44 Diagonale d'un carré A? N 45 Développe et réduis les expressions suivantes. A 5 A 5 A 5 A 5 M,5 cm I A 15 a. Calcule la longueur exacte de la diagonale AI du carré MANI. triangle ANI rectangle en N : AI AN NI AI,5,5 AI 1,5 AI 1,5 cm b. Si AN a (a 0), que vaut AI? triangle ANI rectangle en N : AI AN NI AI a a AI a AI a AI a AI a car a 0 B 5 7 18 B 5 5 7 18 B 5 5 7 18 B 5 5 6 B 10 5 6 B 10 10 B 00 C 6 C 6 C 1 C D 1 1 6 D 1 1 1 1 6 D 1 6 7 D 1 6 6 D 4 1 6 D 1 1 RACINS CARRÉS - CHAPITR N
46 ffectue les calculs suivants. Écris les résultats sous la forme a b c où a, b et c sont des entiers relatifs avec c le plus petit possible. A 5 4 A 5 4 5 8 A 5 4 10 8 A 5 6 8 A 15 8 6 A 7 6 B 7 6 6 16 16 4 B 7 6 7 4 6 4 6 B 7 6 8 6 8 6 B 8 1 15 6 B 40 15 6 C 5 5 5 5 5 C 5 5 5 5 5 5 5 5 5 C 5 5 15 5 5 15 5 C 10 5 15 5 5 C 10 5 75 5 C 10 5 50 D 4 18 6 4 D 4 4 4 6 18 1 6 D 4 16 18 18 1 6 D 4 7 16 18 D 96 16 18 D 96 16 54 D 96 70 47 Développe et réduis les expressions suivantes. A 11 4 A 11 4 11 4 A 11 8 11 16 A 7 8 11 B 6 7 B 6 7 6 7 B 6 8 6 49 B 4 6 8 6 49 B 7 8 6 C 4 9 C 4 4 9 9 C 16 7 81 C 16 81 7 C 178 7 D 6 D 6 6 D 6 18 D 9 D 9 D 9 6 5 1 6 5 5 1 5 1 6 5 6 5 5 1 60 60 6 5 5 1 60 60 6 5 00 60 60 180 480 60 60 F 1 4 1 4 F 1 1 4 1 4 1 16 F 1 1 1 4 1 16 F 8 1 CHAPITR N RACINS CARRÉS
48 Développe et simplifie les expressions suivantes. A 1 A 1 A 1 A 1 A B 7 7 B 7 7 7 7 B 7 B 49 B 6 94 B 100 C 18 18 18 C 18 18 18 C 6 1 C 6 1 C 5 D 6 5 4 5 D (6 6 5 5 ) 4 5 D 6 4 5 4 5 16 5 D 4 5 6 0 80 D 4 5 4 49 Soit A 15 et B 15. Calcule A, B puis A B. A ( 15 ) A 15 15 A 4 4 15 15 A 19 4 15 B ( 15 ) B 15 15 B 4 4 15 15 B 19 4 15 A B ( 15 )( 15 ) A B 15 A B 4 15 A B 11 50 Écris les expressions suivantes sous la forme a b où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible. A 80 0 15 A 0 0 00 A 0 0 00 A 00 A 10 B 6 5 150 B 18 5 6 5 6 B 5 6 5 6 B C 7 4 6 9 7 C 7 ( 4 7 9 7 ) C 7 ( 4 9 7 9 7 ) C 4 7 D 98 14 8 7 D 98 98 8 7 D 8 7 RACINS CARRÉS - CHAPITR N
51 Un peu d'aire 5 Spirale de Théodore de Cyrène Calcule l'aire d'un rectangle ABCD de largeur 7 5 cm et de longueur 7 5 cm. A L l A ( 7 5 )( 7 5 ) A 7 5 A 7 5 A L'aire du rectangle ABCD est de cm. Observe la figure suivante. D C 1 5 xtrait du Brevet Montrer que et F sont des nombres entiers. a. 7 7 7 7 5 b. F F F 9 F 1 9 F A a. Sachant que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A, calcule la valeur exacte de BC. triangle ABC rectangle en A : BC AB AC BC 1 1 BC b. n t'aidant de la question a. et de la figure ci-dessus, calcule les valeurs exactes de DB et B. triangle DBC rectangle en C : BD CB DC BD 1 1 BD B triangle DB rectangle en : B DB D B 1 1 4 B 4 c. À l'aide des questions précédentes, construis un segment de longueur 7. CHAPITR N RACINS CARRÉS
