AMPHI 2 : INTEGRATION Chapitre 3 Documents disponibles sur http ://www.math.polytechnique.fr/ golse
L intégrale de Lebesgue (1902) A la base de l analyse fonctionnelle, socle mathématique de la mécanique quantique (J. von Neumann, 1932) Théorie axiomatique des probabilités (A. Kolmogorov, 1933) On va utiliser de façon cruciale dans cet amphi la notion de dénombrabilité et le Lemme de Dini
MOTIVATIONS A) Définir l intégrale pour des fonctions plus générales que les fonctions continues par morceaux sur un intervalle de R B) Disposer de théorèmes d interversion intégrale/limite pour des suites de fonctions, où il ne soit plus nécessaire de vérifier que la fonction limite est continue par morceaux Thm. de convergence dominée vu en classe prépa Soit (f n ) n 0 fonctions intégrables sur I intervalle de R f n f simplement f continue/morceaux sur I f n (x)dx f (x)dx f n F intégrable sur I I I
Remarque fondamentale : les points A) et B) sont intimement reliés Pour le point B), on aimerait un énoncé du type suivant : Soit (u n ) n 1 suite de fonctions positives intégrables sur R N ; alors x u(x) := n 1 u n (x) est une fonction positive intégrable sur et u(x)dx = u n (x)dx n 1 Enoncé analogue pour les suites croissantes de fonctions, en posant n U n (x) = U 0 (x) + u k (x), U 0 donnée. k=1
Plus de fonctions intégrables Meilleurs théorèmes limites Exemple : Soit N n r n Q [0, 1] bijection numérotant les rationnels de [0, 1] puisque { Q [0, 1] est dénombrable 1 si x = rn, Pour n N, posons u n (x) = 0 si x r n. La fonction u n est positive et continue par morceaux sur [0, 1], mais { 1 si x Q [0, 1], u n (x) = 1 Q [0,1] (x) = 0 si x / Q [0, 1], n 0 et 1 Q [0,1] est discontinue en tout point de [0, 1]. L énoncé suggère que 1 0 1 Q [0,1] (x)dx = n 0 1 0 u n (x)dx = 0
DIFFICULTE : Si on essaie de définir a priori l intégrale 1 0 1 Q [0,1] (x)dx comme limite de la somme de Riemann pour la subdivision de [0, 1] à pas constant (0, 1, 2,..., N 1, 1), on trouve N N N 1 0 1 1 Q [0,1] (x)dx = lim N + N N ( ) k 1 Q [0,1] = 1 N k=1 CONTRADICTION avec le résultat fourni par l énoncé B) d intégration terme à terme des séries de fonctions à termes positifs
Rappels sur l intégration des fonctions continues Soient R N ouvert et C c () l ensemble des fonctions continues sur à valeurs réelles et à support compact dans c.a.d. nulles en dehors d un compact inclus dans. Intégrale usuelle = forme R-linéaire C c () f f (x)dx R qui est positive c.a.d. que (P) f (x) 0 pour tout x f (x)dx 0 Interversion limite/intégrale ( Dini + positivité) : C c () f 0 f 1... f n 0 simplement sur lim f n (x)dx lim f n(x)dx = 0 n + n +
Stratégie Prolonger l intégrale usuelle en une forme R-linéaire positive (intégrale de Lebesgue) sur le R-espace vectoriel L 1 () des fonctions sommables C c () L 1 () f f (x)dx R qui vérifie le thm. d interversion limite/intégrale suivant : 0 u n L 1 () et u n (x)dx < + u n L 1 () n 0 n 0 ( ) et u n (x) dx = u n (x)dx n 0 n 0 N utilise que la positivité de l intégrale usuelle marche pour toute forme linéaire positive sur C c () cf. poly.
