définie, continue et strictement croissante sur R, les limites étant lim e = et lim e =+, tout réel b de l intervalle ; + + admet un et a un seul antécédent a dans R par la fonction eponentielle, b = e. La fonction eponentielle est donc une bijection de R dans ; +. carré a = b b = a Définition 3 La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction eponentielle. R ep : ; + ep ln : ; + R a a e = b a = lnb b = ea b lnb= a ln Conséquence La fonction ln est une bijection de ; + vers R. Propriété ( ) = Pour tout a de R, ln e a a. Pour tout b de ; +, e ln b = b. a = lnb = lne a ep ln b = ea = elnb Notation L image de par la fonction logarithme népérien se note traditionnellement ln. Des parenthèses sont indispensables si la fonction logarithme népérien s applique à une somme ou un produit : ln( + 3 ) ou ln( ) ; elles sont parfois 3 omises dans le cas des quotients : ln. L usage des calculatrices amène à utiliser davantage l écriture ln( ), cette écriture étant plus cohérente avec f( ). Ces notations sont analogues à celles rencontrées en trigonométrie. Séquence 5 MA

Propriété Pour tout réel a strictement positif et tout réel b quelconque : b b = ln a a= e. Démonstration C est une conséquence directe de la définition ce qui est illustré par le schéma. Valeurs particulières ln= lne = ln ln e = ln = ep e = e ln e = ep Propriété 3 La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ; +. Démonstration Soit a et b deu réels strictement positifs. Pour justifier que la proposition «si a< b alors ln a< ln b» est vraie, on utilise la proposition contraposée «si lna lnb ln a ln b alors a b» qui peut aussi s écrire «si ln a ln b alors e e» d après la propriété. Comme la fonction eponentielle est croissante sur R, lna lnb l implication «si ln a ln b alors e e» est vraie, donc la contraposée de est vraie, donc est vraie. somme ep. Propriétés algébriques produit Rappelons la relation fonctionnelle de l eponentielle : pour tous réels a et b, ep( a+ b) = ep( a) ep( b). Ce qui signifie que l image d une somme par la fonction eponentielle est un produit d eponentielles. La fonction eponentielle transforme les sommes en produits. Séquence 5 MA

somme ep produit On peut donc penser que, pour le logarithme népérien qui est la fonction réciproque de la fonction eponentielle, la propriété correspondante est vérifiée : l image d un produit par la fonction logarithme est une somme de logarithmes. La fonction logarithme népérien transforme les produits en sommes. ln Théorème ( ) = + Pour tous réels a et b dans ; +, ln a b lna ln b. Cette égalité est appelée «relation fonctionnelle de la fonction logarithme népérien». On retiendra que la fonction logarithme transforme les produits en somme. Démonstration Pour montrer que ces deu nombres sont égau, il suffit de montrer que leurs y eponentielles sont égales car pour tous réels et y, = y e = e. ( ) = et aussi e lna+ lnb e lna e lnb = = a b. L égalité du théo- On a e ln a b a b rème est donc bien prouvée. Comme pour la fonction eponentielle, on déduit de ce théorème d autres égalités pour les inverses, les quotients, les puissances, les racines carrées. Propriété 4 Pour tous réels a et b dans ; + et n dans Z : b ln lna a = ; ln lnb lna a = ; ( ) ( ) = n ln a = nlna ; ln a ln a. Démonstration Pour tout réel a dans ; + : a = donc ln a ln, a a = soit lna + ln. a = Donc ln ln a. a = Séquence 5 MA 3

Pour tous réels a et b dans ; + : b ln ln b lnb ln lnb ln a. a = a = + a = Soit un réel a dans ; +. Démontrons par récurrence que pour tout n ( ) = dans N n on a : ln a nln a. Initialisation : l égalité est vraie pour n =. Hérédité : soit k un entier naturel, k, pour lequel on suppose ( ) ( ) ( ) ( ) = = + ( ) k que ln a = k ln a. On a alors ln a k+ ln a k a ln a k ln a d après la propriété du théorème sur le logarithme du produit de deu k+ k nombres. Et donc ln a ln a ln a klna ln a ( k ) ln a. La ( ) = ( ) + ( ) = + = + propriété est donc héréditaire. Conclusion : pour tout n dans N n on a : ln( a ) = nln a. Pour n = : ln a ln ln a. ( ) = = = Considérons un entier strictement négatif et écrivons-le n (alors n est dans N ), n n on a : ln( a ) = ln ln a nln a ( n) ln a. n ( ) a = = ( ) = L égalité est donc prouvée pour tout entier n dans Z. ( ) = Pour tout réel a dans ; + : a a = a donc ln a a ln a, ( ) = soit ln a + ln a = ln a = ln a. Donc ln a ln a. Eemple 3 Eprimer les nombres suivants à l aide de ln et de ln 3 : 9 ln 4, ln( 4), ln 36, ln( 6), ln, ln 6 8. 3 Solutions On a : ln4= ln( ) = ln ; 4 ln( 4) = ln6= ln( ) = 4ln ; ln36 = ln( 4 9) = ln4+ ln9= ln( ) + ln( 3 ) = ln+ ln 3; + ln( 6) = = = 6 ln ln 3 ln ln( 3) ; 4 Séquence 5 MA