54 Calcul littéral Soit A (x 5) 9x. a. Développe A. A (x 5) 9x A (x) 5 x 5 9x A 4x 0x 5 9x A 5x 0x 5 b. Factorise A. A (x 5) 9x A (x 5) (x) A (x 5 x)(x 5 x) A (5x 5)( x 5) c. Calcule A pour x 5. A 5x 5x 0 A 5 5 5 5 5 0 A 5 5 5 5 5 0 A 5 5 5 5 0 A 5 5 5 5 55 Un peu de physique La puissance électrique dissipée dans une résistance est calculée à l'aide de la formule : P RI, où P est la puissance en watts (W), R la résistance en ohms (Ω) et I l'intensité en ampères (A). La puissance dissipée dans un radiateur a une valeur de 000 W et lors de son utilisation la mesure de la résistance a donné 18 Ω. Calcule la valeur arrondie au millième de l'intensité du courant. P RI, donc on obtient : 000 18 I. Soit I 000/18 500/. Comme une intensité est positive, on obtient : I 500 1,910 A L'intensité du courant est d'environ 1,910 A. 56 ABCDFGH est un cube de 4 cm d'arête. D H a. Calcule la valeur exacte de GD et écris le résultat sous la forme a avec a entier. triangle DCG rectangle en C : DG DC CG DG 4 4 DG DG 4 4 cm b. Quel est le périmètre du triangle BDG? Tu donneras la réponse sous la forme a. BDG est un triangle équilatéral. P(BDG) BD 4 1 c. Calcule la valeur exacte de GK. Dans un triangle équilatéral, une hauteur est aussi une médiane. Donc K est le milieu de [BD] et KB BD 4. triangle KBG rectangle en K : BG KB KG 4 KG 16 4 KG KG 8 4 KG 4 6 6 cm d. Calcule l'aire du triangle BGD. Donne la valeur exacte puis une valeur arrondie au centième. Aire(BGD) A BD KG 4 6 K 8 1 4 1 1,86 cm G C B F L'aire du triangle BGD est d'environ 1,86 cm. RACINS CARRÉS - CHAPITR N
57 Volume d'un cône Calcule la valeur exacte du volume d'un cône de révolution de cm de rayon de base et 8 cm de hauteur. V π R h/ V π 8 V π 4 8 V 8 π 8 La valeur exacte du volume de ce cône est : 8 π 8 cm. 58 Volume d'une pyramide SABC est une pyramide dont la base ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm ; [SO] est la hauteur telle que SO 1 cm. a. Calcule l'aire de la base ABC. Soit I le milieu de [BC]. Dans un triangle équilatéral, la médiane est aussi hauteur donc [AI] est une hauteur de ce triangle. IB BC 1 triangle ABI rectangle en I : BA IB AI 4 1 AI 576 144 AI AI 1 78 4 196 AI 1 96 6 cm BC AI Aire(ABC) 864 4 b. Calcule la valeur exacte du volume de la pyramide SABC. V(SABC) B h 4 1 5 184 5 184 Le volume de cette pyramide est de 5184 cm. 59 Distance de freinage La distance de freinage est la distance nécessaire pour immobiliser un véhicule à l'aide des freins. lle dépend de la vitesse et de l'état de la route (sèche ou mouillée). On peut calculer cette distance à l'aide de la formule d k v où d est le distance en mètres (m), v la vitesse en km/h et k une constante. Sur une route sèche, on a k 4,8 10. a. Y a-t-il proportionnalité entre la vitesse et la distance de freinage? Justifie. Non. Par exemple, si on double la vitesse, la distance de freinage sera multipliée par 4. b. Calcule la distance de freinage, arrondie à l'unité, d'un véhicule roulant à 90 km/h sur route sèche. Pour v 90, d 4,8 10 90 4,8 8 100 10 d 8 880 10 8,88 m Pour un véhicule roulant à 90 km/h sur route sèche, la vitesse de freinage est de 8,88 m. c. Sachant qu'un conducteur a freiné sur 1 m, quelle était sa vitesse? On résout l'équation : 1 4,8 10 v d'où v 1 4,8 10 500 et v 500 50. Sa vitesse est de 50 km/h. d. Sur une route mouillée, on a k 9,8 10. Si le conducteur roule à la même vitesse qu'à la question précédente, quelle sera sa distance de freinage? Pour v 50, d 9,8 10 50 9,8 500 10 d 4 500 10 4,5 m Pour un véhicule roulant à 50 km/h sur route mouillée, la vitesse de freinage est de 4,5 m. CHAPITR N RACINS CARRÉS
