Estimations la vitesse propagation et complétu asymptotique en Institut Mathématiques Boraux Université Boraux 1 J-F Bony, J F, J. Funct. Anal., 262, 850-888, (2012) J-F Bony, J F, IM Sigal, Adv. Math., 231, 3054-3078, (2012) J F, IM Sigal, arxiv:1202.6151
Plan l exposé 1 2 3 maximale minimale Complétu asymptotique
Partie I
H = p y + V (y), V C 0 (R 3 ; R) H auto-adjoint avec domaine D(H) = D( ) σ pp(h) ], 0[, σ ac(h) = [0, + [, σ sc(h) = Représentation impulsion : H = k + V (i k ) Fonctions localisation Soient f C 0 (R; [0, 1]) telle que supp(f ) [1, 2] et F (s) = R s f (τ) dτ. On note On définit même les fonctions F ( c) := F ( /c) F ( c) et F ( c)
H = p y + V (y), V C 0 (R 3 ; R) H auto-adjoint avec domaine D(H) = D( ) σ pp(h) ], 0[, σ ac(h) = [0, + [, σ sc(h) = Représentation impulsion : H = k + V (i k ) Fonctions localisation Soient f C 0 (R; [0, 1]) telle que supp(f ) [1, 2] et F (s) = R s f (τ) dτ. On note On définit même les fonctions F ( c) := F ( /c) F ( c) et F ( c)
Estimations propagation Estimation vitesse maximale ψ t = e ith ψ 0 Soient χ C 0 (R) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( y 1/2 ), F ( y ct) 2 1 ψt t γ ( y + 1) 2 1 ψ0 Estimations vitesse minimale Soient χ C 0 (R) et 0 < c < 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( k 1/2 ), Z 1 t 1 F ( y ct) 1 2 ψt 2 dt ( k 1 + 1) 1 2 ψ0 2 De plus, si supp(χ) ]0, + [, alors pour tous β < 1, c > 0 et ψ 0 χ(h)d( y ), F ( y ct β ) 1 2 ψt t δ ( y + 1)ψ 0
Estimations propagation Estimation vitesse maximale ψ t = e ith ψ 0 Soient χ C 0 (R) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( y 1/2 ), F ( y ct) 2 1 ψt t γ ( y + 1) 2 1 ψ0 Estimations vitesse minimale Soient χ C 0 (R) et 0 < c < 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d( k 1/2 ), Z 1 t 1 F ( y ct) 1 2 ψt 2 dt ( k 1 + 1) 1 2 ψ0 2 De plus, si supp(χ) ]0, + [, alors pour tous β < 1, c > 0 et ψ 0 χ(h)d( y ), F ( y ct β ) 1 2 ψt t δ ( y + 1)ψ 0
Dérivée Heisenberg Métho s observables propagation (I) Soit Φ t une famille d observables. On note DΦ t = tφ t i[φ t, H], d où t ψ t, Φ tψ t = ψ t, DΦ tψ t Estimation propagation forte On suppose Φ t 0, DΦ t G t + R t, G t 0, et Z Alors ψ t, Φ tψ t + 0 Z 0 ψ t, R t ψ t dt ψ 0 2 ψ t, G tψ t dt ψ 0 2 + ψ 0, Φ 0ψ 0
Dérivée Heisenberg Métho s observables propagation (I) Soit Φ t une famille d observables. On note DΦ t = tφ t i[φ t, H], d où t ψ t, Φ tψ t = ψ t, DΦ tψ t Estimation propagation forte On suppose Φ t 0, DΦ t G t + R t, G t 0, et Z Alors ψ t, Φ tψ t + 0 Z 0 ψ t, R t ψ t dt ψ 0 2 ψ t, G tψ t dt ψ 0 2 + ψ 0, Φ 0ψ 0
Métho s observables propagation (II) Estimation propagation faible On suppose sup t ψ t, Φ tψ t ψ 0 2, DΦ t G t + R t, G t 0, et Alors Z Z 0 ψ t, R t ψ t dt ψ 0 2 0 ψ t, G tψ t dt ψ 0 2 + ψ 0 2
Estimation vitesse maximale (I) Observable Soient J β (s) = s β F (s 1/2 ), et F ( y ct) 1 2 ψt t γ ( y + 1) 1 2 ψ0 Φ t = t 2γ J β (y 2 /c 2 t 2 ) (β β c) Dérivée Heisenberg DΦ t = tφ t i[φ t, H] = 2t 2γ 1 γj β ( y 2 c 2 t 2 ) y 2 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t 2 ) t 2γh J β ( y 2 c 2 t 2 ), i k i
