Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 25 Lechapitreprécédent avait pour objet l étude decircuitsrésistifsalimentéspar dessourcesde tension ou de courant continues. Par contre la présence de condensateur(s) et de bobine(s) est généralement liée à un courant (ou une tension) variable dans le temps. Nous allons voir ici comment se comporte le signal en fonction du temps dans un tel cas. 3.. Etude des régimes libres Le régime libreest le régime observé quand toutesles sources sont éteintes. Des composants passifset linéairesforment un circuit dans lequel setrouve initialement de l énergie sous forme de tension (dans un condensateur) ou de courant (dans une bobine).l objectif est ici d étudier l évolution des tensions et des courants dans le circuit, pour des conditions initiales données (sur i et u). 3... Le régime libre d un circuit C 3... Position du problème Interrupteur I(t) C UC(t) Fig.3.. CircuitC Soit un circuit composé d une résistance, d un condensateur et d un interrupteur. Les conditions initiales sont les suivantes : l interrupteur est ouvert (donc empêche le courant de passer) et le condensateur est chargé q o. A t =, l interrupteur est fermé, ce qui permet L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

26 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires ensuite au courant de passer donc au condensateur de se décharger. L objectif de ce paragraphe est le suivant :. Etablir l équation di érentielle véri ée par u c (t) aux bornes du condensateur; 2. donner une solution de u c (t) pour cette équation di érentielle ; 3. en déduire également l évolution i c (t) dans le circuit; 4. e ectuer un bilan énergétique. 3...2. Etablissement de l équation di érentielle Le circuit C ne comporte qu une maille. La tension est identique aux bornes de la résistance et du condensateur. Il vient donc : µ u C = i = C du C du C C est l équation di érentielle à résoudre pour obtenir u c (t): + C u C = : () emarque 3. L équation obtenue est une équation di érentielle linéaire du ier ordre : le circuit est lui-même dit linéaire du premier ordre. C est homogène à un temps On pose = C. Ce temps intervient dans l équation di érentiellecommegrandeur caractéristique. On appelle ainsi = C letempscaractéristique du circuit C (ou temps de relaxation). 3...3. Solution La solution de l équation di érentielle ()est : u C (t) = Aexp( t= ): Il reste à déterminer la constante A qui est donnée par les conditions initiales : à t =, u C (t = +) = q =C donc A = q =C. La solution est donc nalement : u C (t) = q C exp( t= ): emarque 3.2 L équation di érentielle étant du premier ordre, seule une condition initiale su t pour déterminer la solution. emarque 3.3 La tangente à l origine de la courbe coupe l axe des abscisses en t =. (Démonstration donnée en cours) emarque 3.4 Le signal u C (t) tend vers quand le temps tend vers l in ni (le condensateur se décharge). On peut considérer que le condensateur est quasiment déchargé à t quand il ne reste plus que % de la tension initiale à ses bornes : u C (t ) = q C = q C exp( t = ) 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3. Etude des régimes libres 27.8.6.4.2 2 3 4 5 6 Fig.3.2. Décharge du condensateur : tension en fonction du temps. Les échelles sont normalisées : u C(t)=(q =C) en ordonnée, ett= en abscisse. exp( t = ) = ; t = ln() t ' 4; 6 : Il faut 4 à 5 pour que le condensateur se décharge. Ensuite, le calcul du courant i(t) s e ectue simplement en écrivant i = u C = q C exp( t= ): -.2 -.4 -.6 -.8-2 3 4 5 6 Fig.3.3. Courant en fonction du temps. Les échelles sont normalisées :i(t)c=q en ordonnée, et t= en abscisse. emarque 3.5 La courbe 3.2 est continue : pour t < ; u C = q =C puis décroît de cette L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

