Séquence 8. Fonctions numériques Convexité. Sommaire

Séquence 8 Fonctions numériques Conveité Objectifs de la séquence Introduire graphiquement les notions de fonctions convees et de fonctions concaves. Établir le lien entre le sens de variation d une fonction et sa conveité. Établir le lien entre le signe de la dérivée seconde d une fonction et sa conveité. Étudier des rendements en Économie en utilisant la conveité. Sommaire. Pré-requis. Conveité d une fonction sur un intervalle 3. Synthèse de la séquence 4. Eercices de synthèse Séquence 8 MA0

Pré-requis A Fonctions de référence : dérivées courbes. Fonction "carré" Fonction "racine carrée" Fonction" carré" Fonction Fonction" racine carrée" c: r : Ensemble de définition D c = ] ; [ D r = [0 ; [ Fonction dérivée pour tout réel c': pour tout réel > 0 r': Sens de variation 0 + c'( ) 0 + c ( ) 0 0 + r'( ) + r ( ) 0 5 4 3 y = y = y = y = 0,5 + 0,5 Courbes K y = 3 0 3 4 5 Séquence 8 MA0

Propriété Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction est la courbe symétrique, par rapport à la droite d équation y =, de celle représentant la fonction définie sur [0 ; + [ (voir courbes en gras). La courbe représentant la fonction" racine carrée" est une demi parabole.. Fonction " inverse" Fonction" inverse" Courbe de la fonction" inverse" Fonction Ensemble de définition i : D i = ] ;0[ ]0 ; + [ y = + 3 y = / y = ae de symétrie de la courbe Fonction dérivée i': y = K Sens de variation 0 + 3 0 3 4 y = / H La courbe est une hyperbole (composée de " branches") Propriété Dans un repère orthonormal la courbe de la fonction est symétrique par rapport à la droite d équation y =. 3. Fonction "ep" Fonction "ln" Fonction Ensemble de définition Fonction" ep" Fonction" ln" ep : ep( ) = e ln: ln( ) D ] ; [ ep = + D ]0 ; [ ln = + Séquence 8 MA0 3

Fonction dérivée (ep)': e (ln)': Sens de variation 0 + ep () + e 0 + ln () + ln() y 5 4 y = ep() y = + y = ae de symétrie de la figure 3 e y = Courbes K y = In() 3 0 H e 3 4 5 Propriété Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction e est la courbe symétrique, par rapport à la droite d équation y =, de celle représentant la fonction ln( ). B Équation d une tangente. Équation générale d une tangente On désigne par f une fonction définie sur un intervalle I et parc f sa courbe représentative dans un repère du plan. Soit A( a; f( a)) le point d abscisse a situé 4 Séquence 8 MA0

sur la courbec f et T A la tangente en A à la courbe C f. Le coefficient directeur de la tangentet A est le nombre dérivéf'( a). Une équation de la tangente T A est y = f '( a) ( a) + f( a).. Équation de quelques tangentes particulières Fonction f Coordonnées de A Équation det A f( )= ( ; ) y = f( )= ( ; ) y = 0,5 ( + ) f( )= e f( ) = ln( ) (0 ; ) y = + ( ; 0) y = f( )= ( ; ) y = + 3. Positions relatives d une courbe et d une tangente Pour déterminer la position d une courbec f par rapport à sa tangente en A (au-dessus ; en dessous) on peut étudier le signe de la différenced( ) = f ( ) ( m+ p) où y = m + p est l équation de la tangente en A. Signe ded( ) sur un intervalle I d ( )< 0 d ( )= 0 d ( )> 0 Positions relatives de Cf et de TA sur l intervalle I C f est située en dessous det A T A est tangente en A à la courbec f C f est située audessus de T A Séquence 8 MA0 5

C Équation d une parabole On considère une fonction trinôme f définie sur R par f( )= a + b + c (avec a 0). La courbe représentative de f est une parabole qui a pour équation y = a + b + c. Sommet b b S f a a Signe de a a < 0 a > 0 S Allure de la parabole Concavité La parabole tourne sa concavité " vers le bas" car elle est orientée vers les " ordonnées négatives". S La parabole tourne sa concavité " vers le haut" car elle est orientée vers les " ordonnées positives". D Fonctions dérivées Fonctions primitives. Fonctions dérivées Fonction u f : e ( ) f : ln( u( )) Ensemble de définition Dérivée Même ensemble de définition que la fonction u. Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est dérivable sur I et on a : f ': u'( ) e u ( ) La fonction u doit être définie et strictement positive. Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction u f est dérivable sur I et on a : f': '( ) u ( ). 6 Séquence 8 MA0

. Fonctions primitives Fonction Fonctions primitives n ( n N*) n n + + k Ensemble de définition des primitives + R ln + k ]0 ; + [ u '( ) u u ( ) ( avec ( ) > 0) ln( u ( ))+ k Tout intervalle où iu ( ) eiste ; iu ( ) > 0. a e ( a 0) a e + k R a e u ( ) u'( ) u e ( ) + k Tout intervalle où u ( )eiste. (voir aussi le tableau de primitives de la séquence 6) Eercice 4 Soit f la fonction définie sur R parf( )= dans un repère du plan. + 3 Étudier le sens de variation de la fonction f. et C sa courbe représentative En déduire un encadrement def( ). Déterminer les équations des tangentes à la courbe C au points A, K, B d abscisses respectives, 0,. Solution 8 La fonction dérivée est définie sur R parf'( ) =. ( + 3) Cette dérivée est du signe de. i croissante sur ] ; 0] ; La fonction f est i décroissante sur [0 ; + [. Pour tout réel on a 0 < f( ). D après l étude des variations de f on sait que f est maimale pour = 0. 4 4 Calculons f ( 0) =. Pour tout réel on a 0 < f( ). 3 3 Pour = on a f( ) = et f'( ) = 0, 5. La tangente en A( ; ) a pour équation y = 05, ( + ) +, soit y = 0,5 +,5. 4 Pour = 0 on a f( 0) = et f'( 0) = 0. La tangente en K 0 4 ; 3 3 a pour équation 4 y =. 3 Séquence 8 MA0 7

Pour = on a f() = et f'() = 0, 5. La tangente en B( ; ) a pour équation y = 05, ( ) +, soit y = 0,5 +,5. Voir le tracé de la courbe dans le paragraphe du chapitre (eemple 5). Eercice Solution Soit f la fonction définie sur R par f( )= et C sa courbe représentative dans un repère du plan d origine O. + Donner, suivant les valeurs de, le signe def( ). Étudier le sens de variation de la fonction f. En déduire un encadrement def( ). Déterminer les équations des tangentes à la courbe C au points A, O, B d abscisses respectives, 0,. Comme + > 0, f( ) est du signe de. 0 + Signe de f( ) 0 + ( ) ( ) La fonction dérivée est définie sur R parf '( ) = +, soit ( +) ( )( ) f'( ) = = +. ( + ) ( + ) La dérivée a le même signe que le trinôme ( )( + ). Ainsi f '( ) = 0 pour = et pour = ; f '( ) < 0 pour < et pour > ; f '( ) > 0 pour < <. La fonction f est i i décroissante sur ] ; ] et sur [; + [ ; croissante sur [ ; ]. Sur ] ;0] la fonction f est négative et sa valeur minimale est égale à f ( ) = 0, 5. Ainsi, pour 0, on a 05, f( ) 0. Sur[0 ; + [ la fonction f est positive et sa valeur maimale est égale àf () = 0, 5. Ainsi, pour 0, on a 0 f( ) 0, 5. Pour tout réel on a 0,5 f( ) 0,5. Pour = on a f( ) = 0, 5et f'( ) = 0. La tangente en A( ; 0, 5 ) a pour équation y = 0,5. 8 Séquence 8 MA0

Pour = 0 on a f( 0) = 0et f'( 0) =. La tangente eno( 0; 0 ) a pour équation y =. Pour = on a f() = 0, 5et f'() = 0. La tangente en B( ; 0, 5 ) a pour équation y = 0,5. Voir le tracé de la courbe dans le paragraphe du chapitre (eemple 6). Eercice Soit f la fonction définie sur R parf( )= e = et C sa courbe représentative dans un repère du plan d origine O. e Étudier le sens de variation de la fonction f. Déterminer les équations des tangentes à la courbe C au points A, K, B d abscisses respectives, 0,. Solution La fonction dérivée est définie sur R par f '( ) = e. Pour tout réel on af'( ) < 0, d où la fonction f est strictement décroissante sur R. Pour = on a f( ) = e; f'( ) = e. La tangente en A ( ; e) a pour équation y = e( + ) + e, soit y = e. Pour = 0 on a f( 0) = et f'( 0) =. La tangente en K (0 ; ) a pour équation y = +. Pour = on a f() = e = f'() = =. e et e e La tangente en B ( ; e ) a pour équation y e = ( ) + e, soit y = e ( ). Eercice Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, toutes définies sur R. f( )= e + 3 g ( ) = ln( + e ) h ( )= e + j ( ) = ln( + ). Solution f'( ) = e + 3 e g'( ) = + e ( ) j'( ) =. + + h'( ) = ( + ) e Séquence 8 MA0 9

