Devoir n 3 Il est très fortement conseillé de lire l'ensemble des énoncés avant de commencer. Exercice 1 (1,5 point) Le schéma ci contre représente le dispositif dit des «rails de Laplace». Ce dispositif est constitué de deux rails parallèles (en matériau conducteur) reliés chacun à la borne d'une source de courant ; un barreau mobile (en matériau conducteur) est posé sur les rails. Le barreau mobile est soumis à l'influence d'un champ magnétique. 1. Indiquer les caractéristiques de la force de Laplace agissant sur le barreau mobile. Point d'application : le centre d'inertie du barreau mobile Direction : perpendiculaire au plan contenant le barreau et le champ magnétique. Sens : donné par la règle de la main droite (vers la droite). Module (ou norme) : F=I.L.B sin( ( L, B)) soit F=I.L.B car l'angle entre les deux vecteurs est égal à 90 : F=I.L.B=10 0,5 0,2=1 N 2. Que se passe t il si le sens du courant dans le barreau mobile est inversé? Dans ce cas, le sens de la force est opposé à celui déterminé précédemment : le barreau se déplacerait vers la gauche. I = 10 A ; B = 0,5 T et L = 20 cm (longueur «utile» du barreau mobile). Exercice 2 (3,5 points) Le schéma ci dessous à droite représente une spire dont le contour est orienté. Si cette spire est soumise à l'influence d'un champ magnétique variable, elle est le siège d'une fém e(t) donnée par la relation e (t)= d Φ(t ) avec F(t) le flux à travers la spire. dt 1. Quelle est la signification mathématique de Il s'agit de la dérivée du flux par rapport au temps. dφ(t) dt? Devoir n 3 Page 1/7 TS1 ET 2013 2014
2. Le flux à travers la spire évolue selon le graphe cidessous : Orientation du contour e(t) a. Déterminer la valeur de la fém entre 1,3 et 2,6 ms. Sur cet intervalle, le flux est constant, sa dérivée est donc nulle et il en est de même de la fém. b. Déterminer la valeur de la fém entre 0 et 1,3 ms. Sur cet intervalle, le flux augmente linéairement, il est donc possible d'écrire dφ(t) = Δ Φ(t) Φ(1,3 ms) Φ(0 ms) = = 10.10 3 0 =7,69 V soit e(t)= 7,69 V d t Δ t 1,3.10 3 0 1,3.10 3 c. Déterminer la valeur de la fém entre 2,6 et 5,2 ms. Sur cet intervalle, le flux diminue linéairement, il est donc possible d'écrire dφ(t) = Δ Φ(t) Φ(5,2 ms) Φ(2,6 ms) = = 10.10 3 10.10 3 = 7,69 V d t Δ t 5,2.10 3 2,6.10 3 2,6.10 3 soit e(t)=7,69 V 3. Un aimant se déplace en translation devant une bobine. Les bornes de la bobine sont reliées à l'entrée d'un oscilloscope ce qui permet de visualiser la tension u(t) (sur le schémas ci contre, le pôle nord est figuré en noir). a. Orienter la bobine et déterminer le sens de son vecteur surface. Le choix d'orientation est conforme à celui indiqué précédemment pour que u(t) corresponde à la fém induite (voir le graphe cicontre) et le sens du vecteur surface est obtenu à l'aide de la main droite (en bleu sur le graphe ci contre). b. Comment évolue le flux à travers la bobine dans cette situation? Situation n 1 Le vecteur champ magnétique engendré par l'aimant est représenté en rouge (sens sud nord de l'aiguille aimantée). Le flux est positif car les vecteurs B et S sont colinéaires et de même sens. Le flux augmente lorsque l'aimant s'approche. c. Déduire de ce qui précède le signe de u(t). Puisque le flux augmente alors sa dérivée est positive. L'orientation du contour étant choisie pour que e(t)= d Φ(t ) alors le signe de u(t) est négatif. dt Devoir n 3 Page 2/7 TS1 ET 2013 2014
