1 Équations du e degré Résoudre dans R les équations suivantes : 1 3 5 = 0 5 + = 0 3 + 6 = 0 4 6 + 9 = 0 5 ( 3) = ( 1) 6 ( )( + 3) = ( )(4 + 1) Équations avec changements de variable Résoudre dans R les équations suivantes : 1 4 7 + 1 = 0 4 + 3 + = 0 3 4 4 + 4 3 = 0 4 3 4 = 0 3 Chercher l erreur Il y a une erreur dans la suite d enchaînements ci-dessous À quel endroit et pourquoi? Je pars de = 1 J élève les deu membres au carré : = 1 Je change de membre : 1 = 0 Je factorise : ( + 1)( 1) = 0 ( + 1)( 1) Je divise par 1 : = 0 1 1 Je simplifie l équation : + 1 = 0 J obtiens finalement : = 1 Conclusion : J ai prouvé que 1 = 1 Réponse LBILLOT 1 DDL
4 Équations avec des fractions rationnelles Résoudre dans R : 1 3 = 1 = + 3 1 1 3 = 1 5 Équations avec des racines carrées Eercice plus difficile Résoudre dans l ensemble des réels : 1 = 3 = + 5 3 + 3 = 4 4 1 = 6 Équations avec des racines évidentes 1 On considère l équation 3 13 + 5 + 6 = 0 (E 1 ) (a) Montrer que le nombre 1 est racine de (E 1 ) (b) Déterminer trois réels a, b et c tels que : 3 13 +5+6 = ( 1)(a +b+c) (c) Résoudre dans R l équation (E 1 ) Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre les équations suivantes : (a) 6 3 + 5 + 1 10 = 0 (E ) (b) 3 4 6 = 0 (E 3 ) (c) 4 + 3 5 8 + 4 = 0 (E 4 ) (Il faut trouver deu racines évidentes) LBILLOT DDL
7 Étude du signe d une epression Méthodes Si c est une epression affine, je résous une inéquation Si c est un polynôme du second degré, je déterminer les racines et j applique la règle du signe du trinôme Si c est un polynôme de degré supérieur ou égal à 3 ou bien une fraction rationnelle, je fais un tableau de signes Attention : Une résolution d équation ne peut, en aucun cas, justifier le signe d une epression Déterminer le signe des epressions suivantes : 1 A() = 3 B() = 1 7 3 3 C() = ( + 3) 4 D() = 4 5 E() = 3 + 4 6 F() = 6 3 + 5 + 1 10 ( 5)( + 1) 7 G() = 8 H() = + 1 1 9 I() = 4 7 + 1 L eercice suivant faisant la synthèse du chapitre, il n y a aucune eplication dans le corrigé, uniquement les réponses À vous de bien choisir les méthodes à appliquer 8 Résolution d inéquations Résoudre dans R les inéquations suivantes : 1 + 5 8 ( + ) > 5 + 6 3 ( + ) > 5 + 6 4 1 0 5 ( 1) 0 6 3 + 3 7 1 0 7 + 1 + 4 8 + 4 LBILLOT 3 DDL
Eercice n 1: On utilise bien sûr le discriminant Pour la 5 e équation, il faut d abord écrire l équation sous la forme a + b + c = 0 Pour la 6 e équation, vous pouvez utiliser le cours de collège, ou le cours de première Eercice n : Les trois premières sont des équations bicarrées, c est à dire que l inconnue est à la puisance 4, et 0 Je pose donc X = et je me ramène à une équation du second degré dont l inconnue est X Je ne dois pas oublier à la fin de donner les solutions de l équation de départ Pour la dernière, je dois poser X = (Bien sûr doit être positif) Eercice n 4: Il faut d abord eclure les valeurs qui annulent le dénominateur, puis se ramener à une équation de la forme a + b + c = 0 Eercice n 5: La relation a = b a = b n est pas vraie si les deu nombres sont de signes contraires