Remarque 9 3 ln ln9 ln8 ln( 3 ) ln( ) ln3 3ln ; 8 = = = ln 6 4 = 6 + 3 ln ln = ln( ) + ln 3 3 = ln ln3 4ln+ 9 = ln ln 3. ( ) Dans le calcul de ln( 4) on n a pas pu utiliser la propriété sur ln a n car cette propriété ne peut s appliquer que si a est strictement positif ce qui n est pas le cas de 4. 3. Équations, inéquations a) Équations Propriété 5 Pour tous réels a et b strictement positifs, on a : lna= ln b a= b. Démonstration Cette équivalence est la traduction du mot «bijection». La fonction ln est une bijection de ; + dans R, donc deu nombres différents ne peuvent pas avoir la même image par la fonction ln, d où l implication lna= ln b a= b. L implication réciproque et vraie, bien sûr, donc l équivalence lna= lnb a= b est prouvée. Remarque L utilisation simultanée de la fonction ln et de la fonction eponentielle, bijections réciproques l une de l autre, permet de résoudre des équations où il n y a qu un seul logarithme ou qu une seule eponentielle. L application de la fonction ln fait disparaître l eponentielle et l application de la fonction eponentielle fait disparaître le logarithme comme on l a vu dans la propriété. Propriété 6 Pour tout réel k, l équation ln = k admet une unique solution dans ; + k : = e. k ln = k =e. Si k > l équation e = k admet une unique solution dans R : = ln k. e = k =ln k. Si k, l équation e = k n admet aucune solution dans R. Séquence 5 MA 5

Démonstration Eemple 4 Solution En appliquant la fonction eponentielle au deu termes de l epression ln ln = k on obtient : ln = k e = e k = e k. De même e = k lne = lnk = ln k. ( ) ( + ) = Pour quelles valeurs de, ln + ( ) est-il défini? Résoudre dans R l équation : ln ( ) ln 3. ( ) ( = e ) = Résoudre dans R l équation : ln + 7. Résoudre dans R l équation : e +. ( ) Le nombre ln + ( ) est défini si et seulement si : ( + ) >. Le trinôme du second degré (+) est négatif si et seulement si est compris entre les deu racines et. ( ) Ainsi ln + ( ) est défini si et seulement si : D avec D = ; ; +. La fonction ln étant bijective, on a pour D : ( ) = + = + = ln ( + ) ln 3 ( ) 3 3. Résolvons cette équation du second degré. On a : = 4 ( 3) = =. Il y a donc deu solutions : = + = 5 et = = 6. Ces deu réels sont éléments de D donc l ensemble des solutions de l équation ln + ( ) ln3 est : S = 6 ; 5. ( ) = { } ( ) ( ) = + = e 7 = e 7 Pour tout réel, + est strictement positif et ln + eiste. Donc, pour tout réel, on a : ln + 7. 7 La fonction eponentielle étant strictement croissante, on a e > e donc e 7 > et : ln ( +) = 7 = e 7 ou = e 7. 7 7 S = e ; e. La fonction eponentielle est définie sur R. Donc, pour tout réel, on a : X e X e e ( e + ) = = = = X e X( X+ ) = X + X = X = 4 ou X = 3 (en résolvant l équation du second degré). Ainsi : e ( e + ) = e = 4 oue = 3 e = 3 car la fonction eponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Et donc : e e + = = ln3. ( ) S = { ln 3 }. 6 Séquence 5 MA

b) Inéquations Propriété 7 Pour tous réels a et b strictement positifs : ln a< ln b a< b. Démonstration La fonction logarithme est strictement croissante sur ; + (propriété 4), donc a< b ln a< ln b. L implication réciproque ln a< ln b a< b est vraie car sa contraposée, a b ln a ln b, est vraie d après le sens de variation de la fonction ln. Remarque On a bien sûr aussi une équivalence avec des inégalités larges ln a ln b a b. Nous pouvons aussi préciser maintenant des équivalences sur des inégalités mettant en jeu des logarithmes et des eponentielles Propriété 8 k a) Pour tout réel k et tout réel strictement positif : ln < k <e. b) Pour tout réel λ strictement positif et pour tout réel : e < λ < ln λ. Démonstration Remarque Cas particulier a) Pour démontrer cette équivalence, on peut utiliser ce qui précède en écrivant k k k k = ln e. On obtient l équivalence ln < lne < e qui est vrai d après la propriété 7. λ b) En posant λ = e ln lnλ, l équivalence à prouver devient e < e < ln λ ce qui est vrai d après les propriétés de l eponentielle. Chaque implication peut aussi se prouver en utilisant la réciprocité des fonctions ep et ln ainsi que leur stricte croissance sur leur ensemble de définition. Par eemple l implication «pour tout réel k et tout réel strictement positif k ln < k <e» est justifiée par le fait que, la fonction eponentielle étant ln k strictement croissante sur R, on a : ln < k e < e et, comme e ln =, k on obtient bien : ln < k <e. On a : ln < < e soit ln < <. De même : ln > > e soit ln > >. On connaît ainsi le signe de ln suivant les valeurs de. + Signe de ln négatif positif Séquence 5 MA 7

