A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas, raisonnement par récurrence. connaître l unicité de l écriture de la division euclidienne ; connaître l écriture d un entier relatif en fonction de ses restes possibles dans sa division par l entier naturel b ; déterminer, en fonction de l entier naturel n, le reste dans une division euclidienne où le dividende et le diviseur sont des entiers fonctions de n ; connaître la technique de l algorithme d Euclide ; utiliser les propriétés du PGCD pour déterminer le PGCD de deux entiers dépendants de n. déterminer l ensemble des diviseurs communs à deux entiers ; utiliser les propriétés de congruences ; utiliser les nombres négatifs pour faciliter le calcul des congruences. I. Divisibilité dans. a) Multiples et diviseurs d un entier relatif. Définition 1: Soit a et b deux entiers relatifs. b divise a signifie qu il existe un entier k tel que a = kb On note b a. Dans ces conditions, on dit que a est un multiple de b et b est un diviseur de a. Exemples : -3 divise 6, car. -3 (-2) = 6 pour tout entier n, n + 1 divise n² - 1 car (n + 1) (n 1) = n² - 1. Remarques : 0 est multiple de tout entier, mais 0 a un seul multiple : 0 = 0 n et 0 0 = 0 Tout entier non nul n a pour diviseurs 1 ; -1 ; n et n. Il y a un nombre fini de diviseurs tous compris entre n et n. En revanche, un entier non nul a une infinité de multiples. Diviseurs de 1 ou -1 Propriété 1 : Les seuls diviseurs de 1 ou de -1 dans sont 1 et -1. : 1 et -1 sont bien des diviseurs de 1 et de -1, car 1 = (-1) (-1) = 1 1 et -1 = (-1) 1. Si pour deux entiers a et b non nuls, on a b = 1 ou a b = -1, alors par passage aux valeurs absolues, on a : a b = 1 avec a 1 et b 1. Avec b 1, on peut déduire, grâce aux propriétés de l ordre dans, que a b a 1. On a donc 1 a ; donc a = 1 ou a = -1 (car a est un entier naturel non nul) Le même raisonnement permet également d obtenir b = 1 ou b = -1. b) Propriétés de la divisibilité dans. Propriété 2 : Soit a, b et c des entiers relatifs tels que a 0 et b 0. Si a divise b et b divise c, alors a divise c. 1
: Si a b et b c alors il existe deux entiers k et k tels que b = ka et c =k b Donc c = (kk )a et par suite a c. Propriété 3 : Soit a et b des entiers relatifs non nuls. a b et b a équivaut à a = b ou a = -b : Si a b et b a alors il existe deux entiers k et k tels que b = ka et a =k b. D où : ab = kk ab Donc kk = 1 car ab 0. k et k sont ainsi des diviseurs de 1 ; ils sont donc égaux à 1 ou -1 (d après la propriété 1). On a donc a = b ou a = -b. Réciproquement, si a = b ou a = -b, alors, par définition a b et b a. Propriété 4 : Soit a, b et c des entiers relatifs non nuls et α et β deux entiers relatifs. Si c a et c b, alors c (αa + βb) : Si c a et c b alors il existe deux entiers k et k tels que a = kc et b =k c. αa + βb = αkc + βk c = (αk + βk )c où (αk + βk ) est un entier. Donc c (αa + βb) Attention : La réciproque est fausse : 2 3 2 + 4 3 mais 2 ne divise pas 3. II. Division euclidienne a) Division euclidienne dans Propriété 5 : Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple (q ;r) d entiers naturels tels que : a = bq + r et 0 r < b. q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. (a est appelé le dividende). : Soit a et b dans avec b 0. Existence de q et r Propriété d Archimède dans : Soit b un entier naturel non nul. Alors, quel que soit l entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb. D après la propriété d Archimède dans, l ensemble des entiers naturels n, tels que a < nb n est pas vide. Il possède donc un plus petit élément k 0. k 1 est aussi un entier naturel et (k 1)b a < kb On pose alors q = k 1 et on obtient : qb a < (q+1)b. 2