DEFINITION DE L INTEGRALE DE LEBESGUE Définition Suite de Levi : suite (f n ) n N de fonctions de C c () t.q. f 0 f 1... f n... sur et sup n 0 f n (x)dx < + On va arriver à l intégrale de Lebesgue définie sur l espace L 1 () des fonctions sommables en deux étapes : 1) imposer l interversion limite-intégrale pour les suites de Levi ; 2) prolonger cette première extension par linéarité
Définition Etape 1 : classe L + L + () = { f : R {+ } il existe (f n ) n 0 suite de Levi t.q. f n f simplement sur } On prolonge l intégrale à la classe L + () en posant f (x)dx = f n (x)dx lim n + Ne dépend pas du choix de la suite (f n ) n N ( thm de Dini) Démonstration Exemples : 1) f α (x) = 1 ]0,+ [(x) 1+x α définit f α L + (R) ssi α > 1. 2) 1 Q [0,1] / L + (R) Cf. Prop. 3.1.6 p. 32
Propriétés de l intégrale sur L + 1) évidemment C c () L + ()... 2) soit f C(I ) (I intervalle OUVERT de R) t.q. f 0 sur I ; f (x)dx < + f L + (I ) I 2) α, β 0 et f, g L + () αf + βg L + () et (αf (x) + βg(x))dx = α f (x)dx + β g(x)dx 3) pour f, g L + () on a max(f, g), min(f, g) L + () et f (x) g(x) pour tout x f (x)dx g(x)dx Attention : si f L + () en général f / L + () L + () n est pas un espace vectoriel!
Ensembles Lebesgue-négligeables Pbm : définir un R-espace vectoriel à partir de L + Difficulté : tout f L + () peut prendre la valeur +. Toute expression de la forme f g avec f, g L + () risque donc de contenir la forme indéterminée +. Idée clé : cette difficulté ne se produit que TRES rarement Définition Soit N. On dira que N est (Lebesgue-)négligeable ssi il existe f L + () t.q. f (x) = + pour tout x N.
Exemple tout singleton de est Lebesgue-négligeable Dém : soit F (x) := n 1 n(1 n 3 x ) + ; F (x) = + x = 0 évidemment F L + () et F (x)dx = n 1 1 n 2 < + Proposition toute réunion DENOMBRABLE de parties (Lebesgue)- négligeables de est une partie (Lebesgue-)négligeable de NB : FAUX sans le mot DENOMBRABLE! (exo : pourquoi?) Ex : toute partie dénombrable de R N est Lebesgue-négligeable Application : Q, Q N sont Lebesgue-négligeables dans R, R N
Caractérisation géométrique des ensembles Lebesgue-négligeables Cube de R N : étant donnés a R N et r > 0, on pose C(a, r) =]a 1 r, a 1 + r[... ]a N r, a N + r[ Volume d un cube de R N : C(a, r) = (2r) N Théorème N R N est Lebesgue-négligeable ssi, pour tout ɛ > 0, il existe une suite au plus dénombrable (C n ) de cubes de R N t.q. N C n, et Cn ɛ.
Autres exemples de parties négligeables de R N 1) toute partie d un ensemble négligeable est négligeable : } N N R N N (Lebesgue-)négligeable N (Lebesgue-)négligeable 2) un ouvert NON VIDE n est JAMAIS (Lebesgue)-négligeable car un cube ouvert non vide n est jamais Lebesgue-négligeable (utiliser un argument de compacité pour recouvrir le cube par un nombre FINI de cubes), puis appliquer le 1) 3) une droite affine dans R N (où N > 1), plus généralement un sous-espace affine de dimension d < N dans R N sont des parties (Lebesgue-)négligeables de R N
Parties Lebesgue-négligeables de R N : exemples pathologiques L ensemble triadique de Cantor dans R, le triangle de Sierpiński dans R 2 sont des ensembles Lebesgue-négligeables (A chaque étape, on enlève, dans chaque triangle équilatéral noir, le triangle blanc dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle noir) NB : Le triangle de Sierpiński est un exemple de fractal, c.a.d. d ensemble de dimension non entière (ln 3/ ln 2...)
