Une année de Mathématiques en classe de Première S

Une année de Mathématiques en classe de Première S Freddy Mérit Année scolaire 2012-2013

Ce manuel, à destination des élèves de Première S, a été en partie réalisé à partir de la consultation des ouvrages suivants : [1] Barra, Raymond, Transmath 1 re S, Nathan, 2011. [2] Brisou, François, dyssée 1 re S, Hatier, 2011. [3] Malaval, Joël, Hyperbole 1 re S, Nathan, 2011. [4] Poncy, Michel, Indice Maths 1 re S, Bordas, 2011. [5] Beltramone, Jean-Paul, Déclic Mathématiques 1 re S, Hachette Éducation, 2011. [6] Le Yaouanq, Marie-Hélène, Math 1 re S, Didier, 2011.

TABLE DES MATIÈRES 1 Le second degré - Équations et inéquations 5 I Fonctions polynômes du second degré............................ 5 I.1 Forme développée................................... 5 I.2 Forme canonique.................................... 5 I.3 Sens de variation.................................... 6 I.4 Représentation graphique............................... 7 II Résolution de l équation du second degré........................... 7 II.1 Équation du second degré et discriminant...................... 7 II.2 Résolution de l équation du second degré...................... 8 II.3 Factorisation d un trinôme du second degré - Forme factorisée........... 8 III Signe du trinôme du second degré............................... 10 III.1 Signe de a 2 b c avec a 0........................... 10 III.2 Application à la résolution des inéquations du second degré............ 11 IV Tableau récapitulatif...................................... 12 V Eercices............................................ 13 2 Géométrie plane 18 I Colinéarité de deu vecteurs.................................. 18 II Équations d une droite..................................... 19 II.1 Vecteur directeur d une droite............................. 19 II.2 Équations cartésiennes d une droite......................... 21 II.3 Équations cartésiennes et équations réduites..................... 22 II.4 Équations cartésiennes et parallélisme........................ 23 III Décomposition d un vecteur.................................. 23 IV Eercices............................................ 25 3 Étude de fonctions 28 I Fonctions de référence déjà connues.............................. 28 I.1 Sens de variation d une fonction (rappel)...................... 28 I.2 Fonctions affines.................................... 29 I.3 Fonction carré..................................... 29 I.4 Fonction inverse.................................... 30 II Fonction racine carrée..................................... 30 II.1 Sens de variation.................................... 31 II.2 Représentation graphique............................... 31 II.3 Ranger les racines carrées de deu nombres positifs................. 31 II.4 Position relative des courbes d équations y =, y = 2 et y =........ 32 III Fonction valeur absolue.................................... 32 III.1 Valeur absolue d un nombre réel........................... 32 III.2 Étude de la fonction valeur absolue.......................... 33 IV Sens de variation des fonctions associées........................... 34 IV.1 Fonction u k..................................... 34 IV.2 Fonction ku....................................... 35 IV.3 Fonction u...................................... 37 IV.4 Fonction 1 u....................................... 37 V Eercices............................................ 39

TABLE DES MATIÈRES 3 4 Statistiques Descriptives 43 I Paramètres de position d une série statistique........................ 43 I.1 Moyenne........................................ 43 I.2 Médiane......................................... 44 I.3 Quartiles........................................ 44 II Paramètres de dispersion d une série statistique....................... 45 II.1 Étendue......................................... 45 II.2 Écart interquartile................................... 46 II.3 Variance et écart-type................................. 46 III Diagramme en boîte...................................... 48 IV Choisir un résumé d une série statistique........................... 49 IV.1 Le couple (Médiane ; Écart interquartile)...................... 49 IV.2 Le couple (Moyenne ; Écart type)........................... 49 IV.3 Choi du couple d indicateurs............................. 49 V Eercices............................................ 50 5 Dérivation 54 I Nombre dérivé d une fonction f en un nombre réel a.................... 54 I.1 Tau d accroissement................................. 54 I.2 Nombre dérivé..................................... 55 I.3 Interprétation graphique................................ 56 II Tangente à une courbe en un point.............................. 57 III Fonction dérivée........................................ 58 III.1 Fonction dérivée.................................... 58 III.2 Dérivées des fonctions usuelles............................ 59 IV Dérivées et opérations..................................... 61 IV.1 Dérivée de la somme.................................. 61 IV.2 Dérivée du produit................................... 61 IV.3 Dérivée de l inverse................................... 63 IV.4 Dérivée du quotient.................................. 64 IV.5 Tableau récapitulatif.................................. 65 V Applications de la dérivation................................. 65 V.1 Liens entre le signe de la fonction dérivée et le sens de variation de la fonction. 65 V.2 Etremum d une fonction............................... 68 VI Eercices............................................ 70 6 Trigonométrie 78 I Cercle trigonométrique..................................... 78 I.1 Le cercle trigonométrique............................... 78 I.2 Le radian........................................ 78 I.3 Enroulement de la droite numérique réelle sur le cercle trigonométrique..... 80 II Mesures d un angle orienté................................... 81 II.1 Angle orienté de deu vecteurs non nuls....................... 81 II.2 Mesure principale d un angle orienté......................... 82 II.3 Propriétés des angles orientés............................. 83 III Trigonométrie.......................................... 85 III.1 Cosinus et sinus d un angle orienté.......................... 85 III.2 Angles associés..................................... 87 III.3 Équations trigonométriques.............................. 88 IV Eercices............................................ 90

4 TABLE DES MATIÈRES 7 Probabilités 94 I Variable aléatoire et loi de probabilité............................ 94 I.1 Variable aléatoire discrète............................... 94 I.2 Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète................. 95 II Paramètres d une loi de probabilité.............................. 96 II.1 Espérance, variance et écart type d une loi de probabilité............. 96 II.2 Transformation affine d une variable aléatoire.................... 97 III Répétition d epériences identiques et indépendantes.................... 98 III.1 Modélisation d une epérience aléatoire à deu ou trois issues........... 98 III.2 Modélisation de la répétition de deu epériences identiques et indépendantes.. 99 III.3 Un eemple de variable aléatoire associée à une telle situation........... 100 IV Eercices............................................ 101 8 Loi binomiale 110 I Épreuve de Bernoulli - Loi de Bernoulli........................... 110 II Schéma de Bernoulli...................................... 111 III Coefficients binomiau - Triangle de Pascal......................... 112 IV Loi binomiale.......................................... 114 IV.1 Définition........................................ 114 IV.2 Espérance, variance et écart-type........................... 115 V Eercices............................................ 117

