Mathématiques Première S Rédaction : Philippe Bardy Sébastien Cario Isabelle Tenaud Coordination : Jean-Michel Le Laouénan Ce cours est la propriété du Cned Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits Cned-0
Sommaire Corrigé séquence Corrigé séquence Devoir autocorrectif A Corrigé autocorrectif A Corrigé séquence Corrigé séquence 4 Devoir autocorrectif B Corrigé autocorrectif B Sommaire général MA
Sommaire Corrigé séquence 5 Corrigé séquence 6 Devoir autocorrectif C Corrigé autocorrectif C Corrigé séquence 7 Corrigé séquence 8 Devoir autocorrectif D Corrigé autocorrectif D Sommaire général MA
Corrigé de la séquence Partie : Deux nouvelles fonctions Chapitre : La fonction racine carrée Corrigé des activités du chapitre Activité Trouver un carré 4 Conjecture a) Figure P c Q Trace point Q B 0 O A 0 N 4 5 6 7 8 M D 4 P Q c B 0,5 0 N M b) On peut conjecturer que OMQP est un carré si et seulement si M = A ou M = 0 0,5 0 0,5 0,5 D Corrigé séquence MA 5
Étude On note x l abscisse de M Donc : M(x ; 0) x x x x N est le milieu de [BM] donc : x B+ M N = = + = y y y B+ M 0 N = = + 0 x = 0 D où : N ; 0 Notons (0 ; b) les coordonnées de P Le point P appartient au cercle de centre N passant par B donc : NP = NB soit x 0 0 + = x b + soit + = + x x b Ainsi : b x x x x = + + = x + x + x x + 4x = = = x 4 4 4 et 6 Corrigé Séquence MA Comme, P a une ordonnée positive, on a : b 0 et donc : b = x On a donc : P( 0 ; x ) OMQP est un parallélogramme (c est un rectangle!) donc : OM = PQ ce qui se traduit par : On a donc : x 0 = x x M Q P y 0 = y y y x M Q P Q Q = = x x Ainsi Ainsi : Q ( x ; x ) x = xq 0 = yq L ensemble C des points Q lorsque x décrit 0 ; +, c est-à-dire l ensemble des points de coordonnées ( x ; x) est la courbe représentative de la fonction f définie sur 0 ; + par : f (x) = x OMQP est un carré si et seulement si OM = OP (un rectangle est un carré si et seulement si deux côtés consécutifs sont égaux) si et seulement si x = si et seulement si x x x ( ) = ( ) = ( ) si et seulement si x x x ( x 0 ) si et seulement si x x = 0 ( x 0 ) si et seulement si x = 0 ou x = 0 si et seulement si x = 0 ou x = si et seulement si x = 0 ou x = 0
P Q J B O N A M Ainsi, OMQP est un carré si et seulement si Q appartient à la droite d équation y = x Comme Q décrit la courbe représentative de la fonction racine carrée, le problème revenait à trouver l intersection de cette courbe et de la droite d équation y = x Activité Courbes symétriques Soient x et y deux réels On note M le point de coordonnées ( x ; y ) et N le point de coordonnées ( y ; x) x + y y + x a) Le milieu I de [MN] a pour coordonnées ; soit x + y x + y ; L abscisse et l ordonnée du point I sont égaux, ce point appartient donc bien à la droite d équation y = x ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) = + = + b) On a : OM= xm xo ym yo x y et ON= xn xo yn yo y x x y On a donc bien : OM = ON c) Comme x et y sont strictement positifs, les points I et O sont distincts (car x + y 0 ) ; la droite D contient deux points (O et I) équidistants de M et N, c est donc la médiatrice de [MN] On déduit de la question précédente que le symétrique par rapport à D du point de coordonnées ( x ; y ) a pour coordonnées ( y ; x) Corrigé séquence MA 7
a) Soit M(x ; y) un point de C On a donc : x 0 et y = x Son symétrique par rapport à D a donc pour coordonnées ( y ; x ) soit ( x ; x) Ce point appartient à C f si f x = x Ce qui est bien le cas puisque : f x x = = x (car x 0 ) ( ) ( ) b) Soit M( x ; y ) un point de C f On a donc : x 0 et y = x Son symétrique par rapport à D a donc pour coordonnées (y ; x) soit ( x; x) Ce point appartient à C si x x Ce qui est bien le cas ( ) = c) On déduit de a) et b) que C f et C ' sont symétriques par rapport à D Corrigés des exercices d apprentissage du chapitre Exercice Vrai Faux Faux Vrai Vrai Vrai ou faux? Justifier a) Si 0 x alors 0 x 9 La fonction carré est croissante sur 0 ; + donc si 0 x alors x (puisque x et sont positifs) On a donc bien : 0 x 9 b) Si x alors x 4 Contre-exemple : x = 0 On a : 0 et pourtant 0 4 est faux c) Si x alors x 4 ( ) Contre-exemple : x = On a : et pourtant 4 d) Si x 4 alors x est faux La contraposée de cette proposition est : Si x > alors x > 4 Cette proposition est vraie En effet, soit x tel que : x > On a alors : x > > 0 La fonction carré est strictement croissante sur 0 ; + donc : x > soit x > 4 La proposition «Si x > alors x > 4» étant vraie, sa contraposée «Si x 4 alors x» l est aussi e) Si x 9 alors x La contraposée de cette proposition est : Si x > alors x > 9 Cette proposition est vraie En effet, soit x tel que : x > On a alors : x > > 0 La fonction carré est strictement croissante sur 0 ; + donc : x > soit x > 9 On a donc bien par contraposition : «Si x 9 alors x» f) Si 0< x alors x 8 Corrigé Séquence MA
Vrai La fonction racine carrée étant croissante sur 0 ; +, si 0< x alors x est positif et x g) Si x > 4 alors x > Vrai La fonction racine carrée étant strictement croissante sur 0 ; +, si x > 4 alors x est positif et x > 4 soit x > h) Si x alors x Vrai Si x alors x existe et est positif (quelle que soit la valeur de x) donc, à fortiori, est supérieur ou égal à : x Exercice La contraposée de l affirmation «Si x» x > alors x > 9» est «Si x 9 alors Soit x de 0 ; + La fonction racine carrée est croissante sur 0 ; + donc si x 9 alors x 9 soit x On en déduit par contraposition : () Si x > alors x > 9 De plus, la fonction inverse étant strictement décroissante sur 0 ; +, on a : () Si x > 9 alors < (si x > 9 alors x et 9 sont dans 0 ; + x 9 ) On déduit de () et () la proposition suivante Si x > alors x < 9 Exercice Un peu de calculs On a : 5 5 = 5 0 4 5 = = = = = 4 5 5 5 5 0 0 ( + ) ( + ) ( + ) = = = + ( ) ( + ) = ( ) (multiplication par l expression conjuguée) 7 = + 7 ( ) ( ) 7 ( 7) + 7 ( 7) ( ) ( ) ( 7)+ ( 7) = 7 ( ) ( ) 8 = 4 4 + 7 = 5 4 4 8 7 Corrigé séquence MA 9