Eemple 5 Solution Eemple 6 Solution Résoudre dans R les inéquations : ln( 3 ) + >. ln( ) + ln( + ) ln 3. Dans chaque cas, il faut d abord chercher quel est l ensemble D des valeurs de pour lesquelles le logarithme eiste. On termine en ne prenant, parmi les valeurs susceptibles de convenir, que les valeurs de qui sont dans cet ensemble D. Le réel ln( 3 ) est défini si et seulement si 3 >, soit < 3. Le domaine d étude de l inéquation est donc : D = ; 3. On a : ln( 3 ) + > ln( 3 ) > 3 > e (la fonction ln étant strictement croissante sur R +* ). Ainsi : ln( 3 ) + > < 3 e. Comme 3 e < 3 on conclut : S = ; 3 e. Le réel ln( ) + ln( + ) est défini si et seulement si : > et + >, soit >. Le domaine d étude de l inéquation est donc : D = ; +. Pour tout de D on a : ln( ) + ln( + ) ln 3 ln ( )( + ) ln 3 3 ( ) (la fonction ln étant strictement croissante sur R +* ). Ainsi : ln( ) + ln( + ) ln 3 4. Le trinôme du second degré 4 est négatif entre ses racines et et positif à l etérieur des racines. Mais doit être dans D, donc on en déduit que l ensemble des solutions de ln( ) + ln( + ) ln 3 est ;. Dans une copie d eamen, il est conseillé de rappeler, au moins une fois, que la fonction ln est strictement croissante sur R +*, car c est cette propriété qui prouve les équivalences. Trouver le plus petit entier naturel n tel que : n > 5. n Trouver le plus petit entier naturel n tel que : 5, < 6. Les logarithmes ont été inventés pour simplifier les calculs avec des produits! On va remplacer chaque inéquation par l inéquation équivalente sur les logarithmes. n 5 5 ln 5 ln On a > nln > 5 ln n>. Comme 49, 83 ln ln on peut en déduire que le plus petit entier n qui convient est égal à 5. (Pour trouver 5, on peut aussi afficher les valeurs successives de n, mais il faut apprendre à penser au logarithmes dès qu il y a des produits (donc aussi des puissances) à manipuler). n 6 6ln On a 5, < nln 5, < 6ln n > (attention au sens de ln 5, la dernière inégalité : ln 5, est négatif). 8 Séquence 5 MA

6ln Comme 9, 93 on peut en déduire que le plus petit entier n qui ln 5, convient est égal à. On trouvera ce type d inéquation dans des eercices de probabilité. Par eemple, l inéquation 5, n < 6 que l on vient de résoudre correspond à la recherche des entiers n tels que, lors de n lancers successifs d une pièce non truquée, la probabilité d obtenir n fois Pile est inférieure à un millionième. D Eercice Eercice Eercice 3 Eercice 4 Eercice 5 Eercice 6 Eercices d apprentissage Eprimer à l aide de ln ou de ln 3 (ou des deu) les nombres suivants : 4 ln 6; ln 6; ln 4; ln (( 3) ) ; ln 54; ln ; ln( 36 ) 7 ; ln 9 8. Eprimer à l aide de ln 3, les nombres suivants : ln 63 ln 7 ; ln( 7 3) ; ln ln 49. Simplifier les écritures suivantes : C= 5ln D = + 4 3 ln 3 ; ln 4 5 ln 5 3 + ln 3 4. Simplifier : ln6 ln3 ln4 ln ln ln + ln E= e ; F= e 8 4 3 3 ; G= e ; H= e ; I = ln e. 5 Vrai / Fau, à chercher sans calculatrice. a) ln < < ln 3. b) Dans R, l ensemble des solutions de l inéquation ln 5, ln est S = ;. 5 7 c) Si = e e alors ln = 35. d) Si a= ln ln 4, 9 et b= ln 5, alors a< b. Résoudre dans R les équations : ln( 5 + ) = ln 3 ; ln( + ) = ; ln( 3 + 5, ) = ; e 3 =. Eercice 7 Résoudre dans R les équations suivantes : ln( + 3) + ln( + ) = ln( + ) ; ln( + 5 + 6) = ln( + ) ; ln ln 3. ( ) + = Séquence 5 MA 9

Eercice 8 Résoudre dans R les inéquations : ln > ln 3 ; ln( + ) ln 3 ; ln ; e 6 e ln( ). Eercice 9 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : e 5e + 4= ; 4+ 3 e e = ; e 3 e e e. Eercice n On sait que lim =+ (suite géométrique de raison strictement supérieure à ). Ceci signifie qu on peut rendre n aussi grand qu on veut pourvu n + que n soit assez grand. Déterminer le plus petit entier n pour lequel n 3 5. n On sait que lim 9, = (suite géométrique de raison positive et strictement inférieure à ). Ceci signifie qu on peut rendre 9, aussi petit qu on n + n veut pourvu que n soit assez grand. n Déterminer le plus petit entier n pour lequel 9,,. Séquence 5 MA

3 Étude A de la fonction logarithme népérien Objectifs du chapitre Nous étudions ici les propriétés de la fonction logarithme népérien : sens de variation, limites, courbe représentative, ainsi que des compléments sur les équations, les inéquations et les fonctions composées. B Activité Activité 3 Pour débuter Afficher les courbes de la fonction ln et de la fonction ep sur la calculatrice. Qu observe-ton? Quelles sont les propriétés de la fonction ln que l on peut conjecturer? ln( ) On considère la fonction f définie sur ; + par f( ) = e. Déterminer f'( ) de deu façons différentes. En déduire l epression de ln ( ). C Cours. Courbe de la fonction ln Propriété 9 Les courbes ln et ep, représentant respectivement la fonction logarithme népérien et la fonction eponentielle dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. Démonstration Les points M a; b d équation y =. ( ) et N( b; a) sont symétriques par rapport à la droite Séquence 5 MA