En retranchant qb, on obtient 0 a qb < b En posant r = a bq, on conclut que a = bq + r et 0 r < b. Unicité de q et r On suppose a = bq 1 + r 1 = bq 2 + r 2 avec 0 r 1 < b et 0 r 2 < b. On en déduit que b < r 2 r 1 < b et que r 2 r 1 = b(q 1 q 2 ). Ainsi, r 2 r 1 est un multiple de b strictement compris entre b et b. On a donc r 2 r 1 = 0, d où r 2 = r 1. On en déduit alors, du fait que b 0, que q 1 = q 2. D où l unicité annoncée dans la propriété. Remarque : q est le quotient de la division euclidienne de a par b si, et seulement si, on a : bq a <b(q + 1) Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs de b. Attention : Il y a de multiples écritures de a sous la forme bq + r mais une seule est la division euclidienne de a par b. Par exemple 103 = 13 7 + 12 mais aussi 103 = 13 6 +25. Seule l égalité 103 = 13 7 + 12 est la relation de la division euclidienne de 103 par 13 car 12 < 13. Exemples : a = 356 ; b = 17 : 356 = 17 20 + 16 Donc q = 20 et r = 16 b) Divisibilité Propriété Soit a et b deux entiers naturels avec b 0. On a : b divise a, si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul. c) Division euclidienne dans Théorème 1: Soit a et b deux entiers relatifs avec b 0. Il existe un unique couple (q ;r) d entiers relatifs tels que : a = bq + r et 0 r < b. q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. Remarque : Si a et b sont des entiers naturels, les couples obtenus dans la division euclidienne de a et b dans ou dans sont bien sûr confondus! 3
III. Plus grand diviseur commun de deux entiers a) PGCD de deux entiers naturels Définition 3 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a b. Un entier naturel qui divise à la fois a et b est appelé diviseur commun à a et b. L ensemble des diviseurs communs à a et b possède un plus grand élément que l on nomme le plus grand diviseur commun de a et b. On le note PGCD(a ;b). b) Algorithme d Euclide Lemme d Euclide : Soit a, b, q et r des entiers naturels. Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r). Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq. Il divise donc aussi r = a bq Donc d est un diviseur commun à b et r. Si d est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r. Il divise donc aussi a = bq + r Donc d est un diviseur commun à a et b. Conclusion : L ensemble des diviseurs communs à a et b et l ensemble des diviseurs communs à b et r ont les mêmes éléments et donc le même plus grand élément. On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r). Propriété 6: Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a b. On définit la suite (r n ) d entiers naturels de la façon suivante : r 0 = b ; r 1 est le reste de la division euclidienne de a par b ; Pour n 1 : si r n = 0, alors r n+1 = 0 ; Si r n 0, alors r n+1 est le reste de la division euclidienne de r n-1 par r n Alors il existe un entier p tel que r p 0 et, pour tout n > p, r n = 0. On a alors r p = PGCD(a ;b) ; La division euclidienne de a par b s écrit a = bq 1 + r 1, avec 0 r 1 < b. Si b a, alors r 1 = 0 et donc le processus s arrête avec p = 0. Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r 1 s écrit : b = r 1 q 2 + r 2 avec 0 r 2 < r 1 Si r 2 = 0, le processus s arrête avec p = 1. Sinon : on suppose que pour tout entier n, r n 0, alors r n-1 = r n q n+1 + r n+1 avec 0 r n+1 < r n. La suite (r n ) est donc une suite d entiers naturels strictement décroissante. De plus, r n+1 < r n r n+1 r n 1 et r n r n-1 1 r n+1 r n-1 2 Par suite, r n+1 r n-2 3 Montrons, par récurrence, que r n+1 b (n + 1). Soit P n la proposition : pour tout n entier naturel, r n+1 b (n + 1) 4
Initialisation : P 0 est vraie car : r 1 < r 0 ; donc r 1 r 0 1 soit r 1 b - 1 Hérédité : Supposons P n vraie. r n+2 < r n+1 Donc r n+2 r n+1-1 r 0 (n + 1) 1 en utilisant l'hypothèse de récurrence Donc r n+2 r 0 (n + 2) Soit r n+2 b (n + 2) Donc d après le principe de récurrence, P n est vraie pour tout n. On a alors pour n = b, r b+1 b (b + 1) -1, ce qui est absurde car r n, pour tout n. Donc, la supposition r n 0 pour tout n était absurde. Nécessairement, au bout d un nombre fini de divisions (au maximum b), on obtiendra un reste nul. Soit r p le dernier reste non nul. Le lemme d Euclide permet d écrire : PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r 1 ) = PGCD(r 1 ;r 2 ) =. = PGCD(r p-2 ;r p-1 ) = PGCD(r p-1 ;r p ) = r p car r p+1 = 0 donc r p divise r p-1. Finalement, on vient de prouver que l algorithme d Euclide permettait de déterminer le PGCD de a et b : c est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes définies par cet algorithme. Exemple : calculer le PGCD de 494 et 143. Éta pes A b r a = bq + r 1 494 143 65 494 = 143 3 + 65 (1 ère étape) 2 143 65 13 143 = 65. 2 + 13 (2 ème étape) 3 65 13 0 65 = 13 5 + 0 (3 ème étape) Donc PGCD(494 ; 143) = 13 c) PGCD de deux entiers relatifs Définition 4 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est l unique entier naturel δ vérifiant : δ = PGCD( a ; b ) Remarque : Le lemme d'euclide reste vrai pour des entiers relatifs. 5