On considère a = 7 + a) On a : ( + ) = + ( )+ ( ) = 9+ + 8= 7+ b) On a : a = + + sont tous deux positifs, on a : a = + ( ) Alors comme a et c) Comme précédemment, on a : ( ) = ( )+ ( ) = 9 + 8= 7 Alors comme 7 et sont tous deux positifs et ont même carré, on a : 7 = On déduit de b) et c) l égalité : 7 + + 7 = ( + )+ 6 ( ) = Le nombre 7 + + 7 est donc bien un entier naturel Chapitre La fonction valeur absolue Corrigés des activités du chapitre Activité Axe routier Distance Laval Paris : 50 70 = 80 Morlaix Le Mans : 56 + 88 = 44 (ou 56 ( 88)) Saint-Brieuc Brest : 45 98 = 47 (ou 98 ( 45)) Laval Morlaix : 70+88 = 58 (ou 70 ( 88)) Chartes se trouve entre Paris et Le Mans, donc x [ 56, 50], x > 0 Guingamp se trouve entre Saint-Brieuc et Morlaix, donc x' [ 88, 98], x' < 0 0 Corrigé Séquence MA
Distance Chartres Paris : 50 x Chartres Laval : x 70 Chartres Brest : x + 45 Guingamp Brest : x + 45 Guingamp Paris : 50 x Guingamp Chartres : x x' Les abscisses des villes situées à 40 km de Rennes sont 40 et 40 Les abscisses des villes situées à 50 km de Laval sont 0 et 0 Les abscisses des villes situées à 0 km de Chartres sont : x 0 et x + 0 Les points situés à moins de 50 km de Saint-Brieuc ont des abscisses appartenant à 98 50 ; 98 + 50 = 48 ; 48 Les points situés à moins de 00 km du Mans ont des abscisses appartenant à 56 00 ; 56 + 00 = 56 ; 56 sur le graphique Activité Distance entre deux réels On a : 7 donc d( ; 7) = 7 ( ) = 0 De même : d( ; 9) = 9 = 6, d( 5; ) = 5= 6 et d( 7 ; 4) = 7 ( 4) = 6 a) Montrer que d( x ; y ) = 0 si et seulement si x = y Montrons que : si d( x ; y ) = 0 alors x = y Soient x et y tels que : d( x ; y ) = 0 Si x y alors d( x ; y) = y x =0 donc x = y Sinon d( x ; y) = x y =0 donc x = y Montrons la réciproque : si x = y alors d( x ; y ) = 0 Cette propriété est évidente et découle de la définition (la distance entre x et x est bien sûr nulle) b) Montrer que : d( x ; y) = d( x y ; 0) Nous allons à nouveau utiliser un raisonnement par disjonction de cas Cas x y Alors d( x ; y) = y x et comme ( x y) 0, on a : d( x y ; 0) = 0 ( x y) = y x On a donc bien, dans ce cas, l égalité d( x ; y) = d( x y ; 0) Corrigé séquence MA
Cas x y Alors d( x ; y) = x y et comme ( x y) 0, on a : d( x y ; 0) = ( x y) 0= x y On a donc bien, dans ce cas, l égalité d( x ; y) = d( x y ; 0) On a donc bien démontré, par disjonction de cas, l égalité d( x ; y) = d( x y ; 0) Montrons que pour tous x, y, z réels, on a : d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z) Cette propriété est l inégalité triangulaire et elle exprime l idée que si A, B et C sont les points d abscisses respectives x, y et z alors : AC AB+BC Étudions tous les cas possibles Cas x y z Alors : d( x ; z) = z x et d( x ; y) + d( y ; z)=( y x)+( z y)= z x On a donc bien d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z) (et même d( x ; z) = d( x ; y) + d( y ; z)) Cas x z y Alors : d( x ; z) = z x et d( x ; y) + d( y ; z) = ( y x) + ( y z) = z x + ( y z) On a donc bien d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z) (car ( y z) 0) Cas y x z Alors : d( x ; z) = z x et d( x ; y) + d( y ; z) = ( x y) + ( z y) = z x + ( x y) On a donc bien d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z) (car ( x y) 0) Cas 4 y z x Alors : d( x ; z) = x z et d( x ; y) + d( y ; z) = ( x y) + ( z y) = x z+ ( z y) On a donc bien d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z) (car ( z y) 0) Cas 5 z x y Alors : d( x ; z) = x z et d( x ; y) + d( y ; z) = ( y x) + ( y z) = x z+ ( y x) On a donc bien d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z) (car ( y x) 0) Cas 6 z y x Alors : d( x ; z) = x z et d( x ; y) + d( y ; z) = ( x y) + ( y z) = x z On a donc bien d( x ; z) d( x ; y) + d( y ; z) (et même d( x ; z) = d( x ; y) + d( y ; z)) Corrigé Séquence MA
Corrigés des exercices d apprentissage du chapitre Exercice 4 d( + ; ) = ( + ) ( ) car ( + ) > ( ) donc d( + ; ) = 4 7 = 7 4 car 7 > 4 π = π car π> 5 = 8 = 8 + 5 = = Exercice 5 x 4 = d( x ; 4) ; x a = d( x ; a) ; x + = x ( ) = d( x ; ) Pour x +, on a plusieurs possibilités : x + = d( x + ; ) ou x + = x ( ) = d( x ; ) Exercice 6 a) x équivaut à d( x ; 0) ; = ; b) x + 5 = x ( 5) = d ( x ; 5) donc = 5 ; 5+, = 8 ; c) x + signifie d x ; donc = + ;, soit = 5 ; Exercice 7 Comme x, on peut dire que x = x et comme x 7, on peut dire que x 7 = 7 x Donc x + x 7 = x + 7 x = 4 On peut remarquer que si on place les points A, B, M d abscisses respectives, 7, x, le nombre x + x 7 représente la somme des distances AM et BM et cette somme est égale à AB lorsque M se trouve entre A et B Corrigé séquence MA
Exercice 8 Encadrement Intervalle Distance Valeur absolue x 5 x [ ; 5] d( x ; ) x 0 x 00 x [ 0 ; 00] d( x ; 55) 45 x 55 45 5 x 0 x [ 5; 0] d( x ; 75, ) 5, x 75, 5, + x + x [ ; + ; + ] d( x ; ) x x x ; d x ; 5 x + 5 45 0 55 45 00 Le milieu de [0 ; 00] est 0 + 00 = 55 ; 00 55 = 45 Ainsi x [ 0 ; 00 ] équivaut à d( x ; 55) 45 ou x 55 45 x [ 5; 0 ] signifie 5 x 0,5,5 5 7,5 0 x [ 5; 0 ] équivaut à d( x ; 75, ) 5, ou x 75, 5, d( x ; ) + + + d( x ; ) équivaut à x [ + ; + ] donc + x + x + 5 équivaut à x 5 ou à d x ; + 5 5 donc x + 5 équivaut à x ; c est-à-dire encore à x 4 Corrigé Séquence MA
Exercice 9 Quel que soit le point M de la droite (AB), on peut écrire MA = x + et MB = x Donc f( x) = x + + x Simplifions cette expression suivant les valeurs de x Si x, x + 0 et x 0 donc x + = x et x = x + Ainsi f( x) = x x + = x + Si x, x + 0 et x 0 donc x + = x + et x = x + Ainsi f( x) = x + x + = Si x, x + 0 et x 0 donc x + = x + et x = x Ainsi f( x) = x Finalement f est définie par si x, f( x) = x + si x, f( x) = si x, f( x) = x On dit que f est une fonction affine par intervalles y = x + 6 y = x 5 4 y = 4 y = 5 4 O O 4 5 6 Corrigé séquence MA 5
Il suffit donc de tracer les droites d équation y = x + dans ;, y = dans ; et y = x dans ; + On trace la droite d équation y = 4 Cette droite coupe la courbe représentative de f en deux points ayant pour abscisses, 5et 5, Par le calcul : Pour x, f( x) = 4 équivaut à x + = 4 c est-à-dire à x = Pour x, f( x) = 4 équivaut à 4=, équation qui n a pas de solution Pour x, f( x) = 4 équivaut à x = 4 c est-à-dire à x = 5 { } L ensemble des solutions est S = 5, ; 5, Chapitre 5 : Exercices d approfondissement Corrigés des exercices du chapitre 5 Pour tout réel x, x + x + x x x x x x + + = + + + = + x x = x + x = On a donc bien : x + x + x x + + > 0 Raisonnons par disjonction de cas Cas Cas x 0 On a : x + > 0 donc f( x) > 0 x < 0 On a : x > 0 donc x + x + > 0 Comme x + x + x x + + > 0, on a forcément x + x + > 0 (en effet, si x + x + 0 alors comme x + x + > 0, on aurait x + x + x x + + 0) 6 Corrigé Séquence MA