Lorsque b = ln a, le point M a;lna b b a en même temps a = e, le point N b ; e ( ) appartient à la courbe ln et, comme on ( ) appartient à la courbe ep, ces deu courbes sont donc bien symétriques par rapport à la droite. a = eb N e b = lna j O i b = lna e a M ln. Fonction dérivée de la fonction ln. Remarque La courbe ep représentative de la fonction eponentielle admet en tout point une tangente (non horizontale), la courbe ln représentative de la fonction logarithme népérien (symétrique de ep par rapport à la droite d équation y = ) admet donc en tout point une tangente (non verticale). Ceci permet de conjecturer que la fonction ln est dérivable sur ; +. De plus la tangente à la courbe ep au point d abscisse a pour coefficient directeur ep'( ) =, cette tangente est donc parallèle à la droite. Par symétrie par rapport à la droite on trouve que la courbe ln admet une tangente au point d abscisse et que le coefficient directeur de cette tangente est égal à. Dans ce qui suit, on admet que la fonction ln est dérivable en et que ln'( ) =. Démonstration Théorème On a admis que ln'( ) =, c est-à-dire que : La fonction ln est dérivable sur ; + et, pour tout réel lim ln( + h ) ln ln( + h) =, soit lim =. strictement positif, on a : h h h h Soit a un réel strictement positif. Le tau d accroissement ln'( ) =. en a est donc ln( a+ h ) ln a, h étant un nombre réel tel h que a+ h soit strictement positif. a+ h h h On a ln( ) ln ln ln ln a+ h a a + a + a = = =. h h h a h a Séquence 5 MA

Remarque Remarque On a transformé suffisamment pour reconnaître une quantité qui ressemble ln( a h a à celle dont on a admis la limite. La fonction h + ) ln est donc h h la composée de la fonction h et de la fonction H a ln( + H ). or a H h lim h a = et lim ln( + H ) =, donc, en composant avec H = h, on obtient : H H a lim ln( a+ h ) ln a lim ln( H ) h h = + ah H = a. Ce qui précède prouve que la fonction ln est dérivable en a et que ln'( a) =, le théorème est donc démontré. a Ici, on a admis que la fonction ln est dérivable en et la valeur du nombre dérivé avec ln'( ) = ; dans l activité 3, on a construit une autre démonstration en admettant que la fonction ln est dérivable sur R + mais sans préciser de valeur. Les points de vue sont différents suivant les manuels que vous pouvez consulter. Il est possible aussi d étudier la dérivabilité de la fonction ln sans rien admettre de particulier concernant la fonction ln, mais c est alors plus difficile. Le signe de ln'( ) qui vaut étant toujours positif sur ;, + on retrouve que la fonction ln est strictement croissante sur ; +. 3. Limites au bornes de ] ; + [ On a : lim =+ e et lim. + e = Les courbes ep et ln étant symétriques par rapport à la droite d équation y =, on peut conjecturer les limites de la fonction ln au bornes de ; +. Propriété On a : lim ln =+ et lim ln =. + > Eemple 7 L ae des ordonnées est donc asymptote à la courbe (cela se déduit, par symétrie, du fait que l ae des abscisses est asymptote en à la courbe représentative de la fonction eponentielle). Une démonstration de ces résultats utilisant les propriétés algébriques et le sens de variation de la fonction ln est proposée cidessous sous forme d eercice corrigé. n Montrer que lim ln ( ) =+. n + En déduire que : lim ln =+ (on reviendra à la définition d une limite). + En déduire que : lim ln =. > Séquence 5 MA 3

Solution ( ) n Pour tout entier naturel n : ln = nln. Le nombre ln est strictement positif car, la fonction ln étant strictement croissante sur ; +, on a ln > ln. La suite arithmétique de terme général nln diverge donc n vers + donc lim ln ( ) =+. n + Considérons un intervalle I = A ; +. Cet intervalle I contient tous les termes de la suite ln( n ) à partir d un certain rang n. La fonction ln n étant croissante sur ; +, pour tout n, on a ln > ln A. > n Ainsi I contient toutes les valeurs ln pour assez grand ( ). Cela est vrai pour tout intervalle I de la forme I = A ; +, cela signifie que : lim ln =+. + Pour montrer que lim ln =, on utilise l égalité ln = ln. > La fonction ln est la composée de et de X ln X. Or lim =+ et lim ln X =, donc, par composition avec X =, X + > on obtient : lim ln = lim ln lim lnx = =. X + > > 4. Tableau de variation et courbe Le tableau de variation résume les résultats précédents, on a indiqué deu valeurs remarquables. e + ln'( ) = + + + + ln On observe que l ae des ordonnées est une asymptote à la courbe de la fonction ln. Il faut mémoriser parfaitement la courbe de la fonction ln. 4 Séquence 5 MA

ln j O i e T e Eemple 8 Solution j O i Tracer la courbe représentative de la fonction ln avec ses tangentes au points d abscisses et e. On peut obtenir ces tangentes par symétrie à partir des tangentes à la courbe représentative de la fonction eponentielle. ln e On peut aussi chercher les équations réduites. Tangente au point d abscisse : y = ln'( )( ) +, soit y =. Tangente au point d abscisse e : y = + = e ln'( e)( e) +, e soit y =. e T 5. Autres limites Démonstration C est une forme indéterminée, pour l étudier on peut faire Propriété apparaître une eponentielle pour utiliser une limite connue. Comme ln ln =, la fonction ln est la composée de ln et de X. Or lim ln =+ On a : lim ln =. ln ln + e e X e X + X X e et lim = (car lim =+ ), donc, par composition avec X = ln, on obtient : lim ln X + X e X + X lim ln X = = lim =. + + ln X + X e e Remarque Cela signifie qu en + la fonction ln «tend vers +» moins vite que la fonction. Séquence 5 MA 5