Eercice Déterminer une fonction primitive de chacune des fonctions suivantes, toutes définies sur R. f( )= e g ( )= + + j ( ) e e =. e + e, + h ( ) = ( 4) e 05 Solution u( ) On af( ) = e = ( ) e = u'( ) e où u( ) =. u'( ) On a g ( ) = + = + où u( ) = +. + u ( ) 0,5 + u( ) On a h ( ) = ( )e = u'( )e où u( ) = 05, +. e e On a j ( ) = e + e u'( ) = où u( ) = e + e. u ( ) D oùf( ) = e ; G ( ) = + ln( + ); J ( ) = ln( e + e )., + H ( ) = e 05 ; 0 Séquence 8 MA0

Conveité d une fonction sur un intervalle A Objectifs Reconnaître graphiquement des fonctions convees, des fonctions concaves. Obtenir des inégalités en utilisant la conveité. Rechercher les points d infleion éventuels d une courbe. Utiliser un tableur pour obtenir des encadrements. B Pour débuter Activité Tangentes et parabole Partie A Situer la parabole d équation y = c( ) =, définie pour tout réel, par rapport à sa tangente en K ( ; ). Situer la parabole par rapport à sa tangente en un point quelconque A (a ; a ). Tracer la parabole et les tangentes au points d abscisses a =, a =, a = 0, a =, a =. Soit f la fonction définie, pour tout réel, parf( ) = c( ) = et f sa courbe représentative. Que peut-on dire des courbes et f? Comment se situe la courbe f par rapport à ses tangentes? Partie B Situer la courbe d équation y = r( ) =, définie pour tout 0, par rapport à sa tangente en K ( ; ). Situer la courbe par rapport à sa tangente en un point quelconque Aa ( ; a), avec a > 0. Tracer la courbe et les tangentes au points d abscisses a =, a =, a = 4. Soit g la fonction définie sur [0 ; + [ par g ( ) = r ( ) = et g sa courbe représentative. Séquence 8 MA0

Que peut-on dire des courbes et rapport à ses tangentes? g? Comment se situe la courbe g par Activité Tangentes et hyperbole Soit l hyperbole d équation y = i( ) =, définie pour 0. Situer, sur l intervalle ]0 ; + [, la courbe par rapport à sa tangente en K ( ; ). Situer, sur l intervalle ] ;0[, la courbe par rapport à sa tangente en H ( ; ). Situer, sur chacun des intervalles ]0 ; + [ et ] ;0[, la courbe par rapport à sa tangente en un point quelconque A a ;, a avec a 0. Tracer les tangentes à la courbe au points d abscisses a =, a =, a=, a=, a =, a =. Activité 3 Tangentes au courbes des fonctions" ep" et" ln" Situer la courbec ep représentant la fonction"ep" par rapport à sa tangente en K (0 ; ). Situer la courbec ep par rapport à sa tangente en un point quelconque a Aa ( ; e ). Tracer la courbec ep et les tangentes au points d abscisses a =, a = 0, a =. Situer la courbec ln représentant la fonction"ln" par rapport à sa tangente en H ( ; 0). Situer la courbec ln par rapport à sa tangente en un point quelconque Aa ( ;ln a), avec a > 0. Tracer, dans le même repère, la courbe C ln et les tangentes au points d abscisses a= e, a=, a= e. Soit h la fonction définie sur ]0 ; + [ par h ( ) = ln et ( C ) sa courbe représentative. Que peut-on dire des courbes C ln et ( C )? Comment se situe la courbe ( C ) par rapport à ses tangentes? Séquence 8 MA0

C Cours. Fonction convee, fonction concave a) Notion intuitive de la courbure d une courbe 6 3 4 7 5 8 9 5 4 0 3 Considérons le circuit de Formule d Interlagos à São Paulo au Brésil. On y voit deu lignes droites et plusieurs virages. Si un pilote veut rester sur la piste il lui faut, le plus souvent, tourner son volant, soit vers la gauche, soit vers la droite. On peut noter, entre autres, un changement de courbure entre les virages et, ainsi qu entre les virages 5 et 6. Donnons quelques eemples mathématiques pour évoquer la" courbure" d une courbe. Les courbes représentatives de 4 fonctions, définies sur le même intervalle [0 ; ], sont tracées sur la figure. Les 4 fonctions d, f, g et h sont continues et strictement croissantes sur [0 ; ]. Par ces 4 fonctions l image de 0 est 0 et l image de est. Remarque Parmi les vingt grands pri de la saison 0 de Formule, celui du Brésil est le seul dont le circuit soit parcouru par les pilotes dans le sens " anti-horaire" (sens inverse des aiguilles d une montre). K K K K K 0,5 H 0,5 0,5 0,5 0,5 H 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 4 courbes Courbe de d Courbe de f Courbe de g Courbe de h Figure Figure a Figure b Figure c Figure d Peut-on dire que les 4 courbes aient la même" allure"? A priori la réponse est NON. Figure a Figure b Figure c Figure d Sur un circuit, pour aller de Sur un circuit, pour aller de Sur un circuit, pour aller de La courbe est un segment de courbure nulle. Sur un circuit, pas besoin de tourner son volant pour garder sa trajectoire. O à K, il faudrait tourner son volant vers la gauche. O à K, il faudrait tourner son volant vers la droite. O à K, il faudrait d abord tourner son volant vers la droite, puis vers la gauche. On note un changement de courbure en H. Séquence 8 MA0 3

b) Concave ou convee? Archimède et les" miroirs ardents" ` Miroir Miroirs concaves Archimède Concave Convee Peinture murale de Giulio Parigi (57 635) datant de 600 environ (Galerie des Offices, Florence, Italie). Bridgeman Giraudon Figure 3 Selon la légende, Archimède (vers 87 ; ) aurait utilisé des miroirs concaves, appelés aussi" miroirs ardents", pour concentrer les rayons du soleil et ainsi enflammer les voiles des navires romains qui assiégeaient la ville de Syracuse (en Sicile) lors de la seconde guerre punique. Archimède fut tué, en, lors de ce siège de Syracuse. Figure 4 Autoportrait dans un miroir convee C est vers 54 que le peintre italien Il Parmigiano (503-540), connu en France sous le nom de " Le Parmesan", a peint son autoportrait sur un miroir convee. Ce tableau se trouve à Vienne au Kunsthistorisches Museum. Maurits Cornelis ESCHER (898 97) Cet artiste hollandais a réalisé, en 955, une lithographie intitulée " Concave et Convee". Vous trouverez BPK, Berlin, Dist. RMN/Hermann Buresch cette lithographie (et bien d autres toutes aussi intrigantes ) sur Internet. La lithographie " Concave et Convee" est divisée en trois bandes verticales. Celle de gauche montre une architecture convee : tout est vu d en haut et notre regard est attiré vers le bas. Celle de droite montre une architecture concave : tout est vu d en bas et notre regard est attiré vers le haut. 4 Séquence 8 MA0

c) Définitions Dans l activité on a montré que la parabole d équation y = f( ) = est située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction" carré" est dite convee sur R. Dans l activité 3 on a montré que la courbec ep d équation y = f( ) = e est située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction"ep" est dite convee sur R. Dans l activité on a montré que la courbe d équation y = f( ) = est située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction" racine carrée" est dite concave sur ]0 ; + [. Dans l activité 3 on a montré que la courbec ln d équation y = f( ) = ln est située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction"ln" est dite concave sur ]0 ; + [. Définition Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convee sur cet intervalle si sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Définition Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si la fonction g = f est convee sur cet intervalle. On peut donner une autre définition d une fonction concave. Définition bis Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses tangentes. Remarque Les mots" au-dessus" et" en dessous" sont à prendre au" sens large". Quand on dit qu une courbe est située au-dessus d une de ses tangentes, cela signifie qu aucun point de la courbe ne se trouve strictement en dessous de la tangente. Un point de tangence se trouve à la fois sur la courbe et sur la tangente. Séquence 8 MA0 5

Étudier la conveité d une fonction c est déterminer sur quel(s) intervalle(s) elle est convee et sur quel(s) intervalle(s) elle est concave. d) Fonctions de référence Les fonctions et e sont convees sur R. Les fonctions et ln sont concaves sur ]0 ; + [. La fonction est convee sur ]0 ; + [ et concave sur ] ;0[. Cas particulier Les fonctions affines sont représentées par des droites (voire des demi-droites ou des segments). En chaque point d une droite la tangente est confondue avec la droite. Une droite se retrouve donc (au sens large) au-dessus et en dessous de chaque tangente. Propriété Les seules fonctions qui soient à la fois convees et concaves sont les fonctions affines. e) Allure générale é des courbes de fonctions convees ou de fonctions concaves Allure des courbes (sauf fonctions affines) Fonction convee Fonction concave f) Courbes des fonctions convees (ou concaves) et tangentes D après la définition, si une fonction f est convee (ou concave) sur un intervalle I alors on connaît la position de la courbe représentant la fonction f sur I par rapport à toutes ses tangentes. 6 Séquence 8 MA0