On déduit de la démonstration par disjonction précédente que pour tout réel x, f( x) > 0 a) b) On définit un curseur a puis M ( = ( afa, ( ))) et N ( = ( af, ( a ))) On peut conjecturer que toutes les droites (MN) ont le même coefficient directeur ( ) soit M a a a ( ) a) On a : M a ; f( a) ; + + et N a ; f( a) soit N + + a ; a a (car ( a) = a ) b) Le coefficient directeur de la droite (MN) est : m = y N y x x N M M a+ a + a a + + = ( a) a = a = a Ainsi toutes les droites (MN) ont donc bien le même coefficient directeur Exercice II On a : f( 0) = 0, f( ) = = et f ( 05, ) = 05, 05, = 05, 05, = 075, Corrigé séquence MA 7
On utilise GeoGebra La fonction f étant définie sur [0 ; ], on peut entrer : f( x) = Fonction * sqrt( x) x, 0, 0,8 0,6 0,4 C B Montrons par l absurde que C n est pas un quart de cercle On suppose donc que C est un quart de cercle D après la ère question, les points O(0 ; 0), B( ; ) et C(0,5 ; 0,75) appartiennent tous trois à C Le centre du quart de cercle C est donc le centre du cercle circonscrit à OBC Déterrminons I(a ; b) centre de C 0, 0 O 0 0, 0,4 0,6 0,8 On a : OI = BI donc OI = BI De plus, on a : OI = ( xi xo) + ( yi yo) = a + b et ( ) + ( ) = + BI = xi xb yi yb ( a ) ( b ) On a donc : a + b = ( a ) + ( b ) soit a + b = a + b a b+ ou encore a b + = 0 On déduit de la dernière égalité : a+ b = On a : OI = CI donc OI = CI De plus, on a : CI == ( a 05, ) + ( b 075, ) = a + b 05, a 5, b+ 065, On a donc : a + b = a + b 05, a 5, b+ 065, soit 05, a+ 5, b = 065, ou encore a+ b = 5, a+ b = () Les coordonnées ( a ; b ) de I vérifient donc le système a+ b = 5, () () () nous donne : b = 0, 5 soit b = 0, 5 On en déduit a = 0, 5 = 0, 875 Ainsi : I(0,875 ; 0,5) Le rayon de C est alors : R = OI = a + b = 0, 875 + 0, 5 = 0, 785 = 785 5 5 5 = = = 00000 4 8 8 Corrigé Séquence MA
Prenons le point D de C d abscisse 0,5 Il a pour ordonnée : f ( 05, ) = 05, 05, =,,, 05= 05 05 = On a donc : D ( 05, ; 05, ) On doit avoir ID = R On a : ID = ( 0, 5 0, 875) + ( 0, 5 0, 5) = 0, 877 R car R = 0,88 Le point D n appartient donc pas à C Cette contradiction nous montre que l hypothèse de départ est fausse Exercice III On entre les étiquettes suivantes : dans A «n», dans B «racine(n)+racine(n+)» et dans C «somme des n premiers termes» On entre alors dans A : «=», dans A : «=A+», dans B : «=/ (RACINE(A)+RACINE(A))», dans C : «=B» et dans C : «=C+B» Il suffit alors d étendre jusqu à la ligne 00 La cellule C00 nous donne le résultat : S = 9 n racine(n)+racine(n+) somme des n premiers termes 0,4 0,4 0, 0,7 0,7 99 0,05 9 a) Pour tout k > 0, k + k k k k + k + = ( k + + k) ( k + k) = + b) On a donc : S = + + + + = ( )+ ( ) = 00 (après simplications) c) Ainsi : S = 0 = 9 ( ) + + + + 4 98 + 99 99 + 00 + ( 4 )+ + ( 99 98 )+ 00 99 ( ) Corrigé séquence MA 9
Exercice IV x y x y Soit f définie par : f (x ; y) = f( x ; y) = + + On a : où x et y sont deux réels f ( ; 0) 0 0 = + + =, f ( ; 5) = + 5 + 5 8+ = = 5, + + 5+ 7 7 7 7 4 0 f ( ; ) = = = et f ( 7; 7) = + + + = = 7 On suppose que : x y On a donc x y = x y et par suite : x y x y x y x y f( x ; y) = + + = + + = x Comme précédemment si x < y, on a : x y = y x et par suite x y x y x y y x f( x ; y) = + + = + + = y On en déduit que f( x ; y) est égal au plus grand des deux nombres x et y Exercice V a) f ( x) = x + x + λ x 4 λ λ= λ= λ=4 b) L examen de ces courbes laisse supposer que : pour λ pour λ pour λ =, fλ( x ) a une valeur minimale pour x = =, fλ( x ) a une valeur minimale pour tout x compris entre et 4 = 4, fλ( x ) a une valeur minimale pour tout x = 4 c) f( x) = x + x + x 4 Si x 0 ;, x = x, x = x et x 4 = 4 x donc f( x) = x + ( x) + ( 4 x) = 5x ; si x ;, x = x, x = x et x 4 = 4 x donc f( x) = x + ( x) + ( 4 x) = x ; 0 Corrigé Séquence MA
si x ; 4, x = x, x = x, et x 4 = 4 x donc f( x) = x + ( x ) + ( 4 x) = x + ; si x > 4, x = x, x = x, et x 4 = x 4, donc f( x) = x + ( x ) + ( x 4) = 5x On en déduit que f est décroissante sur [0 ; ] et croissante sur ; + et ainsi qu elle admet un minimum en En procédant de la même manière, on trouve que Si x 0 ;, f ( x) = 7 6x ; si x ; ; f ( x) = 5 4x ; x ; 4, f ( x) = 7 et si x > 4, f ( x) = 6x 7 On en déduit que f est décroissante sur 0 ;, constante sur ; 4 et croissante sur 4 ; + et ainsi qu elle admet un minimum atteint sur tout l intervalle ; 4 Si x 0 ;, f ( x) = 7x ; si x ;, f ( x) = 9 5x ; 4 si x ; 4, f ( x) = x + ; et si x > 4, f ( x) = 7x On en déduit que 4 f 4 est décroissante sur 0 ; 4, et croissante sur 4 ; + et ainsi qu elle admet un minimum en 4 Dans cette question, l unité de longueur est l hectomètre On note x la distance qui sépare la tente de l entrée (E) Si λ est le nombre de voyages à la plage, la distance parcourue chaque jour est égale à fλ ( x) En effet, la distance entre la tente et la guérite est x, celle entre la tente et l aire de jeux est x et celle entre la tente et la plage est x 4 Dans le er cas, il va deux fois à la plage, le minimum est atteint x = ; il devrait camper sur l aire de jeux pour minimiser ses déplacements Dans le ème cas, il va trois fois à la plage, le minimum est atteint pour tout x compris entre et 4 ; il peut s installer où il veut entre l aire de jeux et la plage pour minimiser ses déplacements 4 4 Dans le ème cas, il va quatre fois à la plage, le minimum est atteint pour x = 4 ; il doit alors s installer sur la plage pour minimiser ses déplacements (en aura-t-il l autorisation?) Corrigé séquence MA
Exercice VI On applique la propriété de Pythagore dans les triangles rectangles ACM et BDM et on obtient AM = 9 + AM + BM = 9+ x + 4+ ( 6 x) x et BM = 4 + ( 6 x ) On a donc On construit un tableau de valeurs de f grâce à la calculatrice : on metf( x) dans Y = en faisant attention aux parenthèses, puis on regarde dans nd TABLE après avoir réglé les paramètres dans nd TBLSET Grâce à cette table de valeurs, on peut construire la courbe : 0 9 8 7 4 5 L allure de la courbe révèle que la fonction f est d abord décroissante puis croissante, ce qui indique qu elle admet un minimum Ce minimum semble atteint pour une valeur de x comprise entre et 4 Corrigé Séquence MA
