«Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Énoncé Thème : Intégration Cet énoncé est tiré de l exercice-jury proposé aux candidat(es le 6 Juin 5, lors de la deuxième épreuve orale (épreuve sur dossier du Capes Externe de mathématiques Pour obtenir l énoncé exact (ainsi que la production demandée au candidat, on se reportera au site officiel du jury, à l adresse http://capes-mathorg/ L exercice proposé au candidat On se propose de calculer, avec les moyens à la disposition d un élève de Terminale S, la valeur exacte de : I = + t On pose pour tout réel x de, : I(x = x + t Montrer que la fonction x I(x est dérivable sur, et calculer sa dérivée I Pour tout x de, π, on pose : F (x = I(tan(x (a Montrer que F est dérivable sur (b Montrer que, pour tout x de, π et calculer F (x, π, on a F (x = x 3 En déduire la valeur de I Page
«Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Corrigé Proposition de corrigé avec le Classpad 3 Corrigé de l exercice L application f : x est définie et continue sur R + x L application x I(x est donc définie sur R : plus précisément, elle est la primitive de f qui s annule à l origine Elle est donc dérivable sur R et, pour tout x de R : I (x = f(x = + x (a L application F : x F (x = I(tan x est dérivable sur J =, π en tant que composée de fonctions dérivables Pour tout x de J, on a F (x = tan (x I (tan x = ( + tan x + tan x = (b D après ce qui précède, il existe x dans R tel que : x J, F (x = x x Or F ( = I( = Il en résulte F (x = x pour tout x de J =, π 3 Puisque tan π ( π =, on a I = I( = F Il en résulte I = π Plus loin avec le Classpad 3 Évidemment, le calcul direct de I ne pose pas le moindre problème au Classpad (fig Comme le demande l énoncé, on définit la fonction I (fig On vérifie bien sûr que sa dérivée est l application x + x, et que I( = et I( = π Plus généralement le Classpad connaît l expression I(x = tan (x pour tout x de R Ici tan est l application plus connue sous le nom arctan (arc tangente, définie sur R, et qui est la bijection réciproque de la restriction à π, π de l application x tan x On voit (fig3 les courbes y = tan x (en pointillés et y = arctan x sur l intervalle π, π fig : le calcul de I fig : la fonction I(x fig3 : x tan x, x arctan x Jean-Michel Ferrard, lycée Saint-Louis, Paris Page
«Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Corrigé Comme le demande l énoncé (question, on définit F : x I(tan(x (voir fig Compte tenu de ce qui précède, il est normal que le Classpad évalue F (x en tan (tan x Il est également normal qu il ne simplifie pas cette expression! (à suivre En revanche le Classpad simplifie automatiquement l expression tan(i(x en x (fig et là encore, comme on le verra un peu plus loin, c est normal! Mais reprenons tout cela, pour y voir un peu plus clair L application x I(x est dérivable sur R, de dérivée I (x = + x L application x tan x est définie (et dérivable pour x π mod π, c est-à-dire sur la réunion D des intervalles J k = π + kπ, π + kπ, avec k dans Z Par composition, l application x F (x = I(tan x est elle-même définie et dérivable sur D Pour tout x de D, on a F (x = tan (x I (tan x = ( + tan x + tan x = Sur chaque intervalle J k, les applications x F (x et x x ont la même dérivée, donc diffèrent d une constante x k : k Z, x k R, x J k, F (x = x x k Mais il est clair que F (kπ = I(tan kπ = I( = On en déduit x k = kπ Conclusion : k Z, x J k = π + kπ, π + kπ, F (x = x kπ En particulier, on retrouve le fait que F (x = x pour tout x de π, π fig : la fonction F (x fig5 : propriétés de F fig6 : tracé de F Remarque : ce serait une grave erreur de penser que du fait que F (x = sur son domaine D, alors F (x = x λ sur D (avec λ un réel fixé Ce genre de raisonnement n est en effet valable que sur un intervalle, et D est une réunion d intervalles disjoints Jean-Michel Ferrard, lycée Saint-Louis, Paris Page 3
«Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Corrigé On voit (fig5 comment le Classpad permet d étudier certaines propriétés de F : L expression F (kπ n est pas simplifiée car rien ne dit ici que k soit un entier En revanche, on vérifie que F (kπ = pour k entier dans {,, } par exemple Pour le Classpad, les expressions constn(m (avec m entier désignent des constantes entières arbitraires C est pourquoi F (constn(π est ici simplifié en Le calcul de la limite de F en π ne donne rien car cette limite n est pas définie En revanche, on peut calculer les limites de F à gauche et à droite en ce point On pouvait retrouver l expression de F (x de façon légèrement différente (sans utiliser de dérivation, mais avec un argument de périodicité, à condition de connaître la définition de l application arctan (arc tangente Rappelons en effet que x I(x (définie