Faisceaux gaussiens: propagation, propriétés, manipulation

Chapter 4 Faisceaux gaussiens: propagation, propriétés, manipulation 4. Introduction De nombreuses sources laser émettent des faisceaux très directifs d'extension latérale très petite. La directivité de ces faisceaux rappelle le comportement d'une onde plane, caractérisée par un vecteur d'onde k. Cependant le chapitre précédent nous a appris que toute onde d'extension latérale limitée à une taille d diverge, se répartissant suivant un intervalle angulaire ±λ/d: la taille de l'onde augmente donc proportionnellement avec la distance parcourue (L'éclairement doit alors diminuer en raison inverse du carré de cette taille et de cette distance, pour que le ux total d'énergie transportée par le faisceau soit conservé). On va voir que ce type de comportement peut être décrit par des solutions particulières de l'équation de propagation telles que l'intensité suivant un plan soit donné par une fonction de Gauss. Ces "ondes gaussiennes" ont de fait un comportement qui tantôt rappelle celui d'une onde plane, tantôt rappelle celui d'une onde sphérique. Leur étude va également illustrer ce qui se passe au point de focalisation d'un faisceau par une lentille, à la base de nombreuses applications des lasers. 4.2 Résolution de l'équation de propagation: existence d'ondes de prol d'amplitude gaussien On s'intéresse donc à l'équation de propagation ψ 2 2 ψ c 2 t 5

Figure 4.: Variation de l'amplitude d'une onde gaussienne en fonction de la distance à l'axe. qui pour une onde monochromatique se réduit à ψ + k 2 ψ = 0 (4.) et nous cherchons les solutions ayant dans le plan z = 0 un prol d'amplitude (cf Fig.4.): ψ(x, y, z = 0, t) = ψ 0 exp( iωt) exp( r 2 /w0) 2 (4.2) où r = (x 2 + y 2 ) On voit que l'intensité ( ψ 2 ) est divisée par e 2 = 7, 4 lorsque r = w 0 (cf Fig.4.2). Un calcul d'intégration élémentaire montre que 86% de l'énergie est concentrée dans un cercle de rayon w 0. D'après le chapitre précédent la connaissance de ψ en z = 0 sut pour déterminer la fonction dans tout l'espace. Pratiquement on peut obtenir l'expression de ψ pour toute valeur de z en appliquant Huyghens-Fresnel (cf Perez ch 3). Ici nous allons considérer une approche diérente, consistant à chercher directement les solutions de l'équation de propagation satisfaisant la condition Eq.4.2, suivant l'exposé du livre de Dangoisse, Hennequin, Zehnlé- Dhaoui "Les lasers", Dunod, (chapitre 2). 4.2. Equation approchée pour onde "pseudoplane" On se dit qu'un cas limite est celui d'une onde plane se propageant suivant z. On cherche alors ψ sous la forme ψ(r, z) = u(r, z) exp(ikz) exp( iωt) (4.3) 52

Figure 4.2: Variation de l'intensité d'une onde gaussienne en fonction de la distance à l'axe. où k = ω/c et où u est une fonction que l'on cherche, et dont on se dit qu'elle doit varier moins vite que exp(ikz) avec la position, ce qui veut dire que soit du/dz d(eikz u << )/dz e ikz du << k u dz On supposera que u satisfait une condition du même type, mais plus contraignante encore, portant sur la dérivée seconde: d2 u << k du dz2 dz (4.4) L'équation de propagation 4. se réécrit en coordonnées cylindriques en supposant que la solution ne dépend pas de l'angle polaire dans le plan xoy (symétrie de révolution): d r dr r dψ dr + d2 ψ dz 2 + k2 ψ = 0 ce qui donne en insérant l'expression de ψ du type Eq.4.3: d r dr r du dr k2 u + 2ik du dz + d2 u dz 2 + k2 u = 0 Si on suppose que u varie peu avec z on peut négliger suivant la condition 4.4 le terme d 2 u/dz 2 et cette équation se réduit à: r d dr r du dr + 2ik du dz = 0 (4.5) 53