Pour que l équation : = soit vérifiée, il faut que 0 Si l on met cette équation au carré, l ensemble des solutions sera-t-il inchangé? Eercice n 6: Pour déterminer des racines évidentes, on peut : 1 Remplacer l inconnue par des valeurs entières de comprises entre 5 et 5 et trouver celle(s) qui annule(nt) le polynôme Tracer la courbe représentative du polynôme puis regarder les abscisses des points d intersection avec l ae des abscisses 3 Apprendre à utiliser sa calculatrice (e : G-solv-Root dans le menu Graph ou le menu Equa sur Casio) LBILLOT 4 DDL
Correction 1 Équations du second degré 1 = 49 > 0, donc l équation admet deu solutions réelles : = 3 + 49 = 5 4 et = 3 49 = 1 4 = 17 > 0, donc l équation admet deu solutions : = 5 + 17 3 = 0 < 0, donc l équation n admet pas de solution réelle 4 = 0, donc l équation admet une unique solution réelle : = 6 = 3 et = 5 17 5 Je développe, je passe tout dans le premier membre et l équation s écrit 5+ = 0, c est donc la même équation que la deuième 6 ( )(+3) { = ( )(4+1) } ( )[(+3) (4+1)] = 0 ( )( 3+) = 0 donc S = 3 ; Autre possibilité, je développe pour obtenir : 3 8 + 4 = 0 et j utilise le discriminant Équations avec changement de variable 1 Je pose X =, l équation 4 7 + 1 = 0 devient X 7X + 1 = 0 Cette équation a pour solutions X = 3 ou X = 4 X = 4, donne = 4, c est à dire = ou = et X = 3 donne = 3 ou = 3 Donc l équation 4 7 + 1 = 0 admet pour ensemble de solutions : S = { ; 3; 3; } Avec la même méthode on obtient : X = ou X = 1, donc l équation 4 + 3 + = 0 n admet pas de solution réelle 3 Toujours en posant X =, on obtient : X = 1 ou X = 3, donc l équation 4 4 + 4 3 = 0 admet pour solutions sur R : = = 1 = ou 4 Cette équation n est pas définie si < 0 Je pose X = et l équation 3 4 = 0 (1) devient X 3X 4 = 0 () L équation (1) admet pour solutions X = 4 ou X = 1, donc l équation () admet pour solution = 16 LBILLOT 5 DDL
3 Chercher l erreur Je suis parti de = 1, donc lorsque j ai divisé par 1, j ai en fait effectué une division par 0, ce qui est formellement interdit Tout ce qui suit cette division n a aucune valeur Conclusion : Il faut se prémunir des divisions par 0 Adage à appliquer dès le prochain eercice! 4 Équations avec des fractions rationnelles 1 = 1 (E) Il faut que 3 3 = ( 3)( 1) 5 + 5 = 0 (E ) équation dont le discriminant est égal à 5 donc l équation (E ) a pour solutions = 5 + 5 et = 5 5 Et l équation (E) a pour solutions = 5 + 5 et = 5 5 Remarque : L équivalence est vérifiée car 3, sinon le raisonnement est effectué par implication et je ne suis pas sûr que toutes les solutions trouvées à l équation (E ) conviennent pour l équation (E) 1 = + 3 (E 1) Il faut que 1 = ( + 3)( 1) + 3 (E ) L équation (E ) a pour solutions = 1 et = 3, donc l équation (E 1 ) a pour unique solution = 3 1 3 Pour 0, on a : = 1 = ( 1) = 0 Or 0, donc l équation 1 = 1 a pour solution = 1 5 Équations avec des racines carrées 1 doit être positif pour que l équation soit définie Première méthode : Je travaille par équivalence en m assurant que les deu membres sont positifs avant d élever au carré Pour [; + [: = = ( ) = 4 + 4 5 + 4 = 0 = 4 (l autre solution 1 est inférieure à ) Deuième méthode : Je travaille par implication et j étudie la réciproque = donc = ( ) donc 5 + 4 = 0 donc = 1 ou = 4 Or 1 1 et 4 = 4, donc l équation a pour unique solution = 4 LBILLOT 6 DDL