Propriété Démonstration C est encore une forme indéterminée. On se ramène au cas précédent en utilisant le logarithme de l inverse. On a : lim ln =. > ln Comme ln = ln, = la fonction ln est la composée de X et de X ln. Or lim =+ et X Eemple 9 Solution > ln X lim, X + X = donc, par composition avec X =, on obtient : lnx lim ln = lim =. X + X > Démontrer que lim ln = ; lim ln =. > > Comme pour tout strictement positif on a ln = ln, il ne s agit pas d une forme indéterminée car on reconnaît le produit de deu quantités qui tendent vers quand tend vers, donc lim ln =. > Mais pour ln c est différent. On peut transformer le logarithme pour qu il porte sur la racine carrée ce qui permet ensuite d utiliser la propriété. Rappel À savoir Pour tout réel strictement positif, on a : ln = ln ( ) = ln. La fonction ln est la composée de et de X Xln X. Or lim > = et lim Xln X =, donc, en composant par X =, on X X > obtient : lim ln = lim Xln X =. X > X> On a admis que ln'( ) =, soit lim ln( + h ) =. h h Dans les études d une limite où intervient un logarithme ln, on utilise les limites du cours en observant le comportement de pour bien savoir quelle limite utiliser. tend vers + Limites du cours à connaître lim ln = > lim ln = > lim ln( + h ) = h h lim ln = lim ln =+ + lim ln = + 6 Séquence 5 MA

Remarque > On peut retenir les deu limites lim ln = et lim ln = en remar- + quant que, pour ces deu formes indéterminées, c est «qui l emporte sur le logarithme en et en +». 6. Fonctions composées lnu Propriété 3 Une fonction composée de la forme lnu (qui s écrit aussi ln u ) est définie lorsque la fonction u est à valeurs strictement positives : u( ) >. Limites Les limites s obtiennent en appliquant les règles de composition. ( ), on utilise Dans les études d une limite où intervient un logarithme ln u ( ) les limites du cours en observant le comportement de la quantité u( ) dont on prend le logarithme pour bien savoir quelle limite connue on peut utiliser. Propriété 4 Soit u une fonction définie et à valeurs strictement positives sur un intervalle I. La fonction composée ln u, définie sur I, possède les mêmes variations sur I que la fonction u. Démonstration Elle est analogue à celle qui a été faite pour la fonction composée ep u car la fonction ln est strictement croissante sur son ensemble de définition. On peut donc connaître les variations de la fonction lnu sans utiliser la fonction dérivée. Mais si on a besoin de la fonction dérivée la propriété suivante permet de la déterminer. Propriété 5 Soit u une fonction définie, dérivable et à valeurs strictement positives sur un intervalle I. La fonction composée ln u, définie sur I, est aussi dérivable u' sur I et on a : (ln u )' =, c est-à-dire que, si la fonction f est définie sur I u par f( ) = ln ( u( ) ), alors la fonction f est dérivable sur I et, pour tout de u I, f'( ) = '( ) u ( ). Séquence 5 MA 7

Démonstration Eemple Solution On admettra que la fonction composée ln u, définie sur I, est aussi dérivable sur I lorsque la fonction u est définie, dérivable et à valeurs strictement positives sur I. u' Montrons alors ici que (ln u )' =. u u u Pour tout élément de l intervalle I, on peut écrire u ( ) = e ln( ( )) = e (ln )( ). On sait que la fonction e v est dérivable sur I si v est dérivable sur I et v v que ( e )' = v ' e. On applique ce résultat à la fonction v = ln u et on obtient (ln u)( ) u'( ) = (ln u)'( ) e, soit u'( ) = (ln u)'( ) u( ). Comme u( ) ne s annule pas, on en déduit la relation annoncée : (ln u '( ) )'( u ) = u ( ). ( ) Soit f la fonction définie sur R par f( ) = ln +. Etudier la dérivabilité de la fonction f. On écrit f = ln u, la fonction u étant la fonction définie sur R par u( ) = +. Comme u est une fonction polynôme, u est dérivable sur R, u est à valeurs strictement positives, et donc, d après la propriété précédente, la fonction f est dérivable sur R et f'( ) =. + On a ici complètement détaillé l application de la propriété, dans la pratique on pourra abréger la rédaction. D Eercice Eercices d apprentissage Déterminer les limites suivantes : lim ( ln ) ; lim ( ln ) ; lim ln ; + + + > lim ; lim ln + ln ( e + ) ; lim ln( e + ) ; + > lim ln ; lim ln. + + e Eercice Chacune des fonctions suivantes est définie et dérivable sur l intervalle I. Donner l epression de la fonction dérivée dans chaque cas. 4 a) f( ) = ln( 3 4 ) I = + 3 ; b) f( ) = ln( 3 ) I = ;3 c) f( ) = ln( + ) I = R 8 Séquence 5 MA

d) f( ) = ln + I = ; + ln e) f( ) = I = ; + f) f( ) = ln I = ; +. Eercice 3 Eercice 4 Eercice 5 Eercice 6 Du tracé de la courbe représentative de la fonction ln, déduire rapidement l allure des courbes d équation : y = ln ( ) ; y = ln( ). ln Soit la fonction f définie sur ; + par f( ) =. Dresser le tableau de variation de f et donner sa courbe représentative. Discuter l eistence et le nombre de solutions de l équation (E) : e k = selon la valeur du réel k. On considère la fonction f définie sur R par f( ) = ln +. + Déterminer lim f( ) et lim f( ). + Étudier le sens de variation de la fonction f et donner son tableau de variation. Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. On considère la fonction f définie sur ; + par f ( ) = et, pour tout réel strictement positif, f( ) = ln. Étudier la continuité de f en. Étudier la dérivabilité de f en. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f? Étudier les variations de f. Donner le tableau de variation de f.. Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Eercice 7 Cet eercice est un eercice du type «Restitution organisée de connaissance». On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ; +, positive sur ; +, et vérifie : ln = ; pour tous réels strictement positifs et y, ln( y ) = ln + lny ; pour tout réel strictement positif, ln' = ; ln, 69 à près. Séquence 5 MA 9

