Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21 Méthode du pivot de Gauss 3 22 Exemples 4 23 Forme générale des solutions 7 Introduction Les systèmes linéaires sont des objets très utiles, notamment pour rechercher l inverse d une matrice (nous verrons cela dans un prochain chapitre) On étudie ici des systèmes de n équations à p inconnues x 1, x 2,, x p de la forme suivante: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,p x p = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,p x p = b n où les (a i,j ) et les (b i ) sont des nombres réels L objectif est d obtenir toutes les solutions d un système donné Pour cela, on cherche à le mettre sous forme triangulaire ou échelonné en utilisant la méthode du pivot de Gauss, qui repose sur des opérations élémentaires sur les équations du système Nous présentons cette méthode et donnons la forme générale des solutions lorsque le système est impossible, de Cramer ou indéterminé Anthony Mansuy - Professeur de Mathématiques en supérieures ECE au Lycée Clemenceau (Reims) mansuyanthony@hotmailfr
Soient n et p deux entiers naturels non nuls 1 Généralités sur les systèmes linéaires 11 Définitions Définition On appelle système linéaire de n équations à p inconnues réelles x 1, x 2,, x p, un système de la forme suivante: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,p x p = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,p x p = b n où les (a i,j ) et les (b i ) sont des nombres réels La i-ème équation du système est notée L i et est appelée i-ème ligne du système (S) Si n = p, on dit que le système est un système carré d ordre n On cherche à résoudre (S), c est-à-dire à trouver tous les p-uplets (x 1, x 2,, x p ) vérifiant les n équations de (S) Cas particulier Si, pour tout i [1, n], b i = 0, on dit que le système est un système homogène ou sans second membre On appelle système homogène associé à (S) le système obtenue à partir de (S), en remplaçant tous les nombres b i par 0 Définition Un système est dit compatible (ou possible) s il admet au moins une solution et incompatible (ou impossible) s il n admet pas de solutions On appelle système de Cramer tout système linéaire qui admet une unique solution Définition Soient (S) et (S ) deux systèmes linéaires à p inconnues (n ayant pas nécessairement le même nombre d équations) (S) et (S ) sont dits équivalents s ils admettent le même ensemble de solutions, c est-à-dire si: (x 1, x 2,, x p ) est solution de (S) (x 1, x 2,, x p ) est solution de (S ) 12 Opérations élémentaires La résolution d un système linéaire (S) va consister à remplacer (S) par un système (S ) équivalent et plus facile à résoudre Pour cela, on utilise des opérations élémentaires sur les lignes: Théorème 1 (Opérations élémentaires) Soit (S) un système linéaire de n équations L 1, L 2,, L n à p inconnues x 1, x 2,, x p Alors on obtient un système (S ) équivalent à (S) en effectuant les opérations suivantes, dites opérations élémentaires: Supprimer une équation nulle, c est-à-dire de la forme 0x 1 + 0x 2 + + 0x p = 0 Échanger la i-ème ligne L i et la j-ème ligne L j On note cette opération L i L j Remplacer la i-ème ligne L i par λl i (λ 0) On note cette opération L i λl j Remplacer la i-ème ligne L i par L i + λl j On note cette opération L i L i + λl j 2
Remarque Les deux dernières opérations peuvent se regrouper en L i λl i + µl j pour λ 0 et i j 13 Systèmes échelonnés et triangulaires Définition Un système linéaire (S) de n équations à p inconnues x 1, x 2,, x p est un système échelonné si 2 n p et si i [1, n], j [1, p] avec i > j, a i,j = 0 Autrement dit, le système (S) est échelonné s il est de la forme: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x 3 + a 1,4 x 4 + + a 1,p x p = b 1 a 2,2 x 2 + a 2,3 x 3 + a 2,4 x 4 + + a 2,p x p = b 2 a 3,3 x 3 + a 3,4 x 4 + + a 3,p x p = b 3 a n,n x n + + a n,p x p = b p Définition Un système linéaire (S) est un système triangulaire s il est carré et échelonné Autrement dit, le système (S) est triangulaire s il est de la forme: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x 3 + + a 1,n x n = b 1 a 2,2 x 2 + a 2,3 x 3 + + a 2,n x n = b 2 a 3,3 x 3 + + a 3,n x n = b 3 a n,n x n = b n 2 Résolution des systèmes linéaires 21 Méthode du pivot de Gauss Le principe consiste à transformer en un nombre fini d étapes, le système initial en un système équivalent qui sera soit impossible, soit échelonné Considérons donc le système suivant (n 2): a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,p x p = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,p x p = b n On suppose que: Aucune équation de (S) n est nulle En effet, on se ramène à un système équivalent en supprimant toutes les équations nulles Aucune équation de (S) n est impossible Sinon la résolution de (S) est terminée et (S) est impossible Toutes les inconnues x 1, x 2,, x p apparaissent dans le système On suppose que a 1,1 0 Si ce n est pas le cas, on permute les lignes du système (ce qui donne un système équivalent) pour que l inconnue x 1 soit présente dans la première équation Le coefficient s appelle le premier pivot de l algorithme de Gauss Alors on remplace, pour tout i [2, n], la ligne L i par la ligne a 11 L i a i1 L 1 On obtient un système équivalent (S ) dans lequel les n 1 dernières lignes ne contiennent plus l inconnue x 1 : (S ) : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p = b 1 (L 1) a 2,2x 2 + + a 2,px p = b 2 (L 2) a n,2x 2 + + a n,p x p = b n (L n) Notons (S ) le système linéaire formé des n 1 dernières lignes de (S ) (les lignes L 2, L 3,, L n) aux inconnues x 2, x 3,, x n Différents cas peuvent se présenter: 3