Propriété Soit f une fonction convee sur I et a un réel de I. Pour tout réel de I on a : f( ) f '( a) ( a) + f( a). Soit f une fonction concave sur I et a un réel de I. Pour tout réel de I on a : f( ) f '( a) ( a) + f( a). Appliquons cette propriété au deu fonctions de référence" ep" et" ln". Soit a un réel quelconque. Pour tout réel on a : e e a ( a) + e a. Pour a = 0 on obtient + e. Soit un réel a > 0. Pour tout réel > 0 on a : ln ( ) ln. a a + a Pour a = on obtient ln. Propriété 3 Pour tout réel on a + e. Pour tout réel > 0 on a ln. Remarque Voir dans les pré-requis ( A 3) les tracés des deu courbes C ep etc ln. Vous avez déjà vu dans la Séquence 4 - eercice V de synthèse - que, pour tout réel, + e.. Lien entre conveité d une fonction dérivable et sens de variation de la fonction dérivée Récapitulons certains résultats des paragraphes antérieurs. Séquence 8 MA0 7

Fonction f Fonction dérivée f Sens de variation de f La fonction f est sur R sur R Croissante sur R Convee sur R e sur R e sur R Croissante sur R Convee sur R sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ Croissante Croissante sur ]0 ; + [ Convee Convee sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ Décroissante sur ]0 ; + [ Concave sur ]0 ; + [ ln sur ]0 ; + [ sur ]0 ; + [ Décroissante Décroissante sur ]0 ; + [ Concave Concave sur ]0 ; + [ sur ] ;0[ sur ] ;0[ Décroissante sur ] ;0[ Concave sur ] ;0[ Ces résultats nous permettent d émettre une conjecture pour déterminer la conveité d une fonction. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. i i si f' est croissante sur I alors f semble convee sur I; si f' est décroissante sur I alors f semble concave sur I. On admet cette conjecture, ce qui nous permet d énoncer une propriété. Propriété 4 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. i si f' est croissante sur I alors f est convee sur I; i si f' est décroissante sur I alors f est concave sur I. Eemple On désigne par F une fonction primitive de f sur un intervalle I. Étudier, dans les trois cas suivants, la conveité de la fonction F sur l intervalle I. 8 Séquence 8 MA0

) f( )= + avec I = R. ) f( )= + avec I = R. 3) f( )= avec I = ]0 ; + [. Solution Eemple La fonction f est affine et croissante sur R. Toute fonction primitive F de f est donc convee sur R. La fonction f est affine et décroissante sur R. Toute fonction primitive F de f est donc concave sur R. La fonction f est croissante sur ]0 ; + [. Toute fonction primitive F de f est donc convee sur ]0 ; + [. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ parf( ) = ln. Déterminer la fonction dérivée de f et dire si f est convee ou concave sur ]0 ; + [. Solution On af'( ) = ln + d où f'( ) = ln. La fonction" ln" étant croissante sur ]0 ; + [ la fonction f est convee sur ]0 ; + [. La fonction f : ln est une primitive de la fonction" ln" sur ]0 ; + [. Remarque Eemple 3 3 Soit f la fonction définie sur R parf( ) = 8 +. Étudier la conveité de la fonction f. Solution On a f'( ) = 3 8. Cette dérivée est une fonction trinôme représentée par une parabole. Son sommet S a pour abscisse = 6 3. Sur l intervalle ; 3 la fonction f ' est décroissante et sur l intervalle 3 ; + elle est croissante. La fonction f est concave sur l intervalle ; 3 et convee sur l intervalle 3 ; +. La propriété 4, associée au formules de dérivation ( u+ v)' = u' + v' et ( kv)' = kv', nous permet de déterminer la conveité des fonctions u + v et k v connaissant la conveité des fonctions u et v. Supposons que l on ait f = u + v et que les deu fonctions u et v soient convees sur un même intervalle I. Séquence 8 MA0 9

Les deu fonctions u' etv ' sont donc croissantes sur cet intervalle I et comme ( u+ v)' = u' + v' on peut dire que la fonction f ' est croissante sur I ce qui prouve que la fonction f est convee sur I. De même si les deu fonctions u et v sont concaves sur un même intervalle I alors la fonction f = u + v est concave sur I. Supposons que l on ait f = k v avec k 0, et que la fonction v soit convee sur un intervalle I. La fonction v ' est donc croissante sur I et comme ( kv)' = kv', on peut dire que la fonctionf ' est croissante sur I si k > 0 et décroissante sur I si k < 0. La fonction f est donc convee sur I si k > 0 et concave sur I si k < 0. De même, si la fonction v est concave sur I alors la fonction f est concave sur I si k > 0 et convee sur I si k < 0. Propriété 5 Somme u + v Les fonctions u et v sont définies sur un intervalle I. Le nombre k est un réel non nul. Si alors u convee sur I v convee sur I (u + v) convee sur I u concave sur I v concave sur I (u + v) concave sur I u convee sur I v concave sur I Produit k v k > 0 k < 0 v convee sur I v concave sur I v convee sur I v concave sur I (k v) convee sur I (k v) concave sur I (k v) concave sur I (k v) convee sur I Eemple 4 Solution Soit f la fonction définie sur R parf( ) = e +. Étudier la conveité de la fonction f sur R. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g ( ) = + 5 ln. Étudier la conveité de la fonction g sur ]0 ; + [. Soit h la fonction définie sur R par h ( ) = e 0, 5. Étudier la conveité de la fonction h sur R. Posons u( )= e et v( ) =. Les deu fonctions u et v sont convees sur R. La fonction f est convee sur R. 0 Séquence 8 MA0

Posons u ( )= et v( ) = ln. Les deu fonctions u et v sont concaves sur ]0; + [ ; de plus > 0 et 5 > 0. La fonction g est concave sur ]0 ; + [. Posons u( )= e etv( ) = 05,. On a alors h = u v [ou h = u + ( v)]. Ici la propriété 5 ne s applique pas car la fonction h est la différence de deu fonctions convees sur R ou, si on préfère, la somme d une fonction convee ( e ) et d une fonction concave ( 0, 5 ). On va donc étudier le sens de variation de la fonction dérivée h définie sur R par h'( ) = e. Pour cela on va chercher le signe de la dérivée de la fonction h. ' On a ( h')( ) = e. On sait que e = 0 pour = 0 ; e > 0 pour > 0 3 et e < 0 pour < 0. On obtient ainsi le tableau ci-contre : O 3 Concave Convee A T A y = + h() = ep() 0,5 0 + h'( ) 0 + h'( ) h Concave Convee La fonction h est concave sur ] ;0] et convee sur[0 ; + [ (voir figure 5). Pour étudier la conveité de la fonction h on a été amené à chercher le signe de la dérivée de la fonction dérivée h afin de déterminer le sens de variation de cette fonction dérivée. Figure 5 3. Lien entre conveité d une fonction dérivable et signe de la fonction dérivée seconde On sait que pour savoir si une fonction f est convee ou concave sur un intervalle I (ou ni l un, ni l autre) on peut étudier le sens de variation de sa fonction dérivée f '. Mais pour déterminer le sens de variation de la fonction f ' on peut étudier le signe de sa dérivée (voir la fonction h de l eemple 4). Séquence 8 MA0

Définition 4 La fonction dérivée de la fonction f ' est la fonction dérivée seconde de la fonction f et se note f ". ' Ainsi (') f = f". [ f " se lit : f seconde] On en déduit la propriété suivante. Propriété 6 Soit f une fonction deu fois dérivable sur un intervalle I. i si f'' est positive sur I alors f est convee sur I; i si f'' est négative sur I alors f est concave sur I. Complément sur la notion de courbure On peut mathématiquement définir la courbure d une courbe, mais ce n est pas au programme de terminale ES. On admet que la courbure d une courbe C f représentant une fonction f a le même signe que la dérivée seconde. Sur tout intervalle I où f est convee, la courbure de la courbec f est positive. Sur tout intervalle I où f est concave, la courbure de la courbec f est négative. Ainsi la courbure de la courbec ep est positive sur R et la courbure de la courbec ln est négative sur ]0 ; + [. On peut dire que si la courbure est négative la courbe tourne vers la droite (commec ln ) ; si la courbure est positive la courbe tourne vers la gauche (commec ep ). Quand on dit une courbe tourne" vers la droite" ou " vers la gauche" c est toujours en parcourant la courbe dans le sens des «croissants». Eemple 5 Solution 4 Soit f la fonction définie sur R parf( )= (voir premier eercice des prérequis). + 3 Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la conveité de f. La dérivée seconde est définie sur R par ( + 3) ( + 3)( ) ( + 3) + 3 4 f"( ) = 8 = 8. 4 4 ( + 3) ( + 3) Séquence 8 MA0

