Statique des solides

Cours 08 - Statique des solides Page 1/10 Statique des solides 1) OBJECIFS....3 2) SCHEM D RCHIECURE E GRPHE DE SRUCURE.... 3 21) DIFFERENCE ENRE SCHEM CINEMIQUE E SCHEM D RCHIECURE....3 22) EXEMPLE DE L COMMNDE D UNE BLE EN RNSLION....3 a) Graphe de liaisons et schéma cinématique... 3 b) Choix technologique influant sur la nature des liaisons... 3 c) Graphe de structure et schéma d architecture... 4 3) EXERIEUR E INERIEUR D UN SYSEME ISOLE... 4 31) DEFINIION D UN SYSEME ISOLE....4 32) CIONS MECNIQUES INERIEURES E EXERIEURES....4 4) REPERE GLILEEN...5 5) PRINCIPE FONDMENL DE L SIQUE (PFS).... 5 raduction torsorielle du PFS (=1 équation torsorielle).... 5 raduction vectoriel du PFS (=2 équations vectorielles).... 5 raduction scalaire du PFS pour un système spatial (=6 équations scalaires)... 5 raduction scalaire du PFS pour un système plan (=3 équations scalaires)... 5 6) S 0 ext CONDIION NECESSIRE MIS PS SUFFISNE.... 6 7) HEOREME DES CIONS RECIPROQUES.... 6 8) PRICULRIES DES SOLIDES SOUMIS QU DES GLISSEURS.... 7 81) SOLIDE SOUMIS 2 GLISSEURS...7 82) SOLIDE SOUMIS 3 GLISSEURS...7 1 er cas : Si 2 glisseurs sont concourants alors le 3 ème l est aussi au même point.... 8 2 ème cas : Si 2 glisseurs sont parallèles alors le 3 ème l est aussi.... 8 Bilan.... 8 83) SOLIDE SOUMIS 4 GLISSEURS...8 vec 2 glisseurs complètement connus et 1 droite d action connue.... 8 vec 1 glisseur complètement connu et toutes les droites d action connues... 8

Cours 08 - Statique des solides Page 2/10 9) NOION D RC-BOUEMEN.... 9 10) DEMRCHE DE RESOLUION.... 9 Étape 1 : Isoler.... 9 Étape 2 : BME... 9 Étape 3 : Modéliser.... 9 Étape 4 : Résoudre en appliquant les bons théorèmes... 9

Cours 08 - Statique des solides Page 3/10 1) Objectifs. La statique est l étude des solides à l équilibre (au repos). Nous allons déterminer (à partir d une action connue comme la pesanteur, l action d un ressort ) les autres actions mécaniques inconnues (actions de liaison ) exercées au sein du mécanisme, pour par la suite dimensionner différentes pièces telles que : les éléments constituants les liaisons (coussinet, paliers lisses, roulements, ) les actionneurs (vérin ou moteur) 2) Schéma d architecture et graphe de structure. 21) Différence entre schéma cinématique et schéma d architecture. Permet de visualiser Est destiné au calcul Est construit à partir Schéma cinématique la cinématique du mécanisme (c est à dire les mouvements relatifs des différentes classes d équivalence) de la loi entrée-sortie du graphe de liaison Schéma d architecture l architecture du mécanisme (c'est-à-dire la disposition des liaisons) il colle à la réalité technologique puisqu il tient compte du choix des constituants adoptés des torseurs d action mécanique transmissible par les différentes liaisons du graphe de structure 22) Exemple de la commande d une table en translation. On désire commander une table 2 (en translation rectiligne de direction x par rapport à un bâti 0) à l aide d un système de transformation de mouvement vis/écrou (où la vis 1 est en rotation d axe ( O,x) par rapport au bâti 0). a) Graphe de liaisons et schéma cinématique. graphe de liaison schéma cinématique Pivot d axe 1 Hélicoïdale d axe ( O,x) ( O,x) 2 0 Glissière de direction x NB : Un graphe de liaison ne comporte jamais de liaison en parallèle. b) Choix technologique influant sur la nature des liaisons. On envisage de réaliser : la liaison glissière par association en parallèle, entre la table et le bâti, de quatre douilles à billes glissant sur deux tiges cylindriques parallèles, modélisables par des liaisons linéaires annulaires, la liaison pivot par association en parallèle, entre la vis et le bâti, de deux roulements à billes situés à chaque extrémité de la vis, modélisables, l un par une liaison rotule et l autre par une liaison linéaire annulaire.

