Cabri et le programme de géométrie au secondaire au Québec Benoît Côté Département de mathématiques, UQAM, Québec cote.benoit@uqam.ca 1. Introduction - Exercice de didactique fiction Que signifie intégrer Cabri dans l enseignement des mathématiques au secondaire au Québec? Quels changements peut-on envisager au niveau du programme de mathématiques, ce cadre institutionnel qui régit l enseignement des mathématiques, et particulièrement en ce qui a trait à la géométrie? - Scénarios d intégration - Niveau 0 : Aucun scénario. Loi du marché. Initiatives locales. Grandes différences entre les écoles et à l intérieur des écoles. - Niveau 1 : On introduit une liste des logiciels approuvés, tout comme on a une liste des manuels approuvés. Pour des raisons inimaginables, Cabri n y apparaît pas! Ou bien, ce qui semble commencer à apparaître, on n accepte pas d imprimer des fenêtres Cabri dans les manuels, pour ne pas encourager un produit «commercial» - Niveau 1 : Accessibilité. On négocie une licence nationale, d où le logiciel devient disponible dans toutes les écoles. Mais on en laisse l utilisation libre. L utilisation risque d être sporadique. Ou bien elle dépend de l implication d une équipe d enseignants prêts à concevoir des séquences d enseignement, des fiches de travail - Niveau 2 : Utilisation ciblée. Tout en le rendant accessible à tous, on encourage son utilisation dans un contexte spécifique et on fournit aux intervenants un support réel (formation, documents ) Ce peut être lié à certains contenus ou compétences spé- 1
cifiques, ou faire partie par exemple d un ensemble de mesures visant à contrer le décrochage. Il y aurait à ce niveau une stratégie d implantation, avec des objectifs bien définis, et la mise en place de moyens appropriés. - Niveau 3 : Utilisation générale. On encourage l utilisation d un logiciel de géométrie dynamique, tel Cabri, à tous les niveaux. Est-ce que cela veut dire qu on va reformuler le curriculum autour de Cabri, comme on l a déjà fait, dans les années soixante, autour de la théorie des ensembles? NON. Mais, on est en train actuellement de reformuler les curriculums en termes de compétences. On examine ce que signifie intégrer des outils technologiques dans ce contexte. On réalise que ce n est pas neutre, que ça a nécessairement un effet sur les contenus. On accepte de formuler des contenus, compétences, situations, qui impliquent nécessairement et significativement l utilisation d un logiciel tel Cabri. - Trois thèmes - Enseigner la géométrie et non Cabri - Le rôle central des notions de construction et lieu géométriques - Une géométrie des variations liée à l algèbre 2. Enseigner la géométrie et non Cabri - Difficile de travailler avec Cabri sans faire de la géométrie??? - Logiciel de géométrie par excellence. Réactions spontanées enthousiastes de la plupart des mathématiciens. Réactions plus mitigées des étudiants. Faut-il connaître la géométrie pour faire de la géométrie avec Cabri? - Problèmes de débutants : Précision, habileté sensori-motrice : ignorer l outil sélection, points multiples, mal définis (fichier confus.fig) Construire un triangle avec l outil segment et ne pas pouvoir obtenir son aire D où se donner le temps d apprivoiser le logiciel et d une certaine façon «enseigner Cabri». 2
- Contexte institutionnel de la scolarité obligatoire - Enseigner c est négocier. Chacun des acteurs a un pouvoir et des obligations vis-à-vis l autre. «Qu est-ce qu il faut faire?» «J ai essayé et ça ne marche pas!» «Est-ce qu on va en avoir des comme ça dans l examen?» - D où création de fiches de travail de plus en plus précises : «Voici ce qu il faut faire pour construire un triangle isocèle.» Création d un contexte Cabri. On «fait du Cabri». - Penser la géométrie scolaire en y intégrant Cabri - Prendre une distance par rapport au niveau de l action. Passer à la formulation et à la validation. Insérer l utilisation de Cabri dans un contexte didactique plus large qui inclut les outils traditionnels et le papier-crayon, la communication orale et écrite - Intérioriser Cabri pour développer les capacités de pensée géométrique. - Voir les apports fondamentaux et originaux de ce type de logiciel à la nature même de la géométrie scolaire. 