Collège Jean-Baptiste Clément 5-7, rue Albert Chardavoine 93440 DUGNY réalisés par M. LENZEN. Également disponibles en consultation sur son site internet http://www.capes-de-maths.com/ 01.43.11.11.40 01.48.37.46.59 webmaster@capes-de-maths.com Ce document est sous contrat Creative Commons. Afin de contribuer au respect de l environnement, merci de n imprimer ce manuel que si nécessaire.
page 2 Le manuel utilisé dans ce cours est le Dimathème 3 ème, programme 2008 (pas la dernière édition!), chez Didier : Des manipulations sont faites à la calculatrice dans ce manuel. Les touches font référence à la «TI- Collège Plus» de chez Texas Instruments : On trouvera dans ce manuel, à chaque début de chapitre, les points du programme concernés. Les capacités qui ne sont pas exigibles pour le socle commun sont écrits en lettres italiques. Si la phrase en italique est précédée d un astérisque, l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillé bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
page 3 Sommaire SOMMAIRE... 3 CHAPITRE N 1 : ARITHMÉTIQUE... 5 I DIVISIBILITÉ... 5 IV QUOTIENTS & FRACTIONS (RAPPELS)... 7 CHAPITRE N 2 : NOTION DE FONCTIONS... 9 I PREMIÈRE APPROCHE... 9 II VOCABULAIRE ET NOTATIONS... 9 III REPRÉSENTATION GRAPHIQUE... 10 CHAPITRE N 3 : THALÈS... 11 I AGRANDISSEMENTS & RÉDUCTIONS... 11 II THÉORÈME DE THALÈS & APPLICATIONS... 11 CHAPITRE N 4 : DÉVELOPPEMENTS... 13 I DÉVELOPPEMENTS SIMPLES ET DOUBLES... 13 II IDENTITÉS REMARQUABLES... 14 CHAPITRE N 5 : STATISTIQUES... 15 I VOCABULAIRE... 15 II MÉDIANE... 15 III ÉTENDUE... 15 IV QUARTILES... 16 CHAPITRE N 6 : THALÈS, LE RETOUR... 17 II CONTRAPOSÉE DU THÉORÈME DE THALÈS... 18 CHAPITRE N 7 : FACTORISATIONS... 19 I FACTORISATION AVEC UN FACTEUR COMMUN (NOMBRE, LETTRE OU EXPRESSION)... 19 II FACTORISATION AVEC LES IDENTITÉS REMARQUABLES... 20 CHAPITRE N 8 : TRIGONOMÉTRIE... 21 CHAPITRE N 9 : ÉQUATIONS... 25 I ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE... 25 II ÉQUATION PRODUIT NUL... 26 CHAPITRE N 10 : ANGLES & POLYGONES... 29 I ANGLE INSCRIT & ANGLE AU CENTRE... 29 II POLYGONES RÉGULIERS... 30 CHAPITRE N 11 : PROBABILITÉS... 33 I VOCABULAIRE... 33 II NOTIONS DE PROBABILITÉ... 34
page 4 CHAPITRE N 12 : SYSTÈMES D ÉQUATIONS... 35 I SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS... 35 II RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS... 36 III À LA CALCULATRICE... 36 CHAPITRE N 13 : FONCTIONS AFFINES & LINÉAIRES... 37 I DÉFINITIONS... 37 II PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS... 38 III REPRÉSENTATION GRAPHIQUE... 38 CHAPITRE N 14 : INÉQUATIONS... 41 I DÉFINITIONS... 41 II PROPRIÉTÉS À CONNAÎTRE... 41 III RÉSOLUTION D UNE INÉQUATION... 41 CHAPITRE N 15 : RACINES CARRÉES... 43 I PREMIÈRE APPROCHE... 43 II CALCULS AVEC DES RACINES CARRÉES... 43 III LES TYPES DE NOMBRES... 44 CHAPITRE N 16 : PUISSANCES... 45 I PUISSANCES... 45 II CALCULS AVEC DES PUISSANCES... 46 III ÉCRITURE SCIENTIFIQUE... 46 CHAPITRE N 17 : GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE... 47 I SECTIONS PLANES DE SOLIDES... 47 II PYRAMIDE & CÔNE DE RÉVOLUTION... 48 III SPHÈRE & BOULE... 49 CHAPITRE N 18 : GRANDEURS... 51 I AIRE DE LA SPHÈRE & VOLUME DE LA BOULE... 51 II GRANDEURS COMPOSÉES... 51
page 5 Chapitre n 1 : Arithmétique Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires Plusieurs méthodes peuvent être envisagées. 2.1 Nombres entiers et rationnels Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. - Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme d Euclide). - Calculer le PGCD de deux entiers. - Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. La connaissance de relations arithmétiques entre nombres que la pratique du calcul mental a permis de développer permet d identifier des diviseurs communs de deux entiers. Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des cas simples mais ne doit pas être systématisée. Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel sont exploités. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. [Reprise du programme du cycle central] - Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée. Dans le cadre du socle commun, l addition, la soustraction et la multiplication «à la main» de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas simples ; pour l addition et la soustraction, il s agit uniquement des cas où un calcul mental est possible. Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée. I Divisibilité 1. Division euclidienne (rappel) Soient a et b deux nombres entiers positifs, avec b 0. Faire la division euclidienne de a par b signifie trouver une égalité de la forme a = bq + r, où q et r sont deux nombres entiers positifs tels que r < b. Dans ce cas, le nombre q s appelle quotient entier et le nombre r reste. Interrogation orale : 42, 43, 45 p. 29 Exercices de rappels (nombres relatifs) : p. 7 En classe/à la maison : 54, 55, 56, 57 p. 31 2. Diviseurs s Soit a un nombre entier positif. On dit qu un nombre entier b différent de 0 est un diviseur de a s il existe un nombre entier n positif tel que a = nb (donc si a est dans la table de multiplication de b). On dit aussi que a est un multiple de b, ou que a est divisible par b. Exemple : Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 car : 18 = 18 1 ; 18 = 9 2 ; 18 = 6 3 ; 18 = 3 6 ; Pour faire une division, on appuie sur la touche. Si l on tape à la place, on obtiendra une division euclidienne : la calculatrice affiche alors le quotient et le reste. Propriété Un nombre entier a > 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
page 6 Un nombre entier a > 1 qui admet exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Exemples : Les 10 plus petits nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29. Les autres nombres, comme 18, ne sont pas premiers puisqu ils admettent plus que deux diviseurs. Qu en est-il de 1? 1 n admet comme diviseur que 1 : puisqu il n en admet pas deux, ce n est pas un nombre premier! 63, 66 p. 30 À la maison : 64, 65, 67 p. 30 II P.G.C.D. 1. Le P.G.C.D. de deux nombres entiers a et b strictement positifs est le Plus Grand Diviseur Commun à ces deux nombres. Il se note PGCD(a ; b). Exemples : Quel est le PGCD de 8 et de 20? Quel est le PGCD de 8 et de 15? Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8. Ceux de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20. Les diviseurs communs à 8 et 20 sont donc 1, 2 et 4. Par conséquent, PGCD(8 ; 20) = 4. Remarques PGCD(a ; a) = a. Si b est un diviseur de a, alors PGCD(a ; b) = b. PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a). 2. Algorithme d Euclide Propriété Le PGCD de deux nombres entiers a et b strictement positifs peut être calculé rapidement grâce à l algorithme d Euclide : il s agit du dernier reste non nul. Exemple : Calculer le PGCD de 320 et 460. 460 = 320 1 + 140 320 = 140 2 + 40 140 = 40 3 + 20 40 = 20 2 + 0 PGCD Interrogation orale : 44 p. 29 1, 4 p. 24 2, 5, 7, 9 p. 24 III Fractions irréductibles 1. Nombres premiers entre eux Deux nombres entiers a et b strictement positifs sont dits premiers entre eux lorsque PGCD(a ; b) = 1. Exemples : Les nombres 320 et 460 ne sont pas premiers entre eux puisque PGCD(320 ; 460) = 20. Qu en est-il des nombres 9 et 25? 25 = 9 2 + 7 9 = 7 1 + 2 7 = 2 3 + 1 2 = 1 2 + 0 9 et 25 sont premiers entre eux. Interrogation orale : 10 p. 25 12, 14, 15 p. 25+ 75 p. 31 13, 16 p. 25+ 76 p. 31