Estimation vitesse maximale (I) Observable Soient J β (s) = s β F (s 1/2 ), et F ( y ct) 1 2 ψt t γ ( y + 1) 1 2 ψ0 Φ t = t 2γ J β (y 2 /c 2 t 2 ) (β β c) Dérivée Heisenberg DΦ t = tφ t i[φ t, H] = 2t 2γ 1 γj β ( y 2 c 2 t 2 ) y 2 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t 2 ) t 2γh J β ( y 2 c 2 t 2 ), i k i
Développement du commutateur hj β ( y 2 c 2 t 2 ), i k i = 1 π Z = 1 πc 2 t 2 Estimation vitesse maximale (II) Jβ z (z)ˆ(y 2 /c 2 t 2 z) 1, i k dre z dim z Z Jβ z (z)(y 2 /c 2 t 2 z) 1 k y k + k k y (y 2 /c 2 t 2 z) 1 dre z dim z = 1 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) 1 k 2 2 y k + k k y J β( y 2 c 2 t ) 1 2 2 + Rt, avec k 1 2 Rt k 1 2 t 2 Estimation du commutateur ± hj β ( y 2 i c 2 t ), i k 2 y 2 2 ct c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) + 2 Ct 2 k 1
Estimation vitesse maximale (III) Dérivée Heisenberg DΦ t = tφ t i[φ t, H] = 2t 2γ 1 γj β ( y 2 c 2 t ) y 2 2 c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) t 2γh J 2 β ( y 2 i c 2 t ), i k 2 2t 2γ 1 γj β ( y 2 1 c 2 t ) 1 y 2 2 c c 2 t 2 J β( y 2 c 2 t ) + Ct 2+2γ k 1 2 2t 2γ 1 γ 1 1 β J β ( y 2 c c 2 t ) + 2 Ct 2+2γ k 1 Ct 2+2γ k 1, pour γ 1 1 β c
Estimation vitesse maximale (IV) Contrôle l évolution k 1 D une part, ψ t, k 1 F ( k t µ )ψ t t 2µ ψ t, k F ( k t µ )ψ t t 2µ ψ 0 2 D autre part, ψ t, k 1 F ( k t µ )ψ t ψ 0, ( k 1 + 1)ψ 0 + ψ 0, ( k 1 + 1)ψ 0 + Z t 0 Z t 1 ψ ˆ k s, 1 F ( k s µ ), V (y) ψ s ds s µ/2+ε ψ 0 2 ds k 2 1 ψ0 2 + t 1 µ/2+ε ψ 0 2 Conclusion : ψ t, k 1 ψ t croît moins vite que linéairement
Estimation vitesse maximale (V) Dérivée Heisenberg ψ t, DΦ tψ t Ct 2+2γ ψ t, k 1 ψ t Intégrable pour γ pas trop grand Conclusion t 2γ ψ t, F ( y ct)ψ t ψ t, Φ tψ t ψ 0 2
Partie II standard la
Le modèle Système physique Système atomique non (N particules quantiques, chargées, non s) En interaction avec le champ électromagnétique quantifié Système atomique Système le plus simple : atome d hydrogène avec noyau infiniment lourd associé dans H el = L 2 (R 3 ) H el = x + V (x), où V L 2 loc(r 3 ; R), et V (x)ψ ε xψ + C ε ψ. Par exemple V (x) = C x
Le modèle Système physique Système atomique non (N particules quantiques, chargées, non s) En interaction avec le champ électromagnétique quantifié Système atomique Système le plus simple : atome d hydrogène avec noyau infiniment lourd associé dans H el = L 2 (R 3 ) H el = x + V (x), où V L 2 loc(r 3 ; R), et V (x)ψ ε xψ + C ε ψ. Par exemple V (x) = C x
Espace Hilbert pour le champ photons Espace Fock (I) Espace Hilbert pour 1 photon : L 2 (R 3 {1, 2}) Espace Fock symétrique pour le champ photons : H ph = + M n=0 F (n) s = C M n 1 L 2 (R 3 {1, 2}) n s Ψ = ( Ψ (0), Ψ (1) (K 1) {z } {z } C, Ψ (2) (K 1, K 2) {z } L 2 (R 3 {1,2}) L 2 ((R 3 {1,2}) 2 ),... ) H ph s création et d annihilation Pour f L 2 (R 3 {1, 2}), (a (f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = 1 n nx f (K i )Ψ (n 1) (K 1,, ˆK i,, K n) i=1 (a(f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = Z n + 1 R 3 {1,2} f (K)Ψ (n+1) (K, K 1,, K n)dk