28 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires valeur après t =. Ceci était prévisible : la tension aux bornes du condensateur est toujours continue dans le temps. emarque 3.6 La courbe 3.3 est discontinue : pour t < ; i C = puis passe subitement à q =(C) à t = +. Il n y a pas de présence de bobine dans le circuit : rien n empêche le courant d être discontinu dans le temps. 3...4. Etude énergétique La méthode consiste à faire apparaître une grandeur homogène à une énergie ou une puissance. On sait qu une puissance est homogène à u i : on peut donc obtenir simplement une égalité entre les di érentes puissances en écrivant une loi des mailles (avec u) que l on multiplie par i, une loi des noeuds (avec i) que l on multiplie par u. On écrit ici la loi des mailles appliquée à l unique maille présente : u C + i = : La multiplication par le courant i donne donc un bilan de puissance : i:u C + i 2 = µ C du C u C = i 2 µ d 2 Cu2 C = i 2 : Cette équation s interprète de la manière suivante : l énergie =2Cu 2 C perdue par le condensateur par unité de temps est égale à la puissance dissipée par la résistance i 2 (sous forme de chaleur par e et Joule). 3..2. égime libre d un circuit L 3..2.. Position du problème Soit un circuit composé d une résistance et d une bobine. On part des conditions initiales suivantes : un générateur de courant i a été placé aux bornes de la bobine : un courant i o circule alors dans la bobine. A t =, l interrupteur est ouvert, ce qui revient à enlever le générateur du circuit. Le courant de la bobine va alors passer dans la résistance et être freiné par la résistance. L énergie contenue dans la bobine au départ va progressivement être dissipée dans la résistance. L objectif de ce paragraphe est le suivant :. Etablir l équation di érentielle véri ée par i(t) dans la bobine ; 2. donner une solution de l évolution i(t) dans le circuit; 3. en déduire l évolution de la tension u(t) aux bornes de la bobine; 4. e ectuer un bilan énergétique. 3..2.2. Etablissement de l équation di érentielle Le circuit L ne comporte qu une maille. La tension est identique aux bornes de la résistance et de la bobine. Il vient donc : 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3. Etude des régimes libres 29 Interrupteur i(t) Io u(t) L Fig.3.4. CircuitL u = i = L di di + i = : (2) L C est l équation di érentielle à résoudre pour obtenir i(t): emarque 3.7 L équation obtenue est une équation di érentielle linéaire du ier ordre : le circuit est lui-même dit linéaire du premier ordre. =L est homogène à l inverse d un temps On pose = L=. Ce temps intervient dans l équation di érentielle comme grandeur caractéristique. On appelle = L= le temps caractéristique du circuit L (ou temps de relaxation). est : 3..2.3. solution La solution de l équation di érentielle di + i = : (3) i(t) = B exp( t= ): Il reste à déterminer B qui est donnée par les conditions initiales : à t =, i(t = + ) = i donc B = i. La solution est nalement : i(t) = i exp( t= ): emarque 3.8 L équation di érentielle étant du premier ordre, seule une condition initiale su t pour déterminer la solution. L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

3 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires.8.6.4.2 2 3 4 5 6 Fig.3.5. Courant en fonction du temps. Les échelles sont normalisées :i(t)=i en ordonnée, ett= en abscisse. emarque 3.9 La tangente à l origine de la courbe coupe l axe des abscisses en t =. emarque 3. Comme pour le circuit C, il faut 4 à 5 pour que le courant devienne quasi-nul. Ensuite, le calcul de la tension u(t) s e ectue simplement en écrivant u = i = i exp( t= ): -.2 -.4 -.6 -.8-2 3 4 5 6 Fig.3.6. Tension en fonction du temps. Les échelles sont normalisées :uc(t)=(i ) en ordonnée, et t= en abscisse. emarque 3. La courbe 3.5 est continue : à t < ; i = i puis décroît de cette valeur après t =. Ceci était prévisible : l intensité du courant dans une bobine est toujours continue dans le temps. emarque 3.2 La courbe 3.6 est discontinue : à t < ; u = puis passe subitement à i à t = +. Il n y a pas de présence de condensateur. 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3. Etude des régimes libres 3 3..2.4. Etude énergétique Comme pour le circuit C l équation du circuit (loi des mailles) est multipliée par le courant i : µ i L di = i µ d 2 Li2 = i 2 : Cette équation s interprète de la manière suivante : l énergie =2Li 2 perdue par la bobine par unité de temps est égale à la puissance dissipée par la résistance i 2 (sous forme de chaleur par e et Joule). 3..3. Le régime libre d un circuit LC série 3..3.. Position du problème Interrupteur i(t) UC(t) q C L UL(t) U(t) Fig.3.7. CircuitLC Soit un circuit composé d une résistance, d un condensateur, d une bobine et d un interrupteur. Les conditions initialessont lessuivantes : l interrupteur est ouvert (donc empêchele courant de passer) et le condensateur est chargé q o. A t =, l interrupteur est fermé, ce qui permet ensuite au courant de passer donc au condensateur de se décharger. 3..3.2. Etablissement de l équation di érentielle Le circuit LC série ne comporte qu une maille : u L + u + u C = L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

