Licence Science de la Mer et de l Enironnement Physique Générale Chaitre 3 :ransformations réersibles d un gaz arfait ransformation d un gaz arfait Par exemle, on enferme le gaz dans un cylindre de section S, dans lequel le iston a une masse négligeable, et sans frottements. a Echange de traail On ousse le iston aec une ression extérieure F= P E. S. On a : dw = Fdx=. S. dx= E E. d Si le olume asse de à, le traail échangé sera : W = E d E. La force exercée est donc Si E = = Cte alors W =.( Si < alors W >, on a fourni du traail au gaz, il y a échauffement. C est ce qui se asse aec une ome à élo. b Echange de chaleur On suose que le système est adiabatique. Le système est en équilibre si la ression du gaz est égale à celle de la ression extérieure. Nous aons u que : n = nombre de moles de gaz m = masse du gaz M = masse molaire du gaz = nr= M m R Si nous assons de l état à l état, alors : = = nr D arès la loi de Joule, la ariation d énergie interne : ΔU = W + Q Irréersibilité des transformations En rincie quand on asse de l état à l état, les étaes intermédiaires ne sont as à l équilibre. Il faut un certain tems our que la temérature s uniformise dans le gaz. La transformation est dite irréersible. On ne eut as faire de retour en arrière dans les mêmes conditions. Dans les conditions limites, c est à dire idéales et irréalisables, on eut suoser que l on effectue une suite continue d états d équilibre, et ariant continûment, et la temérature étant à chaque instant uniforme dans tout le olume.
A chaque instant la ression à l intérieur du cylindre est égale à la ression extérieure : = E. Dans ce cas, on eut aller en sens inerse sur la même courbe. a Réersibilité thermique On chauffe de à ' une masse gazeuse à olume constant. On met ar exemle en contact une aroi du cylindre aec le milieu à une temérature ariable ar aliers : = + Δ = + Δ 3 = + Δ.. + Δ n = n n = n +Δ= ' Paroi isolante Quand Δ la transformation deient réersible, mais éidemment le tems our l accomlir deient infiniment long. b Réersibilité mécanique Nous nous laçons dans le cas de transformations adiabatiques. Soit un gaz arfait en équilibre dans une enceinte adiabatique. On alique une ression extérieure E > du gaz. Le nouel équilibre arès uniformisation de la ression et de la temérature : ' = + Δ et '= + Δ Dans ce cas, ce n est as une transformation réersible. On eut faire une transformation adiabatique réersible en artant de l état initial,,. La ression extérieure est d abord E =, uis + d. Le iston est soumis à une force df = S. dp. Il se délace. La ression arie de + d, le olume de à + d et la temérature de à + d. On fait une transformation réersible en allant très lentement de à. Le traail est donné ar : W = d Paroi conductrice de chaleur
W > W< Comression adiabatique réersible Détente adiabatique réersible 3 ransformations isothermes réersibles d un gaz arfait a ransformation isotherme réersible élémentaire Soit un gaz arfait en équilibre (,,, en relation aec un thermostat à la temérature. On accroît la ression de d, le olume diminue de d. Le gaz reçoit un traail : W = d Le gaz a tendance à s échauffer uisqu il est comrimé, mais il est en contact aec le thermostat à la même temérature. Le système a donc céder dq au thermostat. On a la relation des gaz arfaits ; d = Cte, d où en faisant une dériée logarithmique : + d = On eut retrouer ce résultat en faisant la dériée : d ( = d+ d =. En diisant ar d, on retroue : + d d =, d où : = d W > W< Comression isotherme réersible Détente isotherme réersible 3