4.2.2 Résolution: onde sphérique d'extension limitée=rayon de courbure complexe Cherchons u sous la forme u = A(z) exp(i kr2 ). exp( r2 2R(z) w 2 (z) ) (4.6) où R(z) est une fonction a priori quelconque, de même que w(z) et A(z). Si R est réel, l'expression de ψ rappelle l'expression d'une onde sphérique d'extension latérale limitée à une distance de l'ordre de w. L'astuce consiste à dénir un rayon de courbure complexe: Q(z) = R(z) + i 2 kw 2 (z) ce qui permet de réécrire l'eq.4.6 sous la forme: (4.7) u = A(z) exp(i kr2 2Q ) (4.8) Reportant cette expression dans l'équation de propagation Eq.4.5 on obtient: { A Q + da dz + A dq i[kr2 ( )]} exp(ikr2 2Q2 dz 2Q ) = 0 d'où on voit qu'une condition susante pour que u satisfasse cette équation est que: dq dz = (4.9) et da dz = A Q (4.0) 4.2.3 Rayon de courbure, taille, et divergence de l'onde L'Eq.4.9 implique Q = z + C où C est une constante déterminée par l'expression Eq.4.2 de ψ(r, z) pour z = 0 comparée à l'expression 4.6, qui implique par ailleurs w = w 0, /R(0) = 0, d'où: où on a posé C = Q(0) = i kw2 0 2 z R = kw2 0 2 = iz R (4.) 54

Comme k = ω/c = 2π/λ, on tire z R = πw2 0 λ Ainsi Q = (z iz R ) = R(z) + i 2 kw 2 (z) Identiant parties réelles et imaginaires on obtient les deux équations suivantes: d'où l'on tire les deux expressions: et z (z 2 + zr 2 ) = R(z) z R i (z 2 + zr 2 ) = i 2 kw 2 (z) w 2 (z) = 2(z2 + z 2 R ) kz R ou encore en utilisant l'eq.4.: R(z) = z( + z2 R z 2 ) (4.2) w 2 = w 2 0( + z 2 /z 2 R) (4.3) L'Eq.4.2 dénit le rayon de courbure de la surface d'onde à la distance z de l'origine, tandis que l'eq.4.3 caractérise la taille du faisceau: Ainsi donc notre solution correspond bien à une onde d'extension latérale limitée dont la section w croît faiblement avec z pour z << z R puis augmente z lorsque z >> z R (cf Fig.4.3). En même temps le rayon de courbure de la surface d'onde est inni pour z = 0, décroît puis réaugmente suivant R z pour z >> z R (cf Fig.4.4). La longueur z R porte le nom de "Longueur de Rayleigh". La quantité w 0 caractérisant la rayon minimum du faisceau est le souvent appelée "waist". Si une onde ressemble à une onde plane pour z << z R, elle se comporte pour z >> z R comme une onde sphérique divergente d'extension limitée par un cône, de demi angle de divergence: θ = w 0 z R = 2 kw 0 = 2λ π.2w 0 (4.4) Cette expression résume les propriétés d'un faisceau gaussien en reliant divergence, longueur d'onde et taille minimum de faisceau. Noter que la 55

Figure 4.3: Variation du rayon w du faisceau gaussien avec la position z suivant la direction de propagation. valeur de l'angle de divergence rappelle la diraction par une ouverture de taille 2w 0 pour laquelle le premier minimum angulaire est à, 22λ/2w 0 : comparer,22 avec 2/π = 0, 64, c'est la même valeur à un facteur 2 près dû aux conditions un peu diérentes (le faisceau gaussien s'étend en fait un peu au delà de w 0 ). 4.2.4 Amplitude et phase de l'onde L'Eq.4.0 se réécrit en fonction de Q sous la forme da dz = A Q = A (z iz R ) dont les solutions sont ln A = ln(z iz R ) + cte, soit qu'on peut mettre sous la forme ou encore car A = exp(cte) (z iz R ) A = K ( + iz/z R ) A = K w 0 exp iφ(z) (4.5) w(z) w 0 w(z) = ( + iz/z R ) 56

Figure 4.4: Variation du rayon de courbure réel R du faisceau gaussien avec la position z suivant la direction de propagation. et φ(z) = arg( 4.2.5 Expression nale de la solution Finalement, l'expression de ψ est la suivante : ( + iz/z R ) ) = arctan(z/z R) (4.6) ψ = K w 0 w. exp( r2 /w 2 ). exp[ik(z + r 2 /2R)] exp[ i arctg(z/z R )]. exp( iωt) (4.7) où R(z) et w(z) sont données par les Eqs.4.2 et 4.3. Noter que cette expression est solution de l'équation de propagation aussi bien pour z > 0 que pour z < 0: Formellement R(z) > 0 pour z > 0 décrit une onde divergente, et R(z) < 0 pour z < 0 décrit une onde convergente (cf Fig.4.5). 4.3 Discussion Le facteur w 0 /w assure que le ux intégré sur la section du faisceau est conservé (de telle sorte que éclairement fois aire = (amplitude) 2 w 2 soit constante) Le premier facteur de phase décrit une onde de rayon de courbure R. Le deuxième facteur de phase correspond à ce qu'on appelle la "phase de Gouy": il indique que lorque z passe de à +, (c'est à dire quand après focalisation une onde sphérique convergente se transforme en une onde sphérique divergente), cette phase varie de π. Rappelons que arg(z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) 57