CHAPITRE 1 LE SECND DEGRÉ - ÉQUATINS ET INÉQUATINS Mohammed Al Khwarizmi 1 783-850 I Fonctions polynômes du second degré I.1 Forme développée Définition I-1 : Une fonction polynôme du second degré (ou de degré 2) est une fonction f définie sur R par f() = a 2 b c où a, b et c sont trois nombres réels donnés avec a 0. Les réels a, b et c sont appelés les coefficients de la fonction f. La forme a 2 b c est appelée la forme développée de la fonction f. Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré. Eemples : Si f() = 4 2 32 68, f est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 4, b = 32 et c = 68. Si g() = 2 3, g est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 1, b = 0 et c = 3. Si h() = (1) 2 3, h est une fonction polynôme du second degré. En effet, en développant, on a h() = ( 2 2 1) 3 = 2 2 2. Ainsi a = 1, b = 2 et c = 2. En revanche, si k() = ( 1) 2 2, k n est pas une fonction polynôme de degré 2. En effet, en développant, on a k() = 2 1 et k() ne peut pas s écrire sous la forme a 2 b c avec a 0. Remarque : La forme développée d une fonction trinôme du second degré f permet facilement de : calculer l image de 0 par la fonction f (effectivement, f(0) = c) ; déterminer les antécédents du nombre c par la fonction f (en résolvant l équation f() = c qui est très simple puisque c est une équation-produit). I.2 Forme canonique Propriété I-1 : Pour toute fonction polynôme f du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0, il eiste deu nombres réels α et β tels que, pour tout réel, on ait : f() = a( α) 2 β. La forme a( α) 2 β est appelée la forme canonique de la fonction trinôme f. Les nombres α et β sont tels que f(α) = β. 1. Mohammed Al Khwarizmi est un mathématicien, astronome, astrologue et géographe perse. Il décrit les méthodes de résolution des équations du premier et du second degré en les séparant en plusieurs cas. Il en fait état dans son ouvrage Kitab al jabr..., qui a donné son nom au mot algèbre. Il est aussi à l origine du mot algorithme grâce à son livre Algoritmi qui eplique le maniement de la numération indienne.

6 I. FNCTINS PLYNÔMES DU SECND DEGRÉ Eemple : Soit f la fonction trinôme du second degré définie sur R par f() = 4 2 32 70. En factorisant les deu premiers termes contenant par 4 (coefficient du terme de degré 2), on obtient : f() = 4( 2 8) 70. 2 8 peut maintenant être identifié au début du développement de ( 4) 2. En effet, grâce au identités remarquables, on a : ( 4) 2 = 2 2 4 4 2 = 2 8 16. Ainsi, 2 8 = ( 4) 2 16. Par conséquent, on a, pour tout réel, f() = 4[( 4) 2 16] 70. En développant partiellement, on obtient f() = 4( 4) 2 64 70 = 4( 4) 2 6. L epression 4( 4) 2 6 constitue la forme canonique de la fonction f définie par f() = 4 2 32 70. Démonstration : Soit f la fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Comme a 0, on peut écrire, pour tout réel, f() = a 2 b c = a 2 b a c. Mais 2 b a peut être considéré comme le début du développement de b 2a 2. En effet 2a 2 b = 2 b a b 2a 2. n en déduit donc que 2 b a = 2a 2 b b 2a 2. Il en résulte que f() = a 2a 2 b b2 4a c Ainsi, f() = a 2a 2 b b2 4ac 4a. En posant α = b 2a et β = b2 4ac 4a, on obtient bien que f() = a( α) 2 β. De plus, f(α) = a(α α) 2 β = a 0 β = β. 2a 2 b b 2a 2 c = a Remarque : La forme canonique d une fonction trinôme est très utile pour préciser son minimum (ou son maimum, suivant le cas) et la valeur en laquelle il est atteint. Dans l eemple précédent où la fonction f a pour forme canonique f() = 4( 4) 2 6, on peut affirmer qu elle admet pour minimum 6 en = 4. En effet, un carré étant toujours positif ou nul, ( 4) 2 est minimal et vaut 0 lorsque = 4. Par conséquent, f() 6, pour tout réel. Mais, comme f(4) = 6, on a, pour tout réel, f() f(4), ce qui démontre que le minimum de la fonction f est 6, atteint pour = 4. I.3 Sens de variation Propriété I-2 : Admise Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Sa forme canonique est donnée par f() = a( α) 2 β avec α = b 2a et β = f(α) = b2 4ac Alors, les variations de f dépendent du signe de a et sont données par les tableau suivants : Si a > 0 Si a < 0 4a. α f() f admet pour minimum β en α = b 2a. β α β f() b f admet pour maimum β en α = 2a.

Le second degré - Équations et inéquations 7 Eemple : Reprenons l eemple précédent où f est définie, pour tout réel, par f() = 4 2 32 70. Le coefficient du terme de degré 2 est a = 4, il est positif, ce qui nous indique le sens de variation de la fonction f. De plus, la forme canonique de f trouvée précédemment est f() = 4( 4) 2 6. Ainsi, la fonction f admet pour minimum 6 en = 4. Son tableau de variation est donné par : 4 f() 6 I.4 Représentation graphique Définition I-2 : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Dans un repère orthogonal ( ; I ; J), la courbe représentative de la fonction f est appelée une parabole. n dit que cette parabole P a pour équation y = a 2 b c. n appelle sommet de la parabole le point S de celle-ci qui correspond au maimum ou au minimum de la fonction f (selon le signe de a). D après ce qui précède, ses coordonnées sont S(α; β) où α = b 2a et β = f(α). La parabole admet un ae de symétrie parallèle à l ae des ordonnées. Cet ae D a pour équation = α = b 2a et passe par le sommet S de la parabole. Si a > 0 Si a < 0 y D : = α P y β = f(α) S(α; β) P J β = f(α) I α = b 2a S(α; β) J I α = b 2a D : = α La parabole P a des branches paraboliques «tournées vers le haut». La parabole P a des branches paraboliques «tournées vers le bas». II II.1 Résolution de l équation du second degré Équation du second degré et discriminant Définition II-1 : Une équation du second degré, d inconnue, est une équation qui peut s écrire sous la forme a 2 b c = 0 où a, b et c sont trois nombres réels donnés, avec a 0. Une solution de cette équation est aussi appelée racine du trinôme a 2 b c. Notons f la fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. D après la démonstration de la propriété I-1, la forme canonique de la fonction f est donnée par f() = a( α) 2 β où α = b 2a et β = b2 4ac 4a. Le nombre b 2 4ac intervient dans la résolution de l équation du second degré, on lui donne le nom suivant :