Comme A et A sont symétriques par rapport à (CD), pour tout point M de (CD) on a MA = MA Ainsi on peut dire que MA + MB = MA + MB Mais la position des points A, M et B fait que MB + MA est le plus court lorsque M est aligné avec A et B Le point M cherché est donc l intersection de (CD) et (A B) Pour le calcul de x, appliquons le théorème de Thalès avec (A C) et (BD) parallèles : MC MA' MD = AC MB = ' BD Or on sait que A C = AC = et BD =, donc x 6 x = Cette équation est équivalente à A x = 8 x, soit 5x = 8 d où x = 6, B C M D A' Corrigé séquence MA
Corrigé de la séquence Partie : Géométrie plane Chapitre : Vecteurs directeurs d une droite Corrigé des activités du chapitre Activité Sans coordonnées Il est aisé de voir que les droites d, d 4, d 6 et d 7 sont parallèles Que les droites d 8, d 9 et d 0 le sont aussi, mais ne sont pas parallèles aux précédentes Que les droites d et d 5 le sont aussi, mais ne sont pas parallèles aux précédentes Et enfin que la droite d n est parallèle à aucune autre Pour les vecteurs, on a BB, EE, GG et HH colinéaires On a aussi KK, LL et MM colinéaires, mais sans l être aux précédents Ainsi que CC et FF colinéaires, sans l être aux précédents Quant au vecteur AA, il n est colinéaire à aucun autre Activité Avec coordonnées Pour obtenir le coefficient directeur d une droite, connaissant les coordonnées de deux de ses points, A ( xa; ya), et B ( xb; yb), on calcule : y B y A xb xa Pour la droite ( AA ), cela donne : 05, 5, = 4 0 4, 5 05 Pour la droite ( BB ), cela donne : 0 05+ =,, 5, =, Pour la droite ( CC ), cela donne : 5 0 4 = 4 5, 5, Pour la droite ( EE ), cela donne : = 0, 05, 45, 5 = 4 Corrigé séquence MA
Pour la droite FF, Pour la droite GG, Pour la droite HH, ( ) cela donne : + 5 ( ) cela donne :, + ( ) cela donne : + Pour la droite ( KK ), cela donne : Pour la droite LL, Pour la droite MM, ( ) cela donne : + ( ) cela donne :,, 5, = = + 4 075 + = 05, 75 5 = 0,,, 75, 5, = 5, = 0, 45, 65,, 5 05, = = 05, 5, + 5, 0, 5 = 5, = 05, 5, 05, 5 0 = 5, = 05, 05, + 45, 5 Deux droites qui ont même coefficient directeur sont parallèles On en déduit que : les droites BB, les droites CC les droites K K, ( ) ( EE ), ( GG ) et ( HH ) sont parallèles ; ( ) et ( FF ) sont parallèles sans l être aux précédentes ; ( ) ( LL ) et ( MM ) sont parallèles sans l être aux précédentes ; la droite ( AA ) n est parallèle à aucune autre Pour les vecteurs, calculons d abord leurs coordonnées On a : AA ( 0; 0, 5, 5) soit AA ( ; 4 ) BB 05, + ; 4 5, ( ) soit BB ( 5, ; 05, ) CC ( 0 4; 5) soit CC ( 4; ) EE 05, 45, ; 5, 5, ( ) soit EE ( 5; ) FF ( + ; + 5, ) soit FF ( ;, 5 ) GG 75, + ; 0, 75 + ( ) Corrigé séquence MA 5
soit GG ( 5, ; 0, 5) HH ( 4, 5 ;, 75 +, 5) soit HH ( 65, ; 5, ) KK ( 5, + 5, ; 5, ) soit KK ( ; 0, 5) LL 5, + 05, ; 05, 5 ( ) soit LL ( ;, ) MM 05, + 45, ; 5, ( 0) soit MM ( 5 ;, 5 ) Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles On a alors : BB et EE colinéaires puisque 5, ( ) = ( 5) 05, ; BB et GG colinéaires puisque 5, 05, = 5, 05, ; BB et HH colinéaires puisque 5, ( 5, ) = ( 65, ) 05, Les vecteurs BB, EE, GG et HH sont donc colinéaires KK et L L sont colinéaires puisque ( ) ( 5, ) = ( ) 0, 5 KK et MM sont colinéaires puisque ( ) (, 5) = ( 5) 0, 5 Les vecteurs KK, LL et MM sont donc colinéaires CC et FF sont colinéaires puisque ( 4) (, 5) = ( ) ( ) Le vecteur AA n est colinéaire à aucun autre Corrigés des exercices d apprentissage du chapitre Exercice Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB), on peut calculer les coordonnées des vecteurs AB et AM où M x; y ( ) est un point quelconque, et traduire le fait que ces vecteurs doivent être colinéaires pour que M appartienne à la droite On a : AB ( ; 0, 5 5, ), soit AB ; x Le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si AB ( ) et AM ( ; y 5, ) ( ) = ( ) ( ) colinéaires, c est-à-dire si et seulement si y 5, x et AM sont Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (AB) : y = x + Que l on peut écrire : x + y = 4 6 Corrigé Séquence MA
La droite parallèle à (AB) passant par C a pour vecteur directeur le vecteur AB Pour déterminer une équation cartésienne de cette droite, on va traduire le fait qu un point M appartient à la droite si et seulement si AB et CM sont colinéaires On a : AB( ; ) et CM ( x ; y, 5) Les vecteurs AB et CM sont colinéaires si et seulement si ( ) = ( ) ( ) y, 5 x Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite parallèle à (AB) passant par C : y 7= x + Que l on peut écrire : x + y = 0 La droite dont une équation cartésienne est x + y = est une droite dont ( ) un vecteur directeur est le vecteur u ; Or ce vecteur n est pas colinéaire à AB puisque ( ) ( ) ( ) Cette droite n est donc pas parallèle à la droite (AB) Exercice La droite dont une équation cartésienne est 7x y = est une droite dont un vecteur directeur est le vecteur u( ; 7) Pour déterminer le coefficient directeur de cette droite, on peut chercher un vecteur directeur dont la première coordonnée soit La deuxième coordonnée sera égale au coefficient directeur Ce vecteur étant colinéaire au vecteur u trouvé ci-dessus, ses coordonnées sont proportionnelles à celles de u Cela nous donne donc le vecteur v ( ;, 5) Le coefficient directeur de d est donc égal à,5 Pour que l équation ax + by 5= 0 (que l on peut écrire ax + by =5 ) soit une équation cartésienne de d, il suffit qu elle soit équivalente à l équation 7x y = Pour ce faire, il suffit que les coefficients a, b et 5 soient proportionnels aux coefficients 7, et On a : 5= ( 5) ( ), donc a = ( 5) 7= 5 ( ) ( ) ( ) = et b = 5 0 ( ) Pour savoir si l équation x + 6y = est une équation cartésienne de d, on vérifie si les coefficients ( ), 6 et ( ) sont proportionnels aux coefficients 7, et ( ) ( ) On a : 6 = = et 7 = Les coefficients ne sont pas proportionnels L équation x + 6y = n est pas une équation cartésienne de d Corrigé séquence MA 7