Figure 4.5: Allure d'un faisceau gaussien. Sur une distance de l'odrde de z R autour de la position où le rayon du faisceau atteint son minimum, les surfaces d'onde sont planes. Au delà l'onde est assimilable à une onde sphérique avec des surfaces d'onde sphériques. 4.4 Exemples Considérons le cas d'un laser He-Ne rouge de longueur d'onde λ = 633nm, délivrant un faisceau de diamètre typique de l'ordre du mm, soit w 0 = 0, 5mm. D'après l'eq.4. on a z R =, 25m: le faisceau semble garder une taille constante sur une distance de l'ordre du m. 4.4. Propagation libre Au delà de cette distance z R le faisceau diverge suivant un demi-angle qui d'après l'eq.4.4 vaut θ = 0, 4mrad. Ainsi, sur une distance de 0m, le diamètre du faisceau passe de 2w 0 =mm à 2w =8mm. Si on envoyait ce faisceau en direction de la lune, située à environ 300000km, soit 3.0 8 m, il couvrirait à l'arrivée un cercle de diamètre 240km! L'expérience a, et est toujours, réalisée non pas avec un laser He-Ne, mais avec un laser délivrant des impulsions ultra-courtes: On détecte l'impulsion de lumière rééchie sur un réecteur placé sur la lune par les astronautes américains lors des missions Apollo, ce qui permet de déterminer précisément la distance terre-lune (et surtout ses variations) en mesurant le temps séparant l'émission de l'arrivée de l'écho, exactement comme avec un radar. De façon à réduire la divergence du faisceau et augmenter l'intensité du signal on transforme (cf ci-dessous) le faisceau laser initial en un faisceau gaussien de diamètre minimum plus grand. Prenons ainsi 2w 0 = m au lieu de mm alors la divergence est diminuée d'un facteur 000 et le diamètre du faisceau à 300000km est réduit du même facteur 000 à "seulement" 240m. L'éclairement au niveau de la lune est lui augmenté d'un facteur 000 2 = 0 6. 58

4.4.2 Focalisation Supposons maintenant qu'on place une lentille de focale f = 0mm à la sortie du laser où le rayon du faisceau est w 0 = 0, 5mm. Un raisonnement simple consiste à assimiler à ce niveau l'onde laser à une onde plane, dont on imagine qu'elle est transformée en une onde sphérique convergeant au foyer. Une étude plus approfondie conduit à dire que l'onde gaussienne initiale est transformée en une autre onde gaussienne de demi-angle de divergence θ w 0 /f. Cette onde gaussienne va se propager vers le foyer de la lentille en réduisant son diamètre jusqu'à la taille 2w 0 = 2λ/(πθ ) (cf Eq.4.4), soit ici θ =0,05rd, et 2w 0=8,0µm. Selon l'eq.4. ce faisceau gardera cette taille minimum sur une distance de l'ordre de z R = πw 0 2 /λ, soit ici z R = 32µm, et prolongera sa propagation au delà en divergeant (cf Fig.4.6). Bien remarquer que la taille minimum du faisceau focalisé est proportionnelle à λ, d'où l'intérêt de disposer de sources laser de longueur d'onde de plus en plus courtes pour graver et lire des CD (780nm), puis DVD 650nm), et HD-DVD (405nm pour les HD-DVD "Blu-Ray"). De plus cette taille est inversement proportionnelle à la focale f de la lentille de focalisation. Ces eets de focalisation ont de multiples applications. En dehors des lecteurs-graveur optiques, mentionnons l'injection de lumière dans les bres optiques utilisées en télécommunications, l'imagerie microscopique de uorescence, l'usinage laser... 4.4.3 Elargissement de faisceau En complément du paragraphe précédent on imagine que l'action d'une lentille convergente de focale f > f placée de telle sorte que son foyer se trouve au vosinage du point de taille minimum 2w 0 du faisceau focalisé, va donner lieu à une onde gaussienne de taille minimum 2w 0 = f θ = (f /f)w 0 au niveau de la lentille. D'où une divergence θ réduite par rapport au faisceau initial dans le facteur f/f (cf Fig.4.6). 4.5 Transformation d'un faisceau gaussien par passage à travers une lentille Dans le paragraphe précédent Ÿ4.4.2 nous avons estimé simplement l'eet d'une lentille convergeante sur un faisceau gaussien en assimilant le faisceau incident au cas limite d'une onde plane et le faisceau sortant au cas limite d'une onde sphérique (et la réciproque en Ÿ4.4.3). 59