page 7 2. Fraction irréductible (= qu on ne peut plus simplifier) Propriété Si le numérateur et le dénominateur d une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible. Exemples : La fraction 320 25 est-elle irréductible? Et la fraction 460 9? 320 460 est réductible puisque PGCD(320 ; 460) = 20 ; 25 9 est déjà irréductible car PGCD(9 ; 25) = 1. Propriété Si on divise le numérateur et le dénominateur d une fraction par leur PGCD, alors la fraction obtenue est irréductible. Exemple : Simplifier la fraction 320. On sait déjà que PGCD(320 ; 460) = 20 (si on ne le sais pas, il faut le 460 déterminer). Donc : 320 320 20 = 460 460 20 = 16 23. Pour saisir une fraction, taper (et non ), puis le numérateur, puis et le dénominateur, puis valider sur. Si une flèche vers le bas apparaît sur l écran à côté du résultat, taper sur, puis autant de fois sur que nécessaire (jusqu à ce que cette flèche n apparaisse plus). Le résultat affiché est alors la fraction irréductible égale à celle qui a été saisie. Faites le test avec 320/460! Si l on souhaite malgré tout une valeur approchée, il faut encore appuyer sur. Problèmes utilisant le PGCD : 26 (en classe), 27, 28, 29 p. 27 + 78, 79 p. 31 19, 20, 22 p. 26 20 (en utilisant PGCD), 23, 24, 25 p. 26 IV Quotients & fractions (rappels) 1. Additions et soustractions Propriété Mêmes dénominateurs : a D + b D = a + b a et D D b D = a b D. Dénominateurs différents : il faut d abord les mettre sur le même dénominateur. Exemples : 9 4 + 1 9 + ( 1) = = 8 4 4 4 = 2 et 7 12 + 1 6 = 7 12 + 2 12 = 7 + 2 = 5 12 12. 2. Multiplication Propriété a b c d = a c b d. Exemples : 9 4 1 = 9 ( 1) 4 4 4 = 9 16 = 9 16 et 7 12 6 21 = 1 7 6 1 = 1 212 21 7 14 = 1 14. 3. Division
page 8 Propriété a b c d = a b c d = a b d c. Exemples : 4 5 12 = 4 5 12 1 = 4 5 1 12 = 1 4 1 5 12 3 = 1 15 et 2 3 4 5 = 2 3 4 5 = 2 3 5 4 = 1 2 5 3 4 2 = 5 6. Propriété («produit en croix») Si a b = c d, alors ad = bc. Réciproquement, si ad = bc, alors a b = c d. Exemple : Calculer le nombre manquant dans l égalité x 3 = 7 5. x 3 = 7 5 x 5 = 7 3 x = 7 3 = 21 5 5 = 4,2. On regardera au «Chapitre n 9 : Équations» (page 25) pour la seconde équivalence. 32 p. 9 34, 35 p. 9
page 9 Chapitre n 2 : Notion de fonctions Image, antécédent, notations f (x), x 1 f (x). [Thèmes de convergence] Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 1.1 Notion de fonction - Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. - Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d ensemble de définition sont hors programme. La détermination d un antécédent à partir de l expression algébrique d une fonction n est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines. I Première approche Une fonction est un outil mathématique qui transforme un nombre en un autre nombre, que l on peut assimiler à une machine : nombre autre nombre Exemple : L aire d un carré est donnée par a = c 2. L outil «aire du carré» est une fonction qui transforme un nombre (côté du carré) en un autre nombre (aire du carré). Pouvez-vous me donner d autres exemples? II Vocabulaire et notations Notation : Cette fonction, notée f, qui transforme un nombre en son carré, se note f : x x 2. Par exemple, au nombre 4, cette fonction associe son carré, c est-à-dire 4 2 = 16. On dit que : - l image de 4 par la fonction f est 16 ; f : 4 16-4 est un antécédent de 16 par la fonction f. antécédent de 16 image de 4 L image du nombre 4 par la fonction f se note f(4) (et se lit «f de quatre»), de sorte que f(4) = 16 (on lit «f de quatre égal seize»). Par conséquent, la fonction f associe au nombre x le nombre f(x) = x 2. Remarques - L image d un nombre par une fonction est unique! - f( 4) = ( 4) 2 = 16 : 4 est donc un autre antécédent de 16 par la fonction f ; - f : x x 2 se lit «la fonction f qui à x associe x 2» : f est une fonction ; - f(x) = x 2, donc puisque x 2 est un nombre, f(x) aussi ; - pour déterminer une fonction g, on peut : utiliser une phrase la fonction g qui à x associe 4x + 3, utiliser la notation g : x 4x + 3, utiliser une égalité g(x) = 4x + 3. Exemple : Voici le tableau de valeurs d une fonction f : x 2 1 0 1 3 f (x) 1 2 1 4 2
page 10 On peut dire que : * 1 est l image de 2 par la fonction f ou f ( 2) = 1 ; * 4 est l image de 1 par la fonction f ou f ( 2) = 4 ; * 1 admet comme image 2 par la fonction f ou f ( 1) = 2 ; * 0 est un antécédent de 1 par la fonction f ou f ( 1) = 0 ; * 3 est un antécédent de 2 par la fonction f (il y en a un autre : 1!!!) ou f (3) = f ( 1) = 2. Exercice : On considère la fonction f : x 1 x + 2. Calculer les valeurs suivantes : x 1 f ( 2) ; f ( 1) ; f ( 0,5) ; f (0) ; f (2) ; f (4). f ( 2) = 2 + 2 2 1 = 0 1 + 2 = 0 // f ( 1) = 3 1 1 = 1 0,5 + 2 = 0,5 // f ( 0,5) = 2 0,5 1 = 1,5 1,5 = 1 f (0) = 0 + 2 0 1 = 2 2 + 2 = 2 // f (2) = 1 2 1 = 4 4 + 2 = 4 // f (4) = 1 4 1 = 6 3 = 2. Interrogation orale : 16, 17 p. 115 3 p. 111 + 5 p. 112 4 p. 111 + 6, 7 p. 112 On repère sur la calculatrice une touche qui ressemble à la notation introduite ci-dessus :. Après avoir appuyé dessus, saisir l expression de f (x) en fonction de x, par exemple x 2 :. Valider par. La calculatrice permet alors deux choses : - générer un tableau de valeurs automatiquement : il faut pour cela donner la valeur initiale puis le pas, puis naviguer dans le tableau à l aide des touches de direction. En se plaçant sur un résultat dans la colonne f (x), un appui sur le changera en valeur approchée si nécessaire. - Mettre le curseur sur «x =?», valider par, puis écrire manuellement les nombres pour lesquels la calculatrice doit déterminer l image en les validant par. III Représentation graphique Soient a un nombre relatif et f(a) son image par une fonction f. Dans un repère, on considère les points M de coordonnées (a ; f(a)). L ensemble (c) de ces points constitue la représentation graphique de la fonction f dans ce repère. Exemple et illustration : (c) f (a) M a 1. Quelle est l image de 4 par la fonction f? L image de 4 par la fonction f est 1. 2. L image de 8 par la fonction f est. L image de 8 par la fonction f est 2. 3. f (5) = f (5) = 1. 4. Quels sont les antécédents de 2 par la fonction f? Les antécédents de 2 par la fonction f sont 6 et 8 5. f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = 1. f ( 4) = f ( 2) = f (4) = f (10) = 1. 6. Quels nombres entiers ont exactement deux antécédents? Les nombres 2, 1, 4 et 5. 7. Quels nombres entiers ont exactement une image? Tous, puisque chaque nombre a une unique image! 1 p. 110 + 23 p. 116 2 p. 110 + 9 p. 113 + 27 p. 117 + 37, 38 p. 119