Exercice Pour déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A et de vecteur directeur u, on peut calculer les coordonnées du vecteurs AM, où ( ) est un point quelconque, et traduire le fait que ce vecteur doit être M x; y colinéaire à u pour que M appartient à la droite On a : AM ( x x A ; y y A) Le point M appartient à la droite si et seulement si u et AM sont colinéaires, ( ) = ( ) c est-à-dire si et seulement si a y y x x b A A Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite : ay ay A = bx bx A Que l on peut écrire : bx ay = bx A ay A La droite est parallèle à (OI) si et seulement si le vecteur u est colinéaire au vecteur OI Donc si et seulement si b = 0 La droite est parallèle à (OJ) si et seulement si le vecteur u est colinéaire au vecteur OJ Donc si et seulement si a = 0 On suppose donc que a 0 et b 0 Le point d intersection de la droite avec (OI) est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : bx ay = bx ay y = 0 A A bx x = En substituant y par 0 dans la première équation, cela donne : y = 0 Ce sont les coordonnées du powint d intersection de la droite avec (OI) ay A A Le point d intersection de la droite avec (OJ) est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : bx ay = bx ay x = 0 A A En substituant x par 0 dans la première équation, cela donne : bx y = x = 0 ay a ay = bx A A A A a Ce sont les coordonnées du point d intersection de la droite avec (OJ) b 8 Corrigé Séquence MA
Exercice 4 Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB), on peut calculer les coordonnées des vecteurs AB et AM où M x; y ( ) est un point quelconque, et traduire le fait que ces vecteurs doivent être colinéaires pour que M appartienne à la droite On a : AB ; 0, 5 5,, soit AB ; ( ) x ( ) et AM ( ; y 5, ) y F A C Le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si AB et AM sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement ( ) = ( ) ( ) si y 5, x Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (AB) : J K y = x + B Que l on peut écrire : x + y = 4 x I O E Le point d intersection de la droite (AB) avec l axe des abscisses est le point dont les coordonnées vérifient D les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : x + y = 4 y = 0 x = 4 En substituant y par 0 dans la première équation, cela donne : y = 0 Ce sont les coordonnées du point E Le point d intersection de la droite (AB) avec l axe des ordonnées est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : x + y = 4 En substituant x par 0 dans la première équation, cela donne : x = 0 x = 0 Ce sont les coordonnées du point F y = Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (CD), on peut calculer les coordonnées des vecteurs CD et CM où M( x; y) est un point quelconque, et traduire le fait que ces vecteurs doivent être colinéaires pour que M appartient à la droite Corrigé séquence MA 9
On a : CD ( 0 ;, 5 ), soit CD ( ; 4, 5) et CM ( x ; y, 5) Le point M appartient à la droite (CD) si et seulement si CD et CM sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si y, 5 x 4, 5 ( ) ( ) = ( ) ( ) Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (CD) : y + 0, 5= 4, 5x +, 5 Que l on peut écrire : 45, x y = ou encore 5, x y = Le point d intersection des droites (AB) et (CD) est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut x + y = 4 donc résoudre le système d équations : 5, x y = En substituant y par 5, x dans la première équation, cela donne : ( ) = x + 5, x 4 Soit : 5, x = y 4x = 6 Et donc : 5, x = y x = 5, y = 5, 5, = 5, Ce sont les coordonnées du point K Exercice 5 Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, montrons que les vecteurs AB et DC sont égaux On a : AB ( 5, + 4; + ), soit AB( 5, ; 4 ) et DC 6, 5 ; +, soit DC 5, ; 4 ( ) ( ) y B J F C A E O I K x D Donc on a bien AB = DC Donc ABCD est un parallélogramme 0 Corrigé Séquence MA
a) Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (BC), on peut calculer les coordonnées des vecteurs BC et BM où M( x; y) est un point quelconque, et traduire le fait que ces vecteurs doivent être colinéaires pour que M appartienne à la droite On a : BC ( 6+ 5, ; ), soit BC ( 75, ; ) et BM ( x + 5, ; y ) Le point M appartient à la droite (BC) si et seulement si BC et BM sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si 75, y x 5, ( ) = ( + ) ( ) Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (BC) : 75, y 5, = x Que l on peut écrire : x + 7, 5y = 9, 5 b) Déterminons d abord une équation cartésienne de la droite parallèle à (AC) passant par E Pour cela, calculons les coordonnées de E On a : AE( xe+ 4; ye+ ) et 5 4 AB, ; Ce qui nous donne : x E + 4 = 5, et y E + = 4, soit x E = 95, et y E = Pour obtenir une équation cartésienne de la droite parallèle à (AC) passant par E, on peut calculer les coordonnées des vecteurs AC et EM où M ( x; y ) est un point quelconque, et traduire le fait que ces vecteurs doivent être colinéaires pour que M appartienne à la droite 95, On a : AC ( 6+ 4 ; + ), soit AC( 0 ; ) et EM x + y ; Le point M appartient à cette droite si et seulement si AC et EM sont colinéaires, 95 c est-à-dire si et seulement si 0 y = x +, Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite parallèle à (AC) passant par E : 0 9 9 0y = x + Que l on peut écrire : x + 0y = Le point F, point d intersection de cette droite avec la droite (BC) est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : x + 7, 5y = 9, 5 9 x + 0y = Corrigé séquence MA
En additionnant membre à membre ces deux équations, on obtient l équation : 87, 5 7, 5y =, ce qui nous donne y = 5 En remplaçant, dans la deuxième équation, y par cette valeur, on obtient : x 50 9 + =, ce qui nous donne x = 5, Le point F est le point de coordonnées : F 5 5, ; Déterminons d abord une équation cartésienne de la droite parallèle à (BD) passant par F On peut calculer les coordonnées des vecteurs BD et FM où M( x; y) est un point quelconque, et traduire le fait que ces vecteurs doivent être colinéaires pour que M appartienne à la droite On a : BD ( 5, + 5, ; ), soit BD 5 ( 5; 6) et FM x y 5, ; Le point M appartient à cette droite si et seulement si BD et FM sont colinéaires, 5 c est-à-dire si et seulement si 5 5 6 y = ( x, ) ( ) Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite parallèle à (BD) passant par F : 5 88 5y = 6x + Que l on peut écrire : 6x + 5y = Déterminons maintenant une équation cartésienne de la droite (DC) Calculons les coordonnées des vecteurs DC et DM où M( x; y) est un point quelconque On a : DC ( 5, ; 4) et DM ( x 5, ; y + ) Le point M appartient à la droite (DC) si et seulement si DC et DM sont colinéaires, ( ) = ( ) c est-à-dire si et seulement si 5, y + x 5, 4 Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (DC) : 5, y + 75, = 4x 4 Que l on peut écrire : 4x +, 5y = 5, Le point K, point d intersection de la droite parallèle à (BD) passant par F avec la droite (DC) est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : 88 6x + 5y = 4x +, 5y = 5, Corrigé Séquence MA