8 II. RÉSLUTIN DE L ÉQUATIN DU SECND DEGRÉ Définition II-2 : Le nombre réel b 2 4ac, noté et qui se lit «delta», est appelé le discriminant du trinôme a 2 b c. Ainsi, pour tout nombre réel, f() = a( α) 2 4a = aä( α) 2 II.2 Résolution de l équation du second degré Remarque : Résoudre l équation du second degré f() = a 2 b c = 0, avec a 0, revient à chercher graphiquement les abscisses des points d intersection (s ils eistent) de la parabole P représentant la fonction f et de l ae des abscisses. Suivant les différentes positions de la parabole, il peut donc y avoir soit deu solutions distinctes, soit une solution unique ou soit aucune. Propriété II-1 : Le nombre de solutions d une équation du second degré a 2 b c = 0 (où a 0) dépend du signe du discriminant = b 2 4ac : Si > 0, l équation a deu solutions distinctes : 1 = b 2a 4a 2ç et 2 = b 2a Si = 0, l équation a une seule solution : 0 = b 2a et on dit que 0 est une racine double ; Si < 0, l équation n a pas de solution réelle. Démonstration : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. D après ce qui précède, l équation f() = 0 équivaut à aä( α) 2 4a 2ç=0où α = b 2a et = b 2 4ac. Si > 0, l équation devient aå( α) 2 2a 2è=0. Ainsi, à l aide d une identité remarquable, on obtient : a ( α) 2a ( α) 2a =0 qui a deu solutions distinctes : 1 = α 2a = b et 2 = α 2a 2a = b 2a Si = 0, l équation devient a( α) 2 = 0. Elle n admet qu une unique solution 0 = α = b 2a. Si < 0, le quotient 4a 2 > 0 et, pour tout nombre réel, l epression ( α)2 4a > 0. 2 Par conséquent, comme a 0, f() est le produit de deu facteurs non nuls. Ainsi, l équation n a pas de solution réelle. Remarque : Lorsque les nombres réel a et c sont de signes contraires, le discriminant est strictement positif et l équation a 2 b c = 0 a toujours deu solutions distinctes. II.3 Factorisation d un trinôme du second degré - Forme factorisée La démonstration de la propriété II-1 précédente, nous permet d obtenir le résultat suivant : Propriété II-2 : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Il est possible d obtenir une forme factorisée de la fonction f uniquement si le discriminant = b 2 4ac est positif ou nul : Si > 0, alors f() = a( 1 )( 2 ) avec 1 = b et 2 = b ; 2a 2a Si = 0, alors f() = a( 0 ) 2 avec 0 = b 2a. Dans le cas où le discriminant est strictement négatif, une telle factorisation est impossible. ;

Le second degré - Équations et inéquations 9 Eemples : Résoudre dans R l équation 6 2 1 = 0. C est une équation du type a 2 b c = 0 avec a = 6, b = 1 et c = 1. n ne sait pas la résoudre de façon évidente donc on calcule le discriminant = b 2 4ac = ( 1) 2 4 6 ( 1) = 1 24 = 25. Comme > 0, l équation 6 2 1 = 0 admet deu solutions distinctes dans R : 1 = b 2a = 1 5 12 = 1 3 et 2 = b 2a = 1 5 12 = 1 2. L ensemble des solutions est donc constitué des deu nombres 1 3 et 1 2. n écrit alors S = 1 3 ; 1 2. n a aussi la factorisation suivante : pour tout réel, 6 2 1 = 6 3 1 Résoudre dans R l équation 3 2 4 4 3 = 0. C est une équation du type a 2 b c = 0 avec a = 3, b = 4 et c = 4 3. 1 2. n calcule le discriminant = b 2 4ac = ( 4) 2 4 3 4 3 = 16 16 = 0. Comme = 0, l équation 3 2 4 4 3 = 0 admet une solution unique dans R : n écrit S = 2 3. 0 = b 2a = 4 6 = 2 3. n a alors la factorisation suivante : pour tout réel, 3 2 4 4 3 == 3 2 3 2. Résoudre dans R l équation 2 3 4 = 0. C est une équation du type a 2 b c = 0 avec a = 1, b = 3 et c = 4. n ne sait pas la résoudre de façon évidente donc on calcule le discriminant = b 2 4ac = ( 3) 2 4 1 4 = 9 16 = 7. Comme < 0, l équation 2 3 4 = 0 n admet pas de solutions dans R. n écrit S =. La factorisation de la fonction polynôme du second degré f définie par f() = 2 3 4 est impossible. Remarque : Si elle eiste, la forme factorisée d une fonction f, trinôme du second degré, est très utile pour déterminer les solutions éventuelles de l équation f() = 0, c est-à-dire les abscisses des points d intersection de la parabole P représentant la fonction f et de l ae des abscisses. La proposition précédente indique que cette factorisation est uniquement possible si le discriminant du trinôme est positif. Interprétation y graphique : P 1 y P 2 y P 3 y = 6 2 1 y = 3 2 4 4 3 J 1 1 3 2 I J 2 3 I J y = 2 3 4 I > 0 L équation a deu solutions. = 0 L équation a une solution unique. < 0 L équation n a pas de solution.

10 III. SIGNE DU TRINÔME DU SECND DEGRÉ III Signe du trinôme du second degré Remarque : Chercher le signe du trinôme a 2 bc, avec a 0, revient graphiquement à chercher la position de la parabole P, d équation y = a 2 b c, par rapport à l ae des abscisses. III.1 Signe de a 2 b c avec a 0 Propriété III-1 : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. = b 2 4ac est le discriminant du trinôme f. Si > 0, alors le trinôme f() = a 2 b c s annule en deu valeurs distinctes 1 et 2. n suppose que 1 < 2. Alors, f() est du signe opposé à celui de a si et seulement si est compris entre les racines 1 et 2 (c est-à-dire pour ] 1 ; 2 [). Par conséquent, f() est du signe de a si et seulement si ] ; 1 [ ] 2 ; [. Si = 0, alors le trinôme f() = a 2 b c s annule en une seule valeur 0 = b et il a 2a le même signe que a pour tous les nombres réels. Si < 0, alors le trinôme f() = a 2 b c a le même signe que a pour tous les nombres réels. Remarque : n peut retenir cette propriété en disant que a 2 b c est toujours du signe de a sauf entre les deu racines lorsqu il y en a (c est-à-dire lorsque > 0). Démonstration : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Si > 0 alors f() = a( 1 )( 2 ), d après la propriété II-2. Supposons 1 < 2. n construit donc le tableau de signes suivant : 1 2 ( 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 )( 2 ) 0 0 a( 1 )( 2 ) signe de a 0 opposé du signe de a 0 signe de a n a donc établi le résultat suivant : f() est du signe opposé à celui de a si et seulement si ] 1 ; 2 [. Par conséquent, f() est du signe de a si et seulement si ] ; 1 [ ] 2 ; [. Si = 0 alors f() = a( 0 ) 2 avec 0 = b, d après la propriété II-2. 2a Le carré ( 0 ) 2 est strictement positif pour tout 0 et il s annule en = 0. Ainsi, f() s annule en une seule valeur 0 = b et f() a le même signe que a pour tous les 2a nombres réels. Si < 0, la factorisation de f() n est pas possible. Utilisons donc la forme canonique du trinôme f vue dans le paragraphe II. n a donc, pour tout réel, f() = a ( α) 2 4a 2. Comme l epression entre crochets est strictement positive, on en déduit que f() a le même signe que a pour tous les nombres réels.

Le second degré - Équations et inéquations 11 Eemples : Dresser le tableau de signes de la fonction f définie sur R par f() = 6 2 1. f est une fonction polynôme du second degré dont l étude du signe n est pas immédiate. n a déjà résolu l équation f() = 0 à la page 9 et on a montré que le trinôme f() admettait deu racines distinctes : 1 3 et 1 2. La forme factorisée du trinôme f est donc f() = 6( 1 3 )( 1 2 ). Ainsi, comme 6 est strictement positif, le tableau de signes de la fonction f est le suivant : 1 1 3 2 f() 0 0 Graphiquement, ceci illustre que la parabole P 1, représentant la fonction f, est située au-dessus de l ae des abscisses pour les points ayant une abscisse strictement inférieure à 1 3 ou strictement supérieure à 1 2. Aussi, pour les points dont l abscisse est strictement comprise entre 1 3 et 1 2, la parabole P 1 est située en-dessous de l ae des abscisses. Dresser le tableau de signes de la fonction g définie sur R par g() = 3 2 4 4 3. Nous avons vu à la page 9, que le trinôme g() admettait une seule racine 2 3. Ainsi, sa forme factorisée est g() = 3( 2 3 )2. Par conséquent, le nombre 3 étant positif, le tableau de signes de la fonction g est : 2 3 g() 0 Graphiquement, ceci signifie que la parabole P 2, représentant la fonction g, est située au-dessus de l ae des abscisses, sauf pour le point d abscisse 2 3 qui appartient à cet ae. Dresser le tableau de signes de la fonction h définie sur R par h() = 2 3 4. Cette fonction trinôme admet un discriminant strictement négatif. En effet, le calcul effectué à la page 9 donne = 7. Ainsi elle n admet pas de racine et sa factorisation est impossible. Comme le coefficient du terme de degré 2 est égal à 1, on peut affirmer que le tableau de signes de la fonction h est : h() Graphiquement, ceci signifie que la parabole P 3, représentant la fonction h, est toujours située au-dessus de l ae des abscisses. III.2 Application à la résolution des inéquations du second degré Définition III-1 : Soient a, b et c trois nombres réels avec a 0. Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation qui peut s écrire sous l une des forme suivantes : soit a 2 b c > 0 ; soit a 2 b c 0 ; soit a 2 b c < 0 ; ou soit a 2 b c 0. Pour résoudre une telle inéquation, on étudie le signe du trinôme a 2 b c comme décrit précédemment afin de pouvoir décrire l ensemble des solutions S, c est-à-dire l ensemble des valeurs de pour lesquelles l inégalité est vraie.

12 IV. TABLEAU RÉCAPITULATIF IV Eemple : Résoudre dans R l inéquation 6 2 1 0. D après le tableau de signes établi précédemment, on obtient S =] ; 1 3 ] [ 1 2 ; [ Tableau récapitulatif Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f() = a 2 b c, avec a 0. = b 2 4ac est le discriminant du trinôme f(). Le tableau suivant présente les différentes situations possibles, suivant les valeurs des réels a et : Solutions de l équation f() = 0 : > 0 = 0 < 0 Deu solutions distinctes S = { 1 ; 2 } avec 1 = b 2a et 2 = b 2a. Une solution unique S = { 0 } avec 0 = b 2a. Pas de solution S =. Forme factorisée de f() : f() = a( 1 )( 2 ). f() = a( 0 ) 2. y y P P La factorisation est impossible. y P a > 0 Parabole : J J S 1 I 2 I 0 = b 2a J I S S = b 2a = b 2a = b 2a a < 0 Signe de f() : Parabole : 1 2 f() 0 0 y = b S 2a 0 f() 0 J J I 0 = b 2a 2 I 1 S y = b 2a f() y J I S = b 2a P P P Signe de f() : 2 1 f() 0 0 0 f() 0 f()

V Eercices Le second degré - Équations et inéquations 13 Eercice 1 : Résoudre une équation du second degré Résoudre dans R les équations suivantes : 1) 3 2 = π; 2) 2 3 = 0; 3) 27 2 5 = 0. Eercice 2 : Construire la courbe représentative d une fonction connue Soit f la fonction définie sur R par f() = 2 2 10 7. Construire la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (; I; J). Eercice 3 : Fonctions trinômes et représentations graphiques n a représenté ci-dessous, dans des repères orthogonau, trois courbes C 1, C 2 et C 3 dont les équations respectives sont les suivantes : C 1 : y = ( 2) 2 3; C 2 : y = 1 2 2 2 1; C 3 : y = 4( 1)( 2). y y y Figure a Figue b Figure c 1) Associer chaque courbe à la figure correspondante, en justifiant le raisonnement. 2) Pour chaque graphique, retrouver les graduations du repère en détaillant la démarche. Eercice 4 : Vers la forme canonique du trinôme - Algorithme de Al-Khwarizmi Au début du IX e siècle, le mathématicien perse Muhammad Ibn Musa, surnommé Al-Khwarizmi, propose différents algorithmes de résolution d équations de degré 1 ou 2. Ainsi, il a posé et résolu géométriquement le problème suivant : «Déterminer un nombre tel que le carré et di racines égales trente-neuf unités.» n peut traduire cet énoncé avec notre notation symbolique actuelle de la façon suivante : Résoudre l équation 2 10 = 39. (E1) Pour la résoudre, voici la méthode qu il propose : Étape 1 : n suppose que est positif et on construit un carré de côté de longueur égale à. Étape 2 : n borde ce carré de deu rectangles dont l aire est égale à 10 2 autre dimension.. n obtient ainsi 5 comme Étape 3 : n complète alors la figure pour obtenir un grand carré. 5 2 2 5 2 5 5 5 5 25 Étape 1 Étape 2 Étape 3

14 V. EXERCICES 1) a) En eprimant l aire de ce grand carré de deu façons différentes, démontrer que 2 10 = ( 5) 2 25. b) En déduire que l équation (E1) proposée est équivalente à ( 5) 2 = 64. c) Déterminer alors la solution positive de l équation (E1). d) Al-Khwarizmi ne parle pas de l autre solution de cette équation car, pour lui, 64 n a qu une racine carrée : c est 8. Déterminer l autre solution de l équation (E1). 2) Utiliser la méthode de Al-Khwarizmi, eposée précédemment, pour résoudre dans R les équations suivantes : a) 2 12 = 45 ; b) 2 4 32 = 0. 3) Dans ce qui précède, on dit que ( 5) 2 64 est la forme canonique de 2 10 39. Déterminer la forme canonique de chacune des fonctions suivantes : a) f() = 2 12 85; b) g() = 2 8 84; c) h() = 2 14 45. Eercice 5 : Déterminer le sens de variations d une fonction trinôme Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes, définies sur R, en détaillant le raisonnement : 1) f() = 2 2 5 ; 2) g() = 5 2 9 4 ; 3) h() = 3 2 1. Eercice 6 : Démontrer qu une fonction trinôme admet un etremum Soi f la fonction trinôme du second degré définie sur R par f() = 2 2 4 3. Démontrer qu elle admet pour maimum 1 en = 1. Eercice 7 : Utiliser la forme la plus adaptée d une fonction connue Soit f la fonction définie sur R par f() = ( 3) 2 (3 2) 2. 1) a) Déterminer la forme développée et réduite de f(). b) Déterminer une forme factorisée de f(). c) Déterminer la forme canonique de f(). 2) Choisir la forme la plus adaptée de f() pour répondre au questions suivantes : a) Calculer f(0),f( 5 4 ) et f(3 8 ). Déterminer l image de 1 2 par la fonction f. b) Établir le tableau de variations de la fonction f. c) Résoudre l équation f() = 0. d) Déterminer les antécédents éventuels du nombre 5 par la fonction f. e) Établir le tableau de signe de la fonction f.

Eercice 8 : Un problème d aire maimale Le second degré - Équations et inéquations 15 n considère un rectangle ABCD dont les dimensions sont AB = 8 et AD = 10. À l intérieur de celui-ci, on construit le carré AMNP où M est le point du segment [AB] et P le point du segment [AD]. n construit enfin les rectangles hachurés MNRB et NQDP où R est le point du segment [BC] et P est le point du segment [AD]. Déterminer la (ou les) position(s) du point M pour laquelle (lesquelles) la somme des aires des rectangles hachurés est maimale. A P D M N Q N B R C Eercice 9 : Résoudre une équation du second degré sans calcul du discriminant Résoudre dans R les équations suivantes : 1) 2 2 3 = 0 ; 2) 4 2 12 9 = 0 ; 3) 2 5 6 = 0 ; 4) 2 2 3 3 = 0 ; 5) 2 2 3 = 0 ; 6) 2 9 = 0. Eercice 10 : Résoudre une équation du second degré avec calcul du discriminant Résoudre dans R les équations suivantes : 1) 2 3 27 4 = 0 ; 2) 2 3 9 4 = 0 ; 3) 32 11 1 = 0 ; 4) 2 2 1 = 0 ; 5) 2 1 = 0 ; 6) 1 2 2 1 2 = 0. Eercice 11 : Problème numérique La somme d un nombre réel et de son inverse est égale à 58. Déterminer les valeurs de ces deu nombres. 21 Eercice 12 : Intersections de paraboles n a tracé ci-dessous, dans un repère orthogonal, les deu paraboles P 1 et P 2 d équations respectives y = 36 2 3 4 et y = 12 2 4 1. y P 2 A B 1 0, 5 P 1 n note A et B leurs points d intersection. Déterminer les valeurs eactes de leurs coordonnées.

16 V. EXERCICES Eercice 13 : Factoriser un trinôme du second degré Déterminer, lorsque cela est possible, une forme factorisée des fonctions trinômes du second degré suivantes : 1) f() = 3 2 11 4; 2) g() = 8 2 4 3 1 18 ; 3) h() = 72 9 5. Eercice 14 : Énigme Lors d une conférence, chaque participant échange une poignée de mains avec toutes les autres personnes présentes. Finalement, on a noté qu il y avait eu 5151 poignées de mains échangées lors de ce rassemblement. Déterminer le nombre de personnes ayant assisté à cette conférence. Eercice 15 : Dresser le tableau de signes de fonctions connues Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes, définies sur R, en justifiant : 1) f() = 2 2 5 7 ; 2) g() = 2 6 9 ; 3) h() = 2 π ; 4) k() = 2 3 2. Eercice 16 : Résoudre une inéquation du second degré Résoudre dans R les inéquations suivantes puis vérifier graphiquement à l aide de la calculatrice ou de l ordinateur : 1) 2 3 6 < 0; 2) 2 2 3 2 5( 1); 3) 2 3 2 < 1 2. Eercice 17 : Algorithme et mise en œuvre sur la calculatrice 1) À l aide du logiciel Algobo, écrire un algorithme qui : a) affiche le message : «n souhaite résoudre l équation a 2 b c = 0, avec a 0.» b) lit les valeurs de a, b et c. c) calcule et affiche la valeur du discriminant. d) affiche le nombre de solutions (s il y en a) et les valeurs de celles-ci. 2) a) Saisir l algorithme précédent sur la calculatrice en le traduisant avec la syntae adaptée au modèle. b) Tester le programme précédent avec les équations suivantes : i) 2 6 = 0 ; ii) 16 2 8 13 = 0 iii) 2 2 10 25 2 = 0. c) Tester le programme précédent avec les équations suivantes : i) 6 2 1 = 0 ; ii) 49 2 14 1 = 0 iii) 2 3 2 = 0. Quel inconvénient constate-t-on? La résolution de ces équations avec le logiciel Algobo permet-elle d améliorer les résultats? Connaissez-vous une commande de la calculatrice pour améliorer la résolution de la première équation? Si oui, modifiez le programme en conséquence. Cette instruction donne-t-elle satisfaction pour les deu dernières équations? Epliquez pourquoi? À quoi cela est-il lié? Déterminer, lorsqu elles eistent, les solutions eactes des trois équations précédentes avec le logiciel Xcas. Pourquoi obtient-on les valeurs eactes avec ce logiciel? d) Tester le programme avec les valeurs a = 0, b = 2 et c = 1. Que constate-t-on? Modifier l algorithme puis le programme afin d envisager le cas où le coefficient du terme de degré 2 est nul.

Le second degré - Équations et inéquations 17 e) Tester le programme en résolvant l équation 2 (10 16 1) 10 16 = 0. Les solutions données par la calculatrice sont-elles correctes? Si non, déterminer algébriquement les solutions de l équation et epliquer le phénomène observé. Essayer de résoudre cette même équation avec le logiciel Xcas. Les solutions données par celui-ci sont-elles eactes? Quelle conclusion en tirer? Eercice 18 : Inventer des inéquations du second degré 1) Proposer une inéquation du second degré dont l ensemble des solutions est égal à ] 2; 4[. 2) Proposer une inéquation du second degré ayant pour ensemble de solutions la réunion des intervalles ] ; 3] et [2; [. Eercice 19 : Déterminer une équation d une parabole Dans les deu cas suivants, on donne la parabole représentant une fonction trinôme du second degré f dans un repère orthogonal du plan. Déterminer une équation de la parabole P en justifiant la démarche. y y J I 3 5 P 5 J 3 I 7, 5 1 e cas 2 e cas Eercice 20 : Résolutions graphiques et algébriques d inéquations du second degré n considère les deu fonctions polynômes du second degré f et g définies sur R par : f() = 2 2 3 et g() = 2 2 3. n représente ci-dessous leurs courbes dans un repère orthonormé : y P C f -1,5 J I C g 1) Résoudre, à l aide d une lecture graphique, chacune des inéquations suivantes : a) f() 0 ; b) g() < 0 ; c) f() g(). 2) Retrouver les ensembles de solutions précédents par le calcul.

CHAPITRE 2 GÉMÉTRIE PLANE I Dans l ensemble de ce chapitre, le plan est muni d un repère (; I; J). Colinéarité de deu vecteurs René Descartes 1 1596-1650 Définition I-1 : Deu vecteurs non nuls #» u et #» v sont dits colinéaires lorsqu ils ont la même direction. Autrement dit, deu vecteurs non nuls AB #» et CD #» sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles. C #» v D #» u A B Remarque : Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan. Propriété I-1 : Applications de la définition Soient A, B, C et D quatre points deu à deu distincts du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs #» AB et #» CD sont colinéaires. D C A B Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs #» AB et #» AC sont colinéaires. A B C 1. René Descartes est un mathématicien, physicien et philosophe français. Il introduit la géométrie analytique en remarquant que tout point du plan est déterminé par ses distances algébriques au aes de coordonnées. Il est à l origine de la notion d équation d une courbe, relation qui lie les coordonnées des points de celle-ci. Il rationalise également l utilisation des lettres en mathématiques : il choisit celles du début de l alphabet pour les quantités connues et celles de la fin de l alphabet pour les inconnues.

Géométrie plane 19 Il est incorrect de dire que deu vecteurs sont «parallèles». n dit que deu vecteurs ont la même direction ou qu ils sont colinéaires. Le mot «parallèle» est réservé pour caractériser la position de deu droites ou de deu segments mais il n est pas utilisé pour les vecteurs. Propriété I-2 : Deu vecteurs non nuls #» u et #» v sont colinéaires si et seulement si il eiste un nombre réel k non nul tel que #» v = k #» u. Remarque : Dans l égalité #» v = k #» u, le réel k s appelle le coefficient de colinéarité. Eemple : Les vecteurs #» u( 5; 3) et #» v (15; 9) sont colinéaires car #» v = 3 #» u. Propriété I-3 : Condition de colinéarité de deu vecteurs Les vecteurs #» u(; y) et #» v ( ; y ) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Autrement dit, les vecteurs #» u(; y) et #» v ( ; y ) sont colinéaires si et seulement si y y = 0. Eemples : Les vecteurs #» u(2; 5) et #» v ( 8; 20) sont colinéaires. En effet, le tableau de proportionnalité car (2 20) ( 5) ( 8) = 0. 2 8 5 20 Les vecteurs #» u( 3; 4) et #» v (5; 2) ne sont pas colinéaires. En effet, le tableau 3 5 4 2 un tableau de proportionnalité car ( 3) 2 (4 5) = 26 et 26 0. est un tableau n est pas Démonstration : Démontrons que les vecteurs #» u(; y) et #» v ( ; y ) sont colinéaires si et seulement si y y = 0. Dans le cas où #» u (ou #» v ) est le vecteur nul, le résultat est immédiat. Supposons donc que les vecteurs #» u et #» v sont tous les deu non nuls. Les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires : si et seulement si il eiste un nombre réel k non nul tel que #» v = k #» u ; si et seulement si il eiste un nombre k non nul tel que = k et y = ky ; si et seulement si les coordonnées (; y) de #» u et ( ; y ) de #» v sont proportionnelles ; si et seulement si le tableau y y est un tableau de proportionnalité ; si et seulement si les «produits en croi» y et y sont égau ; si et seulement si y y = 0. II II.1 Équations d une droite Vecteur directeur d une droite Définition II-1 : Soit D une droite du plan. n appelle vecteur directeur de la droite D tout vecteur non nul #» u ayant la même direction que la droite D. #» u D

20 II. ÉQUATINS D UNE DRITE Remarques : Pour une droite D donnée, il eiste une infinité de vecteurs directeurs. Le choi de deu points distincts A et B sur la droite D définit un vecteur directeur de cette droite : le vecteur AB. #» B A D #» AB Tout vecteur non nul colinéaire au vecteur AB #» est aussi un vecteur directeur de la droite D. 2 #» AB B A #» AB D #» AB Ainsi, les vecteurs #» AB ou 2 #» AB tracés ci-dessus sont aussi des vecteurs directeurs de la droite D. n peut ainsi définir une droite D par la donnée d un point et d un vecteur directeur. En effet, toute droite passant par un point A fié et ayant la même direction que celle d un vecteur #» u non nul donné est l ensemble des points M du plan tels que les vecteurs AM #» et #» u aient la même direction. n a donc la définition suivante : Définition II-2 : Soient A un point et #» u un vecteur non nul. L ensemble des points M du plan tels que les vecteurs AM #» et #» u sont colinéaires est la droite D passant par le point A et dont #» u est un vecteur directeur. A #» u M D Propriété II-1 : Soient D et D deu droites de vecteurs directeurs respectifs #» u et #» v. Les droites D et D sont parallèles si et seulement si les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires. Propriété II-2 : Soit D la droite d équation réduite y = m p où m et p sont deu nombres réels. Alors #» u(1; m) est un vecteur directeur de D. y D : y = m p #» u m J p I 1

Géométrie plane 21 Démonstration : Soit D la droite d équation réduite y = m p. Les points A(0; p) et B(1; m p) sont deu points distincts appartenant à cette droite. Donc le vecteur #» u = AB #» est un vecteur directeur de cette même droite r, les coordonnées de AB #» sont (1 0; m p p). Ainsi #» u(1; m) est un vecteur directeur de D. II.2 Équations cartésiennes d une droite Propriété II-3 : Toute droite D du plan admet une équation de la forme a by c = 0 où a, b et c sont trois nombres réels avec a et b non nuls simultanément. Le vecteur #» u( b; a) est un vecteur directeur de cette droite D. Démonstration : Soit D une droite du plan. Comme nous l avons vu à la définition II-2, cette droite D peut être définie par la donnée d un de ses points A( 0 ; y 0 ) et d un vecteur directeur #» u(α; β). Ainsi, un point M(; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM #» et #» u sont colinéaires. r, AM( #» 0 ; y y 0 ) et #» u(α; β). Donc, d après la condition de colinéarité, M(; y) D si et seulement si β( 0 ) α(y y 0 ) = 0. En développant, on obtient : M(; y) D si et seulement si β αy β 0 αy 0 = 0. Cette équation peut aussi s écrire a by c = 0, en posant a = β, b = α et c = β 0 αy 0 n remarque que les réels a et b ne peuvent pas être nuls simultanément puisque le vecteur directeur #» u de D n est pas le vecteur nul. De plus, comme α = b et β = a, le vecteur #» u( b; a) est un vecteur directeur de D. Propriété II-4 : Réciproque Soient a, b et c trois nombres réels avec a et b non nuls simultanément. L ensemble des points M(; y) du plan dont les coordonnées vérifient la relation a by c = 0 est une droite de vecteur directeur #» u( b; a). Démonstration : Soient a, b et c trois nombres réels avec (a; b) (0; 0). Notons E l ensemble des points M(; y) du plan dont les coordonnées vérifient l équation a by c = 0. Cette équation peut aussi s écrire sous la forme by = a c. Démontrons que l ensemble E contient au moins un point A( 0 ; y 0 ) que l on va préciser. avec 0 un nombre réel quelconque. Si b 0 alors on peut choisir A 0 ; a 0 c b Si b = 0 alors, comme a 0, on peut choisir A c a ; y 0 avec y 0 un nombre réel quelconque. Dans tous les cas, il eiste bien un point A( 0 ; y 0 ) appartenant à l ensemble E, dont les coordonnées vérifient a 0 by 0 c = 0. Ainsi, M(; y) E si et seulement si a by c = 0. M(; y) E si et seulement si a by c = a 0 by 0 c. M(; y) E si et seulement si a( 0 ) b(y y 0 ) = 0. r le vecteur AM #» a pour coordonnées ( 0 ; y y 0 ). Donc M(; y) E si et seulement si AM( #» 0 ; y y 0 ) et #» u( b; a) sont colinéaires. D après la définition II-2, E est la droite passant par le point A( 0 ; y 0 ) et ayant pour vecteur directeur le vecteur #» u( b; a).

22 II. ÉQUATINS D UNE DRITE Eemple : Soit E l ensemble des points M(; y) du plan dont les coordonnées vérifient la relation 2 4y 5 = 0. E est une droite de vecteur directeur #» u( 4; 2). Les vecteurs #» v (4; 2) et w(2; #» 1) sont aussi des vecteurs directeurs de la droite E puisqu ils sont colinéaires au vecteur #» u. En effet, #» v = #» u et w #» = 1 #» u. 2 II.3 Définition II-3 : Soient a, b et c trois nombres réels tels que (a; b) (0; 0). Une équation d une droite D du plan de la forme a by c = 0 est appelée une équation cartésienne de la droite D. Remarque : Une droite admet une infinité d équations cartésiennes. En effet, considérons la droite E précédente dont une équation cartésienne est 2 4y 5 = 0. Elle admet aussi pour équation cartésienne 2y 2, 5 = 0. En fait, toute équation obtenue en multipliant une équation cartésienne d une droite par un nombre réel non nul constitue une autre équation cartésienne de cette même droite. Équations cartésiennes et équations réduites La notion d équation cartésienne d une droite vue en Première permet de regrouper en une seule les deu types d équations de droites vues en Seconde : les droites non parallèles à l ae des ordonnées ayant une équation réduite de la forme y = mp ; les droites parallèles à l ae des ordonnées ayant une équation de la forme = k. n eamine les liens entre ces deu notions dans le tableau suivant : Équation cartésienne Équation réduite (vue en Seconde) Représentation graphique Cas où b = 0 et a 0 a 0 c = 0 donc = c a = constante y J I = k Droite parallèle à l ae des ordonnées Ne représente pas une fonction Cas où a = 0 et b 0 0 by c = 0 donc y = c b y = constante y J I y = k Droite parallèle à l ae des abscisses Cas où a 0 et Cas où a 0 et b 0 et c = 0 b 0 et c 0 a by c = 0 a by 0 = 0 donc y = a b donc y = m, m est le coefficient directeur. y J I y = m Droite passant par l origine et non parallèle au aes y = a b c b y = m p, m est le coefficient directeur et p est l ordonnée à l origine. y J y = m p I Autre type de droite Représentations graphiques d une fonction affine

II.4 Géométrie plane 23 Équations cartésiennes et parallélisme Propriété II-5 : Soient D et D deu droites d équations cartésiennes respectives abyc = 0 et a b yc = 0 avec (a; b) (0; 0) et (a ; b ) (0; 0). Les droites D et D sont parallèles si et seulement si ab a b = 0. Démonstration : D après la propriété II-3, un vecteur directeur de D est #» u( b; a) et un vecteur directeur de D est #» u ( b ; a ). Ainsi D et D sont parallèles si et seulement si #» u et u #» sont colinéaires. D et D sont parallèles si et seulement si ba a( b ) = 0. Donc D et D sont parallèles si et seulement si ab a b = 0. Remarque : Lorsque les droites D et D ont pour équations réduites respectives y = m p et y = m p, la condition de parallélisme de ces deu droites se simplifie en l égalité de leurs coefficients directeurs (m = m ). III Décomposition d un vecteur Propriété III-1 : Soient A, B et C trois points non alignés du plan. Pour tout point M du plan, il eiste un unique couple de nombres réels (; y) tels que #» AM = AB #» y AC. #» n dit que (A; AB; #» AC) #» constitue un repère du plan et que (; y) est le couple de coordonnées du point M (ou aussi du vecteur AM) #» dans ce repère. Eemple : C I G B A Soit ABC un triangle non aplati où I désigne le milieu du segment [BC] et G le centre de gravité de ce triangle. Comme les points A, B et C ne sont pas alignés, (A; AB; #» AC) #» constitue un repère du plan. n va établir les égalités suivantes : AI #» = 1 #» AB 1 #» AC et AG #» = 1 #» AB 1 #» AC. 2 2 3 3 Autrement dit, les coordonnées des points I et G dans le repère (A; AB; #» AC) #» sont : I 1 2 ; 1 2 et G 1 3 ; 1 3. En effet, à l aide de la relation de Chasles, on a : AB #» AC #» = AI #» IB #» AI #» IC #» = 2 AI #» IB #» IC. #» r, I est le milieu du segment [BC] donc IB #» IC #» = #» 0. Ainsi AB #» AC #» = 2 AI #» et, par conséquent, AI #» = 1 #» AB 1 #» AC. 2 2 Dans le repère (A; AB; #» AC), #» les coordonnées du point I sont donc I 1 2 ; 1 2.

