Mécanique des fluides géophysiques

UNIVERSITÉ DE LIÈGE Faculté des Sciences Mécanique des fluides géophysiques J.M. Beckers Année académique 2002-2003

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Table des matières I Théories générales: MECA053 partim I 9 1 Rappels mécaniques des fluides homogènes 11 1.1 Milieu continu..................................... 12 1.2 Conservation de la masse............................... 12 1.3 Loi de Newton.................................... 12 1.4 Energie interne, travail mécanique et entropie.................... 12 1.5 Lois constitutives................................... 12 1.5.1 Fluides Newtoniens.............................. 12 1.5.2 Autres fluides................................. 12 1.6 Equations d état.................................... 12 1.7 Exercices....................................... 12 1.7.1 Volume de contrôle en mouvement [TD].................. 12 1.7.2 Analyse d importance de la force de Coriolis [N].............. 13 1.7.3 Le Thalys et la rotation de la terre [F].................... 13 1.7.4 Energie potentielle [N]............................ 13 1.7.5 Vorticité [D]................................. 13 1.7.6 Production d énergie interne [N]...................... 14 2 Fluides non-homogènes 17 2.1 Constituants et mélanges............................... 18 2.2 Conservation de la masse............................... 18 2.2.1 Conservation de la masse totale....................... 18 2.2.2 Conservation d un constituant........................ 18 2.3 Loi de Newton.................................... 18 2.4 Energie interne, travail mécanique et entropie.................... 18 2.5 Lois constitutives................................... 18 2.6 Equations d état.................................... 18 2.6.1 Mélange.................................... 18 2.6.2 Fluides géophysiques............................. 18 2.7 Notion de turbulence et adaptation des lois constitutives............... 18 2.8 Exercices....................................... 18 3 Approximation des fluides géophysiques 21 3.1 Particularités de l atmosphère et des océans..................... 22 3.2 Système d axes en rotation, couche mince...................... 22 3.2.1 Rotation.................................... 22 3.2.2 Gravité apparente............................... 22 3

4 TABLE DES MATIÈRES 3.3 Approximation de Boussinesq............................ 22 3.3.1 Conservation de la masse........................... 22 3.3.2 Loi de Newton................................ 22 3.3.3 Autres équations de conservation...................... 22 3.3.4 Fréquence de Brünt-Väisälä......................... 22 3.4 Approximation hydrostatique............................. 22 3.5 Approximation du plan β............................... 22 3.6 Exercices....................................... 22 4 Ondes internes 25 4.1 Phenomènes et approche............................... 26 4.2 Ondes internes dans un milieu infini stratifié uniformément............. 26 4.2.1 Ondes internes dans le plan f........................ 26 4.2.2 Ondes internes longues dans le plan β.................... 26 4.3 Ondes internes avec frontières............................ 26 4.3.1 Spectres discrets............................... 26 4.3.2 Onde de Kelvin................................ 26 4.4 Exercices....................................... 26 5 Equilibre géostrophique 29 5.1 Grandes échelles................................... 30 5.2 Equilibre géostrophique................................ 30 5.3 Vent thermique.................................... 30 5.4 Colonnes de Taylor.................................. 30 5.5 Dégénérescence de l équilibre géostrophique.................... 30 5.5.1 Pression de référence............................. 30 5.5.2 Conservation de la masse........................... 30 5.6 Circulation générale océanique............................ 30 5.7 Exercices....................................... 30 6 Couches limites 33 6.1 Grandes échelles et couches limites......................... 34 6.2 Traîtement mathématique des couches limites.................... 34 6.3 Couche limite de surface............................... 34 6.4 Couche limite du fond................................ 34 6.5 Elman pumping.................................... 34 6.6 Transport d Ekman et upwellings......................... 34 6.7 Exercices....................................... 34 7 Instabilités 37 7.1 Notion de stabilité................................... 38 7.2 Traîtement mathématique général.......................... 38 7.3 Ecoulement stratifié/cisaillé.............................. 38 7.3.1 Equation de Taylor-Gouldsmith....................... 38 7.3.2 Conditions de raccord près d une discontinuité............... 38 7.3.3 Instabilité de Kelvin-Helmholtz....................... 38 7.4 Analyse énergétique.................................. 38