Exercice 3 (4 points) Les deux graphes ci dessous représentent les tensions et intensités pour une inductance et une capacité. Échelle horizontale : 0,1 ms par division. Échelle verticale : une division pour 5 V ou une division pour 0,1 A. Échelle horizontale : 0,5 ms par division. Échelle verticale : une division pour 200 V ou une division pour 50 A. 1. Indiquer quel relevé correspond à l'inductance (la réponse doit être justifiée). Le courant à travers une inductance est en retard de 90 sur la tension aux bornes de l'inductance. Cela correspond au graphe de droite. Remarque : pour le graphe de gauche, le courant est en avance de 90 sur la tension, ce qui correspond à une capacité. 2. Déterminer la fréquence des signaux pour chaque relevé. À gauche, une période correspond à 12 divisions et il y a une division pour 0,1 ms ce qui donne une période de 1,2 ms soit une fréquence f g = 1 1,2.10 3 =833 Hz. À droite, une période correspond à 12 divisions et il y a une division pour 0,5 ms ce qui donne une période de 6 ms soit une fréquence f d = 1 6.10 3 =167 Hz. 3. Déterminer les impédances des dipôles pour chaque relevé en expliquant la démarche suivie. L'impédance d'un dipôle est donnée par la relation et de l'intensité pour le dipôle. On peut aussi écrire Z = U I Z = U max I max avec U et I les valeurs efficaces de la tension À gauche (capacité) Z C = 4 5 2,5 0,1 =80 Ω À droite (inductance) Z L = 3 200 2 50 =6 Ω 4. Déduire de ce qui précède l'inductance et la capacité. À gauche (capacité) L'impédance est donnée par Z C = 1 C ω = 1 C 2 π. f g 1 1 donc C= = =2,39 µf Z c 2π.f g 80.2π.833 À droite (inductance) L'impédance est donnée par Z L = Lω=L2 π. f d donc L= Z L = 6 =5,72 mh 2π.f d 2 π.167 Devoir n 3 Page 3/7 TS1 ET 2013 2014
Exercice 4 (5,5 points) Le graphe ci contre représente la tension et l'intensité aux bornes d'un dipôle. Échelles : horizontale : 2,5 ms par division verticale : 200 V par division pour la tension et 4 A par division pour l'intensité. 1. Quelle est la nature du dipôle (capacitif, inductif ou résistif)? Le courant est en avance sur la tension ce qui traduit un effet capacitif mais le déphasage n'étant pas égal à 90 en valeur absolue, il y a aussi un effet résistif : le dipôle est résistif et capacitif. 2. Mesurer le déphasage entre l'intensité et la tension puis représenter les vecteurs associés sur un diagramme de Fresnel. Une demi période correspond à 4 divisions et 180 ce qui fait 45 pour une division. Deux événements identiques sont séparés par une division ce qui correspond à un déphasage de 45. 3. Calculer l'impédance du dipôle. L'impédance d'un dipôle est donnée par la relation Z = U I avec U et I les valeurs efficaces de la tension et de l'intensité pour le dipôle. On peut aussi écrire Z = U max I max = 4 200 2,5 4 =80 Ω Le modèle équivalent comporte une résistance R en série avec une capacité C. 4. Représenter le schéma équivalent puis exprimer son impédance complexe en fonction de R, C et f (fréquence des signaux). Les deux dipôles sont en série, l'impédance complexe est égale à la somme des impédances complexes de la résistance et de la capacité ce qui donne Z =R + 1 jc ω. Comme ω=2 π f et 1 = j alors j 1 Z =R j C 2 π f 5. Déterminer les parties réelle et imaginaire de l'impédance complexe à partir des résultats des questions 2 et 3. En déduire les valeurs de la résistance R et de la capacité C. D'après les questions 2 et 3, le module de l'impédance est égal à 80 W et son argument j est égal à 45. On peut calculer les parties réelle a et imaginaire b par : a=z cos ϕ=80 cos( 45)=56,6 B=Z sin ϕ=80 cos( 45)=56,6 1 En identifiant avec Z =R j, on obtient a=r et b= 1 C 2 π f C 2 π f 56,6= 1 1 soit C= C 2π f 56,6 2π f = 1 =56,2 µf. 56,6 2π 50 Remarque : ce qui donne R = 56,6 W et La période correspond à 8 divisions de 2,5 ms soit une période de 20 ms et une fréquence de 50 Hz. Devoir n 3 Page 4/7 TS1 ET 2013 2014