Cmoteur 1 Rotule de centre I Cours 08 - Statique des solides Page 4/10 c) Graphe de structure et schéma d architecture. graphe de structure (3) 1 (5) Lin. annulaire de centre J et de direction x (2) Lin. annulaire de centre et de direction x (2) 0 Lin. annulaire de centre 2 B et de direction x (2) Lin. annulaire de centre C et de direction x (2) Hélicoïdale d axe ( O,x) Rpes2 Rrés 2 Cmoteur 1 schéma d architecture Rrésis tan t2 Rpes 2 Lin. annulaire de centre D et de direction x (2) Sur le graphe de structure et sur le schéma d architecture, figurent : - toutes les liaisons élémentaires (ou locales) se situant dans les zones de guidage, En vue d une étude statique, il faut rajouter : - les actions mécaniques extérieures au mécanisme et les actions à distance (notamment la pesanteur), - le nombre d inconnus de liaison pour chaque liaison. 3) Extérieur et intérieur d un système isolé. 31) Définition d un système isolé. Un préalable à toute étude statique, est l'isolement du système matériel étudié. On définit une frontière fictive qui englobe tout le système isolé. On définit ainsi un milieu intérieur et un milieu extérieur au système isolé. Le système isolé pourra être un solide, une portion de solide, un ensemble de solides, le mécanisme entier... 32) ctions Mécaniques intérieures et extérieures. On appelle actions extérieures sur l ensemble isolé, toutes les actions exercées par : un élément (solide, fluide, ressort ) n appartenant pas au système isolé SUR un élément du système isolé. On appelle actions intérieures sur l ensemble isolé, toutes les actions exercées par : un élément (solide, fluide, ressort ) du système isolé SUR un autre élément du système isolé. NB : Les actions mécaniques intérieures ne seront pas prises en compte dans l application du principe fondamental de la statique. On utilise le graphe de structure pour déterminer rapidement les M extérieures et intérieures. Exemple par rapport au graphe de structure ci-dessus de la table : En isolant 1, les M extérieures sur 1 sont : M de 2 1 M de 0 1 en J M de 0 1 en I M du moteur 1 Remarque : Si nous avions isolé,2 1, M de 2 1 serait une action intérieure à,2 1.

Cours 08 - Statique des solides Page 5/10 4) Repère Galiléen. On appelle repère galiléen en SII : tout repère fixe (sans mouvement) par rapport à la erre, ou tout repère en mouvement de translation rectiligne (sa trajectoire est une droite) et uniforme (sa vitesse est constante) par rapport à la erre. 5) Principe Fondamental de la Statique (PFS). raduction torsorielle du PFS (=1 équation torsorielle). La condition nécessaire pour qu un système matériel S soit en équilibre par rapport à un repère galiléen est que la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures à S soit nulle : 0 exemple : 0 SS 3S 12S 4S raduction vectoriel du PFS (=2 équations vectorielles). Il faut nécessairement exprimer les torseurs au même point. héorème de la résultante statique : R 0 R SS héorème du moment statique : M 0 Q,S S exemple : 3 S R12S R4S 0 exemple : MQ,3 S MQ,12 S MQ,4 S 0 raduction scalaire du PFS pour un système spatial (=6 équations scalaires). X 0 SS X3S X12S X4S 0 Il faut exprimer les Y 0 SS Y3 S Y12 S Y4 S 0 composantes algébriques des torseurs dans la Z 0 SS exemple : Z3S Z12S Z4S 0 même base (x, y, z) : L 0 L L L 0 Q,S S Q,3 S Q,12S Q,4S M 0 M M M 0 Q,S S Q,3 S Q,12S Q,4 S N 0 NQ,3 S NQ,12S NQ,4S 0 Q,S S z raduction scalaire du PFS pour un système plan (=3 équations scalaires). On peut admettre qu un mécanisme est «plan», si : la géométrie des liaisons d un système matériel présente un plan de symétrie, les M extérieures exercées sur ce système sont symétriques par rapport à ce plan, c est à dire que : - les résultantes des M extérieures sont parallèles au plan de symétrie, - les moments des M extérieures sont perpendiculaires au plan de symétrie. y O F 2 y O F 2 2F 2 P F 1 Exemple : P F 1 x 2F 1 x Pour un système plan parallèlement au plan ( O,x,y ), tous les torseurs ont leurs composantes Z, L et M nulles : XiS i S Yi S 0 P(O,x,y) 0 0 N P,iS (x,y,z) Le PFS ne fournira qu un maximum de 3 équations significatives, à savoir pour le théorème : de la résultante statique : 1 équation en projection sur x 1 équation en projection sur y du moment statique : 1 équation en projection sur z On aurait le même raisonnement pour les systèmes plan ( O,x,z) et ( O,y,z).