4( + 3)( + )( ) On obtient f"( ) =. 4 ( + 3) La dérivée seconde est du signe du trinôme ( + ) ( ) qui s annule pour = et pour =. Le trinôme est positif à l etérieur des racines et négatif entre les racines. + Signe de f''( ) + 0 0 + f est Convee Concave Convee La fonction f est i i convee sur ] ; ] et sur [; + [; concave sur [ ; ]. La courbe représentative de f, obtenue sur l écran d une calculatrice, est sur la figure 6. O Eemple 6 Cet eemple nous montre qu une fonction définie sur R peut être, ni convee sur R, ni concave sur R. Ainsi concave n est pas le contraire de convee : si une fonction f n est pas convee sur un intervalle I cela ne veut pas dire qu elle est nécessairement concave sur I. Soit f la fonction définie sur R par f( ) = (voir deuième eercice des pré-requis). + Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la conveité de f. Solution La dérivée seconde est définie sur R par ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f"( ) = + + = + + +. 4 4 ( + ) ( + ) ( + )( 3) ( + )( 3)( + 3) On obtientf"( ) = =. 4 4 ( + ) ( + ) La dérivée seconde est du signe du produit ( + 3)( 3 ) qui s annule pour = 0, pour = 3 et pour = 3. Séquence 8 MA0 3

Dressons un tableau de signes de la dérivée seconde. 3 0 3 0 + + + 3 0 + + 3 0 + + + Signe def"( ) 0 + 0 0 + f est Concave Convee Concave Convee La fonction f est i i convee sur [ 3 ; 0] et sur [ 3 ; + [ ; concave sur ] ; 3] et sur [0 ; 3]. La courbe représentative de f, obtenue sur l écran d une calculatrice, est sur la figure 7. Figure 6 Figure 7 Eemple 7 Solution Soit u et v les deu fonctions définies sur R paru( )= + et v( ) = e. On définit, pour tout réel, la fonction f par f( ) = u( ) v( ). Que peut-on dire concernant la conveité des deu fonctions u et v sur R? Étudier la conveité de la fonction f sur R. Les deu fonctions u et v sont convees sur R. La dérivée seconde de f est définie sur R parf"( ) = ( + 4 + 3) e. Cette dérivée seconde a le même signe que le trinôme + 4 + 3= ( + )( + 3). Pour = 3 et pour = la dérivée seconde s annule et change de signe. Elle est positive à l etérieur des racines et négative entre les racines. 4 Séquence 8 MA0

3 + f''( ) + 0 0 + f est Convee Concave Convee Remarque La fonction f est Le produit de deu fonctions convees sur I ne donne pas, en général, une fonction convee sur I. i convee sur] ; 3] et sur [ ; + [ ; i concave sur [ 3 ; ]. La courbe représentant la fonction f admet en B( ;e ) une tangente parallèle à l ae des abscisses (voir figure 8). B A 4 3 O Convee Concave Convee Figure 8 4. Notion de point d infleion Fonction k : 3 q: 4 Courbe O O Séquence 8 MA0 5

Dérivée seconde k"( ) = 6 q"( ) = 0 + h'( ) 0 + 0 + q"( ) + 0 + Conveité k Concave Convee q Convee k' Décroissante Croissante q ' Croissante Point d infleion La dérivée seconde s annule en 0 en changeant de signe. La fonction k change de conveité en 0. Le point O (0 ; 0) est un point d infleion de la courbe. Au point O (0 ; 0) la courbe traverse sa tangente. La dérivée seconde s annule en 0 sans changer de signe. La fonction q ne change pas de conveité. La courbe n admet pas de point d infleion. En tout point la courbe est au-dessus de sa tangente. Le changement de signe de la dérivée seconde correspond à un changement de conveité de la fonction. En un point où la dérivée seconde s annule et change de signe, la courbe représentative d une fonction traverse sa tangente. Illustrons ceci par la figure 9 où la courbe représentative d une fonction f est donnée. K Point d infleion B Concave Au point K la courbe traverse la tangente T. Le point K est un point d infleion de la courbe. Entre A et K, f " 0 et la pente des tangentes augmente. Entre K et B, f " 0 et la pente des tangentes diminue. Considérons la courbe de la fonction k : 3. Convee La pente des tangentes i diminue sur ] ; 0] ; i augmente sur [0 ; + [. A T Figure 9 (voir le sens de variation de la fonction dérivée k ) 6 Séquence 8 MA0

Propriété 7 Lorsque la dérivée seconde d une fonction f s annule en 0, en changeant de signe, alors la fonction f change de conveité en 0. Définition 5 Soit f une fonction dérivable etc f sa courbe représentative dans un repère du plan. Si la fonction f change de conveité en 0 on dit que le point de la courbe C f d abscisse 0 est un point d infleion de la courbec f. Propriété 8 Si la courbe représentative d une fonction admet un point d infleion alors la courbe traverse sa tangente en ce point. Eemple 8 Le point O (0 ; 0) est le point d infleion de la courbe représentant la fonction 3. Les points A( ; ) et B( ; ) sont les points d infleion de la courbe représentant la fonction 4 (voir la courbe de l eemple 5). + 3 3 3 Les points A 3 ;, O (0 ; 0) et B 3 ; sont les points d infleion de la courbe représentant la fonction (voir la courbe de 4 4 + l eemple 6). 3 Les points A( 3; 0e ) et B( ; e ) sont les points d infleion de la courbe représentant la fonction ( + ) e (voir la courbe de l eemple 7). Eemple 9 Soit f la fonction définie sur R parf( ) = 0( ) e etc sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer les variations de la fonction f. Étudier la conveité de la fonction f. Séquence 8 MA0 7

Solution Montrer que la courbe C admet un point d infleion, noté K. Donner l équation de la tangente à la courbe C en K. i f '( ) = 0 e ( )e 0( )e ; = Pour tout réel on a i f"( ) = 0 e ( )e 0( 3)e. = La fonction dérivée est du signe de ( ). La fonction dérivée seconde est du signe de ( 3). La fonction f est i i croissante sur ] ; ] ; décroissante sur [ ; + [. La fonction f est ( ) Pour = 3 la dérivée seconde s annule et change de signe : le point K 3; 0e 3 est un point d infleion de C. 3 3 Calculons f '( 3) = 0( 3) e = 0e. i concave sur ] ; 3] ; i convee sur [3 ; + [. 3 3 L équation de la tangente à C au point K est y = 0e ( 3) + 0e, soit 3 y = 0e ( 5). 3 Voir la courbe sur la figure 0. On a y K car 0e = 0, 995... y = f() = 0( ) ep( ) K Convee C y = g() = + + In() K Convee 0 3 4 6 0 0, 0,4 0,5 0,6 0,8 Concave C Concave Figure 0 Figure Eemple 0 Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g ( ) = + + ln et C sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer les variations de la fonction g. Étudier la conveité de la fonction g. Montrer que la courbe C admet un point d infleion, noté K. Donner l équation de la tangente à la courbe C en K. 8 Séquence 8 MA0

Solution Pour tout réel on a i g'( ) = 4 + + ; 4 ( )( + ) i g"( ) = 4 = =. Comme > 0, la fonction dérivée est toujours positive. La fonction g est croissante sur ]0 ; + [. Comme + > 0 et > 0, la fonction dérivée seconde est du signe de ( ). La fonction g est concave sur 0; 0, 5 et convee sur 0,5 ; +. [ [ Pour = 05, la dérivée seconde s annule et change de signe : le point K ( 05, ; ln ) est un point d infleion de C. Calculons g '(0,5) = 5. L équation de la tangente à C au point K est y = 5( 0,5) + ln, soit y = 5 5, ln (voir figure ). Remarque Cet eemple nous montre encore que la somme d une fonction convee ( + ) et d une fonction concave ( ln ) sur un intervalle peut, sur ce même intervalle, être ni convee, ni concave. 5. Inégalité des "milieu" M Corde Fonction f convee J Fonction f concave Courbe K N N Courbe K M Corde J A a b B A a b B a+ b a+ b Séquence 8 MA0 9

