Chapitre 8 Transmittance isochrone d un système linéaire : activité documentaire Approximation des régimes quasi-stationnaires : domaine de validité en régime sinusoïdal forcé L approximation des régimes quasi-stationnaires consiste à dire que, l intensité du courant est la même en tout point d une branche de circuit. Une variation d intensité se propage à une vitesse proche de celle de la lumière dans le vide (notée c et égale à c = 3,00 10 8 m/s). 1. Pour un circuit électrique de l ordre de grandeur d un mètre L = 1,00 m, calculer la durée de propagation notée Δt, d une variation d intensité : Il faut donc environ Δt~10 9 s à la variation de l intensité pour se propager dans un circuit d un mètre. 2. On souhaite avoir, en deux points d un circuit en série, la même valeur d intensité à un instant donné : comparer T (la période du signal d entrée) à la durée de propagation Δt pour que ce souhait soit réalisé. Si la période T du GBF (et donc, de l intensité dans le circuit) est inférieure à la durée de la propagation Δt, la valeur de l intensité en un point du circuit, varie donc plus «vite» qu elle ne se propage dans le circuit. La conséquence serait qu en deux points du circuit en série, nous n aurions plus la même valeur d intensité à un instant donné. Il faut donc que : 3. En déduire la valeur maximale de la fréquence du signal d entrée (pour un circuit d un mètre) : I. Transmittances isochrones réelles et complexes : Étude d un circuit en série contenant deux conducteurs ohmiques : On réalise le circuit suivant dont le signal d entrée est sinusoïdal alternatif de fréquence f = 100 Hz, et d amplitude E = 1,0 V. On prend R 1 = 1,00 kω et R 2 = 1,00 kω. La voie 1 de l oscilloscope permet de visualiser le signal d entrée e(t). La voie 2 de l oscilloscope permet de visualiser le signal de sortie s(t). 1
e(t) On obtient les représentations temporelles des signaux ci-contre. s(t) 4. Déterminer la fréquence, l amplitude U m et la phase à l origine φ du signal de sortie : 5. En déduire les expressions numériques temporelles des signaux e(t) et s(t): 6. Déterminer la valeur de la transmittance isochrone réelle H(ω) de ce système, pour une fréquence du signal d entrée f = 100 Hz : 7. Diminuer la fréquence du signal d entrée jusqu à f = 10 Hz : la valeur de la transmittance isochrone dépend-elle de la fréquence/ de la pulsation du signal d entrée? Étudie-t-on un filtre ici? Toutes les fréquences sont atténuées : ce système n est donc pas un filtre. C est un pont-diviseur de tension. Étude du circuit (R, C) : On place dans un circuit en série un GBF qui impose un signal d entrée sinusoïdal alternatif de fréquence f = 100 Hz, et d amplitude E = 1,0 V. Le condensateur a une capacité C = 1 μf et le conducteur ohmique a une résistance R = 1 kω : e(t) s(t) 2
On obtient expérimentalement les représentations temporelles des signaux : 1.0V e(t) 0.5V s(t) 0V -0.5V -1.0V 0s 1ms 2ms 3ms 4ms 5ms 6ms 7ms 8ms 9ms 10ms 11ms 12ms 13ms 14ms 15ms V(V1:+) V(C1:2) Time 8. Que remarque-t-on sur la forme du motif du signal de sortie au début de l expérience? Comment appelle-t-on ce régime? Quelle est sa durée caractéristique? 9. Peut-on déterminer la valeur de la transmittance isochrone H(ω) de ce système, pour une fréquence du signal d entrée f = 100 Hz, durant le régime transitoire? Une fois le régime transitoire terminé, on obtient expérimentalement les représentations temporelles des signaux (après une durée de 10 ms) : 1.0V 0.5V e(t) s(t) 0V -0.5V -1.0V 12ms 13ms 14ms 15ms 16ms 17ms 18ms 19ms 20ms 21ms 22ms 23ms 24ms 25ms 26ms V(V1:+) V(C1:2) Time 10. Le signal de sortie possède-t-il alors le même motif que le signal d entrée? Comment appelle-t-on ce régime? 3
11. Déterminer la fréquence, l amplitude U m et la phase à l origine φ du signal de sortie 12. En déduire les expressions numériques temporelles des signaux e(t) et s(t): 13. Déterminer l expression de la transmittance isochrone réelle H(ω) de ce système, pour une fréquence du signal d entrée f = 100 Hz : H(200π) ne se simplifie pas aussi facilement pour ce circuit que pour le précédent : le déphasage entre les deux signaux nous empêche d éliminer les cosinus. De plus, en observant cette fonction, on a plus l impression que H dépend du temps que de la fréquence/de la pulsation du signal d entrée. 14. Diminuer la fréquence du signal d entrée jusqu à f = 10 Hz : la valeur de la transmittance isochrone dépend-elle de la fréquence/ de la pulsation du signal d entrée? Étudie-t-on un filtre ici? 4
Méthode des complexes : Notation des nombres complexes en Physique : Soit le nombre complexe z Forme algébrique a + j b est appelé la forme algébrique du nombre complexe. a est appelé la partie réelle du nombre complexe: on note a = Re (z) b est appelé la partie imaginaire du nombre complexe : on note b = Im (z) j est tel que j 2 = 1 et 1 j = j Forme trigonométrique z e jα est appelé la forme trigonométrique du nombre complexe. z est appelé le module du nombre complexe. α est appelé l argument du nombre complexe avec arg( z ) = α On a : z = z = a 2 + b 2 On rappelle que e jx = cos(x) + j sin(x) 15. Démontrer que la partie réelle de Ee j(ωt) correspond à l expression temporelle de e(t) : On rappelle que e j(x+y) = e jx e jy 16. On a les expressions numériques temporelles des signaux e(t) = 1,0 cos(200πt) et s(t) = 0,84 cos(200πt 0,57). Déterminer la forme trigonométrique de H(jω): 17. A quelle grandeur physique correspond l argument de H(j200π)? A quelle grandeur physique correspond le module de H(j200π)? 18. Si l on souhaite connaitre la forme trigonométrique de H(jω) pour chaque pulsation possible du signal d entrée, combien de représentations temporelles de e(t) et s(t) nous faudrait-il? 5