32 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires L di + i + u C = : (4) Il y a alors deux méthodes pour obtenir une équation di érentielle. La première méthode consiste à dériver l équation(4) ce qui donne une équation di érentielle en i(t) : L d2 i + di 2 + du C = L d2 i 2 + di + C i = : La deuxième méthode consiste à exprimer i(t) et u C (t) en fonction de la charge q(t):compte tenu du fait que u C = q=c et que i = dq=, l équation (4) s écrit : L d2 q 2 + dq + q C = ; d 2 q + dq 2 L + q = : (5) LC ce qui donne une équation di érentielle en q(t). C est l équation di érentielle que nous allons résoudre. emarque 3.3 L équation obtenue est une équation di érentielle linéaire du 2 iµeme ordre : le circuit est lui-même dit linéaire du second ordre. =L est homogène à l inverse d un temps et LC à un temps au carré. On pose : LC =!2 et L =! Q ou L = 2! = = p LC appelé la pulsation propre du circuit (en s ); Q = = p L=C est appelé le facteur de qualité du circuit (sans unité) = =(2L) est appelé le coe cient d amortissement du circuit (en s ). emarque 3.4 L équation di érentielle (5) peut s écrire respectivement, suivant que l on fait le choix d utiliser la facteur de qualité Q ou le coe cient d amortissement : ou d 2 q 2 +! dq Q +!2 q = (6) d 2 q 2 + 2 dq +!2 q = : C est l écriture sous forme de l équation (6) que nous allons utiliser pour la résolution. 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3. Etude des régimes libres 33 3..3.3. Solution La résolution de l équation di érentielle (6) s e ectue en écrivant l équation caractéristique : dont les deux racines (réelles ou complexes) sont r =! p 2Q 2 r 2 +! Q r +!2 = ; (7) avec = µ 2! 4! 2 Q : Les typesde solutionsdi èrent suivant lesigne de, c est-à-diresuivant la valeur du facteur de qualité Q. Cas du régime apériodique ( >, Q < =2). Ce cas correspond à un fort amortissement, ou un faible facteur de qualité. Les 2 solutions de l équation caractéristique (7) sont réelles : s µ r =! s 2 µ 2Q +! et r 2 =! 2 2Q 2Q! : 2Q emarquons que ce deux solutions réelles sont négatives. La solution générale est alors : q(t) = Aexp(r t) + B exp(r 2 t): A et B sont déterminées avec les 2 conditions initiales données d une part par la présence de la bobine, et d autre part par la présence du condensateur : i(t = ) = et q(t = ) = q. emarque 3.5 Pour le circuit LC, l équation di érentielle obtenue est du second ordre ; il y a donc 2 constantes à déterminer, qui correspondent à 2 conditions initiales. Les conditions initiales donnent : ½ q(t = ) = q = A + B (dq=)(t = ) = = Ar + Br 2 : Ce système permet de déterminer A et B (résolution par substitution faite en classe) : A = q r 2 r r 2 = q r ³ 2Q + 2Q 2 r ³ 2 2Q 2 B = r ³ q r 2Q + 2Q 2 = q r r 2 ³ 2r 2Q 2 La tension aux bornes du condensateur est alors (voir gure (3.8)) : u C (t) = q(t) C = C (Aexp(r t) + B exp(r 2 t)): L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

34 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires Le courant se déduit ensuite par : i(t) = C du C(t) = Ar exp(r t) + Br 2 exp(r 2 t) ; ce qui donne après simpli cation (en ayant explicité Ar, et Br 2 dans l expression ci-dessus) : q! i(t) = ³ (exp(r t) + exp(r 2 t)) : 2 2r 2Q La représentation de cette courbe est donnée sur la gure (3.9) pour di érentes valeurs du facteur de qualité Q. Cas du régime critique ( =, Q = =2). La solution de l équation caractéristique (7) est réelle et double : La solution générale est alors : r =! 2Q =! : q(t) = (A + Bt)exp(! t): A et B sont déterminées avec les 2 conditions initiales : i(t = ) = et q(t = ) = q : ½ q(t = ) = q = A (dq=)(t = ) = = B! A A = q B =! q.5 Q=.2 Q=.4 Qc=/2 2 3 4 5 6 Fig.3.8. Décharge du condensateur : tension en fonction du temps pour di érents facteurs de qualité (régime apériodique Q<=2 et critique Q==2). Les échelles sont normalisées : uc(t)=(q =C) en ordonnée, et! t en abscisse. 