d) Propriétés du PGCD Propriété 7 : Les diviseurs communs à deux entiers relatifs non nuls a et b sont les diviseurs du PGCD de a et b. Lorsque a *, b * et a > b, dans les divisions euclidiennes successives de l algorithme d Euclide, les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et r 0, à r 0 et r 1,, à r p-1 et r p. Or r p divise r p-1, donc les diviseurs communs à r p-1 et r p sont ceux de r p ; c'est-à-dire de PGCD(a ;b). Lorsque a * oub *, le résultat est identique car PGCD(a ;b) = PGCD( a ; b ). Propriétés 8 et 9 : Soit a, b et k des entiers relatifs non nuls. Si b divise a, alors PGCD(a ;b) = b PGCD(ka ;kb) = k PGCD(a ;b) de : PGCD(ka ;kb) = k PGCD(a ;b) dans le cas où a, b et k sont des entiers naturels. Si a = bq + r avec 0 r < b, alors ka = kbq + kr avec 0 kr < kb (car k ). Donc kr est le reste de la division euclidienne de ka par kb d après l unicité de l écriture. Avec les notations utilisées dans la démonstration sur l algorithme d Euclide et en multipliant chaque membre des égalités par k, on obtient : PGCD(ka ;kb) = PGCD(kb ;kr 0 ) = = kr p = k PGCD(a ;b) Conséquence : Si k est un entier naturel non nul, diviseur commun à a et b, alors : PGCD a k ; b k = 1 PGCD(a ;b) k : Ceci découle de la propriété précédente en écrivant a = k a k et b = k b k. e) Nombres premiers entre eux Définition 5 : Dire que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux signifie que PGCD(a ;b) = 1. Exemple : 45 et 34 sont premiers entre eux car leur seul diviseur commun positif est 1. Propriété 10 : quotient de deux entiers par leur PGCD Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit d le PGCD de a et b. Alors il existe deux entiers relatifs a et b premiers entre eux tels que a=da et b=db. d = PGCD(a ;b) : donc d divise a et d divise b. Il existe donc deux entiers relatifs a et b tels que a = da et b = db. d = PGCD(a ;b) = PGCD(da ;db ) = d PGCD(a ;b ) D où PGCD(a ;b ) = 1 car d 0. 6
V. Congruences dans. a) Définition et propriétés Définition 6 Soit un entier naturel n 2, a et b deux entiers relatifs. On dit que a et b sont congrus modulo n, et on note a b [n ] ou a b (n) ou a b (mod. n), si les divisions euclidiennes de a et de b par n ont le même reste. Exemples 11 = 4 2 + 3 et 7=4 1 + 3, donc 7 11 [4]. De même : 25 1 [12] ; 16 30 [7] 29-121 [5] -623 17 [10] Si l on compte de 6 en 6 à partir de 5, on obtient des entiers congrus à 5 modulo 6 : 5 ;11 ;17 ;23 ;29 ;. ; puis -1 ;-7 ;-13 ;-19 ;-25. Propriétés 11, 12 et 13 Soit un entier naturel n 2, a et b deux entiers relatifs. On a : 1. a b [n] n (a b) 2. a 0 [n] n a 3. Si n 2 est un entier et si n n, alors : a b [n] a b [n ] s 1) Si a b [n] alors il existe trois entiers q, q et r tels que : a = nq + r et b = nq + r On a donc a b = n(q q ) et donc n (a b) Réciproquement, si n (b a), alors il existe un entier k tel que a b = kn, soit a = b + kn. Si b = nq + r est la division euclidienne de a par n, on a donc 0 r < n et, en substituant : a = nq + r + kn = n(q + k) + r avec toujours 0 r < n. On obtient ainsi la division euclidienne de a par n dont le reste est aussi r. On a donc bien a b [n]. 2) C est un cas particulier de 1) avec b = 0 3) Si a b [n] alors n (a b) et n n, donc n (a b), c'est-à-dire a b [n ] b) Congruences et division euclidienne Propriété 14 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Tout entier relatif a est congru modulo n à un unique entier r tel que 0 r n 1 A l aide de la division euclidienne de a par n, on sait qu il existe un unique entier r {0 ;1 ;.. ;n-1} tel que a = nq + r. Le reste r est donc l unique entier compris entre 0 et n 1 vérifiant a r [n]. 7