yk yj yk yj Le segment[ MN ] est une corde. L arc de courbe entre M et N est situé en dessous de la corde[ MN ]. Le segment[ MN ] est une corde. L arc de courbe entre M et N est situé au-dessus de la corde[ MN ]. a b Le point K, situé sur la courbe, a pour abscisse K = + et pour ordonnée a b yk = + f. a b Le point J, milieu du segment[ MN ], a pour abscisse J = + et pour ordonnée fa fb y J = ( ) + ( ). Propriété 9 Inégalités des milieu Si f est convee sur[ a ; b ] alors yk yj a+ b f a f b d où f ( ) + ( ) Si f est concave sur[ a ; b ] alors yk yj a+ b f a f b d où f ( ) + ( ) Propriété 0 Si f est une fonction convee sur un intervalle I alors tout arc de courbe est situé en dessous de la corde correspondante. Si f est une fonction concave sur un intervalle I alors tout arc de courbe est situé au-dessus de la corde correspondante. Eemple Solution Soit a et b deu réels quelconques. Écrire l inégalité des milieu lorsque f = ep. Soit a et b deu réels tels que a > 0 et b > 0. Écrire l inégalité des milieu lorsque f = ln. a+ b ep( a) ep( b) La fonction" ep" est convee sur R d où ep + a+ b a b e e soit e +. 30 Séquence 8 MA0

a+ b ln( a) ln( b) La fonction" ln" est concave sur ]0 ; + [ d où ln + soit a+ b ln( ab) ln. Eemple Sur les figures et 3 les points A (a ; 0) et B (b ; 0) sont situés sur l ae des abscisses, le point K sur la courbe C f et le point J sur la corde[ MN ]. Les points K a b et J ont pour abscisse K = J = + ; T K est la tangente en K à la courbec f. Sur la figure la courbec f représente une fonction f positive et convee sur l intervalle [a ; b] (avec a < b). b Comparer l intégrale f ( ) d à l aire des deu trapèzes rectangles A B F E et a A B N M. En déduire que la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l ordonnée du point K et l ordonnée du point J. Sur la figure 3 la courbec f représente une fonction f positive et concave sur l intervalle [a ; b] (avec a < b). b Comparer l intégrale f ( ) d à l aire des deu trapèzes rectangles A B F E et a A B N M. En déduire que la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l ordonnée du point J et l ordonnée du point K. La fonction f est positive et convee sur [a ; b] La fonction f est positive et concave sur [a ; b] M T K F E J Corde N K C f A a Ae des abscisses K C f T K b F B E M A a J Corde Ae des abscisses b N B Figure Figure 3 Séquence 8 MA0 3

Solution b Comme f est positive sur l intervalle [a ; b], l intégrale f ( ) d est égale, en a unités d aire, à l aire du domaine A B N K M délimité par la courbec f, l ae des abscisses et les droites d équations respectives = a et = b. Comme f est convee sur [a ; b] la courbec f est située au-dessus de la tangentet K. D où aire (A B F E) aire" sous la courbe" aire (A B N M), soit b aire (A B F E) f ( ) d aire (A B N M). a On a : aire (A B F E) = AE + BF a+ b ( b a) = ( b a) yk = ( b a) f. On a : AM + BN f( a) + f( b) aire (A B N M) = ( b a) = ( b a) yj = ( b a). a+ b b f( a) + f( b) Ainsi ( b a) f f( ) d ( b a) soit a a+ b b f( a) + f( b) f f( ) d. b a a La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l ordonnée de K et l ordonnée de J. Comme f est concave sur [a ; b] la courbec f est située en dessous de la tangentet K. D où aire (A B N M) aire" sous la courbe" aire (A B F E), soit b aire (A B N M) f ( ) d aire (A B F E). a f( a) + f( b) b a+ b Ainsi ( b a) f( ) d ( b a) f a soit f( a) + f( b) b a+ b f( ) d f. b a a La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l ordonnée de J et l ordonnée de K. 6. Notion de rendement Eemple 3 Chaque jour, une petite entreprise fabrique centaines de cartons d emballage ( est compris entre 0 et 0). Le coût total de la fabrication journalière de ces cartons, en euros, est eprimé parct ( ) = 3 + 50 + 98. On désigne par ( C ) la courbe représentative de la fonctionc T. 3 Séquence 8 MA0

) Étude de la fonction coût total Déterminer le sens de variation de la fonction C T. Calculer les coordonnées du point d infleion K de la courbe ( C ) et donner l équation de la tangente à ( C ) en K. Sur quel intervalle la fonction C T est-elle concave? Sur quel intervalle la fonction C T est-elle convee? Tracer la courbe ( C ) dans un repère orthogonal dont les unités graphiques sont : cm pour une centaine en abscisse et cm pour 40 euros en ordonnée. ) Étude de la fonction coût marginal La fonction coût marginal, notée C ma, est la fonction dérivée de la fonction coût total. EprimerCma ( ) en fonction de et déterminer le sens de variation de la fonction C ma. Pour quelle valeur 0 le coût marginal est-il minimal? Donner la valeur minimale du coût marginal. Tracer la courbe ( C ma ) représentative de la fonctionc ma. Que représente le réel 0? 3) Étude de la fonction coût moyen C La fonction coût moyen, notéec M, est définie sur ] 0; 0 ] parc T ( ) M ( ) =. Vérifier que, pour tout réel, 3 98= ( 7)( + + 7). EprimerCM ( ) en fonction de et déterminer le sens de variation de la fonction C M. Pour quelle valeur le coût moyen est-il minimal? Vérifier que Cma ( ) = CM ( ). Soit A le point de la courbe ( C ) d abscisse et T A la tangente à ( C ) au point A. Déterminer une équation de la tangente T A et vérifier qu elle passe par l origine du repère. Tracer la courbe ( CM ) représentative de la fonctionc M. 4) Rendements marginau Lorsque le coût marginal est décroissant chaque unité supplémentaire produite par l entreprise est moins coûteuse que la précédente. On dit alors que les rendements (marginau) sont croissants et cela correspond à une fonction coût total concave. Séquence 8 MA0 33

Lorsque le coût marginal est croissant chaque unité supplémentaire produite par l entreprise est plus coûteuse que la précédente. On dit alors que les rendements (marginau) sont décroissants et cela correspond à une fonction coût total convee. Dire sur quel intervalle les rendements (marginau) sont croissants, décroissants. 5) Rendements d échelle (liés au coût moyen) Selon le contete la notion de rendement peut s appliquer, soit au coût marginal, soit au coût moyen. Quand on parle de rendement lié au coût moyen on parle de rendement d échelle. Lorsque le coût moyen est décroissant on dit que les rendements d échelle sont croissants. Lorsque le coût moyen est croissant on dit que les rendements d échelle sont décroissants. Dire sur quel intervalle les rendements d échelle sont croissants, décroissants. Sur quel intervalle les rendements marginau et les rendements d échelle sont-ils tous les deu croissants? tous les deu décroissants? Solution La fonction dérivée de la fonctionc T est définie, pour 0 0, par C'( T ) = 3 4 + 50. Le trinôme 3 4 + 50 a pour discriminant = 4 d où C'( T )> 0 lorsque 0 0. La fonctionc T est croissante sur l intervalle [0 ; 0]. Déterminons la dérivée seconde de la fonctionc T. On ac"( T ) = 6 4= 6( 4 ). C T "( )= 0 pour = 4 C"( T )< 0 pour 0 < 4 C"( T )> 0 pour 4< 0. Comme la dérivée seconde s annule pour = 4, en changeant de signe, le point K ( 4 ; 70 ) est un point d infleion de ( C ). Calculons C '() T 4 =. Une équation de la tangente en K est y = ( 4) + 70 soit y = + 6. La fonction C T est concave sur l intervalle [0 ; 4] et convee sur l intervalle [4 ; 0]. Le tracé de la courbe ( C ) est sur la figure 4. La fonction coût marginal, définie sur l intervalle [0 ; 0], est la fonction dérivée de la fonctionc T. 34 Séquence 8 MA0

Ainsi Cma ( ) = C' T ( ) = 3 4 + 50 etc ' ma ( ) = C " T ( ) = 6 ( 4 ). La fonction C ma est décroissante sur l intervalle [0 ; 4] et croissante sur l intervalle [4 ; 0]. Le coût marginal est minimal pour = 0 = 4. On calcule C ma ( 4) =. Le minimum du coût marginal est égal à euros. La courbe ( C ma ), qui passe par le point F (4 ; ), est tracée sur la figure 4. Le réel 0 = 4 est l abscisse du point d infleion de la courbe ( C ). Développons ( 7)( + + 7) = ( 3 + + 7 7 7 49) = ( 3 6 49) D où ( 7)( + + 7) = 3 98. C La fonction coût moyen est définie sur ] 0; 0 ] parc T ( ) M ( ) =, d où CM ( ) = + 50 + 98. La dérivée du coût moyen est définie sur ] 0; 0 ] par 3 98 98 C' M ( ) = =. ( 7)( + + 7) D après ce qui précède on peut écrire C' M ( ) =. Pour tout > 0 on a + + 7> 0. La dérivée a donc le même signe que 7. C' M ( )= 0 pour = 7 ; C [0 ; 7] ; C ' M ( ) < 0pour 0 < 7. La fonction C M est décroissante sur l intervalle ' M ( ) > 0 pour 7< 0. La fonction C M est croissante sur l intervalle [7 ; 0]. Le coût moyen est minimal pour = = 7 et on a CM( 7) = Cma( 7) = 9. Le point B (7 ; 9) est placé sur la figure 4. Les coordonnées du point A sont ( 7; C T ( 7)), soit A( 7 ; 03 ). On a C '() T 7 = Cma () 7 = 9. Une équation de la tangente T A est y = 9( 7) + 03, soit y = 9. Cette tangente passe par l origine du repère. Le tracé de la courbe ( CM ) est sur la figure 4. Séquence 8 MA0 35