Besicovitch set applet Besicovitch set applet http://www.math.ucla.edu/~tao/java/besicovitch.html Besicovitch set applet Besicovitch set applet 11/08/09 13:05 11/08/09 13:07 http://www.math.ucla.edu/~tao/java/besicovitch.html Page 2 sur 2 Besicovitch set applet Besicovitch set applet 11/08/09 13:05 06/10/09 15:44 Page 2 sur 2 http://www.math.ucla.edu/~tao/java/besicovitch.html 11/08/09 13:06 11/08/09 13:02 Page 2 sur 2 L ensemble de Besicovich = sous-ensemble Lebesgue-négligeable du plan euclidien R 2, mais contenant un segment de longueur 1 dans toute direction appartenant à un secteur angulaire ouvert non vide, ] π, 0[ dans la figure ci-dessous 4 alpha 0.8 n 0 Redraw alpha 0.8 n 1 Redraw alpha 0.8 n 2 Redraw alpha 0.8 n 3 Redraw alpha 0.8 n 5 Redraw alpha 0.8 n 9 Redraw Upper bound for area: 1.2 Upper bound for area: 0.84000003 Upper bound for area: 0.60960007 Details of the construction (together with applications to summation of Details multiple of Fourier the construction series) can (together be with applications to summation of Details multiple of Fourier the construction series) can (together be with applications to summation of multiple Fourier series) can be found in found in found in E.M. Stein, "Harmonic Analysis", Princeton University Press, 1993, Chapter E.M. Stein, X. "Harmonic Analysis", Princeton University Press, 1993, Chapter E.M. Stein, X. "Harmonic Analysis", Princeton University Press, 1993, Chapter X. Back to my Java page. Back to my Java page. Back to my Java page. Upper bound for area: 0.46214402 Upper bound for area: 0.30737418 Upper bound for area: 0.21801439 Details of the construction (together with applications to summation of Details multiple of Fourier the construction series) can (together be with applications to summation of Details multiple of Fourier the construction series) can (together be with applications to summation of multiple Fourier series) can be found in found in found in E.M. Stein, "Harmonic Analysis", Princeton University Press, 1993, Chapter E.M. Stein, X. "Harmonic Analysis", Princeton University Press, 1993, Chapter E.M. X. Stein, "Harmonic Analysis", Princeton University Press, 1993, Chapter X. Back to my Java page. Back to my Java page. Back to my Java page.
ATTENTION Une partie Lebesgue-négligeable de R N PEUT ETRE DENSE dans R N Ex : Q (resp. Q N ) est dense ET Lebesgue-négligeable dans R (resp. R N ) car dénombrable. MAIS Proposition Soit ouvert de R N et N R N Lebesgue-négligeable. Alors \ N est dense dans. VOCABULAIRE : une propriété P(x) dépendant de x est vraie p.p. dans ssi l ensemble {x P(x) est fausse} est Lebesgue-négligeable dans R N Exemple : 1 Q (x) = 0 p.p. sur R car Q est Lebesgue-négligeable dans R
Etape 2 : fonctions sommables Définition L ensemble des fonctions sommables définies p.p. sur est L 1 () = {x g(x) h(x) (g, h) L + ()} On définit alors l intégrale de Lebesgue de f par la formule f (x)dx := g(x)dx h(x)dx NB : définition indépendante de la décomposition f = g h (d après le thm de Dini pour des suites p.p.) RMQ : par construction l intégrale de Lebesgue COINCIDE avec l intégrale usuelle sur C c (), ou sur Cc morceaux (R)