On considère la fonction f définie sur ; + par f( ) = ln. Répondre au questions suivantes en utilisant pour la fonction ln seulement les quatre propriétés précédentes. Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur ; +. En déduire le signe de f( ) suivant les valeurs de, puis que, pour tout ln strictement supérieur à, < <. En déduire que lim ln =. + Eercice 8 Déterminer lim nln +, n + n n puis lim +. n + n 3 Séquence 5 MA

4 Compléments A Objectifs du chapitre Dans ce chapitre, on va d abord rechercher toutes les fonctions qui vérifient la relation fonctionnelle, c est-à-dire les fonctions f, définies et dérivables sur R +, telles que : pour tous et y de R +, f( y) = f( ) + f( y). Puis on étudie un cas particulier très utilisé : la fonction logarithme décimal. B Activité 4 Pour débuter Pendant les étés 65 et 66, Henry Briggs, professeur à Oford, rendit visite à Neper en Ecosse pour discuter avec lui d une amélioration des logarithmes, en les rendant plus pratiques pour les utilisateurs en utilisant le nombre. On note log une fonction telle que log =, log =, et on suppose que cette fonction possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln. Déterminer log 5, log, log n, n étant un entier relatif. Briggs a déterminé que log, 33, en déduire une valeur approchée de log, log, log. Donner un nombre dont le logarithme décimal est environ 5,33. C Cours. Relation fonctionnelle On sait que la fonction logarithme népérien vérifie : + * pour tous, y de R, ln( y) = ln + ln y(*); (ln) ( ) =. On se propose de démontrer que ces propriétés sont caractéristiques de la fonction ln (c est-à-dire que la seule fonction définie et dérivable sur R vérifiant +* les propriétés précédentes est la fonction ln) et de déterminer l ensemble des fonctions définies et dérivables sur R +* vérifiant la propriété(*). On vous propose de faire cela sous forme d un eercice corrigé. Séquence 5 MA 3

Eercice On note l ensemble des fonctions f définies, dérivables sur R +* et vérifiant la propriété (*) : pour tous, y de R +*, f( y) = f( ) + f( y). On considère une fonction f dans. Montrer que : f () =. Soient a un réel strictement positif et g la fonction définie sur R +* par g ( ) = fa ( ) f ( ). Montrer que g est constante. f '( ) En déduire que : f'( a) =. a En déduire que pour tout de R +*, f( ) = k ln où k = f'( ) (on pourra considérer la fonction f k ln). Déterminer, alors, l ensemble. Conclure. Solution L égalité (*) pour = y = nous donne : f ( ) = f () + f () soit f () = f (). Ainsi : f () =. Pour tout de ] ; + [ : g() = f (a) f () = f (a) + f () f () = f (a) Ainsi g est constante. La fonction g est constante donc pour tout de R +* : g () =. De plus, par définition de g, pout tout de R +* : g () = af () f (). On a donc l égalité : af (a) f () = En particulier, pour = : f '( ) af (a) f () = et donc : f'( a) =. a k Donc on note k = f () de telle sorte que f'( ) = pour tout de R +* et on considère la fontion h définie sur R +* par h() = k ln. Pour tout de R +* k k : ( f h)'( ) = f'( ) h'( ) = =. Ainsi f h est constante : pour tout de R +* : f( ) h( ) = C( C R). On a : C = f() h() = = et donc f = h et pour tout de R +* : f( ) = k ln. On vient de prouver que si f appartient à alors : f = k ln pour un certain réel k. Soit k un réel et f définie sur R +* par f( ) = k ln. Pour tous, y de R +* : f( y) = k ln( y) = k [ln + ln y] = f( ) + f( y). Ainsi f. est donc l ensemble des fonctions k ln où k appartient à R. 3 Séquence 5 MA

Remarque Soit f une fonction définie, dérivable sur R +*, vérifiant (*) et telle que : f '( ) =. La fonction f appartient à donc il eiste un réel k tel que : f( ) = k ln pour tout de R +* k. On a, alors : f'( ) = et f'( ) = k =. Ainsi f est la fonction ln. La fonction qui a été utilisée pour construire l activité est la fonction f = kln avec k = ln,.. Fonction logarithme décimal La fonction logarithme décimal est une des fonctions qui vérifient la relation fonctionnelle ci-dessus puisqu elle est de la forme k ln. Le programme de terminale S demande de l évoquer pour son utilité dans les autres disciplines. Il est nécessaire de connaître sa définition, mais les propriétés qui sont données ci-dessous ne sont pas eigibles. a) Définition et principales propriétés La fonction logarithme décimal est une des fonctions de la forme k ln, le réel k étant choisi de façon que ait pour image. Définition 4 La fonction logarithme décimal (notée log) est la fonction définie ln sur ; + par : log =. ln Notation Remarque L image d un nombre est notée log ou log( ), les parenthèses étant indispensables pour des epressions moins simples. Calculatrice : sur beaucoup de calculatrice on peut trouver la touche log. Si elle n eiste pas, il suffit d utiliser le quotient de la définition. log =, log = ; pour tout de ; +, log = k ln où k =, 43494. ln Des propriétés de la fonction ln, en multipliant tous les logarithmes népériens par k, on déduit les propriétés suivantes. Séquence 5 MA 33