c) Congruences et opérations Théorème 2 : Soit n un entier supérieur ou égal à 2. La relation de congruence modulo n est compatible avec l addition et la multiplication dans. Autrement dit, a, a, b et b étant des entiers relatifs quelconques, on a : Si a a [n] et b b [n] alors a + b a + b [n] et ab a b [n] Si a a [n] et b b [n], alors n divise a a et b b ; donc n divise la somme (a a ) + (b b ). On en déduit que n divise (a + b) (a + b ). On en conclut que a + b a + b [n]. De même, n divise a a et b b ; donc il existe deux entiers k et k tels que : a = a + kn et b = b + k n Alors en effectuant le produit, on a : ab = a b + a k n + b kn + kk n² = a b + n(a k + b k + kk n) Il existe ainsi un entier K (K = a k + b k + kk n) tel que ab a b = nk. Donc n divise ab a b et ab a b [n]. Conséquence : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et a et a deux entiers quelconques. On a : pour tout entier k, si a a [n] alors ka ka [n] ; pour tout entier naturel p non nul, si a a [n] alors a p a p [n] On a k k [n] et a a [n] ; d où par multiplication, avec la propriété précédente : ka ka [n]. On suppose que a a [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p. Initialisation : pour p = 1, la propriété est vraie par hypothèse. On suppose que la propriété est vraie pour un entier k 1 : a k b k [n]. On a par hypothèse, a a [n], et, donc, par multiplication, avec le théorème précédent : a k a a k a [n], c'est-à-dire : a k+1 a k+1 [n]. La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1. On a ainsi établi la propriété recherchée pour tout entier naturel p 1. Attention : on ne peut pas simplifier une congruence comme une égalité : 2a 2b[n] n implique pas a b[n]. Par exemple, 16 20[4] mais 8 et 10 ne sont pas congrus modulo 4. 8
d) Quelques critères de divisibilité des entiers Le calcul des congruences permet d obtenir de nombreux critères de divisibilité ; voici les principaux. Propriétés 15 : 1. Un entier est divisible par 10 s il se termine par 0 2. Un entier est divisible par 2 s il se termine par un chiffre pair. 3. Un entier est divisible par 5 s il se termine par 0 ou 5. 4. Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. 5. Un entier est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9. 6. Un entier n est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres de n est divisible par 4. Soit N = a n a n-1 a 2 a 1 a 0 = a n 10 n + a n-1 10 n-1 + + a 2 10 2 + a 1 10 1 + a 0 Divisibilité par 10 10 0 [10], d où 10 p 0 [10] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a 0 [10] N est divisible par 10 si et seulement si a 0 est divisible par 10, c'est-à-dire si a 0 est nul. Divisibilité par 2 10 0 [2], d où 10 p 0 [2] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a 0 [2] N est divisible par 2 si et seulement si a 0 est divisible par 2, c'est-à-dire si a 0 est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8. Divisibilité par 5 10 0 [5], d où 10 p 0 [5] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a 0 [5] N est divisible par 5 si et seulement si a 0 est divisible par 5, c'est-à-dire si a 0 est égal à 0 ou 5. Divisibilité par 3 10 1 [3], d où 10 p 1 [3] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 [3] Cela montre le résultat annoncé car a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 est bien la somme des chiffres de N. Divisibilité par 9 10 1 [9], d où 10 p 1 [9] pour p entier compris entre 1 et n. Donc N a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 [9] Cela montre le résultat annoncé car a n + a n-1 + + a 2 + a 1 + a 0 est bien la somme des chiffres de N. 9
Divisibilité par 4 Pour p 2, 10 p 0 [4] ; donc N 10a 1 + a 0 [4] Or 10a 1 + a 0 = a 1 a 0 Donc N est divisible par 4 si, et seulement si, a 1 a 0 est divisible par 4. Exemple : 27 083 127 est divisible par 3 car 2 + 7 + 0 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 = 30, entier divisible par 3. En revanche, il n est pas divisible par 9, car 30 ne l est pas. 10