Les rendements marginau croissants correspondent à une fonction coût total concave. Les rendements marginau décroissants correspondent à une fonction coût total convee. i croissants sur l'intervalle [0 ; 4] ; Les rendements marginau sont i décroissants sur l'intervalle [4 ; 0]. Les rendements d échelle sont i croissants sur l'intervalle [0 ; 7] ; i décroissants sur l'intervalle [7 ; 0]. Sur l intervalle [0 ; 4] les rendements marginau et les rendements d échelle sont tous les deu croissants ; Sur l intervalle [7 ; 0] les rendements marginau et les rendements d échelle sont tous les deu décroissants. 40O Rendements marginau croissants Rendements marginau décroissants (C) y = C T () 30O T A y = 9 0O K A y = + 6 0O (C ma ) y = C ma () O F B (C M ) y = C M () 4 6 7 8 0 0O Rendements d échelle croissants Rendements d échelle décroissants A(7 ; 03) ; B(7 ; 9) ; F(4 ; ) ; K(4 ; 70) Figure 4 D Eercice Eercices d apprentissage 3 Soit f la fonction définie sur R parf( )= + 6 + 9 et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. Étudier le sens de variation de la fonction f. Tracer la courbe C. a) Montrer que la courbe C admet un point d infleion K. Préciser les coordonnées du point K et déterminer l équation de la droite T K, tangente à la courbe C au point K. 36 Séquence 8 MA0

b) Développer ( + ) 3 et en déduire que la tangente T K ne recoupe pas la courbe C. Eercice On reprend la fonction f proposée dans l eercice de synthèse (n II) de la séquence. 3 3 Soit f la fonction définie sur [0 ; 4] parf( )= + et C sa courbe représentative. 3 6 Étudier, sans utiliser la dérivée seconde, la conveité de la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 4]. Montrer que la courbe C possède un point d infleion K. Situer la courbe C par rapport à sa tangente en K. Soit M ( ; f ( )) un point quelconque de la courbe C et T M la tangente à la courbe C en ce point. La pente de la tangente T M est le nombre p() défini par p ( ) = f'( ). Étudier les variations de la pente des tangentes T M pour [ 0; 4 ]. Déterminer pour quelle valeur de la pente est maimale et donner, en pourcentage, la valeur maimale de la pente. Eercice 3 Eercice 4 4 Soit f la fonction définie sur R parf( )= 6 + 8 3 et C sa courbe représentative dans un repère du plan. Développer ( + )( ). Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation. Montrer que la courbe C admet deu points d infleion A et K, avec K < A, dont on précisera les coordonnées. Donner les équations des tangentes à la courbe C en A et en K (elles seront notées respectivementta et TK Étudier la conveité de la fonction f sur R. Tracer la courbe C ainsi que les tangentes TA et TK. a) La tangente en A coupe la courbe C en un point B. À l aide de la calculatrice, préciser les coordonnées de B. b) La tangente en K coupe la courbe C en un point E. Déterminer, à l aide d une calculatrice, les coordonnées du point E. c) Indiquer, à l aide de la calculatrice, les positions relatives de la courbe C et de la tangente en K. 4 On considère la fonction f de l eemple 5 définie sur R parf( ) =. On pose, pour tout réel, g ( ) = ln( f ( )). + 3 Dire pourquoi la fonction g a le même sens de variation que la fonction f sur R. f"( ) f( ) [ f '( ) ] Montrer que, pour tout réel, g"( ) = et en déduire [ f( ) ] ( 3) que g"( ) =. ( + 3) Séquence 8 MA0 37

a) Étudier la conveité de la fonction g sur R. b) Soit C g la courbe représentative de g. Déterminer les équations des tangentes à C g au points d infleion. Tracer, dans un même repère, les courbes C f etc g représentant les fonctions f et g. Eercice 5 Soit f, g et h les trois fonctions définies sur R par : f( ) = ( + + ) e, g ( ) = ( + + 3) e et h ( ) = ( + + 4) e. On désigne parcf, Cg et Ch leurs courbes respectives dans un repère du plan. Les courbescf, Cg et Ch admettent-elles des points d infleion? Si oui, préciser leurs coordonnées. Eercice 6 Tracer la courbe de la fonction" ln" sur l intervalle[ ; + [. Soit k un réel tel que k. En utilisant le graphique et la concavité de la fonction" ln" montrer que k + ln [ kk ( + ) ] ln tdt. k Eercice 7 Les moyennes Les deu réels et y étant strictement positifs on définit quatre moyennes. Moyenne arithmétique Moyenne géométrique Moyenne harmonique Moyenne quadratique A y = + Cas particulier y G = y H = + y Q = Le but de l eercice est de comparer ces quatre moyennes. + y À la fin du troisième trimestre, le professeur de mathématiques propose à ses élèves de calculer leur moyenne en prenant, parmi les formules précédentes, celle qui leur est la plus favorable. Yann a obtenu comme notes 9 et 6. Calculer les quatre moyennes possibles et les arrondir au demi-point. Classer les moyennes dans l ordre croissant et dire quelle sera la moyenne de Yann en mathématique au troisième trimestre. Cas général a) Appliquer l inégalité des milieu à la fonction f définie, pour 0, par f( ) =. Comparer A et Q. 38 Séquence 8 MA0

b) Appliquer l inégalité des milieu à la fonction f définie, pour > 0, par f( ) = ln. Comparer A et G. c) Appliquer l inégalité des milieu à la fonction f définie, pour > 0, par f( ) = ln. On appliquera cette inégalité au deu réels et. Comparer H et G. a b d) Classer les quatre moyennes A, G, H, Q dans l ordre croissant. Quelle est la moyenne la plus favorable? Eercice 8 Soit f et g les fonctions définies sur R parf( ) = e, g ( ) = e. e + Étudier les variations des fonctions f et g. Étudier la conveité des fonctions f et g [vérifier quef"( ) = ( ) f( ) ]. Déterminer les coordonnées des points d infleion des courbesc f etc g représentatives des fonctions f et g. Tracer, dans deu repères distincts du plan, les courbesc f etc g. Eercice 9 Drôle de puzzle Dans un repère orthonormal d origine O A B on considère les points O( 0; 0), A ( ; 0), B( ; 8), A ( 0; 8). Calculer l aire du rectangle OABA ( en unités d aire). O Figure 5 A O Figure 6 H On partage le rectangleoaba en deu triangles rectangles de même aire, OA B et OA B (voir figure 5). K B A B Sur la figure 6 on place le point H (8 ; 3) et on décompose le triangleoa B en un puzzle formé de 5 polygones ( triangles, rectangle et heagones). Sur la figure 7 on place le point K (3 ; 5) et on dispose les pièces formant le puzzle du triangleoa B sur le triangle OA B, les pièces étant placées différemment. On constate qu il reste un" carré blanc " correspondant à un carré unité. O Figure 7 A Sur la figure 6 on obtient aire ( OA B) = 84. On aurait donc, d après la figure 7 : aire ( OAB ) = aire ( OAB ) + = 84+ = 85. D où aire ( OABA ) = aire ( OAB ) + aire( OAB ) = 84 + 85 = 69. Qu en pensezvous? Séquence 8 MA0 39

Comme68 69, il doit y avoir une erreur dans le raisonnement précédent : epliquons d où vient l erreur. a) Calculer les coefficients directeurs des droites (OB), (OH) et (OK). Que peut-on en déduire pour les points O, B, H et K? b) Calculer l aire du quadrilatère O H B K. c) Dire, brièvement, quelle est l erreur de raisonnement de la question. a) Soit ( P H ) la parabole passant par les points O, H et B d équation y = f( ) = a + b. Déterminer les deu réels a et b. La fonction f est-elle convee ou concave sur R? La parabole ( P H ) recoupe l ae des abscisses en un point E. Donner les coordonnées de E et tracer ( P H ). b) Soit ( P K ) la parabole passant par les points O, K et B d équation y = g( ) = c + d. Déterminer les deu réels c et d. La fonction g est-elle convee ou concave sur R? La parabole ( P K ) recoupe l ae des abscisses en un point F. Donner les coordonnées de F et tracer ( P K ). Eercice 0 On considère la fonction f définie sur R parf( ) = e ln( + e ) et C sa courbe représentative dans un repère du plan. 0,8 A 0,6 0,4 0, C T A 3 0 3 4 Figure 8 C 0, 40 Séquence 8 MA0