TABLE DES MATIÈRES 5 7.5 Critères globaux.................................... 38 7.5.1 Critère de Miles??.............................. 38 7.5.2 Critère de Howard.............................. 38 7.6 Exercices....................................... 38 8 Turbulence 41 8.1 Notion de stabilité................................... 42 8.2 Traîtement mathématique général.......................... 42 8.3 Phénoménologie................................... 42 8.4 Moyennes et fluctuations............................... 42 8.5 Modèle pour l écoulement moyen.......................... 42 8.6 Fermeture turbulente................................. 42 8.7 Paramétrisation.................................... 42 8.8 Théorie de Kolmogorov................................ 42 8.9 Transfer d énergie................................... 42 8.9.1 Energie de l écoulement moyen....................... 42 8.9.2 Energie des perturbations........................... 42 8.10 Exemple de fermeture................................. 42 8.10.1 Equation pour la dissipation......................... 42 8.10.2 Aproche longeur de mélange......................... 42 8.11 Exercices....................................... 42 9 Turbulence géophysique 45 9.1 Echelles........................................ 46 9.2 Microturbulence et fluides géophysiques....................... 46 9.2.1 Rapport d aspect............................... 46 9.2.2 Stratification................................. 46 9.3 Micro et macroturbulence............................... 46 9.3.1 Filtrages................................... 46 9.3.2 Effet de la rotation.............................. 46 9.4 Exercices....................................... 46 A Formulaire 49

6 TABLE DES MATIÈRES

Introduction label?? a la page?? Ces notes concernent le cours Mécanique des fluides géophysiques (partim I) Approche pédagogique Les deux heures par semaine réservées au cours Mécanique des fluides géophysiques partim I seront consacrées à une heure de cours théoriques et à une heure d exercices en groupe. Les groupes seront constitués de quatres personnes désignées par tirage au sort afin de favoriser le travail en groupe imposé recontré dans la vie professionnelle. En fin de séance, un enoncé d un travail est distribué à chaque groupe. Ce travail est à rendre (via e-mail à JM.Beckers@ulg.ac.be en format.pdf ou.ps, ou via dépôt d une copie papier) pour le jour précédent le cours suivant. Pendant la séance d exercices de ce cours, les groupes présentent rapidement ces travaux et des discussions/explications auront lieu. Horaire, endroit et contenu provisoire Jeudis 8:30-10:30, Salle 3/14 Batiment B5a, Physique CHANGEMENT: MERCREDIS 10:30-12:30 même endroit 19/9 2h Rappels: Mécanique des fluides homogènes, Newton, conservation de la masse, équations constitutives 25/9 1h+1h: Mélange de constituants, équations d état 2/10 1h+1h: Approximation de Boussinesq et première analyse d échelles, équilibre hydrostatique 9/10 1h+1h: Ondes internes 16/10 1h+1h: Ondes internes (suite) 23/10 1h+1h: Géostrophie 30/10 1h+1h: Couches limites 6/11 1h+1h: Upwellings 13/11 1h+1h: Fenêtres spectrales revisitées, nombres sans dimension (Ekman, Rossby, Reynolds, Burger) 7

8 TABLE DES MATIÈRES 20/11 1h+1h: Instabilités 27/11 1h+1h: Instabilités (suite) 4/12 1h+1h: Turbulence 11/12 1h+1h: Turbulence géophysique 18/12 Séance exercices récapitulatifs Exercices Les exercices sont classés avec une indication de leur degré de difficulté. En rendant les exercices les groupes indiquent leur propre estimation de la difficulté a posteriori: E :élémentaire, F :facile, N :normal, D :difficile, TD :très difficile TD+ :trop difficile La qualité des exercices ne pénalisera pas les côtes de fin d année, mais les élèves les mieux classés recevront un bonus de 2.5, 2.0, 1.5, 1. et 0.5 points (Si un étudiant arrive à 20/20, les bonus restants sont donnés aux suivants sur la liste) Examen Examen écrit (40%): un exercice du même type que ceux des travaux pratiques devra être résolu à livre ouvert Examen oral (60%): présentation d une question tirée d une liste de questions théoriques fournies après l examen écrit. Interrogation supplémentaire sur l examen écrit. Notes de cours Les notes de cours seront disponibles au fur et à mesure via WWW. Des copies électroniques des transparents y seront également déposées. http://modb.oce.ulg.ac.be/cours/meca053/accueil.html

Partie I Théories générales: MECA053 partim I 9

Chapitre 1 Rappels mécaniques des fluides homogènes 11

12 CHAPITRE 1. RAPPELS MÉCANIQUES DES FLUIDES HOMOGÈNES 1.1 Milieu continu 1.2 Conservation de la masse 1.3 Loi de Newton 1.4 Energie interne, travail mécanique et entropie 1.5 Lois constitutives 1.5.1 Fluides Newtoniens 1.5.2 Autres fluides 1.6 Equations d état 1.7 Exercices 1.7.1 Volume de contrôle en mouvement [TD] Distinguer la vitesse du fluide v et la vitesse u à laquelle bouge le volume de contrôle, distinguer D Dt = + v (1.1) t Théorème de Reynolds d F(x,t) dv = dt V(t) V d dt = + u (1.2) t F t dv + F(x,t)n u ds (1.3) S Volume de contrôle en mouvement (suite) Le volume se déplace à une vitesse u et la dérivée d désigne la dérivée quand on se déplace à dt la vitesse u. Si u = v alors on suit une particule fluide et on obtient une approche lagrangienne. Pour la démonstration du théorème de Reynolds on utilise d (dv) = u dv (1.4) dt dont on essaiera de donner une interprétation. Note: si le volume ne bouge pas à la vitesse du fluide, il y a lieu de tenir compte des flux advectifs à travers le volume (faire apparaître u v)