Figure 4.6: Focalisation et élargissement d'un faisceau gaussien par passage à travers des lentilles convergentes. Cette image n'est valable qu'à condition que la distance z R du faisceau focalisé soit petite devant la focale f des lentilles (cf texte). Cela supposait implicitement que les distances z R et z R étaient respectivement très grande et très petite devant la focale de la lentille, et que l'onde incidente avait sa taille minimum 2w 0 à proximité de la lentille. Cette situation est heureusement assez fréquente. Le cas général nécessite un développement plus élaboré. Pour cela on va être amener à s'intéresser à la modication du rayon de courbure d'une surface d'onde au passage d'une lentille mince. Comme on va le voir ceci est relié à la variation de phase imposée par la traversée de la lentille, qui dépend de la position radiale. Cela va également illustrer le fait que l'état de l'onde sur une surface détermine son état partout ailleurs, ce que traduit le principe d'huyghens-fresnel, et que modier sa phase revient à modier sa propagation au delà de cette surface. 4.5. Déphasage introduit par lentille Considérons une lentille convergente. Soit e(r) l'épaisseur de la lentille à la distance r de son centre, et n l'indice du verre. Le déphasage δφ(r) subi par l'onde (supposée avoir une incidence faible sur le dioptre) au passage de la lentille au voisinage de la distance r vaut k chemin optique, soit: δφ(r) = k[ne(r) + (e 0 e(r))] = k[(n )e(r) + e 0 ] où e 0 = e(0). Un calcul de géométrie permet ensuite d'exprimer e en fonction de e 0 et du rayon de courbure des dioptres de la lentille (cf Fig.4.7). Pour une lentille 60

Figure 4.7: Géométrie d'une lentille plan-convexe. plan convexe de rayon de courbure R l on a par exemple e(r) e 0 r 2 /2R l (pour une lentille mince on a r << R l. Par ailleurs la focale f de la lentille s'exprime sous la forme /f = (n )/R l où R l est le rayon de courbure et n l'indice de la lentille. On en tire: δφ(r) = cte kr2 2f (4.8) On peut montrer que cette relation est valable pour n'importe quelle lentille mince, où d'ailleurs f peut être considéré comme algébrique et est négatif pour une lentille divergente (Pour une lentille de rayons de courbure R et R 2 on a /f = (n )(/R +/R 2 ), où d'une façon générale les rayons sont des quantités positives ou négatives suivant que le diopte est convexe ou concave cf par exemple Perez ch8). 4.5.2 Modication d'une onde sphérique Rappelons l'expression d'une onde sphérique monochromatique dans les conditions paraxiales relativement à l'axe Oz se propageant dans le sens des z croissant (cf n du ch. I): ψ(t; r, z) = ψ 0 exp( iωt) exp(ikr) exp(+ikr2 /2R) R où R désigne le rayon de courbure de la surface d'onde en z, qui vaut R = z z 0 si l'onde est centrée en z = z 0, x = 0, y = 0. Soit donc maintenant une telle onde incidente sphérique caractérisée par une surface d'onde de rayon de courbure R 0 à l'abscisse z. Sa répartition de phase dans le plan z s'exprime sous la forme: φ(r) = φ 0 + kr2 2R 0 6

Plaçons une lentille en mince en z. Juste après passage de la lentille la répartition de phase devient φ (r) = φ(r) + δφ(r), soit d'après Ÿ4.5.: φ (r) = φ 0 + kr2 2R 0 + cte kr2 2f = φ 0 + kr2 2 ( R 0 f ) = φ 0 + kr2 2R Cette nouvelle répartition de phase correspond à celle d'une surface d'onde sphérique de rayon R tel que: R = R 0 f Exemple: Prenons R 0 =. Après passage de la lentille on a /R = /f (4.9) ce qui correspond à une onde sphérique de rayon de courbure R = f négatif donc convergeant vers un point situé sur l'axe à la distance f de la lentille, en accord avec la transformation d'une onde plane en un onde sphérique convergent au point focal de la lentille. Plus généralement, on voit que l'eq.4.9 traduit la formule d'imagerie des lentilles minces. Mais qu'en est-il d'une onde gaussienne? 4.5.3 Modication d'une onde gaussienne Considérons un certain faisceau gaussien de taille w et de rayon R 0 en z = 0 juste avant une lentille de focale f. Il est caractérisé par un rayon de courbure complexe Q 0 valant: Q 0 = R 0 + 2i kw 2 D'après ce qui précède, juste après la lentille on a une nouvelle onde gaussienne, dont le rayon de courbure vaut R donnée par l'eq.4.9, et dont la taille en z = 0 est inchangée (la répartition d'intensité n'est pas changée dans le plan de la lentille). Cette nouvelle onde est donc caractérisée par un nouveau rayon de courbure complexe Q 0 en z = 0, dont la relation avec Q 0 est donné par la même équation que pour les ondes sphériques Eq.4.9: Q 0 = R 0 f + 2i kw 2 = Q 0 f (4.20) La variation de Q (z) lors de la propagation libre de l'onde en milieu homogène est simplement donnée par l'équation déduite de l'eq. 4.9: Q (z) = Q (0) + z (4.2) 62

