Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 17 octobre 2005 1 Suites On appelle suite numérique toute application de N ou une partie de N vers R. On notera par u n le terme général d une suite. Définition 1.1 Une suite (u n ) est croissante lorsque chacun de ses termes est supérieur à ceux qui le précèdent : u m u n pour tout m > n. Une suite (u n ) est strictement croissante lorsque chacun de ses termes est strictement supérieur à ceux qui le précèdent : u m > u n pour tout m > n. Une suite (u n ) est décroissante lorsque chacun de ses termes est inférieur à ceux qui le précèdent : u m u n pour tout m > n. Une suite (u n ) est strictement décroissante lorsque chacun de ses termes est strictement inférieur à ceux qui le précèdent : u m < u n pour tout m > n. Une suite est monotonne si elle est croissante ou décroissante. Définition 1.2 Une suite (u n ) est bornée s il existe m et M tels que pour tout n, m u n M. On dit alors que la suite est minorée par m et majorée par M. Définition 1.3 On appelle suite arithmétique toute suite numérique dont chaque terme est obtenu en ajoutant au terme précédent une constante r, appelée raison de la suite arithmétique : u n+1 = u n + r. Proposition 1.1 Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r, on a les propriétés suivantes : u n = u 0 + nr = u 1 + (n 1)r 1
S n = u 0 + + u n = n+1 2 (u 0 + u n ) = u 1 + + u n = n 2 (u 1 + u n ) Exercice 1.1 Déterminer le 7ème et le 15ème terme d une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 3. Exercice 1.2 Calculer la somme des 15 premiers nombres impairs. Exercice 1.3 Soit la suite logique suivante : 12, 25, 38, 51, 63,. Dterminer u 0. 51 est la valeur de u?? Calculer u 8, exprimer le terme gnral de (u n ). Définition 1.4 On appelle suite géométrique toute suite numérique dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante q, appelée raison de la suite géométrique : u N+1 = qu n. Proposition 1.2 Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, on a les propriétés suivantes : u n = u 0.q n = u 1.q n 1 S n = u 0 + + u n = u 1 qn+1 0 1 q 1 q = u 1 + + u n = u n 1 1 q La formule de la somme peut se retrouver : S n = u 0 + u 1 + + u n = u 0 + qu 0 + + q n u 0 qs n = qu 0 + qu 1 + + qu n = qu 0 + q 2 u 0 + + q n+1 u 0 S n qs n = (u 0 + qu 0 + + q n u 0 ) (qu 0 + q 2 u 0 + + q n+1 u 0 ) = u 0 q n+1 u 0 S n (1 q) = u 0 (1 q n+1 ) 1 q n+1 S n = u 0 1 q Exercice 1.4 Déterminer le 6ème et le 12ème terme d une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3. Exercice 1.5 Déterminer la raison d une suite géométrique de premier terme 4 et de 6ème terme 2916. 2
Exercices Conventionnellement, les intérêts sont payés soit au moment du retrait, soit à la fin de chaque année de placement. Il existe deux types d intérêts : les intérêts simples : Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital. les intérêts composés : Un capital produit des intérêts composés si à la fin de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux intérêts. On dit aussi que les intérêts sont capitalisés. Exemple : Placement d un capital de 100 euros à un taux annuel de 5 % d intérêts simples sur 2 ans. Les intérêts seront de : 100 (5/100)2 = 10 euros. Placement d un capital de 100 euros à un taux annuel de 5 % d intérêts composés sur 2 ans. Les intérêts seront de : 100 (5/100) = 5 euros la première année. Puis : 105 (5/100) = 5, 25 euros la deuxième année. Soit au total 10,25 euros. Les placements d une durée inférieure à un an ont généralement des intérêts simples. Le taux annuel est désigné comme le taux nominal ou le taux facial. Les intérêts des placements de plus d un an sont des intérêts composés. Le taux annuel est appelé taux actuariel ou taux équivalent. Exercice 1.6 Une personne place 45 000 euros pour trois mois sur un compte rémunéré avec un taux de 4,8%. De combien dispose-t-elle à l issue de cette période? Exercice 1.7 Quel est le montant des intérêts fournis par un placement de 34 800 euros pendant sept mois au taux d intérêts annuels de 4,5 %? Exercice 1.8 Quelle somme doit-on placer aujourd hui sur un compte rapportant 3% pour obtenir 5 000 euros dans 11 mois? Exercice 1.9 Monsieur Dupont a 20 000 euros à placer pendant une période de 9 ans. La banque lui offre deux possibilités : un placement à intérêts simples au taux annuel de 11 % ; un placement à intérêts composés au taux annuel de 8 %. Quel est le placement le plus intéressant? Et s il décide de placer son argent pour 3 ans seulement, quel est le placement le plus intéressant? 3