Propriété 6 Pour tous réels a, b de ; + et n de Z, on a : log (ab) = log a + log b ; log log a a = ; b log log b log a a = ; log n ( ) = n log ( ) log n ( ) = = n ; log a log a. On déduit des variations de la fonction ln, les variations de la fonction log : + ln + b) Lien avec l ordre de grandeur et l écriture décimale d un nombre Le logarithme décimal d un nombre renseigne immédiatement sur son ordre de grandeur et le nombre de ses chiffres quand il est écrit sous forme décimale (par eemple 6 est l écriture décimale de 4 ). Avant d étudier le cas général, un eemple va illustrer cela. Eemple Considérons le nombre n =. On a log( ) = log 6646, 899. La partie entière du logarithme décimal de étant égale à 6646, on va montrer qu on peut en déduire que est compris entre 6646 et 6647 et que est un entier écrit sous forme décimale avec 6647 chiffres. Démonstration Propriété 7 Comme p ;,on a p < k Soient un réel strictement positif et = p et donc log p < puisque la fonction log est strictement croissante l écriture scientifique de ce nombre ( p ;, k Z ). Alors : sur ; +. k = E(log ) ; = p E(log ) ; E(log ) E(log ) + <. En ajoutant k, il vient : k log p+ k < k +, donc 34 Séquence 5 MA

k log < k + et par suite k = E(log ) et donc = p E(log ). Comme E(log ) k E(log ) + p <, on obtient l encadrement : p <, soit E(log ) E(log ) + <. Propriété 8 Si est un nombre entier naturel non nul, le nombre de chiffres de l écriture décimale de est égal à E(log ) +. Eemple Soit = 34, log 34 3, 9 et E(log 34) = 3 : le nombre 34 est bien écrit avec 3+ = 4 chiffres. Démonstration Soit un nombre entier naturel non nul, d après la propriété précédente, E(log ) E(log ) + on a <. L écriture décimale de comporte donc autant de chiffres que celle de E(log ), c est-à-dire E(log ) +. Propriété 9 Inversement, soit un nombre entier naturel non nul, alors E(log ) = n et n log < n. Démonstration n n Soit un nombre entier naturel non nul, alors <. Donc, puisque la fonction log est strictement croissante sur ; +, n n on a log log log, log <. On trouve donc E(log ) = n. ( ) < ( ) soit n n Eemple On peut dire que 4 log 98765 < 5 puisque 98765 est écrit avec 5 chiffres et E(log ) = n = 4 où n est le nombre de chiffres de. c) Utilisation de cette fonction dans d autres domaines En chimie Définition + + Le ph d une solution aqueuse est égal à : ph = log[ H 3 O ] où [ HO 3 ] est la concentration de la solution en ions H O 3 + (en mol.l - ). Séquence 5 MA 35

Eemple + La concentration en ions [ HO 3 ] d une solution dont le ph est égal à 7 a pour logarithme décimal 7 elle vaut donc 7. Si le ph augmente de, il devient égal à 8, le logarithme de la concentration diminue de, il devient 8, la concentration est égale à 8. Ainsi, si le ph augmente de, la concentration est divisée par et, si le ph diminue de, la concentration est multipliée par. Intensité de certains phénomènes naturels. L intensité d un séisme, la luminosité d une étoile, l intensité d un son sont des grandeurs pour lesquelles les unités de mesures utilisent les logarithmes décimau. En effet, on a observé que nos sens perçoivent un signal proportionnellement au logarithme de son intensité. L eemple le plus quotidien est le décibel qui sert à mesurer l intensité du son de nos baladeurs D Eercice 9 Eercices d apprentissage Quel est le nombre de chiffres de l écriture décimale du nombre premier 4369 A = (le plus grand nombre premier connu en décembre )? Questions subsidiaires : Combien de chandelles ont été utilisées par Briggs pour s éclairer pendant tous ces calculs? Combien de temps l invention des logarithmes a-t-elle fait gagner au astronomes, navigateurs, ingénieurs depuis 64? 36 Séquence 5 MA

5 Synthèse A Synthèse de la séquence. Définition de la fonction logarithme népérien Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction eponentielle. R ep : ; + ep ln : ; + R a a e = b a = lnb b = e a b lnb= a ln Propriété ( ) = Pour tout a de R, ln e a a. Pour tout b > : e ln b = b. a = lnb = lne a ep ln b = ea = elnb Propriété Pour tous a > et b dans R b : b = ln a a= e.. Valeurs particulières : ln = et ln e = 3. Sens de variation Propriété La fonction ln est strictement croissante sur ; +. Séquence 5 MA 37

4. Propriétés algébriques Théroème : Relation fonctionnelle a > et b > ( ) = + ln a b lna ln b. Propriété a >, b > et n dans Z : ep ( ) = + ln a b lna ln b ; ln lna a = ; b ln lnb lna a = ; somme ln produit ( ) = ; ln a n n ln a ( ) = ln a ln a. 5. Equations, inéquations Propriété a > et b > : lna= ln b a= b. k Pour tout réel k, ln = k =e. Si k > e = k =ln k. Si k, l équation e = k n admet aucune solution dans R. Propriété a > et b > : ln a< ln b a< b. Propriété a) k dans R k et > : ln < k <e. b) λ> et dans R : e < λ < ln λ. 38 Séquence 5 MA

6. Signe de ln suivant les valeurs de + Signe de ln négatif positif 7. Fonction ln Théroème La fonction ln est dérivable sur ; + et, pour >, on a ln'( ) =. Propriété lim ln =+ et lim ln =. + > e + ln'( ) = + + + + ln ln j O i e Séquence 5 MA 39