et dérivable sur R est l application arctan (encore notée tan, bijection réciproque de la restriction à π, π de x tan x En particulier : Pour tout x de R, on a tan(i(x = tan(arctan x = x Cela explique que le Classpad ait simplifié en x l expression tan(i(x (voir fig Pour tout x de π, π, F (x = I(tan x = arctan(tan x = x Mais l application F est définie (on l a vu sur D = J k où J k = π + kπ, π + kπ De plus, tout comme l application x tan x, elle est π-périodique Il en découle immédiatement : k Z, x J k, F (x = F (x kπ = x kπ (car π < x kπ < π On voit (fig6 le tracé de la courbe de F (ici sur 6, 6 et dans un repère orthonormé On y retrouve bien la périodicité de F, et le fait que cette application présente une discontinuité en chaque x = kπ (avec k dans Z k Z Une autre intégrale Dans «le travail demandé au candidat», l énoncé du 6 Juin 5, demandait qu on «propose un ou plusieurs exercices sur le thème de l intégration» Un prolongement intéressant de l exercice consiste à calculer I = ( + t Pour cela, on va voir deux méthodes différentes Première méthode Cette méthode prolonge l exercice du jury Pour tout x de R, on définit I (x = Pour tout x de J = π, π x ( + t, on pose F (x = I (tan x Notre problème est donc de calculer I ( = F ( π Jean-Michel Ferrard, lycée Saint-Louis, Paris Page
«Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Corrigé L application I est dérivable sur R et, pour tout x de R on a I (x = L application F est alors dérivable sur J et : x J, F (x = tan (xi (tan x = On sait que F ( = I ( = x + tan x = cos x = Pour tout x de J, on en déduit F (x = ( + cos t = ( π On trouve alors I = I ( = F = π 8 + ( + x + cos x t + x sin t = x sin x + Deuxième méthode On procède à une intégration par parties dans I = + t = π On considère que + t = u (tv(t avec u(t = t et v(t = + t, donc v (t = t ( + t Dans ces conditions : I = + t = u(tv(t = + (t + = ( + t + (I I On retrouve alors I = ( I + u(tv (t = + = π 8 + t ( + t NB : L avantage de la première méthode est qu elle ne nécessite pas de connaître I = π Avec le Classpad 3 On voit (fig7 comment définir la fonction x I (x avec le Classpad : Le calcul direct de I ne pose bien sûr aucun problème On obtient l expression générale de I (x (où apparaît encore l application tan, ce qui permet en particulier de retrouver la valeur I ( On voit (fig8 comment définir et utiliser la fonction x F (x = I (tan x On définit la fonction F, puis on calcule sa dérivée On obtient bien F (x = + tan x L instruction tcollect permet de linéariser Ainsi F (x + cos x = On calcule la primitive (s annulant en de cette expression On obtient x sin x +, qui est la valeur de F (x sur J = π, π On évalue cette expression en x = π ( π On retrouve bien la valeur de l intégrale cherchée : I ( = F = π 8 + Jean-Michel Ferrard, lycée Saint-Louis, Paris Page 5
«Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Corrigé Remarque : L app n x F (x = I (tan x est définie sur D = k Z Tout comme l application x tan x, elle est π-périodique Or on sait que F (x = x sin x + sur J = J = π, π J k avec J k = π + kπ, π + kπ Pour tout x de J k, on a donc (en utilisant le fait qu alors x kπ est dans J : F (x = F (x kπ = x kπ + sin (x kπ = x + sin x kπ fig7 : la fonction I (x fig8 : la fonction F (x fig9 : les intégrales I n Allons encore plus loin On pourrait encore généraliser en étudiant les intégrales I n = ( + t n, avec n dans N On voit (fig9 que le Classpad peut calculer I n (c est plus long si on augmente la valeur de n et on peut conjecturer l écriture I n = a n π + b n, où (a n et (b n sont deux suites de rationnels On peut calculer les (I n n à l aide d intégrations par parties : En écrivant ( + t = n u (tv(t avec u(t = t et v(t = ( + t, donc nt n v (t = ( + t : n+ I n = ( + t = u(tv(t u(tv (t = n + n t n ( + t n+ = + n (t + n ( + t = n+ + n(i n n I n+ ( Il en résulte I n+ = I n + pour tout n n nn+ Sachant que I = π, cette égalité permet de calculer les I n de proche en proche Jean-Michel Ferrard, lycée Saint-Louis, Paris Page 6
«Oral» du Capes Externe de Mathématiques (6 Juin 5 Corrigé Une programme très simple (fig permet de calculer les intégrales I n On voit (fig et fig comment retrouver (plus vite que par le calcul direct la valeur de I 6 fig : le programme In fig : lancer In avec n = 6 fig : l intégrale I 6 Si on s intéresse plus particulièrement aux coefficients a n et b n dans l expression de I n, on peut modifier le programme de la façon indiquée (fig3 (il s appelle maintenant J n, la seule contrainte étant que la variable θx n ait pas de contenu dans le répertoire en cours On voit (fig un exemple d utilisation de Jn avec n = fig3 : le programme Jn fig : résultat si n = Jean-Michel Ferrard, lycée Saint-Louis, Paris Page 7