1.7. EXERCICES 13 1.7.2 Analyse d importance de la force de Coriolis [N] En sachant que l on a observe la tache rouge de Jupiter depuis 300 ans et que ses dimensions sont de l ordre de 20000 km, est-ce que la rotation de Jupiter autour de lui-même (un jour jupitérien dure 9.9 heures) doit être prise en compte dans l etude de cette tache? On suppose que les vitesses du courant sont de l ordre de 100 m/s En connaissant le rayon de Jupiter (448600 km) et l accéleration de gravité mesurée à l équateur g = 26.4 m s 2, que peut-on dire de la force centrifuge? 15 1.7.3 Le Thalys et la rotation de la terre [F] Est-ce que à votre avis, les ingénieurs qui ont construit la ligne TGV Liège-Bruxelles (max 300km/h) ont dû tenir compte de la rotation de la terre? Pourquoi? Suggestion:Comparer la force aux autres forces en jeu 1.7.4 Energie potentielle [N] Soit un lac allongé de longeur L x, de largeur L y et de profondeur constante h. On suppose que l eau du lac est de densité constante et qu un vent a soufflé pendant un certain temps aboutissant à créer une surélévation du niveau d eau de hauteur d à l extrémité x = L x du bassin. Si l on suppose que l on peut approximer la forme de la surface libre par un plan incliné dans la direction x, calculez l augmentation de l énergie potentielle par rapport à la situation de repos initiale où l élévation était nulle partout. On suppose que la quantité d eau a été conservée. Chiffrez le résultat pour ρ = 1000 kg/m 3, L x = 15 km, L y = 2 km, h = 50 m d = 30 cm et estimez le temps qu il faudrait à une centrale nucléaire pour fournir cette énergie. 1.7.5 Vorticité [D] Etablir loi d évolution de la vorticité ω = Λv en l absence de viscosité. Passer ensuite à la vorticité totale 2Ω + Λv et démontrer que t ( ) ( ) ( 2Ω + Λv 2Ω + Λv 2Ω + Λv + v = ρ ρ ρ ) v + ( ρ)λ( p) ρ 3 (1.5)

14 CHAPITRE 1. RAPPELS MÉCANIQUES DES FLUIDES HOMOGÈNES 1.7.6 Production d énergie interne [N] Démontrer que pour une fluide newtonien, la production d énergie interne par friction vaut T v : v = 2ρνD:D où D est le tenseur de déformation

Bibliographie [1] L; Landau and E. Lifschitz. Fluid Mechanics. Pergamon Press, 1959. 536p. [2] D Tritton. Physical fluid dynamics. Oxford Science Publications, 1988. second edition, 520p. 15

16 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 2 Fluides non-homogènes 17

18 CHAPITRE 2. FLUIDES NON-HOMOGÈNES 2.1 Constituants et mélanges 2.2 Conservation de la masse 2.2.1 Conservation de la masse totale 2.2.2 Conservation d un constituant 2.3 Loi de Newton 2.4 Energie interne, travail mécanique et entropie 2.5 Lois constitutives 2.6 Equations d état 2.6.1 Mélange 2.6.2 Fluides géophysiques Eau de mer Atmosphère 2.7 Notion de turbulence et adaptation des lois constitutives 2.8 Exercices

Bibliographie [1] Chia-Shun Yih. Dynamics of nonhomogeneous fluids. MacMillan company, 1965. 306p. [2] C. Crowe, M. Sommerfeld, and Y. Tsuji. Multiphase flows with droplets and particles. CRC press, Boca Raton, Florida, 1998. [3] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 19

20 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 3 Approximation des fluides géophysiques 21

22 CHAPITRE 3. APPROXIMATION DES FLUIDES GÉOPHYSIQUES 3.1 Particularités de l atmosphère et des océans 3.2 Système d axes en rotation, couche mince 3.2.1 Rotation 3.2.2 Gravité apparente 3.3 Approximation de Boussinesq 3.3.1 Conservation de la masse 3.3.2 Loi de Newton 3.3.3 Autres équations de conservation 3.3.4 Fréquence de Brünt-Väisälä 3.4 Approximation hydrostatique 3.5 Approximation du plan β 3.6 Exercices