Espace Hilbert pour le champ photons Espace Fock (I) Espace Hilbert pour 1 photon : L 2 (R 3 {1, 2}) Espace Fock symétrique pour le champ photons : H ph = + M n=0 F (n) s = C M n 1 L 2 (R 3 {1, 2}) n s Ψ = ( Ψ (0), Ψ (1) (K 1) {z } {z } C, Ψ (2) (K 1, K 2) {z } L 2 (R 3 {1,2}) L 2 ((R 3 {1,2}) 2 ),... ) H ph s création et d annihilation Pour f L 2 (R 3 {1, 2}), (a (f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = 1 n nx f (K i )Ψ (n 1) (K 1,, ˆK i,, K n) i=1 (a(f )Ψ) (n) (K 1,, K n) = Z n + 1 R 3 {1,2} f (K)Ψ (n+1) (K, K 1,, K n)dk
Espace Fock (II) s champ Φ(f ) = a (f ) + a(f ) s second quantifiés Soit b un opérateur sur L 2 (R 3 {1, 2}). La secon quantification b est l opérateur sur H ph défini par dγ(b) (n) F = b 1 1 + 1 b 1 + + 1 1 b s dγ(b) Ω = 0 où Ω = (1, 0, 0, ) (vi)
Espace Fock (II) s champ Φ(f ) = a (f ) + a(f ) s second quantifiés Soit b un opérateur sur L 2 (R 3 {1, 2}). La secon quantification b est l opérateur sur H ph défini par dγ(b) (n) F = b 1 1 + 1 b 1 + + 1 1 b s dγ(b) Ω = 0 où Ω = (1, 0, 0, ) (vi)
standard la Espace Hilbert pour le système total (électron+champ photons) H = H el H ph = L 2 (R 3, dx) H ph Hamiltonien Pauli-Fierz agissant dans H H = ` i x 1 Hph α 3 2 A(αx) 2 + 1 Hel H f + V (x) 1 Hph où H f = dγ(ω), ω(k) = k, A j (x) = Φ(h j (x)), h j (x, k, λ) = e ik x χ(k) k 1 2 ( ελ (k)) j
Spectre, Seuil d ionisation Spectre ([Bach,Fröhlich,Sigal 99], [Griesemer,Lieb,Loss 01]) Sous une hypothèse règle d or Fermi et pour couplage suffisamment petit, H possè une valeur propre simple E gs au bas du spectre (associé à un état fondamental Φ gs), et le spectre est absolument continu dans l intervalle (E gs, Σ) Seuil d ionisation Défini par Σ = lim inf R ϕ D R, ϕ =1 où D R = {ϕ D(H); ϕ(x) = 0 si x < R} ϕ, Hϕ, Décroissance exponentielle ([Bach,Fröhlich,Sigal 99], [Griesemer 02]) Pour tout δ, ξ R tel que ξ + δ 2 < Σ, e δ x E (,ξ] (H) <
Dynamique Equation On s intéresse à la dynamique associée à l équation i tψ t = Hψ t Etats initiaux On considère s états initiaux en ssous du seuil d ionisation, ψ 0 Ran E (,Σ) (H) (Processus d absorption et d émission photons, l atome restant non ionisé) Objectif On souhaite étudier le comportement asymptotique lorsque t + la dynamique associée au modèle
connus Hamiltoniens avec une forme explicite Arai 83, Spohn 97, Derezinski 04 s massifs ou avec troncature infrarouge Derezinski-Gérard 99, Fröhlich-Griesemer-Schlein 02 pour s modèles non massifs Gérard 02 Retour à l équilibre et borne uniforme sur le nombre photons émis pour le modèle spin-bosons De Roeck-Kupiainen 12
maximale minimale Complétu asymptotique Partie III
maximale minimale Complétu asymptotique III.1 maximale
maximale maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( y ) 1/2 ), dγ`f ( y ct) 1 2 ψ t t γ (dγ( y ) + 1) 2 1 ψ0 Elements preuve Transformation Pauli-Fierz généralisée Versions second quantifiées s commutateurs/estimations précéntes s champ = termes reste (intégrable) Décroissance exponentielle en ssous du seuil d ionisation Contrôle dγ( k δ ) le long l évolution
maximale maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[) et c > 1. Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( y ) 1/2 ), dγ`f ( y ct) 1 2 ψ t t γ (dγ( y ) + 1) 2 1 ψ0 Elements preuve Transformation Pauli-Fierz généralisée Versions second quantifiées s commutateurs/estimations précéntes s champ = termes reste (intégrable) Décroissance exponentielle en ssous du seuil d ionisation Contrôle dγ( k δ ) le long l évolution
maximale minimale Complétu asymptotique III.2 minimale
maximale minimale Complétu asymptotique préliminaires Décroissance l énergie locale à basses énergies Inégalité Mourre ([Fröhlich,Griesemer,Sigal 08]) 1 Jσ (H)[H, ib σ]1 Jσ (H) c 0σ1 Jσ (H) avec B σ générateur s dilatations dans l espace Fock, restreint aux basses énergies [Hunziker,Sigal,Soffer 00] implique, pour χ σ C 0 (J σ), B σ s e ith χ σ(h) B σ s σt s
maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F]) Décroissance l énergie locale uniforme à basses énergies Pour tous 0 α α c, χ C 0 (], e 1 δ[; R), 0 s < 2, et t R, avec Π gs = 1 {Egs}(H) dγ( y ) s e ith χ(h) dγ( y ) s = e itegs χ(e gs) dγ( y ) s Π gs dγ( y ) s + O( t s ), Eléments preuve Décomposition dyadique s basses énergies ([Bony,Häfner 10]) Inégalités Hardy dans l espace Fock dγ( y ) s χ σ(h α) B σ s σ s
maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([Bony,F]) Décroissance l énergie locale uniforme à basses énergies Pour tous 0 α α c, χ C 0 (], e 1 δ[; R), 0 s < 2, et t R, avec Π gs = 1 {Egs}(H) dγ( y ) s e ith χ(h) dγ( y ) s = e itegs χ(e gs) dγ( y ) s Π gs dγ( y ) s + O( t s ), Eléments preuve Décomposition dyadique s basses énergies ([Bony,Häfner 10]) Inégalités Hardy dans l espace Fock dγ( y ) s χ σ(h α) B σ s σ s
Propagation d au moins un photon maximale minimale Complétu asymptotique Γ(b) = b b (sur l espace pour n photons) Théorème ([F,Sigal]) Soient ]E gs, Σ el [ et χ C 0 ( ). On suppose que la règle d or Fermi est satisfaite dans. Pour tout 0 α α c et ψ 0 χ(h)d(dγ( y )), Γ(F ( y ct β ))ψ t t γ `dγ( y ) + 1 ψ 0, pour certains β < 1 Remarque A basses énergies, conséquence la décroissance l énergie locale et du fait que N = dγ(1) croît moins vite que linéairement
maximale minimale Complétu asymptotique minimale ψ t, dγ( k δ )ψ t t ν( δ) (dγ( k δ ) + 1)ψ 0 2 Théorème ([F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[). Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( k 1 ) 1/2 ), Z 1 t β aν(0) dγ(f ( y ct β )) 1 2 ψt 2 dt (dγ( k 1 ) + 1) 1 2 ψ0 2, avec (1 δ < β < 1 et c > 0) ou (β = 1 et 0 < c < 1), et a > 1 Elements preuve Métho s observables propagation Observable dγ(f (b t/ct β )) avec b t = i ` 2 k k + t κ k + k k k + t κ
maximale minimale Complétu asymptotique minimale ψ t, dγ( k δ )ψ t t ν( δ) (dγ( k δ ) + 1)ψ 0 2 Théorème ([F,Sigal]) Soient χ C 0 (], Σ[). Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ( k 1 ) 1/2 ), Z 1 t β aν(0) dγ(f ( y ct β )) 1 2 ψt 2 dt (dγ( k 1 ) + 1) 1 2 ψ0 2, avec (1 δ < β < 1 et c > 0) ou (β = 1 et 0 < c < 1), et a > 1 Elements preuve Métho s observables propagation Observable dγ(f (b t/ct β )) avec b t = i ` 2 k k + t κ k + k k k + t κ
maximale minimale Complétu asymptotique III.3 Complétu asymptotique