page 11 Chapitre n 3 : Thalès Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes - Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les Il s agit de prolonger l étude commencée en classe de quatrième Configuration de Thalès. côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. coupant deux droites sécantes. Agrandissements et réductions. [Reprise du programme de 4 e ] - Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir. Dans le cadre du socle commun, il est attendu des élèves qu ils sachent, dans des situations d agrandissement ou de réduction, retrouver des éléments (longueurs ou angles) de l une des deux figures connaissant l autre. En ce qui concerne les longueurs, ce travail se fait en relation avec la proportionnalité. 4.1 Aires et volumes Effet d une réduction ou d un agrandissement. - Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est multipliée par k 2, le volume d un solide est multipliée par k 3, I Agrandissements & réductions s Lorsque deux figures (ou solides) sont exactement les mêmes mais pas à la C N même taille, on dit que - la plus grande est un agrandissement de l autre : on appelle alors rapport longueur agrandie d agrandissement le quotient k = longueur initiale = AB A (k > 1) ; AM M B - la plus petite est une réduction de l autre : on appelle alors rapport de réduction le quotient longueur réduite k = longueur initiale = AN (0 < k < 1) ; AC Pour deux triangles, les angles restent inchangés. Si les deux triangles ont deux côtés commune, on parle de configuration de Thalès (voir illustration ci-dessus). Propriété Si les longueurs d une figure sont multipliées par un nombre k, alors son aire sera multipliée par le nombre k 2 ; Si les longueurs d un solide sont multipliées par un nombre k, alors son volume sera multiplié par le nombre k 3. DÉFI : 49 p. 246 8 p. 240 + 12 p. 241 9, 10 p. 240 + 13, 15, 16 p. 241 II Théorème de Thalès & applications 1. Théorème Théorème de Thalès Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point O, ainsi que A, B deux points de (d) distincts de O et A, B deux points de (d ) distincts de O. Si les droites (AB) et (A B ) sont parallèles, alors : OA OB = OA OB = AA BB. B B O A A» (d ) (d)
page 12 Exemple : La configuration 4 ème reste toujours d actualité : B A (d ) Remarque OA OB = OA OB = AA BB En rouge, le point d intersection des deux droites. En bleu, les points de (d). En vert, les points de (d ). Le dernier quotient est constitué des «droites parallèles». 32 p. 244 O B 33, 34, 35, 38 p. 244 A» (d) 2. Calculer une longueur Exemple : Sur la figure ci-contre, les droites (AB) et (A B ) se coupent en O et les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles. Calculer la longueur BB. Les hypothèses du théorème de Thalès sont vérifiées : on a bien les points A, O, B alignés dans cet ordre, ainsi que A, O, B, et les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles. On a donc : OA OB = OA OB = AA BB, c est-à-dire 4 3 = OA OB = 10 BB. D après le produit en croix, on a donc BB = 10 3 4 = 30 4 = 7,5 cm. A 3 cm B 10 cm O B A 4 cm Interrogation orale : 24, 25 p. 243 1, 2 p. 238 3, 4, 5 p. 238 + 57 p. 248 3. Partager un segment Exemple : Étant donné un segment [AB], construire le point C de ce segment tel que : AC = 5 7 AB. On trace une demi-droite d origine A. On prend le compas et on reporte sept longueurs égales à partir du point A. On appelle les 5 ème et 7 ème points d intersection D et E. La parallèle à la droite (BD) passant par E coupe le segment [AB] en un point C : c est le point recherché!! A E C D B Preuve : Les droites (AB) et (AD) se coupent en A et les droites (BD) et (CE) sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a donc : AC AB = AE AD = CE, c est-à-dire : AC BD AB = 5 7, ou encore AC = 5 7 AB. 62 p. 249 63, 64 p. 249
page 13 Chapitre n 4 : Développements Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.3 Écritures littérales - Connaître les identités : Identités remarquables. (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 - Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples. Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique mais aucune mémorisation des formules n est exigée. I Développements simples et doubles 1. Rappel : réduction Réduire une expression, c est calculer ensemble tous les nombres d une même famille dans une expression littérale où il ne reste plus que des additions et soustractions. Exemples : F = (x + 2)(x 3) + x(x + 3)= x 2 3x + 2x 6 + x 2 + 3x = 2x 2 + 2x 6. G = (2x + 2y)(2y 3x) = 4xy 6x 2 + 4y 2 6yx = 2xy 6x 2 6y 2. 63 p. 48 64 p. 48 Remarques On n oubliera pas qu on peut ôter le symbole de multiplication (mais PAS la multiplication elle-même) dans les trois cas suivants : - entre un nombre et une lettre ; - entre deux lettres ; - entre un nombre connu (ou inconnu) et une parenthèse ouvrante. 2. Rappels : développements simples Formules k ( a + b ) = k a + k b. k ( a b ) = k a k b. Remarques On a transformé un produit en une somme. On dit qu on a développé l expression k (a + b). On a transformé une somme en un produit. On dit qu on a factorisé l expression k a + k b. Exemples : Développer les expressions suivantes : A = 3(x + 2) ; B = 7(2 x) et C = 2(y 6). [A = 3x + 6 ; B = 14 7x ; C = 2y + 12] 63, 65 p. 48 24, 26 p. 48 3. Double-distributivité Propriété ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd. Chaque flèche signifie un produit (une multiplication). Bien sûr, entre chaque produit, il faut un signe + ou : celui-ci est déterminé par la règle des signes au moment où le produit (la flèche) est calculé. Il est donc hyper important de bien identifier les nombres a, b, c et d, si possible en les soulignant avec leur signe!