Bibliographie [1] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 23

24 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 4 Ondes internes 25

26 CHAPITRE 4. ONDES INTERNES 4.1 Phenomènes et approche 4.2 Ondes internes dans un milieu infini stratifié uniformément 4.2.1 Ondes internes dans le plan f Ondes hydrostatiques et non-hydrostatiques Ondes de gravité Oscillations d interie 4.2.2 Ondes internes longues dans le plan β 4.3 Ondes internes avec frontières 4.3.1 Spectres discrets 4.3.2 Onde de Kelvin 4.4 Exercices

Bibliographie [1] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 27

28 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 5 Equilibre géostrophique 29

30 CHAPITRE 5. EQUILIBRE GÉOSTROPHIQUE 5.1 Grandes échelles 5.2 Equilibre géostrophique 5.3 Vent thermique 5.4 Colonnes de Taylor 5.5 Dégénérescence de l équilibre géostrophique 5.5.1 Pression de référence 5.5.2 Conservation de la masse 5.6 Circulation générale océanique 5.7 Exercices

Bibliographie [1] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 31

32 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 6 Couches limites 33

34 CHAPITRE 6. COUCHES LIMITES 6.1 Grandes échelles et couches limites 6.2 Traîtement mathématique des couches limites 6.3 Couche limite de surface 6.4 Couche limite du fond 6.5 Elman pumping 6.6 Transport d Ekman et upwellings 6.7 Exercices

Bibliographie [1] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 35

36 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 7 Instabilités 37

38 CHAPITRE 7. INSTABILITÉS 7.1 Notion de stabilité 7.2 Traîtement mathématique général 7.3 Ecoulement stratifié/cisaillé 7.3.1 Equation de Taylor-Gouldsmith 7.3.2 Conditions de raccord près d une discontinuité 7.3.3 Instabilité de Kelvin-Helmholtz Solution Analyse de l equation de dispersion 7.4 Analyse énergétique 7.5 Critères globaux 7.5.1 Critère de Miles?? 7.5.2 Critère de Howard 7.6 Exercices

Bibliographie [1] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 39

40 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 8 Turbulence 41

42 CHAPITRE 8. TURBULENCE 8.1 Notion de stabilité 8.2 Traîtement mathématique général 8.3 Phénoménologie 8.4 Moyennes et fluctuations 8.5 Modèle pour l écoulement moyen 8.6 Fermeture turbulente 8.7 Paramétrisation 8.8 Théorie de Kolmogorov 8.9 Transfer d énergie 8.9.1 Energie de l écoulement moyen 8.9.2 Energie des perturbations 8.10 Exemple de fermeture 8.10.1 Equation pour la dissipation 8.10.2 Aproche longeur de mélange 8.11 Exercices

Bibliographie [1] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 43

44 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 9 Turbulence géophysique 45

46 CHAPITRE 9. TURBULENCE GÉOPHYSIQUE 9.1 Echelles 9.2 Microturbulence et fluides géophysiques 9.2.1 Rapport d aspect 9.2.2 Stratification 9.3 Micro et macroturbulence 9.3.1 Filtrages 9.3.2 Effet de la rotation 9.4 Exercices

Bibliographie [1] A.S. Monin and R.V. Ozmidov. Turbulence in the ocean. D. Reidel Publ., Dordrecht, 1985. [2] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l environnement. é. t. a. b. é. t. y. p. Liège, 1977. 47

48 BIBLIOGRAPHIE

Annexe A Formulaire 49

50 ANNEXE A. FORMULAIRE

Liste des mes symboles 51

52 ANNEXE A. FORMULAIRE

Liste des symboles u Vecteur vitesse horizontal D Echelle h profondeur, 49 53

54 ANNEXE A. FORMULAIRE

Copyrights 1 : http://gaea.es.flinders.edu.au/ mattom/introoc/ 2 : http://seawifs.gsfc.nasa.gov/ 3 : http://www.ulg.ac.be 4 : http://www.lehigh.edu/ fluids/tjp3/flowpics.html 5 : http://fluid.stanford.edu/ fringer/movies/movies.html 6 : http://www.po.gso.uri.edu/demos/ 7 : http://www.io-warnemuende.de/homepages/burchard 8 : http://www.engineering.uiowa.edu/ cfd/referenc/ 9 : http://paoc.mit.edu/labweb/ 10 : http://topex-www.jpl.nasa.gov/gallery/videos.html 11 : http://www.gotm.net 12 : http://dennou-k.gaia.h.kyoto-u.ac.jp/library/gfd_exp 13 : http://bd.casterman.com/serie/castchat/ 14 : http://eol.jsc.nasa.gov/ 15 : http://nix.nasa.gov/nix.cgi 16 : http://www.britannica.com/ 55