Cours 08 - Statique des solides Page 6/10 NB : les seuls modèles de liaison que l on trouvera avec l hypothèse problème plan sont : Nom Glissière de direction x Représentation plane y z O x Validité de la forme générale des orseurs dans le plan (O,x,y) out point du plan Mais attention, les valeurs des composantes ne sont pas forcément égales Modélisation par les torseurs (écriture en colonne) 21 Y21 _ 0 N,21 (x,y,z) Modélisation par les torseurs (écriture en ligne) 21 Y N 21,2.y 1.z Pivot d axe ( O,z) 21 En O 21 Y21 _ O X 0 (x,y,z) 21 O R 2 1 0 Ponctuelle de point de contact O et de normale y (ou alors sphèreplan de point de contact O et de normale y ) out point de la normale ( O,y) Mais attention, les valeurs des composantes ne sont pas forcément égales Y _ 21 21 P(,y) 0 21 0 (x,y,z) P (,y) Y 2 1.y 0 6) S 0 ext condition nécessaire mais pas suffisante. F F F F 0 exts 0 0 0 0 0 B Donc exts 0 n est pas une condition suffisante pour imposer l équilibre. Exemple d une paire de ciseaux : 0 Équilibre de S 0 exts 7) héorème des actions réciproques. Soit un solide S composé de 2 sous-ensembles S1 et S2 en équilibre. S1 S2 S en équilibre 0 0 SS SS1 SS2 S1 en équilibre 0 0 S1 S1 S S1 S2S1 S2 en équilibre 0 0 S2S2 S S2 S1 S2 L équation (1)-(2)-(3) 0 S2S1 S1 S2 (1) (2) (3) S2S1 S1 S2

Cours 08 - Statique des solides Page 7/10 8) Particularités des solides soumis qu à des glisseurs. Soit un solide soumis à des actions mécaniques modélisées par des torseurs glisseurs. Par abus de langage on dira «solide soumis à des glisseurs» pour «solide soumis à des actions mécaniques modélisées par des torseurs glisseurs». 81) Solide soumis à 2 glisseurs. Soit un solide S en équilibre sous l action de 2 glisseurs L application du PFS se traduit par : 1 S et B2 S passant respectivement par et B. Le théorème de la résultante statique : Le théorème du moment statique en : 1 S B2S 0 M,1 S M,2S 0 1S B 2S M,1 S MB,2S B B2S 0 Les 2 glisseurs sont opposés (même norme, même direction, sens contraire) B et B2 S colinéaires Or B2 S passe par B la droite d action de B2 S est (B) (même démonstration pour 1 S ) Bilan : Si un système est en équilibre sous l action de 2 glisseurs alors ces 2 glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action (passant par les points d application). B2 S 82) Solide soumis à 3 glisseurs. Soit un solide S en équilibre sous l action de 3 glisseurs par, B et C. L application du PFS se traduit par : 1 S 1 S, B2 S et C3 S passant respectivement Le théorème de la résultante statique : 1 S 1 S B2S C3S 0 La somme vectorielle des 3 glisseurs est nulle B2 S Le théorème du moment statique en : M,1 S M,2S M,3S 0 M,1 S MB,2S B B2S MC,3S C C3S 0 B B2 S C C3S 0 B B2S C C3S (les 2 vecteurs sont opposés) Or le vecteur B B 2 S est perpendiculaire au plan ( B,B 2 S ) et le vecteur C C 3 S est perpendiculaire au plan ( C,C 3 S ) les glisseurs B2 S et C3 S sont dans le plan (BC) (même démonstration pour 1 S ) les glisseurs 1 S, B2 S et C3 S sont coplanaires C3 S

Cours 08 - Statique des solides Page 8/10 1 er cas : Si 2 glisseurs sont concourants alors le 3 ème l est aussi au même point. Soit I le point d intersection de 1 S et B2 S. Le théorème du moment statique en I : MI,1 S MI,2 S MI,3 S 0 M,1 S I 1S MB,2S IB B2S MC,3S IC C3S 0 IC et C3 S colinéaires Or C3 S passe par C la droite d action de C3 S passe également par I les 3 glisseurs sont concourants en un même point 1 S C3 S B2 S 2 ème cas : Si 2 glisseurs sont parallèles alors le 3 ème l est aussi. Si 1 S et B2 S sont parallèles, l équation de la résultante statique montre que C3 S est parallèle aux 2 autres les 3 glisseurs sont parallèles C3 S 1 S B 2 S Bilan. Si un système est en équilibre sous l action de 3 glisseurs alors ces 3 glisseurs sont : coplanaires, concourants ou parallèles, de somme vectorielle nulle. Pour des glisseurs parallèles, on utilisera de préférence une résolution analytique en utilisant le théorème du moment statique et en calculant le moment par la méthode du bras de levier. 83) Solide soumis à 4 glisseurs. vec 2 glisseurs complètement connus et 1 droite d action connue. Déterminer la résultante R des 2 glisseurs complètement connus, pour se ramener à un problème à 3 glisseurs. vec 1 glisseur complètement connu et toutes les droites d action connues. Grouper les glisseurs 2 à 2, pour se ramener à un problème à 2 glisseurs R 1 et R 2 opposés ayant la même droite d action.