page 14 Exemples : * D = (2 + 3x)(3 2y) * E = ( 2 + x)(y 3) [D = 6 4y + 9x 6xy ; E = 2y + 6 + xy 3x] 67 p. 48 68 p. 48 II Identités remarquables Formules (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ; (a + b)(a b) = a 2 b 2. développements Exemples : Un développement grâce aux identités remarquables se fait en trois étapes : 1. Identifier l identité remarquable à utiliser. 2. L utiliser en remplaçant a et b par les valeurs données. 3. Faire les calculs et réduire si possible. H = (2x + 5) 2 I = (x 3) 2 J = (5 + 2x)(5 2x) H = (2x) 2 + 2 2x 5 + 5 2 I = x 2 2 x 3 + 3 2 J = 5 2 (2x) 2 H = 4x 2 + 20x + 25 I = x 2 6x + 9 J = 25 4x 2. En général, (a + b) 2 a 2 + b 2. En effet, (2 + 3) 2 = 5 2 = 25 et 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13. C est pareil pour la soustraction!! Interrogation orale : 46, 47, 49 p. 47 1, 3, 5, 7 p. 42 + 70 p. 48 + 82 p. 49 2, 4, 6, 8 p. 42 + 71, 72 p. 48 + 83 p. 49
page 15 Chapitre n 5 : Statistiques Approche de caractéristiques de dispersion. [Thèmes de convergence] Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 1.3 Statistique - Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau ou par une représentation graphique) : Caractéristique de position. déterminer une valeur médiane de cette série et en donner la signification ; déterminer des valeurs pour les premier et troisième quartiles et en donner la signification ; déterminer son étendue. - Exprimer et exploiter les résultats de mesures d une grandeur. Le travail est conduit aussi souvent que possible en liaison avec les autres disciplines dans des situations où les données sont exploitables par les élèves. L utilisation d un tableur permet d avoir accès à des situations plus riches que celles qui peuvent être traitées «à la main». La notion de dispersion est à relier, sur des exemples, au problème posé par la disparité des mesures d une grandeur, lors d une activité expérimentale, en particulier en physique et chimie. I Vocabulaire En comptant sur le relevé de notes, on peut déterminer le nombre de notes au-dessus de la moyenne pour chaque élève de cette classe pour le 2 nd trimestre : 1 ; 4 ; 0 ; 3 ; 4 ; 1 ; 4 ; 1 ; 0 ; 3 ; 2 ; 2 ; 1 ; 5 ; 1 ; 0 ; 2 ; 2 ; 3 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2. La population étudiée ici sont les élèves de cette classe (sur qui?) ; Le caractère étudié est le nombre de notes au-dessus de 10 au 2 nd trimestre (sur quoi?) ; L effectif total est de 24, parce qu on a compté 24 valeurs en tout (combien?) ; Les valeurs du caractère sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5. II Médiane La médiane d une série de données est un nombre (pas forcément dans la série) qui partage cette série en deux sous-séries de même effectif : c est une caractéristique de position, comme la moyenne. Exemples : Pour déterminer une médiane, il faut d abord ranger toutes les valeurs dans l ordre croissant, puis séparer les cas où l effectif total est pair et où il est impair : Effectif total impair Exemple : 7 7 8 9 12 12,5 15. 3 valeurs 3 valeurs médiane La médiane de cette série est 9. En effet, il y a autant de valeurs au-dessus qu endessous. Effectif total pair Exemple : 7 7 8 9 12 12,5 15 16. 4 valeurs 4 valeurs médiane La médiane est alors la demi-somme de 9 et 12 : 9 + 12 = 21 2 2 = 10,5. La médiane est donc égale à 10,5. Faire uniquement les questions sur la moyenne et la médiane en laissant la place nécessaire. 5 p. 166 + 31 p. 170 6 p. 167 + 33, 34 p. 170-171 III Étendue L étendue d une série de données est égale à la différence des valeurs extrêmes : c est une caractéristique de dispersion. Exemples : Pour l exemple du paragraphe I, la dispersion est égale à 5 0 = 5.