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3. Etude des régimes libres 35 -. Q=.2 -.2 -.3 Q=.4 -.4 Q=/2 -.5 2 3 4 5 6 Fig.3.9. Courant en fonction du temps pour di érents facteurs de qualité (régime apériodique Q < =2 et critique Q = =2). Les échelles sont normalisées : i(t)=(! q ) en ordonnée, et! t en abscisse. La tension aux bornes du condensateur est alors (voir gure (3.8)) : u C (t) = q(t) C = q C ( +! t)exp(! t): Le courant se déduit ensuite par : i(t) = dq = q C! exp(! t) + q C ( +! t)(! ) exp(! t) i(t) = q C!2 texp(! t): La représentation de cette courbe est donnée sur la gure (3.9). L observation des courbes (3.8) et (3.9) amène les remarques suivantes : bien que les solutions mathématiques des régime apériodique et critique sont di érentes, les allures graphiques sont similaires. Concernant l évolution de la tension, la décharge du générateur est d autant plus rapide que le facteur dequalité serapproche de Q = =2; une trop forterésistance est un frein à la décharge du condensateur. Il en est de même pour la disparition du courant. Cas du régime pseudo-périodique ( <, Q >=2). Cecascorrespond à un faible amortissement, ou un grand facteur de qualité. Les2 solutions de l équation caractéristique (7) sont complexes : r =! 2Q + j! s La solution générale est alors : ou q(t) = exp µ s 2 et r 2 =! 2Q 2Q j! µ! 2Q t (Acos!t + B sin!t) µ q(t) = D exp! 2Q t cos(!t + ') µ 2 : 2Q L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

36 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires avec! =! q (=2Q) 2. A et B (ou D et ') sont des constantes à déterminer avec les 2 conditions initiales : i(t = ) = et q(t = ) = q : q(t = ) = q = A (dq=)(t = ) = = B!! 2Q A A = q ; B = q r ³ 2Q La tension aux bornes du condensateur est alors (voir gure (3.)) : u C (t) = q(t) C = q µ C exp! 2Q t B @ cos!t + r ³ 2Q 2 : 2Q 2Q sin!tc 2 A :.5 Q=4 -.5-5 5 2 25 3 Fig.3.. Décharge du condensateur ³ : tension en fonction du tempspour Q= 4. La courbe en pointillés représente l enveloppe exp! t. Les échelles sont normalisées : uc(t)=(q 2Q =C) en ordonnée, et! t en abscisse. Le courant se déduit ensuite par : ce qui donne après simpli cation : q! i(t) = r ³ i(t) = C du C 2Q µ exp! 2 2Q t sin!t: La représentation de cette courbe est donnée sur la gure (3.). 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3.2 éponse à un échelon de tension 37.5 Q=4 -.5-5 5 2 25 3 Fig.3.. Courant en fonction ³ du temps pour un facteur de qualité Q=4. La courbe en pointillés représente l enveloppe exp! 2Q t. Les échelles sont normalisées : i(t)=(! q ) en ordonnée, et! t en abscisse. La pseudo-période de ce signal représentele temps quisépare 2 passagesà dela tension ou de l intensité, c est-à-dire T = 2¼! = 2¼ q :! (=2Q) 2 En n, plus ³ le facteur t de qualité est important, plus la décroissance exponentielle de l enveloppe exp! 2Q est lente, c est-à-dire qu il y a un plus grand nombre d oscillations. Le signal s atténue alors plus lentement. emarque 3.6 Pour le régime critique, quand Q augmente pour s approcher de =2, le condensateur se décharge plus rapidement. Pour le régime pseudo-périodique inversement, plus Q diminue et se rapproche de =2, moins il y a d oscillations donc le condensateur se décharge plus rapidement. Finalement, le régime qui tend le plus vite vers est le régime critique. 3..3.4. Etude énergétique L équation du circuit (loi des mailles) est multipliée par le courant i : µ i L di + i + u C = µ d d + q dq C 2 Li2 µ 2 Li2 + 2 q 2 C = i 2 ; = i 2 : Cette équation s interprète de la manière suivante : l énergie totale =2Li 2 + =2Cu 2 C perdue par le circuit par unitéde temps (stockée dans la bobine +le condensateur) est égale à la puissance dissipée par la résistance i 2 (sous forme de chaleur par e et Joule). L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