(1) (S ) est impossible Alors (S ) et donc (S) est impossible et c est terminé (2) (S ) contient une ou plusieurs équations nulles Il suffit de les supprimer (3) Après suppression éventuelle des équations nulles, on applique à (S ) le même traitement que celui que l on à fait subir à (S) En un nombre fini d étapes, on obtient un système équivalent à (S) qui est soit impossible, soit échelonné On a ainsi montré la: Propriété 2 Tout système linéaire est équivalent soit à un système impossible, soit à un système échelonné 22 Exemples Nous traitons quatre exemples illustrant les différentes situations que l on peut rencontrer Exemple 1 Résolvons le système: x + y + 2z = 5 (L 1 ) (S 1 ) : x y z = 1 (L 2 ) 2x + 2z = 6 (L 3 ) Exemple 2 Résolvons le système: 2x + y z + 2t + 2u = 1 (L 1 ) (S 2 ) : 4x y + z t + 4u = 7 (L 2 ) 4x 2y + z + 5t u = 3 (L 3 ) 4
Exemple 3 Résolvons le système: x + 2y z + 2t + u = 1 (L 1 ) x + 2y + z + 6t + 3u = 1 (L (S 3 ) : 2 ) 2x + 4y + 9t + 8u = 0 (L 3 ) 2x + 4y z + 6t + 3u = 1 (L 4 ) 5
Exemple 4 Résolvons le système: x + 2y + 2z = 2 (L 1 ) 3x + y 2z = 1 (L (S 4 ) : 2 ) 4x 3y z = 3 (L 3 ) 2x + 4y + 2z = 4 (L 4 ) 6
23 Forme générale des solutions Cas d un système avec second membre Théorème 3 (Solutions d un système triangulaire) Soit n un entier 2 et (S) le système triangulaire suivant: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x 3 + + a 1,n x n = b 1 a 2,2 x 2 + a 2,3 x 3 + + a 2,n x n = b 2 a 3,3 x 3 + + a 3,n x n = b 3 a n,n x n = b n Si les coefficients a i,i sont tous non nuls, alors le système (S) admet une unique solution Autrement dit, (S) est un système de Cramer Preuve Puisque a n,n est non nul, x n est uniquement déterminé par la n-ème équation Ensuite, puisque a n 1,n 1 est non nul, la n 1-ème équation détermine de manière unique x n 1 et ainsi de proche en proche, on détermine de manière unique x n 2, x n 3,, x 2, x 1, ce qui montre que (S) admet une unique solution et est donc un système de Cramer Définition On considère un système échelonné (S) à n équations et p inconnues x 1, x 2,, x p de la forme suivante: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x 3 + a 1,4 x 4 + + a 1,p x p = b 1 a 2,j2 x j2 + + a 2,p x p = b 2 a 3,j3 x j3 + + a 3,p x p = b 3 a n,jn x jn + + a n,p x p = b p avec 1 < j 2 < j 3 < < j n p et a 1,1 0, a 2,j2 0,, a n,jn 0 Les inconnues x 1, x j2,, x jn figurant en tête de chaque équation s appelle les inconnues principales de (S) et si n < p, les autres inconnues s appellent les inconnues secondaires Théorème 4 (Solutions d un système échelonné) Soit n et p deux entiers tels que 2 n < p et (S) le système échelonné suivant: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x 3 + a 1,4 x 4 + + a 1,p x p = b 1 a 2,j2 x j2 + + a 2,p x p = b 2 a 3,j3 x j3 + + a 3,p x p = b 3 a n,jn x jn + + a n,p x p = b p avec 1 < j 2 < j 3 < < j n p et a 1,1 0, a 2,j2 0,, a n,jn 0 Si on donne aux inconnues secondaires des valeurs arbitraires, les n inconnues principales x 1, x j2,, x jn sont déterminées de manière unique par un système échelonné de Cramer de n équations à n inconnues (S) admet donc des solutions dépendant des p n inconnues secondaires On dit dans ce cas que le système est indéterminé et plus précisément qu il admet une indétermination d ordre p n 7
Ainsi, pour un système linéaire avec second membre, trois cas sont possibles: il admet zéro solution (le système est impossible), il admet une unique solution (le système est de Cramer), il admet une infinité de solutions (le système est indéterminé) Cas d un système sans second membre Un système sans second membre à p inconnues possède au moins une solution, le p-uplet (0, 0,, 0) Il y a donc seulement deux cas possibles ici: il admet une unique solution égale à (0, 0,, 0) (le système est de Cramer), il admet une infinité de solutions (le système est indéterminé) Propriété 5 (Structure des solutions d un système sans second membre) L ensemble des solutions d un système homogène forme un espace vectoriel, c est-à-dire qu il est stable par combinaison linéaire: la somme de deux solutions ou le produit par un scalaire d une solution est encore une solution Exemple Résoudre le système homogène suivant: x + 2y + 3u = 0 (S 5 ) : z + 3u = 0 t 2u = 0 On explicitera l ensemble des solutions sous la forme d une combinaison linéaire de vecteurs et on donnera une famille génératrice de l ensemble des solutions 8