page 16 Pour l exemple de l effectif total impair, la dispersion est égale à 15 7 = 8. Faire uniquement les questions sur l étendue en laissant la place nécessaire. 5 p. 166 + 39 p. 172 6 p. 167 + 40 p. 172 IV Quartiles Les quartiles d une série de données rangées dans l ordre croissant sont des nombres qui partagent cette série en quatre parties qui ont un effectif à peu près égal. Les quartiles font partie des données de la série. 25 % 25 % 25 % 25 % Le premier quartile est noté Q 1. Le troisième quartile est noté Q 3. Q 1 Q 3 Pour déterminer les quartiles, - on compte l effectif total, noté N ; - on prend le premier nombre entier supérieur ou égal N/4 ce nombre correspond au premier quartile ; - on prend le premier nombre entier supérieur ou égal 3N/4 ce nombre correspond au troisième quartile. Exemples : Cas n 1 (N est divisible par 4) On dispose d une série d effectif total N = 20. Alors : N 4 = 20 4 = 5 et 3 N 4 = 3 20 4 = 15. Q 1 est donc la 5 ème valeur de la série et Q 3 est la 15 ème valeur de la série. Cas n 2 (N n est pas divisible par 4) On dispose d une série d effectif total N = 27. Alors : N 4 = 27 4 = 6,75 et 3 N 4 = 3 27 4 = 20,25. Q 1 est donc la 7 ème valeur de la série et Q 3 est la 21 ème valeur de la série. Cette méthode ne sert qu à donner la position des quartiles dans la série rangée dans l ordre croissant, elle ne donne pas les quartiles!! Il FAUT encore aller les chercher dans la série de données!!! Les quartiles sont utiles à construire des boîtes à moustache, dans lesquelles se cachent beaucoup d informations. Par exemple, si l on prend toutes les notes des contrôles d un trimestre, on arrive à construire le graphique suivant : 0 5 10 15 20 On y voit les notes minimale (1,5), maximale (20), médiane (10,5 : ce qui signifie que la moitié des élèves a eu plus que 10,5 et l autre moitié moins) et moyenne (9,5). Grâce aux quartiles, on sait aussi que : ¼ des élèves a eu entre 1,5 et 6 ; ¼ des élèves a eu entre 6 et 10,5 ; ¼ des élèves a eu entre 10,5 et 15 ; et le dernier ¼ des élèves a eu entre 15 et 20. Appuyer sur la touche. Pour un tableau simple, remplir les valeurs du caractère dans la colonne L 1. Pour des valeurs pondérées (ex : notes avec coefficients), saisir les valeurs dans L 1 et les effectifs correspondants dans L 2. À la fin de la saisie, appuyer sur puis. Laisser les données sur L 1. Si la colonne L 2 a été remplie, mettre «EFF» sur L 2 sinon laisser sur 1. Aller sur CALC et valider par. L écran suivant affiche dans l ordre l effectif total, la moyenne, la médiane, Q 1 et Q 3, l étendue, les valeurs minimale et maximale, la somme des valeurs, la somme des carrés des valeurs et l écart-type. Les trois derniers nombres ne nous serviront pas cette année. 5 p. 166 + 31 p. 170 6 p. 167 + 33, 34 p. 170-171 + 50 p. 175
page 17 Chapitre n 6 : Thalès, le retour Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes Configuration de Thalès. - Connaître et utiliser un énoncé réciproque. La réciproque est formulée en tenant compte de l ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque. L utilisation d un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d approche ou d étude du théorème et de sa réciproque. I Réciproque du théorème de Thalès Théorème de Thalès (réciproque) Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point O, ainsi que A, B deux points de (d) distincts de O et A, B deux points de (d ) distincts de O. B O A (d ) Si OA OB = OA et que les points O, A, B sont alignés OB dans le même ordre que les points O, A, B, alors les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles. B A» (d) Exemple : Sur la figure ci-contre (non dessinée en taille réelle), on sait que : - les droites (MS) et (AH) sont sécantes en T ; - TM = 5 ; TA = 7,5 ; TS = 4 et TH = 6. L unité de longueur est le centimètre. M S T A Les droites (HS) et (MA) sont-elles parallèles? Solution : On a TM TS = 5 4 = 15 TA et 12 TH = 7,5 6 = 15 TM, c est-à-dire 12 TS = TA. De plus, les points T, M, S TH sont alignés dans le même ordre que les points T, A, H. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (HS) et (MA) sont bien parallèles. H S Et les droites (HS ) et (MA)? Solution : On a aussi grâce au codage TM TS = 5 4 = 15 et TA 12 TH = 7,5 6 = 15, c est-à-dire TM 12 TS = TA TH. Par contre, les points T, M, S ne sont pas alignés dans le même ordre que les points T, A, H. On ne peut donc pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès, justifiant ainsi que les droites (HS ) et (AM) ne sont pas parallèles. Remarques Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur grâce à deux droites parallèles. La contraposée du théorème de Thalès permet de montrer que deux droites ne sont pas parallèles. La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer que deux droites sont parallèles. 46 p. 245 47 p. 246
page 18 II Contraposée du théorème de Thalès Théorème de Thalès (contraposée) Soient (d) et (d ) deux droites sécantes en un point O, ainsi que A, B deux points de (d) distincts de O et A, B deux points de (d ) distincts de O. B O A (d ) Si OA OB OA, alors les droites (AA ) et (BB ) ne OB sont pas parallèles. B A» (d) Exemple : Dans la figure ci-dessus, on a OA = 3, OB = 2, OA = 7 et OB = 4. Les droites (AA ) et (BB ) sontelles parallèles? Les droites (AB) et (A B ) sont sécantes en O. De plus, on a : OA OB = 3 2 = 6 et OA 4 OB = 7 4, c est-à-dire OA OB OA OB. D après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AA ) et (BB ) ne sont pas parallèles. Remarque Il arrivera que la question soit fermée dans les exercices («est-ce que les droites machin et truc sont parallèles?»). On ne pourra donc pas savoir au début s il s agit d utiliser la réciproque et la contraposée. Le début de la rédaction est cependant commun entre les deux propriétés, c est le test de l égalité qui permettra de faire cette différence. 6 p. 239 + 44 p. 245 7 p. 239 + 45 p. 245
