I FONCTION AFFINE ÉFINITION Soit a et b deu réels. La fonction f définie sur R par f() = a + b est une fonction affine. EXEMPLES La fonction f définie surrpar f()= 2 3 est une fonction affine avec a= 2 et b= 3. La fonction f définie pour tout réel 0 par f()= 2 3 n est pas une fonction affine. CAS PARTICULIERS ans le cas où b = 0, la fonction f définie sur R par f() = a est appelée fonction linéaire. ans le cas où a=0, la fonction f définie surrpar f()=b est une fonction constante. 2 PROPORTIONNALITÉ ES ACCROISSEMENTS f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts, on a : f ( 2 ) f ( ) 2 = a ÉMONSTRATION Soit f une fonction affine définie surrpar f()=a+b. Alors pour tous réels 2 on a : f ( 2 ) f ( ) 2 = a 2+ b a b = a( 2 ) = a 2 2 Soit f une fonction définie surrtelle que, pour tous réels 2, on a Alors, en particulier pour tout réel 0 on a : f ( 2 ) f ( ) 2 = a. f() f(0) 0 = f() f(0) = a où f() f(0)= a. Soit en notant l image de 0 f(0)=b, on obtient pour tout réel, f()=a+b. Ainsi, f est une fonction affine. EXEMPLE éterminer la fonction affine f telle que f( 6)=5 et f(3)=. f est une fonction affine d où pour tout réel, f() = a + b avec a= f(3) f( 6) 3 ( 6) Soit a= 5 3+6 = 2 3 Ainsi, f()= 2 +b. Or f(3)= d où 3 2 3 3+b= 2+b= b= f est la fonction définie surrpar f()= 2 3 +. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 8
3 VARIATION Soit a et b deu réels. Si a est positif, la fonction affine f définie sur R par f() = a + b est croissante. Si a est négatif, la fonction affine f définie sur R par f() = a + b est décroissante. ÉMONSTRATION Si a est positif : Soit et 2 deu réels tels que 2 Comme a 0, a a 2. où a + b a 2 + b Soit f ( ) f ( 2 ) onc f est croissante Si a est négatif : Soit et 2 deu réels tels que 2 Comme a 0, a a 2. où a + b a 2 + b Soit f ( ) f ( 2 ) onc f est décroissante SIGNE E a+b AVEC a 0 Soit f la fonction affine définie surrpar f()=a+b avec a 0. f() est du signe de a pour les valeurs de supérieures à b a. ÉMONSTRATION Si a 0 alors l équation a+b=0 admet pour solution = b a. Si a > 0 alors f est strictement croissante : donc pour tout réel < b ( a, f()< f b ) a Si a < 0 alors f est strictement décroissante : donc pour tout réel < b ( a, f()> f b ) a soit pour tout réel < b a, f()< 0 où le tableau du signe de f() b + a f() 0 + Par conséquent, si a 0 : soit pour tout réel < b a, f()>0 où le tableau du signe de f() b + a f() + 0 b a + f()=a+b signe de a 0 signe de a 5 COURBE REPRÉSENTATIVE Soit a et b deu réels. La courbe représentative de la fonction affine f définie surrpar f() = a+b est la droite d équation =a+b. a<0 a=0 a>0 0 b a 0 0 b a A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 8
II INÉQUATIONS Pour résoudre une inéquation à une inconnue on peut être amené à étudier le signe d une epression. Résoudre A() B() équivaut à résoudre A() B() 0. ÉTUE U SIGNE UN PROUIT RÈGLE ES SIGNES UN PROUIT Le produit de deu nombres de même signe est positif. Le produit de deu nombres de signes contraires est négatif. TABLEAU E SIGNES UN PROUIT Pour étudier le signe d un produit : On étudie le signe de chaque facteur. On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs. On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne. EXEMPLE Résoudre dansrl inéquation (2+3) 2 (3 ) 2 Pour tout réel, (2+3) 2 (3 ) 2 (2+3) 2 (3 ) 2 0 [(2+3)+(3 )] [(2+3) (3 )] 0 (2+3+3 )(2+3 3+) 0 (5+2)( ) 0 Étudions le signe du produit (5 + 2)( ) à l aide d un tableau de signe. On étudie les signe de chacun des facteurs du produit : 5+2 0 2 5 et 0 On résume dans un seul tableau le signe de chacun des facteurs et, on en déduit le signe du produit en utilisant la règle des signes d un produit : 2 5 + 5+2 0 + + + + 0 (5+2)( ) 0 + 0 ] L ensemble des solutions de l inéquation (5+2)( ) 0 est S= ; 2 ] [ [ ;+. 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 8
2 ÉTUE U SIGNE UN QUOTIENT RÈGLE ES SIGNES UN QUOTIENT Le quotient de deu nombres de même signe est positif. Le quotient de deu nombres de signes contraires est négatif. TABLEAU E SIGNES UN QUOTIENT Pour étudier le signe d un quotient : On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur (valeurs interdites). On regroupe dans un tableau le signe de chaque terme. On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne. EXEMPLE Résoudre dansrl inéquation 2+7 3+2 2 Le quotient 2+7 est défini pour tout réel tel que le dénominateur 3+2 0. 3+2 Comme 3+2 0 2 2+7, le quotient 3 3+2 est défini pour tout réel 2 3 : 2+7 2+7 2 3+2 3+2 2 0 (2+7) 2 (3+2) 0 3+2 2+7 6 3+2 3 3+2 0 Étudions le signe du quotient 3 à l aide d un tableau de signe. 3+2 On étudie les signe de chacun des termes du quotient : 0 3 0 3 et 3+2 0 2 3 On résume dans un seul tableau le signe de chacun des termes et, on en déduit le signe du quotient en utilisant la règle des signes d un quotient. La double barre dans le tableau indique que 2 est une valeur interdite : 3 2 3 3 + + 0 3 + 3+2 0 + + 3 3+2 L ensemble des solutions de l inéquation 3 0 est S= 3+2 + 0 ] 2 3 ; 3 ]. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page sur 8