La temérature étant constante, l énergie interne ne arie as. C est la loi de Joule : l énergie interne d un gaz arfait ne déend que de sa temérature. dw + dq= d + dq= Donc : dq= d b ransformation isotherme réersible finie Dans une transformation isotherme, sur un grahique (, la courbe à temérature constante est une hyerbole. Dans le cas d une transformation finie, nous décrions l arc d hyerbole comris entre les oints A et A. On asse du oint A (,, au oint A (,,. On a : A = = nr = Donc : W = W = = d =.. [ ] d ln =.. ln W = nrln = ln A Le traail W ne déend que des états initial et final. Il rerésente grahiquement l aire hachurée sous la courbe Pour une comréhension isotherme : W > Pour une détente isotherme : W< La temérature étant restée constante, l énergie interne n a as arié : ΔU = W + Q= Donc : W = Q Dans une transformation isotherme réersible finie, traail et chaleur sont égaux et de signe oosés. Le traail fourni ar la comression est erdu en chaleur. Exercice On comrime isothermiquement 3 m d air de à atm. On suose que l air se comorte comme un gaz arfait. Calculer le traail de comression, et la quantité de chaleur exrimée en kilocalori es cédé ar le gaz au milieu extérieur. W = ln aec 5 = Nm 5 =. Nm et 3 = m Donc : W = 5 ln ln = 5, 3 D où W = 5,3.5J et Q= 7kcal Le olume final sera :,5m3 = = = 5l 4
4 ransformation adiabatique réersible d un gaz arfait La transformation étant adiabatique, il n y a as d échange de chaleur aec le système. Donc dq =. La relation des gaz arfaits s alique : = nr, où n est le nombre de moles. a ransformation adiabatique réersible élémentaire On asse de (,, à ( + d, + d, + d d Si on fait la dériée logarithmique de = nr, on obtient : + d = d On eut retrouer ce résultat en dériant = nr : d + d= nrd. On diise le terme de gauche ar, et celui de droite ar nr. d On obtient alors + d = d. La transformation étant adiabatique, dq =, donc du = dw = d Or our les gaz arfaits, l énergie interne U ne déend que de la temérature. Donc : du = dw = d = nc d Comme = nr, et C = R Alors : nr d = nr d D où d + ( d = d Or + d = d d Donc : + d + ( d = d Finalement : + d = Relation entre et C est l équation différentielle d une adiabatique en coordonnées de Claeyron. On eut aussi écrire : d d d d = or = d Donc : d = d + d et Relation entre et. On a d d = D où Relation entre et. d = ( d d d =. 5
b ransformation adiabatique réersible finie En artant du oint A (,, on a ers A (,, d Or : + d = On eut ré-écrire cette équation : d(ln + d(ln = d(ln( = En intégrant l équation ci-dessus, on obtient : ln( =Cte Ou encore : C est l équation de Lalace. =. = Cte=.. Aec cette équation, on a suosé que et C étaient constant. Ceci est rai our les gaz arfaits. Les deux autres relations donnent : d + ( d = Donc = Cte d d. = Donc = Cte On a : = = = Cte Donc : De même : = = On eut donc écrire : = Cte Donc = =.... ln = ( ln. = ln c Calcul du traail et de la ariation d énergie interne dans une transformation adiabatique Nous saons que dw = d Dans une transformation adiabatique : D où :. On en déduit : =. dw =.. d d( Or d = On eut écrire : = dw d( En intégrant chaque membre, on obtient : W = ( = ( d =.. 6
W ( = ( = Or : = donc : = = La ariation d énergie interne est donc : nr( ΔU = W = ( = = nc ( Pour un gaz monoatomique (argon : Donc dans ce cas : 5/3 = Cte C = 3R et = 5 3 W = 3nR( 3 = (.. Pour un gaz diatomique : C = 5R et = 7 5 Donc dans ce cas : 7/5 = Cte W = 5nR( 5 = (.. 5 Pentes de l adiabatique et de l isotherme On eut comarer les entes des courbes adiabatiques et isothermes. Pour cela du oint A, on fait asser une isotherme d équation = Cte, et une adiabatique d équation =Cte. Sur l axe des olumes, on se délace de d i = da autour du oint A. Les délacements corresondant sur l isotherme seront d et sur l adiabatique i d a. Sur l isotherme on a les délacements : + d, + d ( i i di Et on a + di = di La ente au oint A, sera = di Sur l adiabatique on a les délacements : ( + da, + da da Et on a + da = da On en déduit la ente au oint A : = da La ente de l adiabatique est fois lus grande que celle de l isotherme. da d i A d i = da isotherme : = Cte adiabatiqu e: = Cte 7
Cycle de Carnot Il se comose de deux isothermes et de deux adiabatiques. adiabatiques isothermes 6 Proagation du son dans les gaz La itesse du son est donnée ar Aec χ=.. c = χρ (sans démonstration coefficient de comressibilité Et ρ masse olumique du gaz Les ibrations du son sont raides, donc adiabatiques : d d =... a D où χ= D où finalement : c= ρ On eut ré-écrire l équation des gaz arfaits : = R de la manière suiante : = R ρ M Donc c= R M Pour l air à t= C, =, 4, R =8, 3 et M = 8,8g. mole c= 33m. s 8