On désigne parc ' la courbe représentative de la fonction dérivée. Les deu courbes C et C ' sont données sur la figure 8. Montrer que la fonction dérivée de f est définie sur f'( ) = e ln( + e ). + e R par La courbe C coupe l ae des ordonnées au point A. La droitet A, tangente à la courbe C au point A, est tracée sur la figure 8. Déterminer une équation de T A. Que peut-on dire, d après le graphique, de cette tangente? Conjecturer le signe de la dérivéef ' et le sens de variation de la fonction dérivée f ' sur R. Dire pourquoi la courbe C change de concavité pour une valeur = α. Encadrerα entre deu entiers consécutifs. On va chercher, à l aide d un tableur, à déterminer une valeur approchée du réel α. a) En prenant un pas de 0, déterminer un encadrement de α d amplitude 0,. b) En prenant un pas de 0,0 déterminer un encadrement de α d amplitude 0,0. c) En prenant un pas de 0,00 déterminer un intervalle [a ; b] d amplitude 0,00 auquel appartient le réel α. On choisit pour valeur approchée de α le centre de l intervalle [a ; b]. En déduire une valeur approchée de α. Donner l intervalle sur lequel la fonction f semble concave et l intervalle sur lequel elle semble convee. Séquence 8 MA0 4

3 Synthèse de la séquence Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite convee sur cet intervalle si sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle si la fonction g = f est convee sur cet intervalle. Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle si sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses tangentes. Les seules fonctions qui soient à la fois convees et concaves sont les fonctions affines. Les fonctions et e sont convees sur R. Les fonctions et ln sont concaves sur ]0 ; + [ La fonction est convee sur ]0 ; + [ et concave sur ] ; 0[. Soit f une fonction convee sur I et a un réel de I. Pour tout réel de I on a : f( ) f '( a) ( a) + f( a). Soit f une fonction concave sur I et a un réel de I. Pour tout réel de I on a : f( ) f '( a) ( a) + f( a) Pour tout réel on a + e. Pour tout réel > 0 on a ln. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. i i si f' est croissante sur I alors f est convee sur I; si f' est décroissante sur I alors f est concave sur I. On se place sur un intervalle On se place sur un intervalle u v u + v k u Convee Convee Convee u k < 0 0 < k Concave Concave Concave Convee Concave Convee Convee Concave Concave Convee Concave La fonction dérivée seconde de f est la fonction dérivée de la fonction f ' ' et se notef ". D où ( f ') = f". 4 Séquence 8 MA0

Soit f une fonction deu fois dérivable sur un intervalle I. i i si f'' est positive sur I alors f est convee sur I; si f'' est négative sur I alors f est concave sur I. Point d infleion Si la dérivée seconde d une fonction f s annule en 0, en changeant de signe, alors la fonction f change de conveité en 0. Si une fonction f change de conveité en 0 alors le point de la courbe représentative de f, d abscisse 0, est un point d infleion de la courbe et en ce point la courbe traverse sa tangente. Inégalités des milieu a+ b f a + f b Si f est convee sur [a ; b] alors f ( ) ( ). a+ b f( a) + f( b) Si f est concave sur [a ; b] alors f. Rendements Rendements marginau Les rendements marginau sont croissants lorsque la fonction coût total est concave, c est-à-dire lorsque le coût marginal est décroissant. Les rendements marginau sont décroissants lorsque la fonction coût total est convee, c est-à-dire lorsque le coût marginal est croissant. Rendements d échelle Les rendements d échelle sont croissants lorsque le coût moyen est décroissant. Les rendements d échelle sont décroissants lorsque le coût moyen est croissant. Séquence 8 MA0 43

4 Eercices de synthèse Eercice I Partie A Préliminaire On se place dans le plan muni d un repère. Soit A ( A ; ya ), B ( B ; y B ) et C ( C ; yc ) trois points du plan. Le centre de gravitég ( G ; yg ) du triangle ABC est le point de concours des trois médianes (voir figure 9). Ce point G vérifie la relation vectoriellega + GB + GC =0. Montrer que A + B + C y G = et y A + yb + yc 3 G =. 3 Partie B Application K B Soit f une fonction concave définie sur un intervalle I et sa courbe représentative. G C Soit A, B et C trois points de la courbe d abscisses respectives a, b et c. On appelle G le centre de gravité du triangle ABC et K le point de la courbe ayant même abscisse que G. A Figure 9 G Centre de gravité de A B C Comparer les ordonnées y G et y K et en déduire a+ b+ c f a + f b + f c que f 3 ( ) ( ) ( ). 3 Soit a, b et c trois réels tels que Eercice II a > 0, b > 0 et c > 0. a+ b+ c ln( abc) Montrer que ln. 3 3 On considère la fonction f définie sur l intervalle ]; + [ parf( ) = ln(ln ). Montrer que la fonction f est concave sur l intervalle ]; + [. Démontrer que, pour tous réels et y tels que > et y >, on a + y ln (ln )(ln y). 44 Séquence 8 MA0

Eercice III Le plan est muni d un repère orthonormal d origine O. Le tracé d une autoroute coïncide avec l ae des abscisses. La courbe C allant de l origine O au point B d abscisse 8 est une bretelle de sortie qui est la réunion de deu courbes (voir figure 0) : Autoroute 0 F T A C Figure 0 E 4 A B 8 K la courbe allant de l origine O au point A (4 ; ) est un arc de parabole d équation y = f( ) = a ; la courbe allant de A à B est un arc de cercle de centre K (8 ; ) et de rayon r = KA = KB. Déterminer la valeur du réel a. Étudier la conveité de la fonction f sur l intervalle [0 ; 4]. Soit T A la tangente à l arc de parabole en A ; déterminer une équation de la tangentet A. Cette tangente coupe l ae des ordonnées au point F ; trouver les coordonnées de F. Calculer la longueur du rayon KA. Montrer que la droitet A est tangente en A à l arc de cercle AB. Que peut-on dire, graphiquement, du point A? a) La longueur de l arc de parabole OA est donnée, en unités de longueur, par l un des trois nombres suivants (valeurs arrondies à 0,0 près) : 4,47 ; 4,59 ; 5,. Lequel de ces trois nombres donne la longueur de l arc OA? b) Calculer la longueur de l arc de cercle AB. En déduire la longueur de la bretelle, en unités de longueur. Sur chacun des aes l unité graphique est égale à 00 m. Donner alors la longueur de la bretelle, eprimée en m. Soit g la fonction, définie sur [4 ; 8], dont la courbe représentative est l arc de cercle AB. Soit D le domaine délimité par l ae des abscisses, la bretelle de sortie et la droite d équation = 8 (D est le domaine colorié sur la figure 0). a) Dire, d après le graphique, si g est convee ou concave sur l intervalle [4 ; 8]. b) Calculer l aire du domaine D, eprimée en u.a, en décomposant D en deu domaines. Eprimer l aire du domaine D en hectares et en donner un arrondi à 0,0 près ( ha = 0 000 m ). Séquence 8 MA0 45

Eercice IV 4 Soit f la fonction définie sur R parf( )= 6 + 5 et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal dont les unités graphiques sont : cm en abscisse et cm en ordonnée. Résoudre l équation X 6X + 5= 0 et en déduire les solutions de l équation f( )= 0 (on pourra poser X = ). a) Déterminer les variations de la fonction f. b) Tracer la courbe C. a) Déterminer le nombre de points d infleion de la courbe C et donner leurs coordonnées. b) Dire sur quel(s) intervalle(s) f est convee et sur quel(s) intervalle(s) f est concave. c) Donner l équation de la tangente à C en chacun de ses points d infleion. Soit ( D ) le domaine du plan limité par l ae des abscisses, la courbe C et les droites d équations respectives = 0 et =. Soit ( D ) le domaine du plan limité par l ae des abscisses, la courbe C et les droites d équations respectives = et = 5. Déterminer, en unités d aire puis en cm, l aire des domaines ( D) et ( D). Que remarque-t-on? Eercice V Le toboggan Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l allure de la courbe de la figure. Le plan est muni d un repère orthonormal d unité graphique 3 cm (sur la figure les unités n ont pas été respectées).,5 0,5 0 A 0,5 B,5,5 3 Figure L objet de l eercice est de modéliser ce profil à l aide de la courbe représentative d une fonction définie sur l intervalle [0 ; 3] et vérifiant les deu conditions suivantes : ( c ) La courbe passe par les points A (0 ; ) et B (3 ; 0) ; ( c ) La courbe admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l ae des abscisses. 46 Séquence 8 MA0