Cours 08 - Statique des solides Page 9/10 9) Notion d arc-boutement. Deux solides en contact sont dits arc-boutés l un sur l autre, sous l effet d actions mécaniques, si les deux solides restent immobiles l un par rapport à l autre, quelle que soit l intensité de ces actions mécaniques. Exemple d un crayon contre une table Un crayon 2 est appuyé contre le plan () d une table 1 par le doigt d une main. Si on néglige son poids, le crayon est en équilibre sous l action de deux glisseurs opposés de droite d action (B). Si l inclinaison de l axe du crayon reste inférieure à l angle d adhérence limite, entre la mine et la table, alors la mine du crayon ne glissera pas sur la table, quelle que soit l intensité F de l action exercée par le doigt. Exemple d une échelle contre un mur Une échelle 2, de centre de gravité G et de poids P, repose sur le sol 1 au point et appuie contre le mur 3 au point B. On suppose le contact en B sans frottement et en avec frottement. L échelle est en équilibre sous l action de trois glisseurs. - en : glisseur inconnu R1 2, - en B : glisseur R3 2 de droite d action normale au plan tangent, - en G : poids P connu. R3 2 et P étant concourants au point I, R1 2 a pour droite d action (I). Si l inclinaison de ce glisseur par rapport à la verticale reste inférieure à l angle d adhérence limite, l échelle reste en équilibre quel que soit son poids. 10) Démarche de résolution. Étape 1 : Isoler. Isoler un système matériel rendant extérieure(s) la(les) action(s) mécanique(s) connue(s) tout en choisissant un isolement qui peut être résolu. NB : On n isole JMIS le bâti. Étape 2 : BME. Réaliser le Bilan des ctions Mécaniques Extérieures (BME) appliquées à ce système. Étape 3 : Modéliser. Choisir la modélisation des M adéquate. Soit par : a) des torseurs dans une écriture en colonne (pour déterminer OUS les inconnus de liaison), b) des torseurs dans une écriture en ligne (pour déterminer une loi entrée-sortie statique), c) des glisseurs (pour déterminer les M graphiquement). Étape 4 : Résoudre en appliquant les bons théorèmes. Selon la modélisation choisie (a, b ou c), résoudre en appliquant : a) le PFS : 0 en ayant pris soin auparavant d'exprimer U MEME POIN les torseurs, SS b) les théorèmes de la résultante statique ou/et du moment statique, c) les théorèmes d un solide soumis à 2 ou 3 glisseurs.

Cours 08 - Statique des solides Page 10/10 Exemple : 1) Isolons {1}. 2) Bilan des ctions Mécaniques Extérieures (BME) sur {1}. - ction mécanique de 2 sur 1 (pivot d axe (,z) ) - ction mécanique de 3 sur 1 (ponctuelle de centre B et de normale y ) 3) Modélisables par : 4) Résolution : a) Les torseurs (écriture en colonne) b) Les torseurs (écriture en ligne) Si système dans l espace : X21 21 Y21 Z 21 31 P(B,y) L,21 M,21 0 (x,y,z) 0 Y 0 31 0 0 0 (x,y,z) Ou si présence d un problème plan (,x,y) : 31 21 P(B,y) X21 Y21 _ 0 Y _ 0 31 (x,y,z) 0 (x,y,z) Si système dans l espace : R 21 21 avec M,2 1 0 M,21.z Y 3 1.y 31 0 P (B,y) Ou si présence d un problème plan (,x,y) : R 2 1 21 0 Y 3 1.y 31 0 P (B,y) 1/ Mettre les torseurs au même point et dans la même base. Choisir car il est plus facile de déplacer M de 31 que l M de 21. Donc : M,3 1 MB,3 1 B R31 2/ Puis appliquer le PFS : 0 11 qui donnera : - 6 équations scalaires (dans l espace) - 3 équations scalaires (dans le plan) Pour la loi entrée-sortie, il faut s appuyer sur M,2 1.z 0, c est à dire appliquer directement le théorème du moment statique en en projection suivant z : M.z 0,1 1 donc ici :.z M.z 0 M,2 1,31 soit M,3 1.z 0 c) Les glisseurs UNIQUEMEN pour un problème plan (,x,y) le glisseur 2 1 passant par le glisseur B3 1 passant par B NB : 2 1 et B3 1 sont les 2 résultantes R2 1 et R3 1 des torseurs glisseurs de 21 en et 31 en B. {1} est en équilibre sous l action de 2 glisseurs alors ces 2 glisseurs : sont opposés (même norme, même direction, sens contraire), et ont même droite d action (passant par les points d application).