3. Le rôle central des notions de construction et de lieu géométriques - La notion de figure géométrique - Quatre statuts possibles des figures en géométrie scolaire : Objet physique, dessin, définition, configuration - Le triangle 4-7 : On choisit un point A sur un quadrillage. On compte 4 unités vers la droite, puis 7 vers le haut pour obtenir un point B ; on revient de 7 unités vers le bas, puis on en compte 4 autres vers la droite pour obtenir le point C. On mesure avec une règle les trois côtés du triangle ABC et on répond aux questions : 3
- Est-ce que le triangle ABC est équilatéral? - Pourquoi la réponse à la première question n a-t-elle rien à voir avec l utilisation d une règle à mesurer? - La géométrie du secondaire : Le passage d une géométrie empirique basée sur des observations à une géométrie déductive basée sur des définitions et des raisonnements - Statut des figures Cabri - Exemple des deux «carrés» : (fichier deuxcarres.fig) C B D C D A A B - Il faut agir sur la figure pour pouvoir l identifier, ou en connaître son historique. Les «actions» disponibles relèvent davantage de la communication que de la manipulation. Une nouvelle sphère de réalité de type «empirico-déductif». - Entrer en interaction avec une définition Construire les objets que l on étudie : une activité centrale dans un curriculum qui intègre Cabri. - La construction Cabri de figures géométriques - La notion de contrainte : - Construire un parallélogramme : Référer à une définition Produire des parallèles : L outil parallèle est une représentation de l axiome de la parallèle. Points libres et contraints 4
- Construire un triangle isocèle : La définition est insuffisante. Formuler ce que l on cherche et le chercher (outil trace) Construire la médiatrice et vérifier (outil distance) Point semi-contraint et lieu d un point : Raisonner en termes d ensembles de points - Les constructions géométriques en tant que situation didactique - Analyse du champ conceptuel - Classification des triangles et des quadrilatères Situation de formulation Intériorisation de la notion de contrainte - Travail avec les définitions et les propriétés Nouveau contenu : en dégager la structure - Une construction n est pas une figure mais une procédure, une série d instructions. Travail avec des descriptions symboliques, établissement d un langage commun, intériorisation de Cabri, nouveau type de situation problème, formulation et validation (empirique et déductive). - Passage à des constructions plus complexes, divers agencements de figures (carré avec cercles inscrit et circonscrit, deux cercles tangents), coniques.. Transformations géométriques abordées comme des problèmes de construction - Un contenu parmi d autres ou une compétence à développer? Faut prendre le temps. Se voit une seule fois ou place pour la répétition? Un fil conducteur? 5
4. Une géométrie des variations liée à l algèbre - Lieux géométriques et points variables (fichier lieux.fig) - Le lieu du point milieu M du segment formé d un point donné P et d un point variable V sur un cercle donné. Outil lieu, variables indépendante et dépendante, paramètres - Le lieu d un point à égale distance de deux points donnés. Le modèle des deux lieux (Polya) - Le lieu d un point dont la somme des distances à deux points donnés est invariante. - Le passage au numérique - Les configurations de Pythagore et de Thalès (fichier thales.fig) «Construire» une propriété Outils de mesure et de calcul - Construction d un repère cartésien : Le problème du repérage dans le plan - L équation associée à un lieu géométrique : Construire un lieu dans un plan cartésien et faire afficher son équation (fichier lieuetequation.fig) - Explorer l équation de l image d un lieu par une certaine transformation géométrique - Graphes de fonctions en tant que lieux géométriques (fichier parabole.fig) - Contenus et compétences à formuler dans le programme - Des concepts unificateurs : construction et lieu géométriques (Objets mathématiques, situations, schèmes de pensée) - Du pain (et des jeux) sur la planche 6