8x + 5y = 88 Ce système est équivalent au système obtenu en multipliant 4x + 5y = 9 les coefficients de la première équation par et ceux de la seconde par 6 En soustrayant membre à membre ces deux équations, on obtient l équation : 4x = 7, ce qui nous donne x = En remplaçant, dans la première 6 équation, x par cette valeur, on obtient : 9 + 5y = 88, ce qui nous donne y = Le point K est le point de coordonnées : K ; 6 Déterminons le point d intersection des droites (AC) et (BD) La droite (AC) a comme vecteur directeur le vecteur AC( 0 ; ) Un point M x; y quelconque appartient à cette droite si et seulement si AC et AM x + 4; y + ( ) ( ) ( y ) = ( x + ) sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si 0 + 4 Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (AC) : 0y + 0 = x + 8 Que l on peut écrire : x + 0y = ou encore x + 5y = La droite (BD) a comme vecteur directeur le vecteur BD ( 5; 6 ) Un point M x; y quelconque appartient à cette droite si et seulement si BD et BM x + 5, ; y ( ) ( ) ( y ) = ( x +, ) ( ) sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si 5 5 6 Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (BD) : 5y 5= 6x 9 Que l on peut écrire : 6x + 5y = 6 Le point d intersection de ces deux droites, que l on nommera P, est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : x + 5y = 6x + 5y = 6 En soustrayant membre à membre ces deux équations, on obtient l équation 7x = 7, ce qui nous donne x = En remplaçant, dans la première équation, x par cette valeur, on obtient : + 5y =, ce qui nous donne y = 0 ( ) Le point cherché est le point de coordonnées : P ; 0 Corrigé séquence MA
Il nous reste à montrer que ce point appartient bien à (EK) Pour cela, on peut montrer que les points E, K et P sont alignés, par exemple en montrant que les vecteurs EK et EP sont colinéaires 95, On a : EK +, ; 6 soit EK 5 95, ; et EP + 0, ; soit, 5 EP ; Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c est-à-dire si et seulement si : 5 5 =, Ce qui est vrai Donc le point P appartient bien à la droite (EK) et l on peut dire que droites (AC), (EK) et (BD) sont concourantes Exercice 6 y O F C J Les coordonnées de E sont : E, ; soit E ( ; ) A I H G B x La médiane issue de A du triangle ABC est la droite passant par A et le milieu de [BC], soit la droite (AE) La droite (AE) a comme vecteur directeur le vecteur AE ; 5,, soit AE 0;, 5 Un point M x; y ( ) ( ) ( ) quelconque appartient à cette et AM ( x ; y 5, ) droite si et seulement si AE sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si ( ) = ( ) ( ) 0 y 5, x, 5 E Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (AE) : 0= x Que l on peut écrire : x = (Résultat que l on pouvait trouver directement en remarquant que A et E ont même abscisse : ) a) Déterminons les coordonnées du point F milieu du segment [AC] 5, On a : F, ; soit F ( 0; 0, 75) La médiane issue de B du triangle ABC est la droite passant par B et le milieu de [AC], soit la droite (BF) La droite (BF) a comme vecteur directeur le vecteur BF ( 0 ; 0, 75+ ), soit BF ( ; 0, 5) Un point M( x; y) quelconque appartient à cette droite si et seulement si BF et BM x ; y + sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement ( ) ( + ) = ( ) ( ) si y x 0, 5 4 Corrigé Séquence MA
Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (BF) : y = 0, 5x 0, 75 Que l on peut écrire : 05, x + y = 5, b) Le point d intersection des deux médianes est le point G dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut x = résoudre le système d équations : 05, x + y = 5, La deuxième équation nous donne : 05, + y = 5, Soit y = 5, 5, Les coordonnées de G sont donc : G ; On sait que les deux premières médianes se coupent au point G Pour savoir si les trois médianes du triangle ABC sont concourantes, regardons si le point G est sur la médiane issue de C Regardons donc si les points C et G sont alignés avec le milieu du segment [AB] Déterminons d abord les coordonnées du point H milieu du segment [AB] On a : H + 5,, ; soit H ( ; 0, 5) Pour montrer que C, G et H sont alignés, montrons que les vecteurs CG et CH sont colinéaires On a : CG 5, + + ;, soit CG ; 65, et CH ( + ; 0, 5+ ), soit CH ;, 5 ( ) Ces deux vecteurs sont colinéaires si l on a : 5 65,, = Ce qui est vrai Donc C, G et H sont alignés, et les trois médianes du triangle se coupent en G Exercice 7 Calculons les coordonnées de E On a : BC ; + soit BC 4; ( ) ( ) C y O F J A I G K B E x On a : BE( xe ; ye+ ) et 8 4 BC 5 ; 5 5 Ce 8 qui nous donne : x E = 5 et y 4 E + =, 5 soit x E = 7 5 et y E = 9 5 Calculons les coordonnées de F On a : CA ( + ; 5, + ) soit CA ( ; 4, 5 ) On a : CF( x F + ; y F + ) et CA ; 5, Corrigé séquence MA 5
Ce qui nous donne : x F + = et y F + = 5,, soit x F = et y F = 5, Calculons les coordonnées de G On a : AB ; 5, soit AB ;, 5 ( ) ( ) On a : AG( xg ; yg 5, ) et 75 4 AB, ; 4 Ce qui nous donne : x G = 75, et y G 5, =, soit x 4 G = 5, et y G = 8 Pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AE), on peut calculer les coordonnées des vecteurs AE et AM où M x; y ( ) est un point quelconque, et traduire le fait que ces vecteurs sont colinéaires si et seulemet si M appartient à la droite 7 On a : AE, 5 9 5 5 6, 5 ;, soit AE ; 5 5 et AM ( x ; y 5, ) Le point M appartient à la droite (AE) si et seulement si AE et AM sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si 6 5 ( 5) = ( ), y, x 5 5 Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (AE) : y = 6, 5x + 6, 5 Que l on peut écrire : 6, 5x + y = 9, 5 De même la droite (BF) a comme vecteur directeur le vecteur BF +, ; 5, soit BF 0 ; 05, Un point M( x; y) quelconque appartient à cette droite si et seulement si BF et BM x ; y + sont colinéaires, c est-à-dire si et ( ) ( ) = ( ) ( 0 5) 0 seulement si y + x, Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (BF) : ( ) = ( ) ( ) 0 y + x, 5, ou encore 0y + 0 =, 5x 4, 5 Que l on peut écrire :, 5x 0y = 4, 5 Le point d intersection de ces deux droites, que l on nomme K, est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : 6, 5x + y = 9, 5, 5x 0y = 4, 5 6 Corrigé Séquence MA