III. Déterminer la transmittance isochrone complexe d un système linéaire d ordre 2 à partir de son équation différentielle : Cas du passe-haut d ordre 2 : La forme canonique de l équation différentielle linéaire d un système passe-haut d ordre 2 est : d 2 s dt 2 + ω 0 ds Q dt + ω 0 2 s = H 0 d2 e dt 2 avec ω 0, pulsation propre, dépendant des paramètres du système (en rad/s). H 0, amplification à haute fréquence (sans unité). Q, facteur de qualité du système, dépendant des paramètres du système (sans unité). 19. A partir de la forme canonique de son équation différentielle, déterminer que la forme canonique de H(jω) pour un passe-bas d ordre 2 est alors : ω2 2 ω H 0 H(jω) = 0 1 ω2 2 ω + j ω 0 Qω 0 6
Cas du passe-bande d ordre 2 : Un système linéaire passe bande d ordre 2, peut-être modélisé par une équation différentielle, dont la forme canonique est la suivante : d 2 s dt 2 + ω 0 ds Q dt + ω 0 2 s = H 0 ω 0 de Q dt avec ω 0 : pulsation propre, dépendant des paramètres du système (en rad/s). H 0 : amplification à la résonance pour ω = ω 0 (sans unité). Q : facteur de qualité du système, dépendant des paramètres du système (sans unité). 20. A partir de la forme canonique de son équation différentielle, déterminer que la forme canonique de H(jω) pour un passe-bande d ordre 2 est alors : ω j Qω H 0 H(jω) = 0 1 ω2 ω 2 + j ω 0 Qω 0 7
IV. Impédance et admittance complexe d un dipôle linéaire passif : Dipôle A : u(t) i(t) 21. A l aide du graphe ci-dessus, déterminer les expressions temporelles de u(t) et i(t) et en déduire l expression de l impédance complexe Z A de ce dipôle : Dipôle B : 22. A l aide du graphe ci-dessous, déterminer les expressions temporelles de u(t) et i(t) et en déduire l expression de l impédance complexe Z B de ce dipôle : 8
u(t) i(t) La présence d un déphasage entre u et i justifie de nouveau l utilisation des complexes. 23. A quelle grandeur physique correspond l argument de Z B? A quelle grandeur physique correspond le module de Z B? 24. A l aide de la fiche méthode 12, identifier les dipôles A et B : VI. Théorèmes généraux des circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé : Association en série d impédances complexes : On place deux impédances complexes Z 1 et Z 2 placées en série. On cherche à déterminer l impédance complexe équivalente Z éq à l ensemble de ces deux impédances : 9
Z éq u = u 1 + u 2 u = Z éq i 25. A l aide de la loi des mailles et de lois d Ohm généralisées, démontrer que Z éq = Z 1 + Z 2 : 26. Compléter le tableau suivant : Dipôles en série Dipôle équivalent Impédance complexe équivalente Z éq Résistance, inductance ou capacité équivalente 10
27. Déterminer l impédance complexe Z éq du dipôle AB suivant : A B Association en parallèle (ou dérivation) d impédances complexes : On place deux impédances complexes Z 1 et Z 2 placées en parallèle. On cherche à déterminer l impédance complexe équivalente Z éq à l ensemble de ces deux impédances : Z éq u = u 1 = u 2 i = 1 Z éq u 28. A l aide de la loi des nœuds et de lois d Ohm généralisées, démontrer que 1 Z éq = 1 Z 1 + 1 Z 2 On remarque, que pour un circuit en parallèle, il est plus simple d écrire cette relation en termes d admittances : Y éq = Y 1 + Y 2 11
29. Compléter le tableau suivant : Dipôles en dérivation Dipôle équivalent Admittance complexe équivalente Y éq Résistance, inductance ou capacité équivalente 30. Déterminer l impédance équivalente Z éq de l ensemble d impédances suivant : A. B. 12
Formule du pont diviseur de tension : On place deux impédances complexes Z 1 et Z 2 placées en série. 31. Démontrer que la tension aux bornes de l impédance Z 2, notée u 2, en fonction de la tension u aux bornes de l ensemble des deux impédances a pour expression : u 2 = Z 2 Z 1 + Z 2 u 32. A l aide d un pont diviseur de tension, déterminer l expression littérale de la tension u C aux bornes du condensateur en fonction de la tension e : e u C 13
33. En déduire l expression de la transmittance isochrone complexe du système, sans passer par son équation différentielle : 34. Déterminer la fonction de transfert ou transmittance isochrone H(jω) du système suivant, le signal de sortie étant la tension aux bornes de la bobine idéale : e u L 35. Déterminer l ordre des systèmes des questions 33 et 34 en justifiant votre réponse : 36. Choisir et écrire la forme canonique correspondant à la transmittance isochrone complexe du système de la question 34. En déduire la nature du filtre réalisé pour le système de la question 34. 14
37. A l aide d une identification pour le système de la question 34, déterminer l expression littérale du facteur de qualité Q et de la pulsation propre ω 0 en fonction de R, L et C ainsi que la valeur de l amplification à haute fréquence H 0 : 15