page 19 Chapitre n 7 : Factorisations Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.3 Écritures littérales Factorisation. - Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent. Les travaux se développent dans trois directions : - utilisation d expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ; - utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes ; - utilisation pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique). Les activités visent la maîtrise du développement ou de la factorisation d expressions simples. Identités remarquables. - Connaître les identités : (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 - Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples. Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique mais aucune mémorisation des formules n est exigée. Tout le problème des factorisations, qui sont plus compliquées que les développements, est de savoir comment faire entre les quatre possibilités qui vont être présentées, en analysant l expression donnée dans l énoncé : - A-t-on un nombre comme facteur commun? - A-t-on une «lettre» comme facteur commun? - A-t-on carrément une expression littérale comme facteur commun? - Et si on me demande de factoriser alors que je n ai rien de tout ça??? I Factorisation avec un facteur commun (nombre, lettre ou expression) Méthode en 5 étapes : 1) On entoure la dernière opération (obligatoirement + ou ) : elle coupe l expression en deux parties ; 2) On souligne le facteur commun dans chacune des deux parties ; 3) On écrit le facteur commun au début de la ligne suivante ; 4) On écrit à la suite tout ce qui n a pas été souligné, en prenant soin de rajouter des parenthèses ; 5) On réduit dans la parenthèse, si possible. Exemples : Factoriser A = 2x 2y ; B = 3x + xy 2x 2 et C = (2x + 1) 2 (6 x)(2x + 1). Solution : A = 2x 2y B = 3x + xy 2 x x C = (2x + 1)(2x + 1) (6 x)(2x + 1) A = 2(x y). B = x(3 + y 2x). C = (2x + 1) [(2x + 1) (6 x)] C = (2x + 1)(2x + 1 6 + x) C = (2x + 1)(3x 5). Puisque le symbole n est pas obligatoire, il faut le souligner s il apparaît avec un facteur commun. Cette méthode fonctionne aussi si l expression est coupée en 3, 4, morceaux. N ESSAYEZ PAS DE GRILLER DES ÉTAPES!!! Vous ne feriez que plus d erreurs 19, 21 p. 44 20, 22, 23, 24 p. 44 + 73 p. 48 + 88 p. 50 (rappel : x 2 = x x)
page 20 II Factorisation avec les identités remarquables Formules a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 ; a 2 b 2 = (a + b)(a b). factorisations Une factorisation grâce aux identités remarquables se fait en quatre étapes : 1) Identifier l identité remarquable à utiliser : - 3 termes et aucun symbole : première identité remarquable, - 3 termes et un seul symbole : deuxième identité remarquable, - 2 termes : dernière identité remarquable. 2) Faire ressortir les carrés : on aura ainsi les nombres a et b. 3) Pour les deux premières identités remarquables, vérifier le double produit. 4) Factoriser. Exemples : Factoriser les expressions A = x 2 + 4x + 4 ; B = 9x 2 24x + 16 et C = 9x 2 16. Solution : A = x 2 + 4x + 4 B = 9x 2 24x + 16 C = 9x 2 16 A = x 2 + 2 x 2 + 2 2 B = (3x) 2 2 3x 4 + 4 2 C = (3x) 2 4 2 A = (x + 2) 2 B = (3x 4) 2 C = (3x + 4)(3x 4). Remarques On peut toujours factoriser une différence de deux carrés, mais en général pas une somme de deux carrés. 25, 27, 30 p. 45 + 89 p. 50 26, 28, 31 p. 45 + 91 p. 50
page 21 Chapitre n 8 : Trigonométrie Triangle rectangle, relations trigonométriques. Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes - Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs de deux des côtés d un triangle rectangle. - Déterminer, à l aide de la calculatrice, des valeurs approchées : du sinus, du cosinus et de la tangente d un angle aigu donné ; de l angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente. La définition du cosinus a été vue en classe de quatrième. Le sinus et la tangente d un angle aigu sont introduits comme rapports de longueurs. Les formules suivantes sont à démontrer : cos 2  + sin 2  = 1 et tan  = sin  cos  La seule unité utilisée est le degré décimal. I Cosinus (rappel) Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle est égal au rapport entre le côté adjacent à cet angle et l hypoténuse. A Dans le triangle ci-contre rectangle en A, on a donc : cos ABC = BA BC. B C Remarques Dans ce même triangle, on a aussi cos ACB = AC BC. Les longueurs étant toujours strictement positives, un cosinus l est aussi. De plus, le côté adjacent aura toujours une longueur inférieure à celle de l hypoténuse, donc le cosinus d un angle sera toujours plus petit que 1 : finalement, «0 < cos < 1». Exemple : Soit CAR un triangle rectangle en A tel que CA = 3, AR = 4 et CR = 5 cm. Calculer ARC arrondi au degré près : dans le triangle CAR rectangle en A, on a : cos ARC = AR RC = 4 5 = 0,8 ; donc ARC = cos 1 (0,8) 36, 86989765 37. II Sinus Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle est égal au rapport entre le côté opposé à cet angle et l hypoténuse. A Dans le triangle ci-contre rectangle en A, on aura donc : sin ABC = AC BC. B C Remarque Pour les même raisons que le cosinus, on peut écrire que «0 < sin < 1». Dans ce même triangle, on aura aussi que sin ACB = AB BC. On constate que sin ACB = AB BC = BA BC = cos ABC. Exemple : Soit CAR un triangle rectangle en A tel que CA = 3, CR = 5 cm et ACR = 53,13. Calculer AR arrondi au millimètre près : dans le triangle CAR rectangle en A, on a :
page 22 sin ACR = AR sin(53,13 ) = AR 5 sin(53,13 ) ; donc AR = 3,999994641 cm 4 cm. RC 1 5 1 Ici, l information AC = 3 cm était complètement inutile, si ce n est pour vérifier la bonne mesure de l angle : cos ACR = AC RC = 3 5 = 0,6 ; donc ACR = cos 1 (0,6) 53,13! III Tangente Dans un triangle rectangle, la tangente d un angle est égal au rapport entre le côté opposé à cet angle et le côté adjacent à cet angle. A Dans le triangle ci-contre rectangle en A, on aura donc : tan ABC = AC AB. B C Remarque Puisque la tangente est un quotient de longueurs positives, elle est strictement positive : «tan > 0». Dans ce même triangle, on aura aussi que tan ACB = AB AC. On constate que tan ACB = AB AC = 1 AC AB = 1 tan. ABC Exemple : Soit CAR un triangle rectangle en A tel que CA = 3, CR = 5 cm. Calculer ARC arrondi au degré près. Le problème de cet énoncé est qu étant dans le paragraphe «tangente», il nous faudrait les côtés adjacents et opposés à l angle demandé. On ne dispose cependant que du côté adjacent (CA). Néanmoins, grâce au théorème de Pythagore, on peut calculer la longueur manquante du troisième côté : D : Le triangle CAR est rectangle en A, D : donc d après le théorème de Pythagore, on a : C : CR 2 = CA 2 + AR 2 52 = 32 + AR 2 25 9 = AR 2 AR = 16 AR = 4 cm. On peut maintenant utiliser la tangente (plus besoin de préciser que le triangle est rectangle, c est déjà fait plus haut) : tan ARC = AC AR = 3 4 = 0,75 ; donc ARC = tan 1 (0,75) 36,86989765 37. 1, 2 p. 222 + 5, 6 p. 223 + 37 p. 228 3, 4 p. 222 + 7, 8, 9 p. 223 + 39 p. 228 IV Relations trigonométriques Propriété Soit x la mesure d un angle aigu. On a les égalités suivantes : (cos x) 2 + (sin x) 2 = 1 et tan x = cos x sin x. Justification : - Considérons dans un repère le quart de cercle de centre l origine O et de rayon 1, comme sur la figure ci-contre. Soit M un point quelconque de ce quart de cercle, et H le point d intersection entre la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par M et l axe des abscisses. Le triangle OHM est donc rectangle en H. 1 M On note x l angle HOM. Alors, OM = 1 (c est un rayon du quart de cercle), O x H 1