8, 5x + 0y = 97, 5 Ce système est équivalent au système obtenu en multipliant, 5x 0y = 4, 5 les coefficients de la première équation par 5 En additionnant membre à membre ces deux équations, on obtient l équation 84x =, ce qui nous donne x = 4 En remplaçant, dans la deuxième équation, x par cette valeur, on obtient : Exercice 8 0y = 4, 5, ce qui nous donne y = 5, 4 5 Le point cherché est le point de coordonnées : K ; 4 On sait déjà que les droites (AE) et (BF) se coupent en K pour montrer que les droites (AE), (BF) et (CG) sont concourantes, il suffit de montrer que la droite (CG) passe par K Pour cela, il suffit de montrer que les points C, G et K sont alignés et donc que les vecteurs CG et CK sont colinéaires On a : CG 5, + ; +, 8 soit CG 5, ; 8 et CK 4 5 + + ; 4, soit 7 7 CK ; 4 7 7 Ces deux vecteurs sont colinéaires si l on a : 5, = Ce qui est vrai 4 8 Donc C, G et K sont alignés, et les trois droites se coupent en K Calculons les coordonnées de R y R O J N A I M x On a : AB ; 5, soit AB ;, 5 ( ) ( ) On a : AR( xr ; yr 5, ) et AB ( ;, 5) Ce qui nous donne : xr = et y R 5, = 5,, soit x R = et y R = 4 Calculons les coordonnées de Q On a : AC ; 5, soit AC ; 4, 5 ( ) ( ) Q B C P Corrigé séquence MA 7
On a : AQ x Q ; y Q 5, et aac ( a; 4, 5a) Donc : ( ) xq = a et y Q 5, = 4, 5 a, soit xq = a et y Q = 5, 4, 5 a La droite (RQ) a pour vecteur directeur RQ ( a + ; 5, 4, 5 a 4 ), soit RQ a;, 5 4, 5 a ( ) ( ) quelconque appartient à cette droite si et seulement ( ) ( a) ( y 4) = ( x + ) (, 5 4, 5a) Un point M x; y si RQ et RM x + ; y 4 sont colinéaires, c est-à-dire si et seulement si Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (RQ) : ( ) ( ) = ( ) a y 4 a, 5 4, 5a x, 5 4, 5a, ( ) + ( ) = ou encore 5, + 45, a x a y 55, 5, a Cherchons une équation de la droite (BC) On a : BC ( ; + ), soit BC ( 4; ) et BM ( x ; y + ) Le point M appartient à la droite (BC) si et seulement si BC et BM ( ) ( + ) = ( ) ( ) colinéaires, c est-à-dire si et seulement si 4 y x sont Ce qui nous donne une équation cartésienne de la droite (BC) : 4y 4= x + 6 Que l on peut écrire : x 4y = 0 ou encore x y = 5 Le point P, point d intersection des droites (BC) et (RQ), est le point dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites Pour déterminer ces coordonnées, il faut donc résoudre le système d équations : x y = 5 ( 5, + 45, a) x + ( a) y = 55, 5, a La première équation nous donne x = y + 5 En substituant x par cette expression dans la seconde équation on obtient : ( 5, + 45, a) ( y + 5)+ ( a) y = 55, 5, a Ce qui est équivalent à : ( ) + ( ) = ( + ) 5+ 9a y a y 5, 5, 5a 5, 5 4, 5a ( ) = Soit : 7+ 7a y 7 5a 8 Corrigé Séquence MA
( ) ( ) Comme a est un réel différent de, on peut diviser par 7+ 7a a a On obtient : y = 7 5 = 5 7+ 7a + a a a a a On a alors : x = y + = 5 + = 0 5 + + 5 = 5 5 5 + a + a + a + a a a Le point P a bien comme coordonnées : xp = 5 et y a P = 5 + + a Si a = les droites (BC) et (RQ) sont parallèles et n ont pas de point d intersection Calculons les coordonnées de M On a : CQ ( a+ ; 5, 4, 5a+ ) soit CQ ( a; 45, 45, a), et BM ( xm ; ym+ ) Ce qui nous donne : xm = a et y M + = 4, 5 4, 5 a, soit xm = 5 a et y M = 5, 45, a Calculons les coordonnées de N On a : CP 5 a 5a + + ; + a + a 4 4 a soit CP, + a ; a + a et AN ( x N ; y N 5, ) Ce qui nous donne : a x N = 4 4 a + a et yn = a 5,, soit x + a N = 5 5, 05, a et y +a N = + a Pour montrer que M, N et R sont alignés, montrons que les vecteurs RM et RN sont colinéaires On a : RM ( 5 a+ ;, 5 4, 5a 4), soit RM ( 6 a; 0, 5 4, 5a) et RN 5 a 5, 05, a 6 a 05, 45, a + 4 ; + a + a, soit RN ; + a + a Ces deux vecteurs sont colinéaires si l on a : ( 05 45 6 6 ),, a 05 45 + = a a,, a Ce qui est vrai Donc M, N et a + a R sont alignés ( ) Corrigé séquence MA 9
Chapitre : Décomposition d un vecteur du plan Corrigés des activités du chapitre K Activité G C E A Activité Sommes de deux vecteurs B F Pour construire le vecteur AD, somme des vecteurs AB et AC, on construit le parallélogramme ABDC Les points A, B et C étant donnés, il n y a qu un point D possible Pour construire deux autres vecteurs AE et AF tels que : AD = AE + AF, il suffit de construire un parallélogramme dont [AD] soit une diagonale (voir figure) Il y a une infinité de possibilités et on peut donc construire deux autres vecteurs AG et AH tels que : AD = AG + AH (voir figure) Le point K étant celui placé sur la figure initiale, H on peut construire un vecteur AL tel que : AD = AK + AL Pour cela il suffit de construire un parallélogramme dont [AD] soit une diagonale On doit donc construire un parallélogramme AKDL Les points A, K et D étant donnés, il n y a qu un point L possible (voir figure) Construction de parallélogrammes D L G L Pour construire le point D tel que ABDC soit un parallélogramme on construit la parallèle à (AB) passant par C et la parallèle à (AC) passant par B Ces deux droites se coupent en D K A E C B F D Pour construire deux points E et F tels que AEDF soit un parallélogramme, on procède de la même façon en prenant un point E quelconque On peut construire deux autres points G et H tels que AGDH soit un parallélogramme puisque, dans le procédé précédent on prenait «E quelconque» Il suffit donc de prendre un «autre point E», en l occurrence G H On remarque que les trois parallélogrammes construits ont même diagonale : [AD] 40 Corrigé Séquence MA