38 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires condens. En.totale Q=4.5 bobine 5 5 Fig.3.2. Décroissance de l énergie dans un circuit LC série ; les courbes pointillées représentent l énergie stockée dans le condensateur et dans la bobine, et la courbe continue leur somme (énergie totale). Les échelles sont normalisées : énergiee=e init en ordonnée, et! t en abscisse. 3.2. éponse à un échelon de tension Dans la première partie, l énergie était stockée au départ dans le condensateur ou dans le bobine. Il s agissait d étudier la dissipation de cette énergie dans la résistance. Cettedeuxièmeparties attacheau contraireà étudier un circuit necomportant pasd énergie au départ, et de voir comment un générateur, qui alimente ce circuit, apporte l énergie à ce circuit (en chargeant progressivement le condensateur ou en établissant le courant dans la bobine). Le générateur est au préalable éteint (tension nulle). A t =, le générateur est allumé et délivre une tension constante notée e : e(t) = pour t < e(t) = e pour t < 3.2.. Charge d un condensateur dans un circuit C 3.2... Position du problème Soit un circuit composé d une résistance, d un condensateur et d un générateur. Les conditionsantérieures à t = sont les suivantes : le générateur délivre une tension nulle, le courant est nul et le condensateur n est pas chargé. A t =, le générateur délivre subitement une tension e constante : un courant va alors circuler dans le circuit et charger le condensateur. L objectif est le suivant :. Etablir l équation di érentielle véri ée par u c (t) aux bornes du condensateur; 2. donner une solution de u c (t) pour cette équation di érentielle ; 3. en déduire également l évolution i c (t) dans le circuit; 4. e ectuer un bilan énergétique. 3.2..2. Etablissement de l équation di érentielle Le circuit ne comporte qu une maille : 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3.2 éponse à un échelon de tension 39 I(t) e(t) C UC(t) Fig.3.3. et u C + i = e du C i = C du C + C u C = e C : (8) C est l équation di érentielle à résoudre pour obtenir u c (t): L équation obtenue est une équation di érentielle linéaire du ier ordre contenant un temps caractéristique (ou temps derelaxation) noté avec = C. 3.2..3. Solution La solution de l équation di érentielle (8) est la somme de la solution particulière u C = e et de la solution de l équation sans second membre : u C (t) = e + Aexp( t= ): Il reste à déterminer la constante A qui est donnée par les conditions initiales : à t =, u C (t = + ) = = e + A donc A = e. La solution est donc nalement : Le courant se déduit par u C (t) = e ( exp( t= )): i(t) = C du C i(t) = e exp( t= ): = Ce exp( t= ) L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

4 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires La tangente à l origine de la courbe coupe l axe des abscisses en t =. Le signal u C (t) tend vers e quand le temps tend vers l in ni (le condensateur se charge). Au bout de quelques, (temps de relaxation), le circuit atteint un régime établi (ou permanent). est un temps caractéristique qui donne un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. emarque 3.7 Les courbes correspondantes seront ultérieurement ajoutées ici!! 3.2..4. Etude énergétique L équation électrique i + q C = e est multipliée par le courant i = (dq=), ce qui donne : i 2 + q C dq = e i µ d 2 Cu2 C = e i i 2 : Cette équation s interprète de la manière suivante : la variation d énergie =2Cu 2 C dans le condensateur par unité de temps est égale à la puissance délivrée par le générateur (e i) à laquelle est enlevée la puissance dissipée par la résistance i 2 (sous forme de chaleur par e et Joule). 3.2.2. Etablissement d un courant dans un circuit inductif L 3.2.2.. Position du problème I(t) e(t) L UL(t) Fig.3.4. 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3.2 éponse à un échelon de tension 4 Soit un circuit composé d une résistance, d une bobine et d un générateur. Les conditions antérieures à t = sont les suivantes : le générateur délivre une tension nulle et le courant est nul. A t =, le générateur délivre subitement une tension e constante : un courant va alors circuler dans le circuit. L objectif est le suivant :. Etablir l équation di érentielle véri ée par i(t) dans le circuit; 2. donner une solution de i(t) pour cette équation di érentielle; 3. en déduire également l évolution u L (t) dans le circuit; 4. e ectuer un bilan énergétique. 3.2.2.2. Etablissement de l équation di érentielle Le circuit ne comporte qu une maille : et u L + i = e u L = L di di + L i = e L : (9) C est l équation di érentielle à résoudre pour obtenir i(t): L équation obtenue est une équation di érentielle linéaire du ier ordre contenant un temps caractéristique (ou temps derelaxation) noté avec = L=. 