Propriétés de base 1) L 1 () est un R-espace vectoriel et L 1 () f f (x)dx une forme R-linéaire 2) si f, g L 1 () et f g p.p. sur, alors (Dini + p.p.) f (x)dx g(x)dx 3) en particulier, pour tout f L 1 (), on a f L 1 () et f (x)dx f (x) dx
Intégration des fonctions à valeurs complexes On dit que f L 1 (; C) ssi Re(f ) et Im(f ) L 1 (; R), et f (x)dx := Re(f )(x)dx + i Im(f )(x)dx 1 ) L 1 (; C) est un C-espace vectoriel et L 1 (; C) f f (x)dx une forme C-linéaire 3 ) pour tout f L 1 (; C), on a f L 1 (; R) et f (x)dx f (x) dx
Intégrale de Lebesgue et ensembles négligeables Avec la définition de Lebesgue de l intégrale φ(x) = 0 p.p. sur φ(x)dx = 0 Exemple : comme Q est Lebesgue-négligeable dans R, la définition de l intégrale de Lebesgue montre que 1 Q [0,1] (x)dx = 0 R Modifier une fonction sommable sur un ensemble Lebesgue-négligeable ne change pas son intégrale Réciproque : si φ L 1 (; C), alors φ(x) dx = 0 φ(x) = 0 p.p. en x
CONVERGENCE DOMINEE Théorème (de convergence dominée) Soient R N ouvert et une suite (f n ) n N de fonctions de L 1 (; C). Si f n f p.p. sur et qu il existe F L 1 (; R) t.q. pour tout n N f n (x) F (x) p.p. en x, alors la fonction limite f L 1 (; C) et on a f n (x)dx f (x)dx Avantage : inutile de connaître EXPLICITEMENT la limite f pour vérifier qu elle est sommable
ATTENTION l hypothèse de domination est absolument INDISPENSABLE Sinon, les phénomènes suivants peuvent se produire : CONCENTRATION : prendre = R, et f n (x) = n(1 n x ) + rappel : a + = max(a, 0). Evidemment, f n C c (R) pour n 1, et f n (x) 0 pour x 0 (donc p.p. en x R) quand n + Mais pour tout n 1, R f n (x)dx = 1 0
y y=f (x) n x O Concentration de la masse en 0
EVANESCENCE : prendre = R, φ C c (R) par exemple, φ(x) = (1 x ) + et φ n (x) = φ(x n) Evidemment, φ n C c (R) pour n 1, et φ n (x) 0 pour tout x R lorsque n +. Mais pour tout n 1, R φ n (x)dx = 1 0
y y=! (x) n x O Evanescence par translation
FAQ1 : comment calculer l intégrale de Lebesgue de f L 1 () donnée? a) comme d habitude si f C c (), ou si f C morceaux c (R) en effet l intégrale de Lebesgue n est que le prolongement de l intégrale habituelle à une classe de fonctions plus vaste) b) si f = g + h avec g C c () et h = 0 p.p. ou encore si g Cc morceaux (R), se souvenir que f (x)dx = g(x)dx c) sinon, essayer d approcher f par une suite f n de fonctions de C c () dont on sait calculer les intégrales, et appliquer ensuite le théorème de convergence dominée
FONCTIONS MESURABLES Définition Soit R N ouvert. Une fonction f : [, + ] ou C est mesurable ssi il existe une suite f n C c () ou C c (; C) t.q. f n f p.p. sur NB : Il est impossible de CONSTRUIRE une fonction qui ne soit pas mesurable par un algorithme DENOMBRABLE mais on sait qu IL EXISTE des fonctions non mesurables sur R AXIOME DU CHOIX cf. Note 4, p. 60.
Propriétés de base : 1) toute fonction continue sur est mesurable, toute fonction continue par morceaux sur un intervalle I R est mesurable ; 2) f L 1 (; C) f mesurable sur 3) f 1,..., f n : C mesurables et Φ : C n C continue la fonction Φ(f 1,..., f n ) : x Φ(f 1 (x),..., f n (x)) C est mesurable sur Applications : a) f, g : C mesurables f + g et fg mesurables sur ; b) f : C mesurable f et f mesurables sur ; c) f : R mesurable les fonctions f + et f définies par x f + (x)=max(f (x), 0) et x f (x)=max( f (x), 0) sont mesurables ;
Théorème Soit une suite de fonctions f n : C mesurables pour tout n 0 et t.q. f n f p.p. sur ; alors f : C est mesurable Exemple : 1 Q [0,1] est mesurable sur R Corollaire soit f : C mesurable et t.q. f (x) 0 p.p. en x ; alors la fonction x 1/f (x) est mesurable sur Dém : en effet f n (x) := f (x) 1 1 n + f (x) 2 f (x) pour tout x t.q. f (x) 0
FAQ2 : comment vérifier qu une fonction f donnée appartient à L 1 ()? En général on ne cherche pas à l écrire f = g h avec g, h L + () Théorème Démonstration Soit f : [, + ] mesurable. Alors f L 1 () il existe F L + () t.q. f (x) F (x) p.p. en x Convention : soit f : [0, + ] mesurable. Alors soit f L 1 () soit f / L 1 (), et on pose alors f (x)dx = +
Convergence monotone Avec cette convention, on aboutit à un énoncé d interversion limite/intégrale d une simplicité maximale cf. énoncé B) de l introduction Théorème (de convergence monotone) Soit (f n ) n 0 suite de fonctions mesurables sur à valeurs dans [0, + ]. Alors ( ) f n (x) dx = f n (x)dx dans [0, + ] n=0 n=0
FAQ3 : exemples de fonctions sommables? la fonction indicatrice 1 Q (resp. 1 Q N) des rationnels (resp. des points rationnels) dans R (resp. dans R N ) ; pour toute suite (a n ) n 1, (b n ) n 1 t.q. n 1(a 2 n + b 2 n) < + ( t a n cos(2πnt) + b n sin(2πnt) n 1 définit (p.p. en t R) une fonction sommable sur tout intervalle ouvert borné de R en général pas continue ni même continue par morceaux et on a 1 0 ( n 1 a n cos(2πnt) + b n sin(2πnt)) 2 dt = 1 2 ) 2 (an 2 + bn) 2 n 1
Ce qu il faut retenir les ensembles négligeables (exemples, stabilité par réunion dénombrable) les fonctions mesurables (définition, stabilité par les opérations usuelles, par convergence p.p. des suites) une fonction mesurable est sommable ssi son module est majoré p.p. par une fonction de L + limite d une suite de Levi = suite croissante de fonctions de C c dont la suite des intégrales est bornée) le théorème de convergence dominée
Lemme Soient (f n ) n 0 et (g n ) n 0 suites de Levi. Alors lim f n(x) lim g n(x) pour tout x n + n + lim f n(x)dx lim g n(x)dx n + n + Dém : pour k 0 fixé, on définit h n C c () par h n (x) := (f k (x) g n (x)) + = max(f k (x) g n (x), 0), x Evidemment, pour tout x, on a { hn (x) (f k (x) g(x)) + = 0 pour n h 0 (x)... h n (x) h n+1 (x)...
D après le thm. de Dini, h n (x) 0 uniformément en x et h n (x)dx 0 pour n +. Puis f k (x)dx = (f k (x) g n (x) + g n (x))dx ( ) (f k (x) g n (x)) + + g n (x) dx = h n (x)dx + g n (x)dx lim g n(x)dx pour n + n + Puis, en faisant k + lim f k(x)dx k + Définition lim g n(x)dx n +
Dém : Comme f : [, + ] est mesurable, il existe (f n ) n 0 suite de C c () t.q. f n (x) f (x) p.p. en x pour n +. Ecrire que f n (x) = f n + (x) fn (x) où f n + (x) = max(f (x), 0) et fn (x) = max( f n (x), 0) ; évidemment f n ± C c () pour n 0, et f n ± (x) 0 pour tout x et n 0. { f + Ainsi n (x) f + (x) p.p. en x fn (x) f (x) p.p. en x { g + n (x) := min(f (x), f n + (x)) f + (x) p.p. en x gn (x) := min(f (x), fn (x)) f (x) p.p. en x lorsque n +, et Par construction g n ± L + () et 0 g n ± (x) F (x) p.p. en x pour tout n 0 f +, f L 1 () par convergence dominée f = f + f L 1 ().
ATTENTION : le théorème de convergence dominée nous dit que f L 1 () et que g n := g n + gn vérifie g n (x)dx f (x)dx lorsque n +, mais pas que la suite f n dont on est parti vérifie f n (x)dx f (x)dx pour n + Théorème