Propriété lim ln + = ; lim ln = ; lim ln( + h ) =. h h > À savoir Dans les études d une limite où intervient un logarithme ln, on utilise les limites du cours en observant le comportement de pour bien savoir quelle limite utiliser. tend vers + Limites du cours à connaître lim ln = > lim ln = > lim ln( + h ) = h h lim ln = lim ln =+ + lim ln = + Remarque > On peut retenir les deu limites lim ln = et lim ln = en remar- + quant que, pour ces deu formes indéterminées, c est «qui l a emporté sur le logarithme». 8. Fonctions composées lnu Définition : lnu est définie lorsque la fonction u est à valeurs strictement positives. Variations : lnu a les mêmes variations que u. u' Dérivée : (ln u)' = sur tout intervalle I où u est dérivable et à valeurs strictement u positives. 9. La fonction logarithme décimal On rappelle qu il suffit de savoir la définition, le reste n est pas eigible. ln Définition : sur ; + log avec log =. ln Valeurs particulières : log =, log =. Propriétés algébriques : analogues à celles de ln. Variations : log est strictement croissante sur R + comme la fonction ln. 4 Séquence 5 MA

+ ln + k Soient un réel strictement positif et = p l écriture scientifique de ce nombre ( p ;, k Z ). Alors : k = E(log ) ; = p E(log ) ; E(log ) E(log ) + <. B Eercice I Eercices de synthèse Une fonction f définie et continue sur un intervalle I est dite convee (resp. concave si pour tous ab, de I : a+ b f a f b a b f a f f f ( ) + ( ) + ( ) + ( b) ( resp.. Graphiquement cela signifie que si A et B sont points de la courbe de la fonction alors le milieu de [AB] est au-dessus (resp. en dessous) de. Montrer que la fonction «carré» est convee sur. a) Montrer que pour tous, a, b de ] ; + [ : a + b ab. b) En déduire que la fonction ln est concave sur ] ; + [. On pourrait faire le lien avec l eercice de synthèse V de la séquence où la notion de conveité est présentée d un autre point de vue. Eercice II Partie A Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par g ( ) = ln +. Déterminer lim g ( ) et lim g ( ). + + Calculer g'( ). Dresser, alors, le tableau de variations de g. Montrer que l équation g ( )= admet deu solutions et ( α< β). Que vaut β? Déterminer un encadrement de d amplitude 3. Donner le signe de g ( ) en fonction de. Partie B Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par : f( ) = (ln ) +. Déterminer lim f( ) et lim f( ). + > Séquence 5 MA 4

α Montrer que : f ( α) = ( α). En déduire une valeur approchée de f ( ) α à près. Montrer que pour tout de ] ; [ : f'( ) = g( ). Dresser le tableau de variation de f. Eercice III Soient f la fonction définie sur I = ] 4 ; + [ par : f( ) = + 3+ 4 ln sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O; i, j). Étudier les limites de f au bornes de I. Montrer que : f'( ) = 6 + 7 ( 4)( ). Dresser le tableau de variation de f. et Soit la droite d équation y = +3. Etudier les positions relatives de la courbe et de la droite. Représenter sur un même graphique la courbe et de la droite. Eercice IV Eercice V Soient f et g les fonctions définies sur R +* par : f( ) = ln et g ( ) = ln. On note, respectivement et leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal ( O ; i, j ). On se propose de chercher les éventuelles tangentes communes au deu courbes. Soient a, b deu réels strictement positifs, A le point d abscisse a de et B le point d abscisse b de. On note la tangente à en A et la tangente en B. Écrire l équation réduite de. Écrire l équation réduite de. En déduire que : et sont confondues si et seulement si : Résoudre le précédent système et conclure. + = a b. ln( ab ) = Le plan est muni d un repère orthonormal ( O ; i, j ). Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction f n définie sur R + n par : fn ( ) = ln pour et f n ( ) =. On note n la courbe représentative de f n dans un repère orthonormé ( O; i, j). Montrer que f n est continue en. Déterminer lim fn ( ). + Dresser le tableau de variation de f n. Sur un même graphique, tracer, et 3. Démontrer que toutes les courbes n passent par points fies O et A. Démontrer que toutes les courbes admettent en A la même tangente. 4 Séquence 5 MA

Eercice VI Eercice VII Soit ( u n ) et ( v n ) les suites définies pour tout entier naturel n par : u = 9, un+ = un 3 et vn = u n + 6. a) Montrer que ( v n ) est une suite géométrique à termes positifs. n b) Calculer la somme Sn = vk en fonction de n et en déduire la somme n k = Sn = uk en fonction de n. k = Déterminer lim Sn et lim S n. + n + On définit la suite ( w n ) par wn = ln vn pour tout entier n. Montrer que ( w n ) est une suite arithmétique. Calculer Sn n n = wk en fonction de n et déterminer lim S n n. k = n + Calculer le produit Pn = v v vn en fonction de n. En déduire lim P n. n + Partie A Soit f la fonction sur [ ; [ par : f( ) = ln( ) +. Dresser le tableau de variation de f (on précisera les limites au bornes). En déduire que pour tout entier naturel non nul n : a) ln +. n+ n + < b) ln. n+ + n + < Partie B On considère les suites u et v définies pour tout n de N * par : n un = + + + + ln n = ln n. 3 n k k = n vn = + + + + ln ( n + ) = ln ( n + ). 3 n k k = Montrer que la suite u est décroissante et que la suite v est croissante. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, v < vn < un < u. En déduire que les suites u et v sont convergentes. Montrer que lim un vn. n + vers la même limite. ( ) = En déduire que les suites u et v convergent La limite commune à ces deu suites est appelée la constante d Euler, elle est notée γ. Donner une valeur approchée de γ à près. Séquence 5 MA 43