3.2.2.3. Solution La solution de l équation di érentielle (9)est la somme de la solution particulière (i = e =) et de la solution de l équation sans second membre : i(t) = e + Aexp( t= ): Il reste à déterminer la constante A qui est donnée par les conditions initiales : à t =, i(t = +) = = e = + A donc A = e =. La solution est donc nalement : La tension u L (t) se déduit par i(t) = e ( exp( t= )): u L (t) = L di = Le exp( t= ) u L (t) = e exp( t= ): La tangente à l origine de la courbe coupe l axe des abscisses en t =. Le signal i(t) tend vers (e =) quand le temps tend vers l in ni (le courant s établi). Au bout de quelques, (temps de relaxation), le circuit atteint un régime établi (ou permanent). est un temps caractéristique qui donne un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

42 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 3.2.2.4. Etude énergétique L équation électrique est multipliée par le courant i, ce qui donne : L di + i = e i 2 + L di i = e i µ d 2 Li2 = e i i 2 : Cette équation s interprète de la manière suivante : la variation d énergie =2Li 2 dans la bobine par unité de temps est égale à la puissance délivrée par le générateur (e i) à laquelle est enlevée la puissance dissipée par la résistance i 2. emarque 3.8 Les courbes correspondantes seront ultérieurement ajoutées ici!! 3.2.3. éponse à un échelon de tension d un circuit LC série 3.2.3.. Position du problème I(t) e(t) C UC(t) L Fig.3.5. Soit un circuit composéd unerésistance, d une bobine, d un condensateur et d un générateur. Les conditions antérieures à t = sont les suivantes : le générateur délivre une tension nulle, le courant est nul et le condensateur n est pas chargé. A t =, le générateur délivre subitement une tension e constante : un courant circule alors dans le circuit et charge le condensateur. 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 3.2 éponse à un échelon de tension 43 3.2.3.2. Etablissement de l équation di érentielle Le circuit LC série ne comporte qu une maille : u L + u + u C = e L di + i + u C = e : () i(t) et u C (t) sont ensuite exprimés en fonction de la charge q(t):compte tenu du fait que u C = q=c et que i = dq=, l équation () s écrit : L d2 q 2 + dq + q C = e ; d 2 q + dq 2 L + LC q = e L : () ce qui donne une équation di érentielle en q(t). C est l équation di érentielle à résoudre. Le circuit est dit linéaire du second ordre car l équation di érentielle obtenue est linéaire du second ordre. =L est homogène à l inverse d un temps et LC à un temps au carré. Comme pour le circuit LC série en régime libre, on pose : LC =!2 et L =! Q ou L = 2! = = p LC appelé la pulsation propre du circuit (en s ); Q = = p L=C est appelé le facteur de qualité du circuit (sans unité) = =(2L) est appelé le coe cient d amortissement du circuit (en s ). 3.2.3.3. Solution L équation di érentielle () à résoudre est d 2 q 2 + dq L + LC q = e L : La solution générale est la somme de la solution particulière et de la solution de l équation sans second membre. La solution particulière est q = Ce. La solution est donc q(t) = Ce + sol ESSM. L équation sans second membre est identique à celle du paragraphe (3..3). Il faut écrire l équation caractéristique ou r 2 + L r + LC = r 2 +! Q r +!2 = L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 23

44 Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires si l on choisit d introduire la pulsation propre et le facteur de qualité. Suivant la valeur du facteur de qualité (Q < =2, Q = =2 ou Q > =2) la solution de l équation sans second membre donnera respectivement un régime apériodique ou critique ou pseudo-périodique. Il reste tout de même à exprimer les deux conditions initiales pour déterminer les constantes qui apparaissent dans la solution de l équation sans second membre. Ces conditions initiales sont dans le cas présent : u C (t = ) = q(t = ) = et i(t = ) = (dq=)(t = ) =. emarque 3.9 Attention! les conditions initiales doivent être exprimées sur l ensemble de la solution générale (sol ESSM+sol part). emarque 3.2 Les solutions et les courbes correspondantes de la tension et du courant seront ultérieurement ajoutées ici!! 3.2.4. Conclusion : établissement d un régime forcé Paragraphe traité en classe. 23 novembre 23 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans