I) Rappels sur le parallélisme dans l espace 1. roites parallèles éfinition ire que deux droites de l espace sont parallèles signifie qu elles sont coplanaires et non sécantes. On dit alors aussi qu elles ont même direction. ropriété 1. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. xercice Sur la figure contre, est un pavé droit I est le milieu de [] et J est le milieu de []. 1. iter la droite parallèle à ( ) passant par? 2. Tracer la droite parallèle à () passant par I 3. (IJ) et () sont-elles parallèles? 2. lans parallèles éfinition ire que deux plans de l espace sont parallèles signifie qu ils ne sont pas sécants. ropriété 2. Si deux droites sécantes d un plan sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d un plan alors les plans et sont parallèles. Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles. Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. δ d δ 2 d 2 R R δ 1 d 1 1
3. roite et plan parallèles éfinition ire qu une droite et un plan de l espace sont parallèles signifie qu ils ne sont pas sécants. ropriété 3. Soient et deux plans sécants suivant une droite δ. Si d 1 et d 2 sont deux droites parallèles alors la droite δ est parallèle aux droites d 1 et d 2. e théorème est parfois appelé Théorème du toit. δ d 1 d 2 II) Rappels sur l orthogonalité dans l espace 1. roites orthogonales éfinition ire que deux droites d et (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales signifie que les parallèles à ces deux droites menées par un point I quelconque sont perpendiculaires. ( ous admettrons alors que les parallèles à d et passant par n importe quel autre point sont également perpendiculaires). xercice ans le pavé droit suivant, citer des droites perpendiculaires et orthogonales à la droite (O ). (SV ), (T U), (RV ), (U). V U Solution : R la droite (O ) est perpendiculaire aux droites : (OR), ( ), (OS), ( T ) ; la droite (O ) est orthogonale aux droites : xemple : est un cube alors () (). Remarques : O S T 2
eux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. n revanche la réciproque est vraie par définition de droites orthogonales. eux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles (facile à voir dans un cube). ropriété 4. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre. 2. roite perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan éfinition ire qu une droite et un plan sont orthogonaux ou perpendiculaires signifie que la droite est orthogonale à toutes les droites du plan. d ropriété 5. our qu une droite soit orthogonale à un plan il suffit que soit orthogonale à deux droites sécantes de. ropriété 6. eux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles. Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. ropriété 7. Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. eux droites orthogonales à un même plan sont parallèles. éfinition Le plan médiateur d un segment est le plan passant par son milieu perpendiculairement. Remarques : 3
le plan médiateur d un segment[] est l ensemble des points à égale distance de et de ; ceci généralise la défintion de la médiatrice, en dimension 3. xercice ans le tétraèdre régulier ci-contre, déterminer le plan médiateur de [ ] et en déduire que les droites () et () sont orthogonales. Solution : Le tétraèdre étant régulier, = donc med[ ], = donc med[ ] ; soit I le milieu de [ ], on a donc I med[ ] ; le plan médiateur de [ ] est donc le plan (I) ; la droite () appartenant au plan médiateur de [ ], on en déduit que () et () sont orthogonales. I 3. lans perpendiculaires éfinition ire que deux plans sont perpendiculaires signifie que l un contient une droite orthogonale à l autre. On admettra que cette relation est symétrique. ttention : on ne dit pas que deux plans sont orthogonaux (deux plans seraient orthogonaux si toute droite du premier plan était orthogonale à toute droite du second plan, ce qui est impossible puisqu ils ont au moins une droite en commun) ; deux plans perpendiculaires peuvent contenir des droites parallèles ; deux plans perpendiculaires à un troisième ne sont pas forcément parallèles (voir les faces du cube). ropriété 8. Soient deux plans perpendiculaires, soit une droite dans l un, alors il existe une droite dans l autre qui lui est orthogonale. (Se le représenter avec une équerre ayant une côté sur le sol et un autre faisant n importe quel angle avec le sol sur le mur). ropriété 9. Si deux plans sont perpendiculaires, un plan parallèle à l un est perpendiculaire à l autre. émonstration : et sont perpendiculaires,. Soit d dans, orthogonale à. insi d est aussi orthogonale à, donc et sont perpendiculaires. 4
ropriété 10. Si deux plans sont parallèles, un plan perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre. III) Sections planes 1. Sur le tétraèdre, on a placé sur [], sur la face, sur []. a) Tracer sur la figure ci-contre en rouge la section du tétraèdre par le plan ( ). b) Tracer en vert la droite d intersection des plans () et ( ). On commencera par trouver deux points de cette droite. 2. I J ans le pavé droit ci-contre, I est un point de [] et J est un point de []. a) Rappeler les différents cas que l on peut rencontrer lorsqu on cherche l intersection de deux plans ( ) et ( ). b) On cherche l intersection ( ) des plans ( IJ) et (). i. uelle est la nature de ( )? Justifier. ii. iii. Trouver deux points de ( ). Justifier. Tracer ( ) sur la figure ci-contre. 3. On considère un tétraèdre. Soient les point I, J, K, L appartenant respectivement aux segments [], [], [I] et [J]. On suppose (IJ) et (KL) non parallèles. a) émontrer que les points I, J, K et L sont coplanaires. b) émontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes en un point. c) émontrer que appartient au plan (). d) uel est le point d intersection du plan () avec la droite (KL)? 5 I K L J
4. est un cube. est un point du segment [ ]. est un point du segment [ ]. est un point du segment []. essiner la section du cube par le plan ( ). 5. est un cube. La droite (d) fait partie du plan (). est un point de la droite (). essiner la section du cube par le plan passant par la droite (d) et le point. (d) 6. éterminer la section du tétraèdre par le plan ( ), sachant que : est un point du segment [] ; est un point du segment [] ; est un point du plan (). (Le même exercice peut être fait en considérant sur ()). 6
7. éterminer la section du tétraèdre par le plan ( ), sachant que : est un point du plan (), est un point du plan (), est un point du plan (). 7