Exercice 5 (5,5 points) Une tension de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 230 V est imposée aux bornes d'un dipôle constitué d'une inductance L, d'une résistance R = 20 W et d'une capacité C = 50 µf connectées en série. La tension aux bornes de la capacité a une valeur efficace de 280 V. 1. Calculer l'intensité efficace du courant dans le dipôle. On utilise les valeurs efficaces de la tension ( U C ) et de l'intensité ( I ) aux bornes de la capacité ainsi que la relation (loi d'ohm) I=C.2 π.f.u C soit I=50.10 6.2 π.50.280=4,39 A 2. Calculer l'impédance du dipôle. Elle est donnée par la relation Z = U I avec U = 230 V et I = 4,39 A soit Z = 230 4,39 =52,4 Ω 3. Diagrammes de Fresnel On montre que les valeurs données dans l'énoncé peuvent conduire à deux situations : l'une pour laquelle le courant à travers l'association est en avance de 67 sur la tension aux bornes de l'association et l'autre pour laquelle c'est la tension qui est en avance de 67 sur le courant. a. Établir la relation entre les vecteurs de Fresnel (ou les nombres complexes) associés aux tensions aux bornes de la résistance, de l'inductance, de la capacité et de l'association. Les nombres complexes associés sont notés respectivement U R, U L, U C et U. La loi des mailles permet d'écrire U R +U L +U C =U. b. Placer sur le document réponse (page 4) les vecteurs associés à la tension aux bornes de l'association, à la tension aux bornes de la résistance et à la tension aux bornes de la capacité lorsque le courant est en avance (à droite) et lorsqu'il est en retard (à gauche) sur la tension. Échelle : 1 cm pour 50 V Les diagrammes sont construits en utilisant la méthode suivante : Longueur du vecteur associé à U R =R. I=20 4,39=87,8 V : phase (colinéaire et de même sens) avec le courant sur les deux graphes. 87,8 =1,8 cm, ce vecteur est en 50 230 Longueur du vecteur associé à U : =4,6 cm, ce vecteur est en avance de 67 sur le graphe de 50 gauche et en retard de 67 sur le graphe de droite. Longueur du vecteur associé à U C : les deux graphes. 280 =5,6 cm, ce vecteur est en retard de 90 sur le courant sur 50 Le vecteur associé à U L est tel que U R +U L +U C =U ce qui donne 9,8 cm soit 9,8 50=490 V sur le graphe de gauche (courant en retard) et 1,4 cm soit 1,4 50=70 V sur le graphe de droite (courant en avance). c. Déduire de ce qui précède les deux valeurs possibles pour la tension aux bornes de l'inductance puis les deux valeurs possibles de l'inductance. La loi d'ohm pour l'inductance permet d'écrire U L =L ω I et ω=2 π f soit U L =L 2π f I. On obtient donc L= U L 2 π f I Devoir n 3 Page 5/7 TS1 ET 2013 2014
À gauche : U L = 490 V L= U L 2 π f I = 490 2 π 50 4,39 =0,355 H À droite : U L = 70 V L= U L 2πf I = 70 2π 50 4,39 =0,51 H 4. Établir l'expression de l'impédance complexe de l'association en fonction de R, L, C et de la pulsation w. Les trois dipôles sont en série, on additionne leurs impédances Z =R + j Lω+ 1 jc ω Devoir n 3 Page 6/7 TS1 ET 2013 2014
Document réponse pour l'exercice 4 Le courant est en retard sur la tension. Le courant est en avance sur la tension. Les traits en pointillés font un angle de 67 avec l'horizontale. Devoir n 3 Page 7/7 TS1 ET 2013 2014