e. Un conducteur ne laisse devant lui qu'une distance de 0 m. À quelle vitesse peut-il rouler sans risquer un accident en cas de freinage brutal sur route sèche? On résout l'équation : 0 4,8 10 v d'où v 0 4,8 10 4 167 et v 4 167 64,5. Il peut rouler jusqu'à 60 km/h. Au-delà, il y a danger de collision. f. S'il roule à la même vitesse mais sur route mouillée, quelle distance minimale entre sa voiture et la voiture qui le précède, ce conducteur doit-il respecter s'il ne veut pas risquer un accident? Pour v 60, d 9,8 10 60 9,8 600 10 d 5 80 10 5,8 m Pour un véhicule roulant à 60 km/h sur route mouillée, la vitesse de freinage est de 5,8 m. Pour ne pas risquer d'accident, le conducteur a intérêt de laisser au moins 40 m de distance avec la voiture qui le précède. 60 Avec l'aide de Pythagore Observe la figure suivante. (KH) // (AB) a. Calcule les valeurs exactes de AC et AB. triangle AHC rectangle en H : CA CH AH CA 1 6 144 6 180 CA 180 6 5 6 5 triangle AHB rectangle en H : BA BH AH BA 6 9 6 45 C 1 BA 45 5 5 b. Démontre que le triangle ABC est rectangle en A. K A 6 H B 6 5 1,4 15 Dans le triangle ABC, le plus grand côté est BC donc on calcule : CA 180 ; BA 45 ; CB 15 5 CA BA CB donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A c. Calcule la valeur exacte de KH. On applique le théorème de Thalès dans les triangles CKH et CAB. C, K, A et C, H, B sont alignés et les droites (KH) et (AB) sont parallèles. On a CK CA CH CB soit 1 15 KH 5 d'où KH 6 5 15 KH AB 1 5 5. RACINS CARRÉS - CHAPITR N
61 Résous les équations suivantes. a. (x 9) 0 b. (x 1) 16 0 c. 5 (x ) 0 d. (10 x) 9 e. 81 ( 5y 9) f. ( 5x 6) 49 a. (x 9) 0 d'où x 9 soit x L'unique solution est donc. b. (x 1) 16 0 d'où (x 1) 16 4 soit (x 1) 4 d'où x soit (x 1) 4 d'où x 5 Les solutions sont donc et 5. c. 5 (x ) 0 d'où (x ) 5 5 soit (x ) 5 d'où x soit (x ) 5 d'où x 8 Les solutions sont donc et 8. d. (10 x) 9 d'où (10 x) soit (10 x) d'où x 7 et x,5 soit (10 x) d'où x 1 et x 6,5 Les solutions sont donc,5 et 6,5. e. 81 ( 5y 9) d'où ( 5y 9) 9 soit ( 5y 9) 9 d'où 5y 0 et y 0 soit ( 5y 9) 9 d'où 5y 18 et y 18 5 Les solutions sont donc 0 et 18 5. 6 Avec Thalès Sur le dessin ci-dessous : PN ; ON et SR. De plus, les droites (ON) et (SR) sont parallèles. Calcule PS. On donnera la réponse sous la forme a b avec a et b entiers, b étant le plus petit possible. On applique le théorème de Thalès dans les triangles PON et PSR. O, P, R et N, P, S sont alignés et les droites (ON) et (RS) sont parallèles. On a PO PR N soit PS PN PS O ON RS d'où PS PS 6 6 P R S 6 f. ( 5x 6) 49 d'où ( 5x 6) 7 soit ( 5x 6) 7 d'où 5x 1 et x 1 5 soit ( 5x 6) 7 d'où 5x 1 et x 1 5 Les solutions sont donc 1 5 et 1 5. CHAPITR N RACINS CARRÉS
