Le modèle de marché de Sharpe

Le modèle de marché de Sharpe Modèle statistique sans fondement théorique, supposant que les rendements sont normalement distribuées et que la Régression linéaire de Ri sur RM, donne la relation : αi et βi sont les coefficients de la régression, βi est précisément égal à εit est le résidu, d'espérance nulle, non corrélé à RMt. D où le rendement espéré : 1

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Le modèle de marché de Sharpe Le rendement du titre varie pour deux raisons principales : l'influence du marche βi mesure la sensibilité du rendement du titre au rendement du marché, si βi < 1, alors le rendement du titre varie moins que celui du marché on dit que le titre est défensif si βi > 1, alors le rendement du titre varie plus que celui du marché on dit que le titre est offensif des causes spécifiques εi 3

Le modèle de marché de Sharpe Le risque total du titre (mesuré par la variance du rendement) vaut : soit : Le risque systématique est d'origine macroéconomique : croissance économique, crises, mouvements de taux d'intérêt, incertitudes géopolitiques... Le risque spécifique est d'origine microéconomique : grèves dans l'entreprise, contrats décrochés, changements de gouts des consommateurs, poursuites judiciaires... 4

Le modèle de marché de Sharpe Elimination du risque spécifique par diversification Le rendement d'un portefeuille constitué de N titres est la moyenne des rendements des titres = Le modèle de Sharpe permet d écrire le rendement du portefeuille sous la forme : =1 = =1 + + = + + =1 =1 5

La décomposition du risque global du portefeuille en risque systématique et en risque spécifique s écrit : 2 2 = 2 2 + Le risque spécifique diminue en augmentant le nombre de valeurs dans le portefeuille. En effet, 2 = 2 2 +, =1 =1 Dans un portefeuille équipondéré = 1, on a : 2 = 1 2 2 =1 + 1 2, =1 6

Soit la variance moyenne et la covariance moyenne : et D où = = 1 2 =1 1 2, =1 2 = 1 + 1 1 Donc lim 2 = 7

Lorsqu on suppose que :, =0, On a : lim 2 =0 Autrement dit, le risque spécifique est complètement éliminé par diversification. Des études empiriques ont montré que pour N > 20 le risque spécifique est presque nul pour un portefeuille équipondéré. On peut donc considérer qu un portefeuille constitué de valeurs dont la proportion ne dépasse pas 5 % est un portefeuille bien diversifié. 8

MEDAF Modèle d évaluation des actifs financiers CAPM (Capital Asset Pricing Model) Comment le risque affecte-t-il le rendement espéré d un actif? Le MEDAF donne une réponse cohérente. - Tous les risques n affectent pas les prix des actifs - Seul le risque non diversifiable est rémunéré à l équilibre. Le MEDAF donne une évaluation du rendement espéré d un actif en fonction du risque. Ce rendement espéré peut être utilisé comme taux d actualisation dans la valorisation de l actif. 9

MEDAF (suite) Hypothéses : - Les investisseurs sont averses au risque et évaluent les portefeuilles en termes d espérance et de variance des rendements sur une période ; - Les investisseurs ont des anticipations homogènes sur les rendements des actifs qui suivent des lois normales ; - Les quantités d actifs offerts sont fixées, les actifs sont parfaitement divisibles ; - Les marchés sont sans friction, l information est gratuite et parfaitement disponible pour tous les investisseurs. Il n y a pas d impôts ni de réglementation sur les ventes à découvert ; - Il existe un actif sans risque que l on peut prêter et emprunter sans limite. 10

L équation du MEDAF : MEDAF (suite) Le rendement espéré d un titre quelconque est donc égal au rendement de l actif sans risque auquel s ajoute une prime de Risque. Cette prime de risque se décompose en : prix du risque (écart entre le rendement moyen du marché et le taux sans risque) et la quantité de risque propre à l actif (le bêta de l actif). Il faut bien comprendre que la prime de risque d un titre ne dépend pas du risque total du titre mais du risque additionnel que l actif ajoute au risque du portefeuille où il est intégré. 11

MEDAF (suite) Il existe plusieurs démonstrations du MEDAF car le modèle a été découvert indépendamment par Sharpe (1964), Lintner (1965) et Mossin (1966). Celle de Sharpe a l avantage de reposer sur les résultats de la gestion de portefeuille moyenne-variance. Utilité du MEDAF Malgré les difficultés à valider empiriquement le modèle, il présente au moins deux applications utilisées : Mesures de performances : Mesurer les performances des gestionnaires de fonds (ont-ils fait mieux que le marché?) Actualisation : Le MEDAF indique que le taux dactualisation approprié pour évaluer les revenus futurs d une entreprise ou d un investissement est déterminé par : 12

MEDAF (suite) - le taux sans risque ; - la prime de risque du marché ; - le bêta de l entreprise ou du projet d investissement. Le bêta peut être estimé par régression sur données historiques ou à partir des bêtas d entreprises comparables (pour les sociétés non cotées). 13

Interprétation du MEDAF A l équilibre, tous les portefeuilles et tous les actifs sont sur la droite de marché des actifs financiers (SML). En effet, un titre situé au-dessus de la SML est sous-évalué : son rendement espéré est supérieur à celui d un portefeuille efficient de même bêta, la demande pour ce titre devrait augmenter, ainsi que son prix (de sorte que son rendement espéré diminue). De même, un titre situé au-dessus de la SML est, au contraire, surévalué (son prix courant est supérieur au prix d équilibre, son rendement actuel est inférieur à son rendement d équilibre). L offre pour ce titre devrait augmenter et par conséquent son prix devrait baisser (de sorte que son rendement espéré augmente) 14

Droite de marché des actifs financiers SML (Security Market Line) 15

Utilisation du MEDAF : Le coût du capital Le modèle de Gordon-Shapiro de détermination du coût du capital s écrit : û é = + é Ce modèle est remis en cause et dépassé. En effet, la valeur d une action ne dépend pas du taux de croissance anticipé des cash-flows futurs. Le coût du capital est donné par le rendement espéré, qui dépend du bêta, du taux sans risque et de la prime de risque du marché : û é = + ê é 16

Modèle d évaluation par arbitrage APT (Arbitrage Pricing Theory) Alors que le MEDAF suppose une source commune de risque unique qui est le risque de marché, l APT ( introduit par S. Ross en 1976) est un modèle basé sur l existence de plusieurs facteurs de risque communs. Présentation du modèle sont les k facteurs communs est un facteur qui mesure la sensibilité de l action i par rapport au facteur j est la valeur résiduelle spécifique de l action i 17

APT (suite) On suppose que : La formalisation du modèle Ce modèle d arbitrage suppose qu il existe assez d actifs pour qu il soit possible de construire un portefeuille sans risque et sans mise initiale, grâce à l achat et à la vente simultanée d actifs. Le portefeuille d arbitrage est représenté par les 3 équations suivantes : 18

APT (suite) (rendement du portefeuille d arbitrage) (risque nul) (mise de fonds initiale nulle) A l équilibre, le rendement d un tel portefeuille doit être nul. A partir de là, S. Ross a établi que les rendements de tous les portefeuilles efficients, c est à dire sans risque spécifique, sont sur une même droite de pente positive d où la linéarité de la relation rendement/risque. 19

APT (suite) Par conséquent : En appliquant l APT à l actif sans risque on obtient : Une autre version de l APT s écrit : où est le rendement espéré d un portefeuille ayant une sensibilité égale à 1 au jème facteur, et nulle pour tous les autres. est la sensibilité de l actif i au facteur j 20