Le rayon de courbure et la taille du faisceau à toute position z sont alors obtenus à partir des parties réelle et imaginaire de Q (z), suivant la dénition Eq.4.7 du rayon de courbure complexe: R (z) = Re(/Q ) w 2 (z) = kim(/q ) (4.22) (4.23) La position où le faisceau atteint sa taille minimum w (z) = w 0 est obtenue en écrivant que pour cette position R (z) =, soit Re(Q (z)) = 0. Par exemple, si le faisceau incident à son waist sur la lentille, w(0) = w (0) = w 0, R 0 =, on a: Q (0) = 2i kw 2 0 On en déduit facilement d'après l'eq.4.2: f = iz R f Q (z) = [z + iz R( z/f)] ( iz R /f) Le faisceau prime sera focalisé en z 0 tel que Re(/Q (z 0 )) = 0 ce qui donne: z 0 = f + (f/z R ) 2 On remarque que z 0 = f seulement si f << z R. C'était le cas dans l'exemple traité au Ÿ4.4.2 Dans le cas où l'onde gaussienne incidente n'a pas son waist au niveau de la lentille, on peut obtenir des formules générales donnant la position du waist "image" en fonction de la focale de la lentille et de la position et de la taille du "waist objet". C'est seulement dans les cas limites où les distances de Rayleigh z R et z R sont petites devant la focale de la lentille qu'on peut considérer que le "waist image" se trouve à la position de l'image du point où se trouve le "waist objet" de l'onde incidente, et appliquer pour cela les formules des lentilles minces. 4.6 Propagation d'un faisceau gaussien dans un système optique centré: utilisation du formalisme des "matrices ABCD" Le formalisme général pour traiter ce cas est celui des "matrices ABCD". On sait que dans les conditions paraxiales un rayon est caractérisé en un 63

point d'abscisse z le long de l'axe optique par sa distance a et son angle d'inclinaison α par rapport à l'axe. Les lois de l'optique géométrique paraxiale permettent de calculer la transformation d'un rayon se propageant à travers une suite de milieux optiques sous la forme d'une relation matricielle: ( ) ( ) ( ) a A B a α = C D α (4.24) où l'eet de chaque milieu est caractérisé par une matrice de telle sorte que: ( ) ( ) ( ) ( ) A B An Bn A2 B2 A B =... C D Cn Dn C2 D2 C D Ainsi la propagation sur une distance z dans un milieu homogène s'exprime simplement par la relation: ( ) a = α ( z 0 ) ( a α Le passage d'une lentille de focale f s'exprime par: ( ) a = α ( 0 /f ) ) ( ) a α (4.25) (4.26) Ces relations se transposent aux ondes en remarquant que le rapport a/α n'est rien d'autre que le rayon de courbure de la surface d'onde associée à ce rayon au point considéré (rappelons que les rayons sont perpendiculaires aux surfaces d'onde). Or la relation 4.24 donne a α = Aa + Bα Ca + Dα Soit R = AR + B CR + D La transformation des faisceaux gaussiens dans les systèmes optiques centrés s'obtient alors en remarquant que cette relation s'étend aux rayons de courbure complexes Q, puisque la variation linéaire du rayon de courbure avec la distance sur l'axe optique, valable pour des ondes sphériques, est également valable pour des ondes gaussiennes (cf Eq.4.2): Q = AQ + B CQ + D Comme dans le cas du passage d'une lentille, le rayon de courbure et la taille du faisceau à toute position z sont alors obtenus à partir des parties réelle et imaginaire de Q (z), suivant la dénition Eq.4.7 du rayon de courbure complexe: Q(z) = R(z) + i 2 kw 2 (z) 64

Figure 4.8: Caractérisation d'un rayon dans un système centré au moyen de ses coordonnées paraxiales. 65