page 23 cos HOM = OH, donc cos x = OH, donc OH = cos x, OM 1 sin HOM = MH, donc sin x = MH, donc MH = sin x. OM 1 Enfin, puisque le triangle est rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore, de sorte que OH 2 + HM 2 = OM 2, soit (cos x) 2 + (sin x) 2 = 1. - Prenons cette même figure. On a alors : sin x cos x = MH OM OH OM = MH OM 1 = MH OH OM OM OH = MH OH OM = tan x. Exemple : Calculer le cosinus d un angle dont le sinus vaut 0,6. Notons x cet angle. Alors sin x = 0,6. Par la formule ci-dessus, on a : (cos x) 2 = 1 (sin x) 2 = 1 (0,6) 2 = 1 0,36 = 0,64, donc comme cos x > 0, on a finalement que cos x = 0,64 = 0,8. Remarque Si l on connaît une longueur de côté et un angle, on peut calculer toutes les autres longueurs de côtés. Si l on connaît deux longueurs de côtés, alors on peut calculer une valeur approchée de tous les angles. «CAH-SOH-TAO» qui signifie : Cos = Adjacent Hypoténuse ; Sin = Opposé et Tan = Opposé Hypoténuse Adjacent. Deux utilisations, selon que l on veuille calculer une longueur ou un angle. Avant tout, bien vérifier que la calculatrice est en mode «degrés» : il doit y avoir écrit «DEG» sur l écran. Si ce n est pas le cas, appuyer sur et placer le curseur sur «DEG» avant de valider par. - longueur : appuyer sur, ou selon le cas, compléter avec la valeur de l angle (pas besoin de mettre le symbole, la calculatrice est déjà en mode degrés) et terminer avec une avant de valider par. - angle : appuyer sur avant la touche, ou selon le cas, et mettre dans la parenthèse la valeur calculée du cosinus, sinus ou tangente.
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page 25 Chapitre n 9 : Équations Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 2.4 Équations et inéquations du premier degré La notion d équation ne fait pas partie du socle commun. Néanmoins, les élèves peuvent être amenés à résoudre des problèmes du premier degré (méthode arithmétique, méthode par essais successifs, ). Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits. - Résoudre une équation mise sous la forme A(x).B(x) = 0, où A(x) et B(x) sont deux expressions du premier degré de la même variable x. L étude du signe d un produit ou d un quotient de deux expressions du premier degré de la même variable est hors programme. I Équation du premier degré à une inconnue 1. Rappels Une équation est une opération à trous dont les trous ont été remplacés par des inconnues (= lettres). Résoudre une équation revient à trouver toutes les valeurs (si elles existent) de l inconnue qui vérifient l égalité. Chacune de ces valeurs est alors appelée solution de l équation. Remarque On appelle degré d une équation le plus grand exposant de l inconnue. Ainsi, l équation 5(x + 2) = 3x 6 est de degré 1, et l équation x 2 4x + 4 = 0 est de degré 2. Propriété (de la balance) On ne change pas une égalité en faisant une addition, soustraction, multiplication ou division par un même nombre. Autrement dit, pour trois nombres relatifs a, b et c (avec c 0 pour la division), si a = b, alors : a + c = b + c ; a c = b c ; a c = b c ; a c = b c. 46, 50 p. 80 47, 48, 49 p. 80 2. Méthode de résolution Il faut procéder par étapes. On va résoudre l équation 2(7 2x) = x + 5. 2(7 2x) = x + 5 14 4x = x + 5 14 = x + 5 + 4x 14 = 5x + 5 14 5 = 5x 9 = 5x 5x = 9 x = 9 5 14 4 9 = 14 36 5 5 = 70 5 36 5 = 34 5 9 5 + 5 = 9 5 + 25 5 = 34 5 Cette équation admet une solution : 9 5. Étape 1 : On enlève les parenthèses (en développant). Étape 2 : On regroupe toutes les inconnues d un côté du «=» et tous les nombres de l autre côté du «=» en utilisant la propriété de la balance ou. À ce stade, il ne doit rester plus qu un ou une!!! Étape 3 : Si nécessaire, on utilise la propriété de la balance ou pour arriver à quelque chose de la forme «x =». Étape 4 : On vérifie en testant l égalité de départ pour la solution trouvée (ici, x = 9/5) : si on trouve le même résultat, c est que la solution est correcte! Étape 5 : On écrit la conclusion. Remarques - Il peut être utile d utiliser en premier la propriété pour supprimer un quotient : 7 + 12 + 9 + x = 10. 4 - Il ne doit rester plus qu un seul nombre de chaque famille à la fin de l étape 3 : «x =». - Pour un problème, l étape 0 consiste à mettre le problème en équation. 1, 2, 3a)b) p. 74 + 52, 54 p. 80 3c)d), 4 p. 74 + 53, 55 p. 80 + 73 p. 81
page 26 Cette calculatrice sait comment résoudre les systèmes d équations (voir Chapitre n 12 : Systèmes d équations, page 35), mais cet outil permet aussi de résoudre les équations réduites (après l étape 2) du premier degré : appuyer sur. Saisir (toujours mettre 0y sur la première ligne et 1y = 1 sur la deuxième ligne) afin de voir l écran Il ne reste plus qu à appuyer une ultime fois sur. La solution se lit sur la ligne «x =». II Équation produit nul 1. et propriété Une équation produit nul d inconnue x est une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0. Remarque En général, une équation produit est de degré 2. Par exemple, l équation (2x + 3)(x 6) = 0 est la même, après développement, que 2x 2 9x 18 = 0 Propriété (du produit nul) Si un produit est nul, alors l un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit, pour deux nombres a et b, si a b = 0, alors a = 0 ou b = 0. 2. Méthode de résolution Quelques étapes sont nécessaires. Nous allons résoudre l équation (2x + 3)(x 6) = 0 : Étape 1 : On se ramène à deux équations du premier degré en utilisant la propriété du produit nul ; Étape 2 : On résout chacune des équations du premier degré grâce au paragraphe I ; Étape 4 : On vérifie la (les) solution(s) trouvée(s) en testant l égalité de départ pour chaque valeur trouvée ; Étape 5 : On écrit la conclusion. Au niveau de la rédaction, voilà le résultat : (2x + 3)(x 6) = 0. Si un produit est nul, alors l un au moins de ses facteurs est nul, donc : 2x + 3 = 0 ou x 6 = 0 2x = 3 ou x = 6 x = 3 2 ou x = 6. Je vérifie les valeurs trouvées : 2 3 2 + 3 3 2 6 = 0 3 2 6 = 0. (2 6 + 3) (6 6) = (2 6 + 3) 0 = 0. L équation (2x + 3)(x 6) = 0 admet donc deux solutions : x = 3 et x = 6. 2 5, 6, 7 p. 75 + 60 p. 80 8, 9, 10, 11, 13 p. 75 + 61 p. 80 + 75 p. 82