Lcée JANSON E SAILLY EXERCICE Soit f et g les fonctions définies surrpar f()=3 2 et g()= 2.. Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans le plan muni d un repère. 2. Calculer les coordonnées du point d intersection des deu courbes. EXERCICE 2 E 3 2 B -5 - -3-2 - 0 2 3 A - -2 F 3-3 2 ans chaque cas où la droite représentée ci-dessus, est la courbe représentative d une fonction, déterminer la fonction affine associée. EXERCICE 3 Le tableau ci-dessous, donne le signe d une fonction définie surr. 2 + Γ() + 0 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui admettent le même tableau de signes? f()= +2; g()= 2 ; h()=2 + ; k()=2+ ; l()= 2 3 3 EXERCICE ABC est un carré de côté 6. À tout point M du segment [AB], on associe le réel =AM. A M B C Le nombre f() est égal à l aire du trapèze BCM.. onner une epression de f(). 2. Résoudre f() 2. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 8
EXERCICE 5 ABC est un trapèze rectangle. À tout point M du segment [AB], on associe le réel =AM. Le réel f() est égal à l aire du triangle BMC. Le réel g() est égal à l aire du trapèze AMC. C A Les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées ci-dessous : 32 M B 28 2 20 6 2 8 0 0 2 3 5 6 7 8 9 0 À l aide du graphique, déterminer les distances AB, A et C. EXERCICE 6 ans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine f puis donner son sens de variation. f( 2)=3 et f(3)= 2. La droite représentant la fonction f passe par les points de coordonnées ( 2; ) et (; 3). EXERCICE 7. f est une fonction affine définie pour tout réel telle que f(,5) = 2 et f(3) =. onner une epression de f(). 2. g est une fonction affine définie pour tout réel telle que g(2)= et g() g( 2)= 9. onner une epression de g(). 3. Résoudre dansr, l inéquation f() g(). EXERCICE 8 Augmenter une grandeur de t% revient à multiplier cette grandeur par + t 00 iminuer une grandeur de t% revient à multiplier cette grandeur par t 00. Quel est le pourcentage d évolution d un article qui baisse successivement de 8% puis de 5%? A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 8
2. Après une hausse de 6,25% le pri d un article est de 272C. Quel était le pri de cet article avant la hausse? 3. Après une baisse de 5,6% le pri d un article est de 236C. Quel était le pri de cet article avant la baisse?. Le cours d une action a baissé de 20%. Quel devra être le tau du pourcentage d augmentation pour que cette action retrouve son cours initial? EXERCICE 9 Soit f et g les fonctions définies surrpar f()=(+3) 2 et g()=(5+) 2. On cherche à résoudre l inéquation f() g().. Factoriser l epression de f() g(). 2. À l aide d un tableau, étudier le signe de f() g(). 3. Résoudre l inéquation f() g(). EXERCICE 0 Résoudre dans R les inéquations suivantes :. (3 2) 2 (+) 2 0 2. (2 3) 2 (2 3)(3 5) 3. 3+ 2 0. 2 3+2 < EXERCICE Soit f la fonction définie surrpar f()= 2 9 2. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. La courbe C f est tracée ci dessous, dans le plan muni d un repère orthogonal. (. Soit g la fonction affine telle que g 9 ) ( ) 3 = 6 et g = 5. a) éterminer l epression de g en fonction de. b) Tracer la courbe représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné ci dessous. 8 C f 6 2 - -3-2 - 0 2 3-2 - -6 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 8
2. a) Vérifier que pour tout réel, f() g()=( 3)(+). b) Étudier les positions relatives des courbes C f et. EXERCICE 2 Soit f la fonction définie surrpar f()= 3 + 2 2. Sa courbe représentative notée C f est tracée dans le repère orthogonal ci-dessous. 6 2-2 - 0 2-2 - -6-8 -0 C f. Soit g la fonction affine définie surrtelle que g(3) g( )= 2 et g(2)=. a) éterminer l epression de g en fonction de. b) Tracer la courbe représentative de la fonction g dans le repère précédent. 2. a) Factoriser f() g(). b) Résoudre dansr l inéquation f() g(). c) éterminer les coordonnées des points d intersection de la droite avec la courbe C f. EXERCICE 3 eu offres de location de vacances sont proposées dans deu résidences similaires. OFFRE A : 50 C par nuit pour les trois premières nuits puis, C par nuit supplémentaire. OFFRE B : Un forfait de 350 C pour sept nuits consécutives puis, 32 C par nuit supplémentaire.. On appelle f n la fonction qui à tout séjour de n nuits fait correspondre le montant en euros à paer pour un client qui a choisi l offre A. a) Calculer f n (3) et f n (5). b) Soit f la fonction affine par morceau définie surr + telle que f() = f n () pour entier. onner une epression de f(). 2. On appelle g n la fonction qui à tout séjour de n nuits fait correspondre le montant en euros à paer pour un client qui a choisi l offre B. a) Calculer g n (3) et g n (2). b) Soit g la fonction affine par morceau définie surr + telle que g() = g n () pour entier. onner une epression de g(). 3. a) Représenter dans un même repère les fonctions f et g. b) Par lecture graphique, déterminer le nombre de nuits à partir duquel l offre B est plus avantageuse que l offre A. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 8 sur 8