Exercice 1.10 Une somme de 100 000 euros est placée pour dix ans au taux d intérêt annuel de 4%. Quelle somme récupère-t-on à l issue du placement, sachant que les intérêts sont composés? Exercice 1.11 Une personne souhaite disposer dans trois ans de 50 000 euros. Dans ce but, elle place aujourd hui une somme sur un compte ayant un taux d intérêt composé de 6%. Quelle est la somme placée? Exercice 1.12 Une somme de 500 000 euros a été placée pour cinq ans. À l issue du placement, cette somme est devenur 609 497,21 euros. Quel est le taux de placement si les intérêts sont simples? Quel est le taux de placement si les intérêts sont composés? Exercice 1.13 Une personne place 50 000 euros à un taux annuel de 4% (intérêts composés). Combien de temps doit durer le placement pour pouvoir disposer de 60 832,65 euros? Exercice 1.14 Quel est le taux mensuel correspondant à un taux annuel de 6%? Exercice 1.15 Quel est le taux annuel équivalent à un taux trimestriel de 1%? Exercice 1.16 Une personne place une somme de 50 000 euros pour quatre ans et sept mois sur un compte rapportant un intérêt annuel de 4%. De combien dispose-t-elle à l issue du placement si : 1. la composition des intérêt s applique en cours d année? 2. les fractions d années donnent naissance à des intérêtes simples? Exercice 1.17 On propose le contrat de placement suivant : vous placez aujourd hui une somme de 50 000 euros. Le taux d intérêt versé est de 3% pour chacune des trois premières années du placement. Ce taux passe à 6% pour les années suivantes. 1. De quelle somme dispose-t-on au bout de 3 ans? 2. De quelle somme dispose-t-on au bout de 7 ans? 3. Quel est, après sept ans, le taux moyen annuel du placement? 4
Exercice 1.18 On propose le contrat de placement suivant : vous placez aujourd hui et en une seule fois une somme au taux de 2,5 %. Cette somme reste bloquée pendant cinq ans. À l issue du placement, vous recevez une prime égale au montant des intérêts acquis. Quel est le taux effectif de ce placement? Exercice 1.19 Un capital de 15 000 euros est placé à un taux d intérêts composés de 5%. La valeur récupérée à l issue du placement est 22 161,83 euros. Quelle est la durée de ce placement? 5
2 Solutions des exercices Solution 1.1 u 7 = 5 + 7 3 = 26 et u 15 = 5 + 15 3 = 50. Solution 1.2 On cherche la somme des 15 premiers termes d une suite arithmétique de raison 2 : S n = 15+1 2 (1 + 29) = 240. Solution 1.3 u 0 = 12 et la raison vaut 13. 51 est la valeur de u 3. u 8 = 12 + 8 13 = 116 et de manière général, u n = 12 + 13n. Solution 1.4 u 6 = 2 3 6 = 1458 et u 12 = 2 3 15 = 28697814 Solution 1.5 On a u 6 = 4 r 6 donc r 6 = 2916 4 = et r = 729 1/6 = 3 Solution 1.6 S = 45000 + 45000 3 12 4,8 100 Solution 1.7 I = 34800 7 12 4,5 100 = 913, 50 euros. = 45540 euros. Solution 1.8 5000 = S (1 + 11 0, 03) donc S = 4866, 18 euros. 12 Solution 1.9 20000 (1 + 0, 11 9) = 39800 et 20000 (1, 08) 9 = 39980, 09 donc le deuxième placament est plus avantageux s il place son argent 9 ans. 20000 (1+0, 11 3) = 26600 et 20000 (1, 08) 3 = 25194, 24 donc le premier placament est plus avantageux s il place son argent 3 ans. Solution 1.10 S = 100000 (1 + 0, 0 4 ) 10 = 148024, 43 euros. Solution 1.11 50000 = S(1 + 0, 06) 3 donc S = 41980, 96 euros. Solution 1.12 Soit t le taux d intérêts : Si les intérêts sont simples : 500000 (1 + 5t) = 609497, 21 et donc t = 4, 37%. Si les intérêts sont composés : 500000(1 + t) 5 = 609497, 21 donc 1 + t = 1, 0404 et t = 4, 04%. Solution 1.13 60832, 65 = 50000(1+0, 04) a donc a = donc attendre 5 ans. ln( 60832,65 50000 ) ln(1,04) 5. Il faudra Solution 1.14 Il faut que (1 + t) 1 2 = 1, 06 donc on trouve t = 0, 00487. Un taux mensuel de 0, 49% correspond à un taux annuel de 6%. 6
Solution 1.15 1+t = (1, 01) 4 donc t = 0, 0406 soit un taux annuel de 4, 06%. Solution 1.16 1. S = 50000(1 + 0, 04) 4+ 7 12 = 59846, 60 euros 2. Après 4 ans, la somme est S = 50000(1 + 0, 04) 4 = 58492, 93. Pour les sept mois restant, la somme produit des intérêt simples : S = 58492, 93 (1 + 7 0, 04) = 59857, 76 euros. 12 Solution 1.17 1. S = 50000(1, 03) 3 = 54636, 35. 2. S = 54636, 35 (1, 06) 4 = 68977, 13 3. 68977, 13 = 50000(1 + t) 7 donc t = 0, 047 soit un taux de 4, 7%. Solution 1.18 S 5 = S 0 (1, 025) 5 donc les intérêts sont de I = S 5 S 0 = S 0 ((1, 025) 5 1), qui est donc le montant de la prime. Au bout de cinq ans, on a donc S 0 (1, 025) 5 + S 0 ((1, 025) 5 1) = S 0 (2(1, 025) 5 1). On cherche le taux de placement annuel : S 0 (1 + t) 5 = S 0 (2(1, 025) 5 1) donc (1 + t) 5 = 2(1, 025) 5 1, ce qui nous amène à t = 0, 04778, soit un taux d intérêts de 4, 7%. Solution 1.19 Soit a le nombre d années. On a 15000(1+ 0, 05) a = 22161, 83 et donc 1, 05 a = 22161,83 d où ln(1, 05 a ) = a ln(1, 05) = ln( 22161,83 ) ce qui nous 15000 15000 22161,83 ln( 15000 donne a = ) 8 ln(1,05) 7