page 27 3. Cas particulier : équation de type «x 2 = a» Propriété Soit a un nombre relatif quelconque. - Si a < 0, alors l équation x 2 = a n admet aucune solution ; - Si a = 0, alors l équation x 2 = a admet une unique solution : x = 0 ; - Si a > 0, alors l équation x 2 = a admet deux solutions : x = a et x = a. 1, 2 p. 58 3 p. 58
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page 29 Chapitre n 10 : Angles & polygones Polygones réguliers. Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 3.1 Figures planes - Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l angle Angle inscrit, angle au centre. au centre qui intercepte le même arc. - Construire in triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier, un octogone connaissant son centre et son sommet. Cette comparaison entre angle inscrit et angle au centre permet celle de deux angles inscrits sur un même cercle interceptant le même arc. I Angle inscrit & angle au centre 1. s s Soient (c) un cercle de centre O, et A, B, C trois points distincts de ce cercle. On appelle : - angle inscrit : l angle ACR (ou ACR, ou encore ACR) ; B B - angle au centre : l angle ACR (ou ACR, ou encore ACR) ; O A O A - petit arc de cercle T AC : l arc de cercle violet ; - grand arc de cercle T AC : l arc de cercle orange. C (c) C (c) Par rapport à l angle ABC, il y a forcément l un des deux arcs T AC qui se trouve «coincé» entre les côtés de Remarque cet angle, ici le petit. On dit alors que l angle ABC intercepte le petit arc T AC. 42 1. à 3. p. 229 2. Propriétés Propriété 1 Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors l angle au centre mesure le double de l angle inscrit. Exemple : Nommer les points de la figure et trouver deux égalités traduisant cette propriété (l une concernant l angle au centre et l autre concernant l angle inscrit). En choisissant les notations de 1., Propriété 2 Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure.
page 30 Exemple : Nommer les points de la figure et trouver l égalité traduisant cette propriété. En choisissant les notations de 1. + D pour la quatrième point, Remarque Cas particulier : Si l angle au centre est plat (= 180 ), alors l angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle mesurera 180 2 = 90 : c est un angle droit! On retrouve ainsi une propriété énoncée l année dernière : «si un triangle est rectangle, alors le milieu de l hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.» Interrogation orale : 28 p. 227 10, 12 p. 224 + 43 p. 229 13 p. 224 + 44, 45 p. 229 II Polygones réguliers 1. s s Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure. On constate que tous les sommets d un polygone régulier appartiennent à un même cercle. On dit que le polygone est inscrit dans ce cercle et le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier. Exemple : On sait qu un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur et trois angles égaux. C est donc un polygone régulier à 3 côtés. Sur chaque figure du paragraphe 2, O est le centre du polygone. 2. Propriétés Propriété Si un polygone est inscrit dans un cercle et a tous ses côtés de même mesure, alors il est régulier. Exemple : Un rectangle ABCD a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu O. Donc OA = OB = OC = OD, ce qui signifie que chaque point A, B, C et D se trouve sur un même cercle de centre O. Est-ce que le rectangle est un polygone régulier? Pourquoi? Comment le «transformer» pour qu il en devienne un? Propriété Soit un polygone régulier à n côtés (n est un nombre entier naturel). Si A et B sont deux points consécutifs de ce polygone, alors AOB = 360 n. Cet angle est appelé angle au centre du polygone régulier. Exemples : n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 A C O 120 B C D O 90 B A E D A O 72 C B E F D O A 60 C B G F H E O A 45 D B C AOB = 360 3 AOB = 360 4 AOB = 360 5 AOB = 360 6 AOB = 360 7
page 31 On peut aussi calculer les angles des polygones (par exemple) en utilisant des triangles isocèles de sommet O. Par exemple, pour n = 5, l angle au centre mesure 72. Par conséquent, puisque la somme des angles d un triangle est égale à 180, on a : BAO = ABO 180 72 = Par conséquent, on a : 2 = 108 52 = 54 et BCO = CBO = 54. ABC = ABO + CBO = 54 + 54 = 108. 14, 19 p. 225 15, 18 p. 225 + 48 p. 229
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page 33 Chapitre n 11 : Probabilités Programme en vigueur Connaissances Capacités Commentaires 1.4 Notion de probabilité [Thèmes de convergence] - Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. - Calculer des probabilités dans des contextes familiers. La notion de probabilité est abordée à partir d expérimentations qui permettent d observer les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes, etc.). La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves. Dans tout ce chapitre, tous les exemples seront basés sur les trois expériences suivantes : On lance une pièce de monnaie équilibrée, on la laisse tomber et on regarde la face visible On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde le chiffre inscrit sur sa face supérieure On fait tourner une roue de loterie équilibrée, on attend qu elle s arrête et on regarde la couleur désignée par la flèche I Vocabulaire Lors d une expérience aléatoire, chaque résultat possible est appelé issue. Exemple : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie Cette expérience n admet que deux Cette expérience admet six issues : Combien d issues ici? et issues : pile et face 1, 2, 3, 4, 5 et 6 lesquelles? s Un événement est une condition qui peut être, ou ne pas être, réalisée lors de l expérience. Un événement peut être réalisé par une ou plusieurs issues de cette expérience ; Un événement élémentaire est un événement qui n est réalisé que par une seule issue ; Exemple : La pièce de monnaie Le dé à 6 faces La roue de loterie «on obtient face» est un événement élémentaire. «on obtient pile» est un autre événement élémentaire. «on obtient 4» est un événement élémentaire. «on obtient 7» est un événement impossible. «on obtient un nombre impair» est un événement réalisé par les issues 1, 3, 5. «la flèche désigne une couleur primaire» est un événement réalisé par deux issues : rouge et jaune. «la flèche désigne le jaune» est un événement élémentaire. Une expérience est dite aléatoire si chaque issue ne dépend pas des issues des expériences précédentes.