6 Le bon choix Soit (x 7) (5 x) a. Développe l'expression. (x 7) (5 x) ((x) 7 7 x) (5 x 5 x) (4x 49 8x) (5 x 10x) 4x 49 8x 5 x 10x x 18x 4 b. Factorise. (x 7) (5 x) ((x 7) (5 x))((x 7) (5 x)) (x 7 5 x)(x 7 5 x) (x )(x 1) c. Choisis la meilleure forme de l'expression pour calculer sa valeur exacte quand x 4 puis quand x. 4 4 18 4 4 4 9 16 7 4 4 7 16 16 16 84 16 4 195 16 18 4 18 4 18 64 Nombre entier? Soit 5 18 18. Écris le nombre sous la forme a b où a est une fraction irréductible et b est un nombre entier. 5 18 18 5 18 18 18 18 18 18 5 5 18 18 18 8 18 18 8 6 16 16 1 8 65 n somme, c'est cela! On pose A 181 5 et B 181 5. a. À l'aide de la calculatrice, vérifie que 181 5 0 et 181 5 90,9 0. b. Calcule A et B puis A B. A 181 5 181 5 B 181 5 181 5 A B 181 5 181 5 A B 181 5 181 5 A B 181 5 A B 761 704 A B 4649 157 c. Déduis-en la valeur de (A B) puis la valeur exacte de A B. (A B) A B A B 181 5 181 5 157 6 14 676 Comme A et B sont positifs, A B est aussi positif. Donc A B 676 6. 66 xtrait du Brevet Soit a 5 1 et b 5. a. Calculer a et b. a 5 (1 ) a 5(1 ) a 5(1 ) a 5( ) a 15 10 b (5 ) b 5 5 b 5 10 b 7 10 b. n déduire les valeurs de a b et a b. a b 15 10 7 10 4 a b 4 RACINS CARRÉS - CHAPITR N
67 Avec un tableur L'algorithme de Héron d'alexandrie est une méthode de calcul pour déterminer une valeur approchée de la racine carrée d'un nombre positif N. a. Recherche qui était Héron d'alexandrie et à quelle époque il a vécu. Alexandrine (gypte), 1er siècle. Également appelé Héron l'ancien, Héron fut un des grands mécaniciens de l'antiquité, mécanicien au sens étymologique : du grec mêkhanê machine. Il mit en pratique, dans divers domaines, ses connaissances en géométrie et en physique issues d'uclide et d'archimède : architecture, optique (Catoptrique : lois de la réflexion), réalisation de diverses machines et instruments de mesure, comme l'odomètre (hodos route, metron mesure) permettant de calculer les distances parcourues et dont le principe conduit au compteur kilométrique des bicyclettes indiquant également la vitesse instantanée. b. Cette méthode est définie par la formule : a a N a C 4 ' où a est un nombre choisi au départ et a' remplace a dans l'étape suivante. On veut programmer avec un tableur la recherche d'une valeur approchée de 10 avec cette méthode : ici, N 10 et a 1. On n'utilise que la colonne A. Dans la cellule A, tape (1+10/1)/ et dans la cellule A, tape (A+10/A)/ puis poursuis la programmation comme dans la feuille de calcul ci-dessous. Note la valeur approchée au dix-millième de 10. 10,16 c. Recommence pour déterminer une valeur approchée au dix-millième de, 11 et 0. 1,414 11,166 0 4,471 CHAPITR N RACINS CARRÉS
68 xtrait du Brevet Soit a 5 et b 0. a. Calculer a b et donner le résultat sous la forme c d où d est un entier le plus petit possible. a b 5 0 a b 5 5 a b 5 5 a b 5 b. Calculer ab. ab 5 0 100 10 c. Le nombre a est-il solution de l'équation x x 180 1 5? Justifier. a a 180 5 5 180 5 175 0 Donc a a 180 ne peut pas être égal à un nombre positif. Donc a n'est pas solution de l'équation. RACINS CARRÉS - CHAPITR N