Complétu asymptotique (I) maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([F,Sigal]) Soit ], Σ el [. On suppose que la règle d or Fermi est satisfaite dans, que 0 α α c, et que l une s ux hypothèses suivantes est vérifiée : (i) Pour tout ψ 0 χ(h)d(dγ(1) 1/2 ) et χ C 0 ( ), dγ(1) 1 2 ψt dγ(1) 1 2 ψ0 + ψ 0 (i ) Pour tout ψ 0 dans un certain ensemble D nse dans Ran 1 (H), dγ( k 1 ) 1 2 ψt C(ψ 0) Alors la complétu asymptotique est satisfaite dans Ran 1 (H) : pour tous ψ 0 Ran 1 (H) et ε > 0, il existe f ε H ph avec un nombre fini photons, tel que lim sup e ith ψ 0 e itegs Φ gs s e ith f f ε ε t
Complétu asymptotique (II) maximale minimale Complétu asymptotique spin-bosons Hypothèse (i ) vérifiable ([De Roeck,Kupiainen 12]) Eléments preuve Partition asymptotique l unité dans l espace Fock Existence s opérateurs d on inverse Utilisation s estimations vitesse propagation
maximale minimale Complétu asymptotique Définition Soit h t(k) = e it k h(k), s création et d annihilation asymptotiques a # ±(h)φ := lim t ± eith a # (h t)e ith Φ, pour tous h h 0 = {h L 2 (R 3 ), R h(k) 2 ( k 1 + k 2 )dk < } et Φ Ran E (,Σ) (H) Propriétés 1 Si Ψ est un vecteur propre H, a ±(h)ψ = 0 2 On vérifie que lim t ± eith a # (h 1,t) a # (h n,t)e ith Φ = a ±(h # 1) a ±(h # n)φ, pour tous h 1,, h n h 0 et Φ Ran E (,Σ) (H)
maximale minimale Complétu asymptotique Définition Soit h t(k) = e it k h(k), s création et d annihilation asymptotiques a # ±(h)φ := lim t ± eith a # (h t)e ith Φ, pour tous h h 0 = {h L 2 (R 3 ), R h(k) 2 ( k 1 + k 2 )dk < } et Φ Ran E (,Σ) (H) Propriétés 1 Si Ψ est un vecteur propre H, a ±(h)ψ = 0 2 On vérifie que lim t ± eith a # (h 1,t) a # (h n,t)e ith Φ = a ±(h # 1) a ±(h # n)φ, pour tous h 1,, h n h 0 et Φ Ran E (,Σ) (H)
d on maximale minimale Complétu asymptotique Espace s vis asymptotiques K + = {u Ran E (,Σ) (H), a +(h)u = 0 pour tout h h 0} On a Ran Π gs K + Espace asymptotique H + = K + F s d on Défini sur K + F fin (h 0) par Ω +(Φ a (h 1) a (h n)ω) = a +(h 1) a +(h n)φ Ω + est isométrique et se prolonge en une isométrie sur H +
d on maximale minimale Complétu asymptotique Espace s vis asymptotiques K + = {u Ran E (,Σ) (H), a +(h)u = 0 pour tout h h 0} On a Ran Π gs K + Espace asymptotique H + = K + F s d on Défini sur K + F fin (h 0) par Ω +(Φ a (h 1) a (h n)ω) = a +(h 1) a +(h n)φ Ω + est isométrique et se prolonge en une isométrie sur H +
d intification maximale minimale Complétu asymptotique d intification Soit H fin = H el F fin F fin (où F fin est l espace est l espace Fock s vecteurs n ayant qu un nombre fini particules). d intification I : H fin H défini par I : Φ ny a (h i )Ω pour tout Φ H el F fin et h 1,... h n L 2 (R 3 ) 1 ny a (h i )Φ, 1 d on Sur l espace Ran Π gs F fin (h 0), Ω + = s lim t e ith I (e ith e ith f )
Complétu asymptotique maximale minimale Complétu asymptotique Théorème ([F, Sigal]) Sous les mêmes hypothèses que précémment (théorème sur la complétu asymptotique), on a sur Ran E [Egs,Σ)(H) : Ω +(Π gs Π Ω )W + Πgs + Π gs = 1, où W + est l opérateur d on inverse Deift-Simon, Π Ω est la projection sur le vi dans l espace Fock, et Π # = 1 Π #. En particulier, K + = Ran Π gs, i.e. l espace s vis asymptotiques coïnci avec l état fondamental
Merci