Partie A a) Soit f la fonction définie sur R parf( ) = +. La fonction f est-elle convee ou concave sur R? 3 b) Soit g la fonction définie sur R par g ( ) = + 3. La fonction g estelle convee ou concave sur R? 3 On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g. a) Démontrer quecf et Cg passent par le point E ; 4 3 et ont la même tangente T en ce point. Déterminer une équation de la tangente T. Quelle est la pente de cette tangente, eprimée en pourcentage? b) Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie dec f correspondant au points d abscisses comprises entre 0 et, et la partie dec g correspondant au points d abscisses comprises entre et 3. La courbe obtenue en réunissant les deu parties de courbes est une réponse au problème posé. c) Déterminer les positions des courbescf et Cg par rapport à la tangente T. Partie B Le bureau d études a établi que l on pouvait également modéliser le profil du toboggan à l aide d une partie de la courbe représentative C h de la fonction h 4 3 définie sur R par h ( ) = +. 7 3 Démontrer que la fonction h vérifie les deu conditions (c ) et (c ). a) Montrer que la courbe C h possède un point d infleion ; donner les coordonnées de ce point d infleion, appelé K. b) Étudier la conveité de la fonction h. a) Soit T K la tangente à la courbec h au point K. Déterminer une équation de T K et donner la pente de cette tangente. b) Tracer, sur le même graphique, la tangentet K et la courbec h. c) Déterminer les positions relatives dec h et det K. Eercice VI 3 + 5 + 3 Soit f la fonction définie sur R parf( )= + 3 représentative dans un repère du plan. 3 Vérifier que + 5 + 3= ( + 3)( ). et ( C ) sa courbe Séquence 8 MA0 47

Déterminer les coordonnées des points où la courbe ( C ) coupe l ae des abscisses. Donner le signe def( ). a) Résoudre, pour X réel, l équation X + 4X 5 = 0. 4 + 4 5 b) Montrer quef'( ) = et en déduire le signe def'( ). ( + 3) c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. 6 ( + 3)( 9 ) a) Montrer quef"( ) = et en déduire le signe def"( ). 4 ( + 3) b) Préciser la conveité de la fonction f et donner les coordonnées des points d infleion. En déduire que les points d infleion sont alignés. c) Déterminer une équation de la tangente en chaque point d infleion de la courbe. Tracer la courbe ( C ) ainsi que les tangentes au points d infleion. 8 a) Montrer que, pour tout réel,f( ) = +. En déduire une primitive F de f sur R. + 3 b) Soit D le domaine plan délimité par la courbe ( C ), l ae des abscisses et les droites d équations respectives = 3 et = 3. Calculer l aire du domaine D, eprimée en unités d aire. Eercice VII 5 4 3 La chaînette Partie A M K ( ; y) On considère les deu fonctions e et e définies sur R. On désigne par Γ et Γ leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal d unité graphique cm. Ces deu courbes sont tracées sur la figure (pour ). (les unités graphiques n ont pas été respectées). Pour tout réel on appelle R 0 Figure im et R les points d'abscisse situés respectivement sur Γ et sur Γ ; ik( ; y) le milieu du segment[ MR]. Eprimer y en fonction de. On pose y =f ( ). La fonction f est-elle convee ou concave sur R? Étudier les variations de la fonction f. 48 Séquence 8 MA0

Tracer la courbe ( C ) représentant la fonction f sur l intervalle I = [ ; ]. Partie B On se place maintenant uniquement sur l intervalle I = [ ; ]. e + e La fonction f est définie sur I = [ ; ] parf( ) =. Sa courbe représentative ( C ) est une " chaînette" *. Soit g une fonction définie sur l intervalle I = [ ; ] par g ( )= a + et sa courbe représentative. La longueur L de la chaînette ( C ) est donnée (en unité de longueur) par C L C = + f'( ) d. a) Montrer que L C = f( ) d. b) Calculer, eprimée en cm, la valeur eacte de L C et en donner une valeur arrondie à 0,0 près. Calculerf ( ) et arrondir cette valeur à 0,0 près (on appellera cet arrondi). Déterminer la valeur de a pour que l on ait g( ) = α. a) Tracer, à l aide d un logiciel, les deu courbes ( C ) et dans un même repère. Que peut-on observer? b) La longueur de l arc de parabole représentant la fonction g est égale, arrondie à 0,0 près, à 4,6 cm. Comparer cette longueur avec L C et donner l écart entre la plus grande longueur et la plus petite. Partie C Soit v la fonction définie sur I = [ ; ] parv( ) = + f( ) f ( ) etc v sa courbe représentative dans un repère du plan. a) La fonction v est-elle convee ou concave sur I? b) Tracer la courbec v dans un autre repère orthonormal d unité graphique cm. La courbec v est une" voûte" en forme de" chaînette renversée". Soit ( D ) le domaine délimité par la courbec v, la droite d équation y = et les droites d équations respectives = et =. Calculer la valeur eacte de l aire du domaine ( D ), eprimée en unités d aire, puis une valeur arrondie au mm près. Séquence 8 MA0 49

* Une chaînette est la forme prise par une chaîne (ou un câble souple) que l on suspend à ses deu etrémités. C est, par eemple, la forme prise par les câbles électriques entre deu pylônes de soutien. Au XVII e siècle, Huygens utilisa le mot" catenaria" pour désigner la courbe formée par un câble suspendu à ses deu etrémités. On retrouve de nos jours le mot" caténaire" (vient du latin" catena" - chaîne) pour désigner le câble porteur entre deu poteau le long des voies du TGV. a a e + e Toute équation de la forme y = f( ) = (avec a 0) est l équation d une chaînette. a L artiste américain Jasper Johns (né en 930) a réalisé, en 005, à New-York une eposition sur le thème des caténaires. Dans cette eposition intitulée " Jasper Johns : Catenary" l artiste montrait toute une série de peintures, dessins et gravures où l on pouvait admirer de belles courbes en forme de chaînette. La chaînette n apparaît pas uniquement sous la forme d un câble suspendu. On la trouve aussi sous forme renversée pour former une voûte tenant par son propre poids. C est cette propriété qu a utilisé l architecte espagnol Antonio Gaudi (85 96) pour construire les voûtes de la Sagrada Familia de Barcelone. Citons aussi la «Gateway Arch» à St Louis dans le Missouri qui est en forme de chaînette renversée. Conçue en 947 par l architecte finlandais Eero Saarinen (90 96) la construction débutera seulement en 963 pour s achever en 965. Cette arche, d une hauteur de 9 m environ, est aussi large que haute. Eercice VIII Une entreprise produit mensuellement une quantité variable d appareils ( est eprimé en centaines d appareils) dont le coût marginalc ma est la fonction définie sur l intervalle [0 ; 5] parcma ( ) = + 8 +. Dans cet eercice, tous les coûts seront eprimés en milliers d euros. Partie A Étude du coût marginal Déterminer la fonction dérivée de la fonction coût marginal et étudier son signe. a) En déduire le sens de variation de la fonction coût marginal sur l intervalle [0 ; 5]. Dire pour quelle valeur de le coût marginal est minimal et donner la valeur du coût marginal minimal. b) Préciser l intervalle où les rendements marginau sont croissants et l intervalle où ils sont décroissants. 50 Séquence 8 MA0

Partie B Étude du coût total Sur l intervalle [0 ; 5] la fonction coût marginal admet une infinité de primitives. La fonction coût total, notée C T, est parmi toutes ces primitives celle qui est égale à 7,5 8 ln pour = 0. a) Déterminer toutes les primitives de la fonction coût marginal sur l intervalle [0 ; 5]. b) DéterminerCT ( ). Donner le sens de variation de la fonction coût total sur l intervalle [0 ; 5]. Soit la courbe représentative de la fonctionc T sur l intervalle [0 ; 5]. a) Montrer que la courbe admet un point d infleion K dont on donnera les coordonnées. b) On désigne part K la tangente à la courbe au point K. Donner une équation de la tangentet K. Partie C Étude du coût moyen Vérifier que le coût moyen, par centaine d appareils, est défini sur ]0 ; 5] par + C ( ) = + 4 ln( ) 7,5 8ln M +. On désigne par ( C M ) la courbe représentative de la fonction coût moyen. On peut observer, sur l écran d une calculatrice, que la fonction C M est décroissante sur l intervalle ]0 ; ] et croissante sur l intervalle [ ; 5] avec 3,7 < < 3,8. a) Déterminer, à l aide d une calculatrice ou d un tableur, un intervalle [a ; b] d amplitude 0,00 auquel appartient le réel. b) Pour quelle production, arrondie à l unité près, le coût moyen par centaine d appareils est-il minimum? Déterminer une valeur approchée du coût moyen minimal, par centaine d appareils, eprimé en euros. On admet que est solution de l équation 6 + + 8ln( + ) 5 + 6ln = 0. α + Eprimer 4 ln( ) en fonction de. En déduire quec C α M ( α) = ma ( α). EprimerC T ( α ) en fonction de. Séquence 8 MA0 5