Interprétation graphique : = 4 est l abscisse du point d intersection entre la courbe d équation y = et la droite d équation y = = 1 est l abscisse du point d intersection entre la courbe d équation y = et la droite d équation y = 1 1 1 1 3 4 Pour que l équation soit définie il faut que 3 et pour raisonner par équivalence, il faut que 5 Donc, pour tout nombre [3; 5], on a : 3 = + 5 3 = ( + 5) 11 + 8 = 0 = 4 3 On travaille dans [4; + [ et on obtient comme solution = 9 + 9 4 On travaille dans [0; + [ et on n obtient aucune solution réelle pour l équation 6 Équations avec des racines évidentes 1 (a) 1 3 13 1 + 5 1 + 6 = 0, donc 1 est solution de (E 1 ) (b) ( 1)(a +b+c) = a 3 a +b b+c c = a 3 +(b a) +(c b) c, en identifiant les cœfficients de ce polynôme avec ceu de 3 13 + 5 + 6, a = a = b a = 13 on obtient b = 11 c b = 5 c = 6 c = 6 Donc 3 13 + 5 + 6 = ( 1)( 11 6) (c) On a : 3 13 + 5 + 6 = 0 ( 1)( 11 6) = 0 1 = 0 ou 11 6 = 0 et on obtient l ensemble des solutions : S = { 1 } ; 1; 6 (a) est racine évidente de (E ) On obtient 6 3 + 5 + 1 10 = ( + )(6 + 13 5) { Finalement : S = 5 ; ; 1 } 3 (b) 3 est racine évidente, 3 4 6 = ( 3)( + + ) et S = {3} (c) et sont racines évidentes, 4 + 3 5 8+4 = ( 4)( + 1), et S = { 1 ; ; 1 + ; } LBILLOT 7 DDL
7 Études de signes 1 A() = 3 0 3 3 ], donc A est négative sur ; 3 ] et positive [ [ 3 sur ; + Ce que l on peut noter sous forme de tableau : 3 + A() 0 + B() = 1 7 3 0 7 ( 3 ) = 14 1 3 14 3 + B() + 0 3 C() = ( + 3) est un trinôme du second degré admettant deu racines 0 et 3, son cœfficient de terme dominant est positif, donc C() est négatif sur [ 3; 0] et positif sur ] ; 3] [0; + [ 4 D() = 4 admet pour racines et, donc d après la règle du signe du trinôme : + D() 0 + 0 5 E() = 3 + 4 est un trinôme du seconde degré n admettant pas de racine réelle, donc pour tout réel, E() est positif 6 F() = 6 3 + 5 + 1 10 = ( + )(3 1)( + 5) (cf e 6) 7 G() = ( 5)( + 1) 5 1 + 3 + 0 + + 3 1 0 + + 5 0 + + + F() 0 + 0 0 + 1 5 + 5 0 + + 1 0 + + + 0 + + G() 0 + 0 + 8 H() = + 1 1 Le numérateur est positif pour tout, et le dénominateur est un trinôme du second degré de racines 1 et 1, on peut donc dresser le tableau : 1 1 + + 1 + + + 1 0 + 0 F() + LBILLOT 8 DDL
9 D après l eercice, I() = 4 7 + 1 = ( + )( + 3)( 3)( ) 3 3 + + 0 + + + + + 3 0 + + + 3 0 + + 0 + I() + 0 0 + 0 0 + 8 Résolutions d inéquations 1 + 5 8, S =] ; 3] ( + ) > 5 + 6, S = 3 ( + ) > 5 + 6, S = ] ; 3 4 0, S =] 1; 0] ]1; + [ 1 5 0, S = [0, 1[ ]1; + [ ( 1) [ ] ; 3 [ ]; + [ 6 3 + 3 7 1 0, S =], 3] [ 7, 7] 7 Un produit en croi serait malvenu, puisque nous ne connaissons pas le signe de + 1, il faut donc passer tous les termes dans le premier membre et réduire au 8 même dénominateur + 1 + 4 8 6 + 1, S =], 3] + 4 5 + 8, S =]; + [ [ 1, 1 [ LBILLOT 9 DDL