24 III. DÉCMPSITIN D UN VECTEUR En outre, on sait que le centre de gravité G d un triangle (point d intersection des médianes) est situé au deu tiers des médianes en partant de chaque sommet. Autrement dit, on a AG #» = 2 #» AI. 3 Par suite, par ce qui précède, AG #» = 3 1 2 #» AB 1 #» AC = 1 #» AB 1 #» AC. 2 2 3 3 Dans le repère (A; AB; #» AC), #» les coordonnées du point G sont donc G 1 3 ; 1 3. Démonstration : Eistence de la décomposition : Q M C A B P Soient A, B et C trois points non alignés du plan. Soit M un point quelconque du plan. Notons P le point d intersection de la parallèle à la droite (AC) passant par le point M et de la droite (AB). n note aussi Q le point d intersection de la parallèle à la droite (AB) passant par le point M et de la droite (AC). Ainsi APMQ est un parallélogramme donc, d après la règle du parallélogramme, AM #» = AP #» AQ. #» Les points A, B et P sont alignés donc les vecteurs AB #» et AP #» sont colinéaires. Ainsi, il eiste un nombre réel tel que AP #» = AB. #» De même, les vecteurs AC #» et AQ #» sont colinéaires. Ainsi, il eiste un nombre réel y tel que #» AQ = y AC. #» Par conséquent, AM #» = AP #» AQ #» = AB #» y AC. #» Donc, il eiste un couple de nombres réels (; y) tels que AM #» = AB #» y AC. #» Unicité de la décomposition : Supposons qu il eiste deu couples (; y) et ( ; y ) tels que AM #» = AB #» y AC #» = AB #» y AC. #» Alors, AB #» AB #» = y AC #» y AC, #» c est-à-dire ( ) AB #» = (y y) AC. #» r les points A, B et C ne sont pas alignés donc les vecteurs AB #» et AC #» ne sont pas colinéaires. La seule possibilité est donc que = 0 et y y = 0. Donc = et y = y, ce qui prouve l unicité de la décomposition. Propriété III-2 : Soient #» u et #» v deu vecteurs non colinéaires du plan. Pour tout vecteur #» w, il eiste un unique couple de nombres réels (; y) tels que #» w = #» u y #» v. Le couple (; y) est appelé le couple de coordonnées du vecteur #» w dans la base ( #» u; #» v ). Démonstration : Soit A un point du plan et les points B, C et M tels que AB #» = #» u, AC #» = #» v et AM #» = w. #» n applique alors la propriété III-1 à ces quatre points et on admet que le couple (; y) ne dépend pas du point A choisi.

IV Eercices Eercice 1 : Reconnaître des vecteurs colinéaires Le plan est muni d un repère (; I; J). Géométrie plane 25 Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires. Dans l affirmative, préciser le nombre réel k tel que #» v = k #» u : 1) #» u 2 33 ; 7 22 et #» v 10 7 ; 15 4 ; 2) #» u(5 6; 75) et #» v (2; 2) ; 3) #» u(3 22 ; 1 3 25 ) et #» v (3 71 ; 9 12 ). Eercice 2 : Savoir utiliser la colinéarité Dans un repère (; I; J) du plan, on considère les points suivants : A(10; 40), B(50; 45), C(55; 46), D( 25; 36) et E( 10; a) où a est un nombre réel. 1) Déterminer si les points A, B et C sont alignés. Justifier la réponse. 2) Déterminer si le quadrilatère ABCD est un trapèze. Justifier la réponse. 3) Calculer les coordonnées du point E tel que ABCE soit un trapèze. Eercice 3 : Démontrer l alignement de points ABC désigne un triangle. 1) Construire le point D tel que AD #» = 3 AB #» 2 AC. #» 2) Eprimer le vecteurs BC #» en fonction des vecteurs AB #» et AC. #» 3) Eprimer le vecteur BD #» en fonction des vecteurs AB #» et AC. #» 4) En déduire l alignement des points B, C et D. Eercice 4 : Démontrer la nature d un quadrilatère ABC désigne un triangle. 1) Construire le point M tel que AM #» = 1 #» AB 5 #» AC. 2 2 2) Construire le point N tel que AN #» = 2 AB #» AC. #» 3) Eprimer le vecteurs MN #» en fonction des vecteurs AB #» et AC. #» 4) En déduire la nature du quadrilatère BCMN. Eercice 5 : Vecteur directeur et alignement Le plan est muni d un repère (; I; J). n considère les points A(4; 0), B(2; 3), C(2; 1) et E 3; 7 2. Soit #» u le vecteur dont les coordonnées sont #» u(3; 5). 1) a) Tracer la droite (AC). b) Tracer la droite D passant par le point B et ayant #» u comme vecteur directeur. 2) Déterminer si le point E appartient à la droite (AC). Justifier la réponse. 3) Démontrer que le point A n appartient pas à la droite D.

26 IV. EXERCICES Eercice 6 : Vecteurs directeurs d une droite Le plan est muni d un repère (; I; J). 1) a) Tracer la droite D passant par le point A(0; 4) et de vecteur directeur #» u(1; 2). b) Déterminer l équation réduite de la droite D. 2) Dans chacun des cas suivants, déterminer le coefficient directeur d une droite dont un vecteur directeur est le vecteur #» v dont les coordonnées sont : a) #» v ( 2; 4) ; b) #» v (3; 7) ; c) #» v 1 4 ; 2. 3) La droite D a pour équation y = 5 6 1. a) Préciser un vecteur directeur de la droite D. b) En déduire un vecteur directeur de la droite D dont les coordonnées sont des nombres entiers. c) Tracer la droite D. Eercice 7 : Déterminer une équation cartésienne d une droite Le plan est muni d un repère (; I; J). n considère les points A( 1; 1), B(2; 3), C(3; 5), E( 2; 0, 3) et F 3 2 5 ; 2. 2 Soit #» u le vecteur défini par #» u(3; 2). 1) a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D 1 passant par le point A et ayant le vecteur #» u comme vecteur directeur. b) Déterminer si les points E et F appartiennent à la droite D 1. Justifier la réponse. 2) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC). 3) Déterminer une équation cartésienne de la droite D 2 parallèle à l ae des ordonnées et passant par le point E. Eercice 8 : Tracer une droite dont on connaît une équation cartésienne Le plan est muni d un repère (; I; J). 1) n considère la droite D 1 dont une équation cartésienne est 3 2y 6 = 0. a) Déterminer un vecteur directeur #» u de cette droite. b) Tracer la droite D 1 en justifiant. 2) Construire la droite D 2 dont une équation cartésienne est 2 5 = 0. Justifier la construction. 3) Déterminer les coordonnées du point D, point d intersection des droites D 1 et D 2, après avoir justifié son eistence. Eercice 9 : Droites et parallélisme Le plan est muni d un repère (; I; J). n considère la droite D 1 dont une équation cartésienne est 3 y 12 = 0. Soit A le point défini par A(5; 1). D 2 est la droite dont l équation réduite est y = 3 14. 1) Déterminer une équation cartésienne de la droite D 3 passant par le point A et parallèle à la droite D 1. 2) Déterminer si les droites D 3 et D 2 sont parallèles en justifiant le raisonnement. Eercice 10 : Reconnaître des droites parallèles ou sécantes Dans le plan rapporté à un repère (; I; J), on considère trois droites dont des équations cartésiennes sont les suivantes : D 1 : 2 5 2 y 3 = 0; D 2 : 4 5y 6 = 0; D 3 : 5 2y 3 = 0. Déterminer la position relative de ces trois droites en justifiant les réponses.