Le point K étant celui placé sur la figure initiale, pour construire un point L tel que AKDL soit un parallélogramme on construit la parallèle à (AK) passant par D et la parallèle à (KD) passant par A Ces deux droites se coupent en L Activité Sommes de deux vecteurs et parallélogrammes Pour une lecture plus claire, nous ferons une figure pour les questions et et une autre pour les questions et 4 v u A H F C E B G D Même procédé que pour la première question de l activité On construit le point E tel que AE = ku (sur la figure on a pris k = ) Pour que AD = AE + AF il reste à construire F tel que AF = ED On peut construire encore deux autres vecteurs AG et AH tels que AD = AG + AH et tel que AG soit encore colinéaire à u Pour cela il suffit de choisir une autre valeur de k Par exemple sur la figure on a pris AG = 5,u On construit alors H tel que AH = GD L Q Comme pour la question, on construit le point L tel que AL = kv (sur la figure on a pris k = ) Pour que AD = AK + AL il reste à construire le point K tel que AK = LD v u A N C B M D K P On peut construire encore deux autres vecteurs AM et AN tels que AD = AM + AN et tel que AN soit encore colinéaire à v Pour cela il suffit de choisir une autre valeur de k Par exemple sur la figure on a pris AN = 5,v On construit alors M tel que AM = ND Pour construire deux vecteurs AP et AQ tels que AD = AP + AQ et tel que AP soit colinéaire à u et AQ colinéaire à v, il faut construire un parallélogramme APDQ tel que les droites (AP) et (QD) soient parallèles et dirigées suivant u, et tel que les droites (AQ) et (DP) soient également parallèles et dirigées suivant v Corrigé séquence MA 4
On constate alors qu il n y a qu une seule possibilité : le point P est l intersection des droites (AP) et (DP) et le point Q celle des droites (AQ) et (QD) On ne peut donc pas construire deux autres vecteurs AR et AS tels que AD = AR + AS et tel que AR soit encore colinéaire à u et AS encore colinéaire à v Activité 4 Décomposition d un vecteur en fonction de deux vecteurs donnés G A v u D v u Pour une lecture plus claire, nous ferons une figure pour les questions et et une autre pour la question Pour décomposer le vecteur AB en F u E C v B H somme de deux vecteurs, l un colinéaire à u et l autre colinéaire à v, il suffit de construire un parallélogramme dont une diagonale soit [AB], et dont les côtés soient parallèles et dirigés suivant u, et parallèles et dirigés suivant v On trouve alors un seul parallélogramme possible : AEBF On constate que AE = u et AF = v On a donc : AB = AE + AF = u+ v On procède de même avec le vecteur CD On obtient le seul parallélogramme,5 v w M possible : CGDH On constate que CG = u et CH = v On a donc : CD = CG + CH = u+ v Pour décomposer les vecteurs w et z v L S 0,5 u z u R,5 v en fonction de u et v, on procède de la même façon en supposant, par exemple que l on a deux points L et M tels que LM = w et deux points R et S tels que RS = z On obtient les décompositions : w = 05, u+ 5, v et z = u 5, v u 4 Corrigé Séquence MA
Corrigés des exercices d apprentissage du chapitre Exercice 9 v u A Les vecteurs u et v v u forment une base du plan puisqu ils ne sont pas colinéaires Pour décomposer graphiquement le vecteur AB dans la base u, v on construit le ( ) parallélogramme de diagonale [AB] dont les côtés sont dirigés par u et v (voir figure cicontre) On obtient : AB = u+ v Les coordonnées du vecteur AB dans la base u, v, ( ) sont : AB ( ) Les vecteurs u et w forment une base du plan puisqu ils ne sont pas colinéaires Pour décomposer graphiquement le vecteur AB dans la base ( u, w) on construit le parallélogramme de diagonale [AB] dont les côtés sont dirigés par u et w (voir figure ci-dessous) B B w u A 4u w On obtient : AB = 4u w Les coordonnées du vecteur AB dans la base u, w ( ) sont : AB 4, ( ) Les vecteurs v et z ne forment pas une base du plan puisqu ils sont colinéaires Les vecteurs z et w forment une base du plan puisqu ils ne sont pas colinéaires Corrigé séquence MA 4
w z A w 4 z B Pour décomposer graphiquement le vecteur AB dans la base z, w on construit le ( ) parallélogramme de diagonale [AB] dont les côtés sont dirigés par z et w (voir figure ci-contre) 4 On obtient : AB = z+ w Les coordonnées du vecteur AB dans la base ( z, w) sont : 4 AB ; Exercice 0 Les vecteurs u et v forment une base du plan puisqu ils ne sont pas colinéaires (car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles : 0 ) On sait que les coordonnées de u sont u( ;0 ), ce qui signifie que u = i Donc : i = 05, u De même on sait que les coordonnées de v sont v ;, v = i + j Donc : j = v i = v 05, u On peut alors écrire : AB = i j = 05, u ( v 05, u) = 5, u v Les coordonnées de AB dans la base u, v 5, ( ) sont : AB ( ; ) ( ) ce qui signifie que Les vecteurs v et w forment une base du plan puisqu ils ne sont pas colinéaires (car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles : ( ) ) Comme pour la question précédente, on a : v = i + j et w = i j Cela nous donne : v + w = i + j + i j = i Donc : i = v + w On en déduit que : j v i v v = = + w v w = On peut alors écrire : AB = = + i j v w v w = w (ce qui pouvait se voir directement avec les coordonnées de AB et de w dans la base ( i, j) Les coordonnées de AB dans la base v, w sont : AB 0 ; ( ) ( ) 44 Corrigé Séquence MA
Exercice Exercice Puisque AF = 75, AD, en utilisant la relation de Chasles on a : AD + DF =75, AD, et donc : DF = 75, AD AD = 0, 75AD Les vecteurs AB et AD ne sont pas colinéaires puisque le parallélogramme ABCD est non aplati Ils forment donc une base du plan La relation de Chasles permet d écrire : CF = CD + DF Or CD = BA = AB puisque ABCD est un parallélogramme On a alors en utilisant le résultat du : CF = CD + DF = AB +075, AD qui est la décomposition du vecteur CF dans la base ( AB, AD ) 7 De façon analogue, on a : EF = EA + AF = AB + 75, AD qui est la décomposition du vecteur EF dans la base ( AB, AD ) On peut alors remarquer que EF = 7 CF On en déduit que ces vecteurs sont colinéaires, et donc que les points C, E et F sont alignés (on peut vérifier sur une figure) Pour construire le point E, exprimons le vecteur AE en fonction du vecteur AC ( ) = + On a : EA = EC soit EA = EA + AC EA AC Ce qui nous donne : EA EA = EA = AC Donc AE = AC Et donc AE = AC, ce qui nous permet de construire le point E (voir figure ci-contre) A C E D a) Les vecteurs AB et AC forment une base du plan car ils B ne sont pas colinéaires En effet, s ils étaient colinéaires, les points A, B et C seraient alignés Comme AB = CD, les droites (AB) et (CD) sont parallèles Si A, B et C étaient alignés, il en serait de même pour le point D Les quatre points seraient alignés, ce qui est contraire aux données de l énoncé Donc AB et AC forment bien une base du plan Corrigé séquence MA 45